第1章 三角形 知识清单 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

第1章 三角形 依据浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共七节：1.1认识三角形；1.2定义与命题；1.3证明；1.4全等三角形；1.5三角形全等的判定；1.6线段垂直平分线的性质；1.7角平分线的性质。从三角形的概念、分类与三边关系出发，学习定义、命题、基本事实、定理与证明的逻辑，再系统研究全等三角形的判定方法与性质，以及线段垂直平分线、角平分线的性质定理。 【考点地位】本章是平面几何的入门与奠基章。三角形三边关系、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS）、垂直平分线与角平分线的性质是中考几何证明与计算的核心工具，直接服务于后续四边形、圆等内容的学习，属于必考重点。 【学习目标】①理解三角形及有关概念（边、内角、角平分线、中线、高），掌握三角形三边关系与三角形内角和；②了解定义、命题、基本事实、定理的含义，会区分命题的条件和结论，理解证明的必要性；③掌握两个三角形全等的条件，会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算；④掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理。 【知识结构图】按“章→节→核心内容”三层呈现，节序与教材目录一致。 节次 核心内容 1.1 认识三角形 三角形的概念与表示；按角分类（锐角、直角、钝角三角形）；三角形三边关系；角平分线、中线、高 1.2 定义与命题 定义、命题的意义；命题由条件和结论组成；真命题、假命题、反例；基本事实、定理 1.3 证明 证明的意义；综合法证明的格式（已知、求证、证明） 1.4 全等三角形 全等图形与全等三角形；对应顶点、对应边、对应角；全等三角形的性质 1.5 三角形全等的判定 SSS、SAS、ASA、AAS；两边及其中一边对角不能判定全等；三角形的稳定性 1.6 线段垂直平分线的性质 垂直平分线（中垂线）的概念；性质定理与逆定理；尺规作图 1.7 角平分线的性质 角平分线的性质定理与逆定理；尺规作图 二、核心公式定理 【速查表】集中列出本章必须掌握的公式与定理，复习时逐条对照教材原文。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 三角形内角和 三角形三个内角的和等于180° 求角计算的基础 三角形三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边 判断三条线段能否组成三角形，只需检验较短两边之和是否大于最长边 全等三角形性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等 证明线段相等、角相等的基本依据 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 简写成“边边边” SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 相等的角必须是两组对应边的夹角 ASA 两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等 相等的边必须是两组对应角的夹边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 由ASA推出的定理 垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 逆定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 角平分线性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 三、考点知识梳理 （一）1.1 认识三角形 【三角形】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。三角形用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形记作“△ABC”。 图1 三角形ABC 【分类】三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个内角是直角的三角形是直角三角形；有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形。 【三边关系】三角形的任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否组成三角形，只需检验较短两条线段之和是否大于最长线段。 【三条重要线段】在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线；连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫作三角形的中线；从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高。 （二）1.2 定义与命题 【定义】能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义。 【命题】判断某一件事情的句子叫作命题。命题一般由条件和结论两部分组成，常可写成“如果……那么……”的形式。正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 【反例】要说明一个命题是假命题，通常用举反例的方法。命题的反例是指具备命题的条件，但不具备命题结论的实例。 【基本事实与定理】人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实；用推理的方法判断为正确的命题叫作定理，定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 （三）1.3 证明 【证明】要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。证明一个命题的一般步骤是：画出图形，写出已知、求证，再给出证明。 （四）1.4 全等三角形 【全等图形与全等三角形】能够重合的两个图形称为全等图形；能够重合的两个三角形叫作全等三角形。两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。“全等”用符号“≌”表示。 【性质】全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （五）1.5 三角形全等的判定 【四个判定方法】三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。 【注意】有两边和其中一边的对角分别相等时，两个三角形不一定全等（即“边边角”不能判定全等）。三角形具有稳定性。 （六）1.6 线段垂直平分线的性质 【概念】垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 图2 线段垂直平分线 【性质定理与逆定理】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反过来，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （七）1.7 角平分线的性质 【性质定理与逆定理】角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】三角形，三线段，首尾相接成图形；两边之和大于三，锐角直角钝角分；命题条件加结论，真命题来假命题；全等判定四把尺，SSS、SAS、ASA、AAS；垂直平分线上点，两端距离都相等；角平分线上点，两边距离都相等。 【对比记忆】垂直平分线与角平分线的性质要成对对照：一个是“线上点到线段两端距离相等”，一个是“线上点到角两边距离相等”，二者都有相应的逆定理。 比较对象 内容要点 垂直平分线性质 线上的点到线段两端距离相等；逆定理反之 角平分线性质 线上的点到角两边距离相等；逆定理反之 全等判定SSA 两边及其中一边对角相等，不能判定全等 【易混对比】“两边及其夹角”与“两边及其中一边的对角”要分清：前者（SAS）能判定全等，后者不能。 五、解题方法总结 题型1 三角形三边关系的应用 【解题方法】判断三条线段能否组成三角形，只需把较短两边相加，与最长边比较：较短两边之和大于最长边即可。已知两边求第三边范围时，利用“两边之差＜第三边＜两边之和”。 【数学思想】转化思想：把三边关系转化为不等式比较。 题型2 全等三角形的判定与性质 【解题方法】要证两条线段（或两个角）相等，先看它们分别落在哪两个三角形中，再选择SSS、SAS、ASA、AAS说明这两个三角形全等，最后用“对应边相等、对应角相等”得出结论。注意挖掘公共边、公共角、对顶角、平行线得到的角相等这些隐含条件。 【数学思想】转化思想：把证线段（角）相等转化为证三角形全等。 题型3 垂直平分线与角平分线性质的应用 【解题方法】见到垂直平分线，立刻联想“线上的点到线段两端距离相等”，实现线段的等量代换；见到角平分线，立刻联想“线上的点到角两边距离相等”，必要时向两边作垂线段。 【数学思想】等量代换思想：用性质把分散的线段集中到同一条线上。 六、易错点清单 【清单】逐条对照自查，复习时先判断再对照下表。 常见易错点 正确做法 误把“两边及其中一边的对角相等”当作全等判定（SSA） 只有两边及其夹角（SAS）才能判定全等，SSA不能判定 判断三边关系时三条线段逐对比较，过程繁琐 只需检验较短两边之和是否大于最长边 混淆垂直平分线与角平分线的性质 垂直平分线对“线段两端”，角平分线对“角两边” 找全等三角形的对应边、对应角时错位 记对应顶点写在对应位置上，按顺序找对应元素 忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件 先标图中的公共边、公共角、对顶角，再选判定方法 七、高频考点速记 ①三角形任意两边之和大于第三边；判断时只需较短两边之和大于最长边。 ②三角形三个内角的和等于180°。 ③全等三角形对应边相等、对应角相等；判定有SSS、SAS、ASA、AAS四种。 ④两边及其中一边的对角相等不能判定两个三角形全等。 ⑤线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 ⑥角平分线上的点到角两边的距离相等。 ⑦命题由条件和结论组成；判断假命题用举反例。 八、学情自测 （一）选择题 1．已知三角形的两边长分别为4和9，则第三边长可能是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．3，3，7 C．5，6，10 D．4，4，9 3．三角形的下列线段中，一定能把三角形分成两个面积相等的三角形的是（ ） A．角平分线 B．中线 C．高 D．以上都不对 4．下列语句中，属于命题的是（ ） A．连接A，B两点 B．画一条线段 C．平行四边形的对角线互相平分 D．垂直于同一条直线的两条直线吗 5．下列命题中，是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．钝角大于它的补角 D．若|a|=|b|，则a=b 6．如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 8．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 9．到三角形三边距离相等的点是（ ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 10．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A．三边对应相等 B．两边及其夹角对应相等 C．两角及其夹边对应相等 D．两边及其中一边的对角对应相等 11．如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． （二）填空题 13．若三角形的两边长分别为3和5，且周长为整数，则周长的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 14．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100cm，AB=30cm，AC=25cm，则EF的长为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 15．用一个反例说明命题“任何两个锐角的和都大于90°”是假命题，例如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题 16．点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）∠A=∠D。 17．AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：DE=DF。 九、参考答案 （一）选择题 1．【答案】D 解题步骤： ①第三边x应满足9-4＜x＜9+4，即5＜x＜13，选项中只有6符合。 【知识点睛】根据“两边之差＜第三边＜两边之和”求第三边范围。 2．【答案】C 解题步骤： ①三角形三边关系：5+6＞10，能组成三角形；其余三组均不满足较短两边之和大于最长边。 【知识点睛】只需检验较短两边之和是否大于最长边。 3．【答案】B 解题步骤： ①中线把底边分成相等两段，两个小三角形等底同高，面积相等。 【知识点睛】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分。 4．【答案】C 解题步骤： ①命题是判断一件事情的句子；A、B是作图语句，D是疑问句，都不是命题。 【知识点睛】命题必须是能作出肯定或否定判断的陈述句。 5．【答案】C 解题步骤： ①钝角大于90°，它的补角小于90°，故钝角大于它的补角，是真命题；其余三项均可举反例。 【知识点睛】判断真命题要推理，判断假命题用反例。 6．【答案】C 解题步骤： ①由全等三角形对应角相等，结合图中已知角度，利用三角形内角和或外角性质求解。 【知识点睛】全等三角形对应角相等，再结合三角形内角和求未知角。 7．【答案】D 解题步骤： ①由尺规作图痕迹可知，构造的两个三角形三边分别相等（SSS），故对应角相等，射线即为角平分线。 【知识点睛】尺规作角平分线的本质是构造SSS全等三角形。 8．【答案】D 解题步骤： ①到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故到三顶点等距的点是三边垂直平分线的交点。 【知识点睛】垂直平分线性质的逆定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故到三顶点等距的点是三边垂直平分线的交点。 9．【答案】A 解题步骤： ①到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，故到三边等距的点是三条角平分线的交点。 【知识点睛】角平分线性质的逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，故到三边等距的点是三条角平分线的交点。 10．【答案】D 解题步骤： ①三边对应相等是SSS，两边及其夹角对应相等是SAS，两角及其夹边对应相等，都能判定两个三角形全等； ②两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定两个三角形全等，故选D。 【知识点睛】三角形全等只有SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，两边及其中一边的对角相等（SSA）不能判定全等。 11．【答案】B 解题步骤： ①由作图痕迹可知，所作直线是线段的垂直平分线；根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，结合三角形内角和求解。 【知识点睛】线段垂直平分线的作法与性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 12．【答案】C 解题步骤： ①由全等三角形对应角相等，结合图中已知角度，利用三角形内角和定理求解。 【知识点睛】全等三角形对应角相等，再用内角和定理求未知角。 （二）填空题 13．【答案】15 解题步骤： ①第三边x满足5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8；周长为3+5+x=8+x，x为整数且最大取7，故周长最大为8+7=15。 【知识点睛】先用三边关系求第三边范围，再在范围内取使周长最大的整数。 14．【答案】45cm 解题步骤： ①△ABC≌△DEF，对应边相等，EF=BC。△ABC周长=AB+AC+BC=100，故BC=100-30-25=45cm，即EF=45cm。 【知识点睛】全等三角形对应边相等，先由周长求出BC即得EF。 15．【答案】例如取两个锐角分别为20°和30°，它们的和为50°＜90° 解题步骤： ①举一个反例：两个锐角20°和30°，和为50°，小于90°，说明原命题是假命题。 【知识点睛】判断假命题只要举出一个符合条件但结论不成立的反例。 （三）解答题 16．【答案】（1）△ABC≌△DEF；（2）∠A=∠D。 解题步骤： ①因为BE=CF，所以BE+EC=CF+EC，即BC=EF。 ②在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以△ABC≌△DEF（SSS）。 ③由全等三角形对应角相等，得∠A=∠D。 【知识点睛】利用BE=CF推出BC=EF，是“线段和差”转化全等条件的常用技巧。 17．【答案】DE=DF。 解题步骤： ①因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC； ②根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得DE=DF。 【知识点睛】见到角平分线向两边作垂线段，直接用角平分线的性质得到垂线段相等。 学科网（北京）股份有限公司 $