专题01 不等式（组）概念、解法与含参综合(专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题01 不等式（组）概念、解法与含参综合 常考题型·精准突破 【题型 1】不等式的识别与列不等式（不等关系列式） 【题型 2】不等式基本性质辨析（重点：乘除负数变号） 【题型 3】解一元一次不等式，在数轴上表示解集 【题型 4】解一元一次不等式组，确定公共解集 【题型 5】不等式（组）整数解问题 【题型 6】不等式组有解、无解的参数讨论 【题型 7】已知不等式（组）解集 / 整数解个数求参数范围 【题型 8】一元一次不等式与一元一次方程综合题 【题型 9】不等式新定义、简单绝对值不等式 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆【题型 1】不等式的识别与列不等式（不等关系列式） 1．下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 2．“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 3．商家以200元/罐的价格购进一批茶叶，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为x罐，若要使总销售额不低于13万元，则根据题意可列不等式为______． 4．某次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答题不得分．在这次竞赛中，小海有两道题没有作答，若希望取得不低于80分的成绩，小海至少要答对几道题？设小海答对了道题，那么由题意可列不等式为________． ◆【题型 2】不等式基本性质辨析（重点：乘除负数变号） 5．如果，那么下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 7．若，且，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 8．已知：，则a______b．（填“>”或“<”或“=”） 9．若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． ◆【题型 3】解一元一次不等式，在数轴上表示解集 10．解不等式并把解集在数轴上表示出来． 11．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 12．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 13．解不等式，并把它的解集在所给的数轴上表示出来． ◆【题型 4】解一元一次不等式组，确定公共解集 14．解不等式组：． 15．解不等式组： 16．解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 17．解不等式组：． ◆【题型 5】不等式（组）整数解问题 18．不等式的非负整数解有（     ）． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 19．不等式的最小整数解为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 20．已知关于，的方程组，且，满足，则的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 21．解不等式组，把解集在数轴上表示出来并写出满足条件的的所有整数解． 22．解不等式组：，并写出满足条件的整数解． ◆【题型 6】不等式组有解、无解的参数讨论 23．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 24．若不等式组的解集为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 25．不等式组的解集为，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． ◆【题型 7】已知不等式（组）解集 / 整数解个数求参数范围 26．如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 27．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 28．已知关于的不等式组的最小整数解是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 29．若关于x的不等式组的正整数解只有4，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 30．关于x的不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 31．已知关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则整数a的最小值为 （     ） A．2 B．3 C．4 D．5 ◆【题型 8】一元一次不等式与一元一次方程综合题 32．已知关于的一元一次方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件的的整数值之和是（     ） A． B． C． D． 33．若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的最大值与最小值的差是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．12 34．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． ◆【题型 9】不等式新定义、简单绝对值不等式 35．若，则x的取值范围_______． 36．阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 (1)不等式的解集是______； (2)不等式的解集是______； 【拓展探究】 (3)已知绝对值不等式的解集为，则______；______； (4)请求出绝对值不等式的解集 37．如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 38．【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 39．在不等式的专题拓展学习中，杨老师给出一个新定义：对于同一个未知数的两个不等式，如果它们的解集完全相同，则称这两个不等式为同解不等式．同解不等式在方程、函数、最值问题中有着广泛的作用，是连接等式与不等式的重要桥梁．根据定义，完成下列探究： (1)不等式与______同解不等式；（填“是”或者“不是”） (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，请求出a的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，请求出，的值． 40．对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求、的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 41．对，定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． 已知，： (1)求的值； (2)若关于的不等式组恰好有4个整数解，求实数的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 1．若，则下列不等式不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式只有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．这些图书有（     ） A．23本 B．24本 C．25本 D．26本 6．若关于的方程的解为正数，关于的不等式组有解，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 7．不等式组的整数解的个数是________． 8．某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为元，标价为元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是________折． 9．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 10．解不等式组并在数轴上表示出解集：； 11．请阅读绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看，大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看，小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． (1)不等式的解集为_______； (2)解不等式； (3)已知绝对值不等式的解集为，求的值； (4)已知关于，的二元一次方程组的解满足，且m是正整数，请直接写出m的值． 12．对于任意有理数，，定义一种新运算：，例如：．请回答下列问题： (1)________，________； (2)若，，求的值； (3)若的解集只有个整数解，求的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 不等式（组）概念、解法与含参综合 常考题型·精准突破 【题型 1】不等式的识别与列不等式（不等关系列式） 【题型 2】不等式基本性质辨析（重点：乘除负数变号） 【题型 3】解一元一次不等式，在数轴上表示解集 【题型 4】解一元一次不等式组，确定公共解集 【题型 5】不等式（组）整数解问题 【题型 6】不等式组有解、无解的参数讨论 【题型 7】已知不等式（组）解集 / 整数解个数求参数范围 【题型 8】一元一次不等式与一元一次方程综合题 【题型 9】不等式新定义、简单绝对值不等式 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆【题型 1】不等式的识别与列不等式（不等关系列式） 1．下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用不等号连接的式子是不等式． A选项，是等式，不符合题意； B选项，含不等号，是不等式，符合题意； C选项，是代数式，不符合题意； D选项，是等式，不符合题意． 2．“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“不大于”表示小于等于，故不大于用不等式表示为． 3．商家以200元/罐的价格购进一批茶叶，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为x罐，若要使总销售额不低于13万元，则根据题意可列不等式为______． 【答案】 【分析】先统一单位，计算出每罐茶叶的售价，再根据总销售额的关系，结合“不低于”的含义列出不等式． 【详解】解：统一单位，13万元元， ∵ 每罐茶叶进价为200元，在进价基础上提价售卖， ∴ 每罐茶叶的售价为元， ∵ 售出数量为罐，要求总销售额不低于130000元，“不低于”表示大于等于，总销售额每罐售价售出数量， ∴ 可列不等式为． 4．某次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答题不得分．在这次竞赛中，小海有两道题没有作答，若希望取得不低于80分的成绩，小海至少要答对几道题？设小海答对了道题，那么由题意可列不等式为________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用. 解题思路为：先根据已知条件确定答错的题数. 再根据得分规则与成绩要求，结合“不低于”的含义列出对应不等式. 【详解】解：由题意可知，小海答对道题，共有道题未作答，总题数为道，因此答错的题数为道. 答对一道题得分，因此答对总分为，答错一道题扣分，因此答错总扣分为， 成绩不低于分，即总得分大于等于，因此可列不等式：. ◆【题型 2】不等式基本性质辨析（重点：乘除负数变号） 5．如果，那么下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，故A、B错误； ∵， ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确． 6．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴两边同时减3，不等号方向不变，得，A成立； 当时，，，B不一定成立； ∵，∴两边同时乘，不等号方向改变，得，C不成立； ∵，∴两边同时加2，不等号方向不变，得，D不成立． 7．若，且，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，且， ∴， 只有C选项中的是负数，符合题意． 8．已知：，则a______b．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】＞ 【分析】利用不等式的基本性质对已知不等式化简，即可得到与的大小关系． 【详解】解：对原不等式变形， 不等式两边同时减，根据不等式的基本性质1，不等号方向不变，得， 不等式两边同时乘以，根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，得． 9．若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，不等号方向发生改变，说明不等式两边除以的系数为负数，据此建立关于的不等式求解即可． 【详解】解： 关于的不等式可化为，不等号方向发生改变， 由不等式的性质3可知，系数， 解得． ◆【题型 3】解一元一次不等式，在数轴上表示解集 10．解不等式并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示，如图： 【分析】根据一元一次不等式的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可解出不等式的解，最后把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：， 解集在数轴上表示略． 11．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】根据解不等式的基本步骤解答即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 数轴表示略； 12．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【详解】解： ， 解集在数轴上表示略． 13．解不等式，并把它的解集在所给的数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示为：． 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1即可求得不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ， ． ◆【题型 4】解一元一次不等式组，确定公共解集 14．解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式组的解集为． 15．解不等式组： 【答案】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．解题的关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解：， 由①得， 解得， 由②得， 解得． 所以． 16．解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示如下所示： 【分析】分别求出两个不等式的解集，再取公共部分得到不等式组解集，最后在数轴上表示． 【详解】解：解不等式①：， ， ， ； 解不等式②：， ， ， ， ， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示：在数轴上，在处画空心圆圈，在处画实心圆点，连接两点之间的线段． 17．解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集是． ◆【题型 5】不等式（组）整数解问题 18．不等式的非负整数解有（     ）． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中所有的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：解不等式 ， 两边同除以，得 ， 移项得 ， ∴ 不等式的解集为 ， 满足要求的非负整数为 ，一共 个． 19．不等式的最小整数解为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解： ∵大于的最小整数为， 因此不等式的最小整数解为 ． 20．已知关于，的方程组，且，满足，则的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组可得：，根据可得关于的不等式，解不等式求出的取值范围，最后找出的最大整数值． 【详解】解：， ②①得：， ， ， 解得：， 的最大整数值为． 21．解不等式组，把解集在数轴上表示出来并写出满足条件的的所有整数解． 【答案】， 将解集表示在数轴上如下图： 满足条件的的所有整数解为 【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，找到这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，并在数轴上表示不等式组的解集，再找到所有整数解即可． 【详解】解：解不等式， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 解不等式， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 原不等式组的解集是， 将解集表示在数轴上略， 满足条件的的所有整数解为． 22．解不等式组：，并写出满足条件的整数解． 【答案】，满足条件的整数解为， 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到每个不等式的解集，取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集，在不等式组的解集范围内找出所有整数，即为满足条件的整数解． 【详解】解：解第一个不等式 ， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 解第二个不等式 ， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：， ∴不等式组的解集为， 这个范围内的整数解只有2和3． ◆【题型 6】不等式组有解、无解的参数讨论 23．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式组无解，则两个不等式的解集没有公共部分，由此求解． 【详解】解：解不等式，得. ∵不等式组无解， ∴． 24．若不等式组的解集为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定方法，利用“同小取小”的规则列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵该不等式组中两个不等式均为小于型，根据一元一次不等式组解集“同小取小”的法则，已知解集为， ∴ 移项得 ． 25．不等式组的解集为，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同小取小”的原则列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围 【详解】解：解不等式 系数化为1得； 解不等式得； 不等式组的解集为，根据“同小取小”原则， 解得 ◆【题型 7】已知不等式（组）解集 / 整数解个数求参数范围 26．如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解不等式组的方法，解出题目所给的不等式组的解，再根据不等式组恰有2个整数解即可求出a的取值范围. 【详解】解：， 解得：， 解得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有2个整数解， ∴不等式组的2个整数解为， ∴a的取值范围是. 27．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式组得解集，根据4个整数解确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得：． 解不等式得：． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组恰有4个整数解． ∴整数解为． ∴． 28．已知关于的不等式组的最小整数解是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由最小整数解为，确定含的解集端点的取值范围． 【详解】解：解不等式，得．解不等式，得． 不等式组的最小整数解是， ， 解得． 29．若关于x的不等式组的正整数解只有4，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别解出不等式组的两个不等式，找到公共部分即可得不等式组的解，再根据不等式组的正整数解只有4，即可得，解出即可得a的取值范围. 【详解】解： 解得：， 解得： ， ∴不等式组的解集为：. ∵不等式组的正整数解只有4， ∴，解得：. ∴a的取值范围是. 30．关于x的不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求解第一个不等式得到不等式组的解集范围，再根据所有整数解的和为，分两种情况讨论确定m的取值范围． 【详解】解：先解不等式， ∵ 不等式两边同乘2得 ， 移项合并同类项得 ， ∴ ， 则不等式组的解集为 ， ∵ 所有整数解的和是， 分两种情况讨论： ① 当整数解均为负数时，只有整数解，和为，符合题意， 可得； ② 当整数解包含正数时，整数解为，和为，符合题意， 可得； 综上，m的取值范围是或． 31．已知关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则整数a的最小值为 （     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先解出不等式组的解集，再根据解集中至少有6个整数解确定a的取值范围，即可求出整数a的最小值． 【详解】解：关于x的不等式组， 解①得，解②得， ∴不等式组的解集为， ∵解集中至少有6个整数解， ∴满足条件的整数解为， ∴， ∴整数a的最小值为5． ◆【题型 8】一元一次不等式与一元一次方程综合题 32．已知关于的一元一次方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件的的整数值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次方程得到的表达式，根据方程有整数解得到整数的可能取值，再解不等式组，根据不等式组有且只有四个整数解确定的取值范围，最后筛选出符合条件的整数，计算它们的和即可． 【详解】解：∵， 移项得 ，即 ， ∵方程是一元一次方程，且解为整数， ∴ ，且是的因数，即 ， 解得整数为， ∵， 解第一个不等式 ， 两边同除以得 ， 解第二个不等式 ，移项化简得 ， ∴不等式组的解集为 ， ∵不等式组有且只有四个整数解，大于的四个整数是 ， ∴ ， 不等式同乘得 ， 移项化简得 ， 在范围内的整数有， ∴结合方程符合条件的整数为， 所有满足条件的整数值之和为 ． 33．若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的最大值与最小值的差是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题先解一元一次不等式组，根据整数解的个数得到的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为负整数得到所有符合条件的整数，最后计算最大值与最小值的差即可． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①，得，整理得； 解不等式②，两边同乘得，整理得， 不等式组的解集为. 不等式组有且只有个整数解，两个整数解为和， ，解得， 整理方程，得，解得， 方程的解是负整数， 是的负约数， 即，对应得， 结合，得符合条件的整数为和， 最大值为，最小值为，差为． 34．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解条件求出m的取值范围；再解分式方程，根据解为非负数且分母不为零求出m的取值范围，最后求公共范围内所有整数的和． 【详解】解：解不等式组： 由 得：， 由 得 ， ∵不等式组无解， ∴，即； 解分式方程， 去分母得：， 整理得：． 解得：． ∵解为非负数且， ∴且， 解得：且． ∴的取值范围为： 且 ， ∴满足条件的所有整数为 ，，，，， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为： ◆【题型 9】不等式新定义、简单绝对值不等式 35．若，则x的取值范围_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质将原不等式转化为连写形式的一元一次不等式，再通过不等式性质计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 即． 36．阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 (1)不等式的解集是______； (2)不等式的解集是______； 【拓展探究】 (3)已知绝对值不等式的解集为，则______；______； (4)请求出绝对值不等式的解集 【答案】(1) (2)或 (3)5；7 (4)或 【分析】（1）（2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）先利用绝对值的几何意义进行求解，再列方程组求解即可； （4）先对不等式进行整理，再利用绝对值的几何意义进行求解即可； 【详解】（1）解：不等式的解集是； （2）解：不等式的解集是或； （3）解：绝对值不等式， ，解得， ，解得； （4）解：，则， 或， 解得或． 37．如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据绝对值几何意义：表示数轴上数对应的点到原点0的距离；即点到原点距离大于2，数轴上原点左侧小于-2、右侧大于2的区域满足条件． （2）表示数轴上点到定点的距离；距离小于等于，则在往左个单位、往右个单位之间，转化为不含绝对值的一次不等式组求解． （3）根据不同取值分情况解得不等式解集． 【详解】（1）解：由绝对值定义，等价于或， 解集为或． （2）解：根据绝对值不等式规律：，， ， 三边同时加： ， ， 不等式解集为． （3）解：当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 不等式的解集为或． 38．【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 39．在不等式的专题拓展学习中，杨老师给出一个新定义：对于同一个未知数的两个不等式，如果它们的解集完全相同，则称这两个不等式为同解不等式．同解不等式在方程、函数、最值问题中有着广泛的作用，是连接等式与不等式的重要桥梁．根据定义，完成下列探究： (1)不等式与______同解不等式；（填“是”或者“不是”） (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，请求出a的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，请求出，的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或或 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义判断即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义列方程求解即可； （3）先分别求出两个不等式的解集，进而得到，的关系，根据，是正整数求解即可． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∵两个不等式解集相同， ∴不等式与是同解不等式； （2）解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 解得； （3）解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 整理得． ，是正整数， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，结果为或或． 40．对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求、的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据新定义及已知列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，再根据新定义把不等式转化为，解不等式即可求解； （）由新定义可把不等式组转化为，求出不等式组的解集，再根据解的情况得到关于的不等式，解不等式即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式及一元一次不等式组解的情况求参数的取值范围，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， 即，； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴不等式即为， 解得； （3）解：∵，， ∴不等式组可转化为， 解得， ∵不等式组只有一个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得， 故答案为：． 41．对，定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． 已知，： (1)求的值； (2)若关于的不等式组恰好有4个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算与二元一次方程组、含参数不等式组求解问题综合，理解题中新定义运算法则，掌握二元一次方程组、不等式组的解法是解决问题的关键． （1）先由题中新定义的运算将，转化为，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案； （2）由（1）中的值，结合新定义运算将转化为不等式组求解得到，再根据不等式组恰好有4个整数解，得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ，， 由新定义运算可得， ，， 联立得， 由得：， 解得：； 将代入②得， 解得； ； （2）解：由（1）知， ， 根据新定义运算可得， ①， ②， 解①得； 解②得； 关于的不等式组有解， ， 关于的不等式组恰好有4个整数解， ， 解得． 综合攻坚·知能拔高 1．若，则下列不等式不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴，，均成立， 取，，满足， 此时，，即， ∴不一定成立． 2．学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列不等式即可 【详解】解：∵分钟， ∴总用时需小于8分钟， ∵步行路程为米， ∴小跑路程为米， ∴小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， ∴所列不等式为 ． 3．已知关于的不等式只有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式仅有两个负整数解，确定的边界范围，列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有两个负整数解， ∴负整数解为和， ∴， 解得． 4．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 解①得：． 解②得：． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得． 5．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．这些图书有（     ） A．23本 B．24本 C．25本 D．26本 【答案】D 【分析】设有名同学，本图书，根据题意列出方程和不等式组，利用人数和图书数为正整数确定人数，再计算图书总数即可． 【详解】解：设有本图书，名同学，根据题意得 ，， 将代入不等式组，得 化简得 解不等式，得 解不等式，得 ∴ ∵ 为正整数， ∴ 将代入，得 ， 即这些图书有26本． 6．若关于的方程的解为正数，关于的不等式组有解，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】分别求解分式方程与不等式组，结合方程解为正数、分母不为0及不等式组有解的条件，综合得到a的取值范围. 【详解】解：解方程， 整理得， 去分母得， 解得 ∵方程的解为正数，且分母不为0， ∴且， 解得且 解不等式组， 解得， 解得 ∵不等式组有解， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 7．不等式组的整数解的个数是________． 【答案】 【分析】先分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数，统计个数即可． 【详解】解： 解不等式： 解不等式： 不等式组的解集为： 解集内的整数为： ，共个． 8．某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为元，标价为元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是________折． 【答案】7 【分析】设商品折扣为折，根据利润率不低于建立一元一次不等式，求解得到最低折扣即可． 【详解】解：设商品的折扣为折， ∵要保证利润率不低于，即售价不低于进价， ∴列不等式得：， 化简不等式得：， 解得：， 因此最低折扣是折． 9．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 可得 ， 即 ， ∵ 为奇数， ∴ ． 10．解不等式组并在数轴上表示出解集：； 【答案】解集为， 在数轴上表示： 【详解】解：， 解不等式，去分母得，解得， 解不等式，去分母得，解得， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示：略． 11．请阅读绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看，大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看，小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． (1)不等式的解集为_______； (2)解不等式； (3)已知绝对值不等式的解集为，求的值； (4)已知关于，的二元一次方程组的解满足，且m是正整数，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）由绝对值的几何意义即可得出答案； （3）由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案； （4）两个方程相加化简得出，由知，据此得出，解之求出的取值范围，继而可得答案． 【详解】（1）解：根据绝对值的定义得：， 解得； （2）根据绝对值的定义得：或， 解得或； （3）解：， ， 解得， 解集为， ， 解得， 则； （4）解：两个方程相加，得：， ， ， ， ， 解得， 又是正整数， 或． 12．对于任意有理数，，定义一种新运算：，例如：．请回答下列问题： (1)________，________； (2)若，，求的值； (3)若的解集只有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【分析】（1）根据新运算计算即可； （2）由新运算，结合已知可得，，解得，，代入计算即可； （3）由新运算，结合已知可得的解集只有个整数解，可得，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴，． （2）解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵的解集只有个整数解， ∴的解集只有个整数解， ∴的解集只有个整数解， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 不等式（组）概念、解法与含参综合 常考题型·精准突破 ◆【题型 1】不等式的识别与列不等式（不等关系列式） 1． 【答案】B 【详解】解：用不等号连接的式子是不等式． A选项，是等式，不符合题意； B选项，含不等号，是不等式，符合题意； C选项，是代数式，不符合题意； D选项，是等式，不符合题意． 2． 【答案】B 【详解】解：“不大于”表示小于等于，故不大于用不等式表示为． 3． 【答案】 【分析】先统一单位，计算出每罐茶叶的售价，再根据总销售额的关系，结合“不低于”的含义列出不等式． 【详解】解：统一单位，13万元元， ∵ 每罐茶叶进价为200元，在进价基础上提价售卖， ∴ 每罐茶叶的售价为元， ∵ 售出数量为罐，要求总销售额不低于130000元，“不低于”表示大于等于，总销售额每罐售价售出数量， ∴ 可列不等式为． 4． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用. 解题思路为：先根据已知条件确定答错的题数. 再根据得分规则与成绩要求，结合“不低于”的含义列出对应不等式. 【详解】解：由题意可知，小海答对道题，共有道题未作答，总题数为道，因此答错的题数为道. 答对一道题得分，因此答对总分为，答错一道题扣分，因此答错总扣分为， 成绩不低于分，即总得分大于等于，因此可列不等式：. ◆【题型 2】不等式基本性质辨析（重点：乘除负数变号） 5 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，故A、B错误； ∵， ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确． 6． 【答案】A 【详解】解：∵，∴两边同时减3，不等号方向不变，得，A成立； 当时，，，B不一定成立； ∵，∴两边同时乘，不等号方向改变，得，C不成立； ∵，∴两边同时加2，不等号方向不变，得，D不成立． 7． 【答案】C 【详解】解：∵，且， ∴， 只有C选项中的是负数，符合题意． 8． 【答案】＞ 【分析】利用不等式的基本性质对已知不等式化简，即可得到与的大小关系． 【详解】解：对原不等式变形， 不等式两边同时减，根据不等式的基本性质1，不等号方向不变，得， 不等式两边同时乘以，根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，得． 9． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，不等号方向发生改变，说明不等式两边除以的系数为负数，据此建立关于的不等式求解即可． 【详解】解： 关于的不等式可化为，不等号方向发生改变， 由不等式的性质3可知，系数， 解得． ◆【题型 3】解一元一次不等式，在数轴上表示解集 10． 【答案】， 解集在数轴上表示，如图： 【分析】根据一元一次不等式的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可解出不等式的解，最后把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：， 解集在数轴上表示略． 11． 【答案】 【分析】根据解不等式的基本步骤解答即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 数轴表示略； 12． 【答案】， 【详解】解： ， 解集在数轴上表示略． 13． 【答案】，在数轴上表示为：． 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1即可求得不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ， ． ◆【题型 4】解一元一次不等式组，确定公共解集 14． 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式组的解集为． 15． 【答案】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．解题的关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解：， 由①得， 解得， 由②得， 解得． 所以． 16． 【答案】，数轴表示如下所示： 【分析】分别求出两个不等式的解集，再取公共部分得到不等式组解集，最后在数轴上表示． 【详解】解：解不等式①：， ， ， ； 解不等式②：， ， ， ， ， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示：在数轴上，在处画空心圆圈，在处画实心圆点，连接两点之间的线段． 17． 【答案】 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集是． ◆【题型 5】不等式（组）整数解问题 18． 【答案】A 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中所有的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：解不等式 ， 两边同除以，得 ， 移项得 ， ∴ 不等式的解集为 ， 满足要求的非负整数为 ，一共 个． 19． 【答案】C 【详解】解： ∵大于的最小整数为， 因此不等式的最小整数解为 ． 20． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组可得：，根据可得关于的不等式，解不等式求出的取值范围，最后找出的最大整数值． 【详解】解：， ②①得：， ， ， 解得：， 的最大整数值为． 21． 【答案】， 将解集表示在数轴上如下图： 满足条件的的所有整数解为 【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，找到这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，并在数轴上表示不等式组的解集，再找到所有整数解即可． 【详解】解：解不等式， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 解不等式， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 原不等式组的解集是， 将解集表示在数轴上略， 满足条件的的所有整数解为． 22． 【答案】，满足条件的整数解为， 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到每个不等式的解集，取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集，在不等式组的解集范围内找出所有整数，即为满足条件的整数解． 【详解】解：解第一个不等式 ， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 解第二个不等式 ， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：， ∴不等式组的解集为， 这个范围内的整数解只有2和3． ◆【题型 6】不等式组有解、无解的参数讨论 23． 【答案】C 【分析】不等式组无解，则两个不等式的解集没有公共部分，由此求解． 【详解】解：解不等式，得. ∵不等式组无解， ∴． 24． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定方法，利用“同小取小”的规则列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵该不等式组中两个不等式均为小于型，根据一元一次不等式组解集“同小取小”的法则，已知解集为， ∴ 移项得 ． 25． 【答案】C 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同小取小”的原则列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围 【详解】解：解不等式 系数化为1得； 解不等式得； 不等式组的解集为，根据“同小取小”原则， 解得 ◆【题型 7】已知不等式（组）解集 / 整数解个数求参数范围 26． 【答案】D 【分析】根据解不等式组的方法，解出题目所给的不等式组的解，再根据不等式组恰有2个整数解即可求出a的取值范围. 【详解】解：， 解得：， 解得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有2个整数解， ∴不等式组的2个整数解为， ∴a的取值范围是. 27． 【答案】B 【分析】先解不等式组得解集，根据4个整数解确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得：． 解不等式得：． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组恰有4个整数解． ∴整数解为． ∴． 28． 【答案】B 【分析】由最小整数解为，确定含的解集端点的取值范围． 【详解】解：解不等式，得．解不等式，得． 不等式组的最小整数解是， ， 解得． 29． 【答案】A 【分析】分别解出不等式组的两个不等式，找到公共部分即可得不等式组的解，再根据不等式组的正整数解只有4，即可得，解出即可得a的取值范围. 【详解】解： 解得：， 解得： ， ∴不等式组的解集为：. ∵不等式组的正整数解只有4， ∴，解得：. ∴a的取值范围是. 30． 【答案】C 【分析】先求解第一个不等式得到不等式组的解集范围，再根据所有整数解的和为，分两种情况讨论确定m的取值范围． 【详解】解：先解不等式， ∵ 不等式两边同乘2得 ， 移项合并同类项得 ， ∴ ， 则不等式组的解集为 ， ∵ 所有整数解的和是， 分两种情况讨论： ① 当整数解均为负数时，只有整数解，和为，符合题意， 可得； ② 当整数解包含正数时，整数解为，和为，符合题意， 可得； 综上，m的取值范围是或． 31． 【答案】D 【分析】先解出不等式组的解集，再根据解集中至少有6个整数解确定a的取值范围，即可求出整数a的最小值． 【详解】解：关于x的不等式组， 解①得，解②得， ∴不等式组的解集为， ∵解集中至少有6个整数解， ∴满足条件的整数解为， ∴， ∴整数a的最小值为5． ◆【题型 8】一元一次不等式与一元一次方程综合题 32． 【答案】B 【分析】先解一元一次方程得到的表达式，根据方程有整数解得到整数的可能取值，再解不等式组，根据不等式组有且只有四个整数解确定的取值范围，最后筛选出符合条件的整数，计算它们的和即可． 【详解】解：∵， 移项得 ，即 ， ∵方程是一元一次方程，且解为整数， ∴ ，且是的因数，即 ， 解得整数为， ∵， 解第一个不等式 ， 两边同除以得 ， 解第二个不等式 ，移项化简得 ， ∴不等式组的解集为 ， ∵不等式组有且只有四个整数解，大于的四个整数是 ， ∴ ， 不等式同乘得 ， 移项化简得 ， 在范围内的整数有， ∴结合方程符合条件的整数为， 所有满足条件的整数值之和为 ． 33． 【答案】C 【分析】本题先解一元一次不等式组，根据整数解的个数得到的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为负整数得到所有符合条件的整数，最后计算最大值与最小值的差即可． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①，得，整理得； 解不等式②，两边同乘得，整理得， 不等式组的解集为. 不等式组有且只有个整数解，两个整数解为和， ，解得， 整理方程，得，解得， 方程的解是负整数， 是的负约数， 即，对应得， 结合，得符合条件的整数为和， 最大值为，最小值为，差为． 34． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解条件求出m的取值范围；再解分式方程，根据解为非负数且分母不为零求出m的取值范围，最后求公共范围内所有整数的和． 【详解】解：解不等式组： 由 得：， 由 得 ， ∵不等式组无解， ∴，即； 解分式方程， 去分母得：， 整理得：． 解得：． ∵解为非负数且， ∴且， 解得：且． ∴的取值范围为： 且 ， ∴满足条件的所有整数为 ，，，，， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为： ◆【题型 9】不等式新定义、简单绝对值不等式 35． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质将原不等式转化为连写形式的一元一次不等式，再通过不等式性质计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 即． 36． 【答案】(1) (2)或 (3)5；7 (4)或 【分析】（1）（2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）先利用绝对值的几何意义进行求解，再列方程组求解即可； （4）先对不等式进行整理，再利用绝对值的几何意义进行求解即可； 【详解】（1）解：不等式的解集是； （2）解：不等式的解集是或； （3）解：绝对值不等式， ，解得， ，解得； （4）解：，则， 或， 解得或． 37． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据绝对值几何意义：表示数轴上数对应的点到原点0的距离；即点到原点距离大于2，数轴上原点左侧小于-2、右侧大于2的区域满足条件． （2）表示数轴上点到定点的距离；距离小于等于，则在往左个单位、往右个单位之间，转化为不含绝对值的一次不等式组求解． （3）根据不同取值分情况解得不等式解集． 【详解】（1）解：由绝对值定义，等价于或， 解集为或． （2）解：根据绝对值不等式规律：，， ， 三边同时加： ， ， 不等式解集为． （3）解：当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 不等式的解集为或． 38． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 39． 【答案】(1)是 (2) (3)或或 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义判断即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义列方程求解即可； （3）先分别求出两个不等式的解集，进而得到，的关系，根据，是正整数求解即可． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∵两个不等式解集相同， ∴不等式与是同解不等式； （2）解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 解得； （3）解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 整理得． ，是正整数， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，结果为或或． 40． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据新定义及已知列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，再根据新定义把不等式转化为，解不等式即可求解； （）由新定义可把不等式组转化为，求出不等式组的解集，再根据解的情况得到关于的不等式，解不等式即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式及一元一次不等式组解的情况求参数的取值范围，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， 即，； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴不等式即为， 解得； （3）解：∵，， ∴不等式组可转化为， 解得， ∵不等式组只有一个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得， 故答案为：． 41． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算与二元一次方程组、含参数不等式组求解问题综合，理解题中新定义运算法则，掌握二元一次方程组、不等式组的解法是解决问题的关键． （1）先由题中新定义的运算将，转化为，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案； （2）由（1）中的值，结合新定义运算将转化为不等式组求解得到，再根据不等式组恰好有4个整数解，得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ，， 由新定义运算可得， ，， 联立得， 由得：， 解得：； 将代入②得， 解得； ； （2）解：由（1）知， ， 根据新定义运算可得， ①， ②， 解①得； 解②得； 关于的不等式组有解， ， 关于的不等式组恰好有4个整数解， ， 解得． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴，，均成立， 取，，满足， 此时，，即， ∴不一定成立． 2． 【答案】A 【分析】根据题意列不等式即可 【详解】解：∵分钟， ∴总用时需小于8分钟， ∵步行路程为米， ∴小跑路程为米， ∴小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， ∴所列不等式为 ． 3． 【答案】B 【分析】根据不等式仅有两个负整数解，确定的边界范围，列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有两个负整数解， ∴负整数解为和， ∴， 解得． 4． 【答案】A 【详解】解：， 解①得：． 解②得：． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得． 5． 【答案】D 【分析】设有名同学，本图书，根据题意列出方程和不等式组，利用人数和图书数为正整数确定人数，再计算图书总数即可． 【详解】解：设有本图书，名同学，根据题意得 ，， 将代入不等式组，得 化简得 解不等式，得 解不等式，得 ∴ ∵ 为正整数， ∴ 将代入，得 ， 即这些图书有26本． 6． 【答案】B 【分析】分别求解分式方程与不等式组，结合方程解为正数、分母不为0及不等式组有解的条件，综合得到a的取值范围. 【详解】解：解方程， 整理得， 去分母得， 解得 ∵方程的解为正数，且分母不为0， ∴且， 解得且 解不等式组， 解得， 解得 ∵不等式组有解， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 7． 【答案】 【分析】先分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数，统计个数即可． 【详解】解： 解不等式： 解不等式： 不等式组的解集为： 解集内的整数为： ，共个． 8． 【答案】7 【分析】设商品折扣为折，根据利润率不低于建立一元一次不等式，求解得到最低折扣即可． 【详解】解：设商品的折扣为折， ∵要保证利润率不低于，即售价不低于进价， ∴列不等式得：， 化简不等式得：， 解得：， 因此最低折扣是折． 9． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 可得 ， 即 ， ∵ 为奇数， ∴ ． 10． 【答案】解集为， 在数轴上表示： 【详解】解：， 解不等式，去分母得，解得， 解不等式，去分母得，解得， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示：略． 11． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）由绝对值的几何意义即可得出答案； （3）由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案； （4）两个方程相加化简得出，由知，据此得出，解之求出的取值范围，继而可得答案． 【详解】（1）解：根据绝对值的定义得：， 解得； （2）根据绝对值的定义得：或， 解得或； （3）解：， ， 解得， 解集为， ， 解得， 则； （4）解：两个方程相加，得：， ， ， ， ， 解得， 又是正整数， 或． 12． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【分析】（1）根据新运算计算即可； （2）由新运算，结合已知可得，，解得，，代入计算即可； （3）由新运算，结合已知可得的解集只有个整数解，可得，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴，． （2）解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵的解集只有个整数解， ∴的解集只有个整数解， ∴的解集只有个整数解， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $