专题03 图形的对称与等腰三角形（11高频&4易错&8重难&5模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

专题03图形的对称与等腰三角形 目录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(4类) 公式清单(1类) 辨析清单(3类) 题型类 高频题型清单(11类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(8类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01图形的轴对称 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形成轴对称，这条直线是对称轴。 区别：轴对称图形是一个图形；成轴对称是两个图形的位置关系。 3.轴对称的性质 ①成轴对称的两个图形是全等图形； ②对称轴垂直平分连结两个对应点的线段； ③对应线段相等，对应角相等。 4.作图：作点、线段、多边形关于已知直线的对称图形。 5.模型：将军饮马(利用轴对称，转化线段，求最短路径)。 知识点02等腰三角形 1.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。 2.轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 3.等边三角形定义：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 4.尺规作图：已知线段，作等腰三角形。 知识点03等腰三角形的性质定理 1.定理1(等边对等角)：等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。 2.定理2(三线合一)：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3.等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，且每一个内角都等于60°；等边三角形有3条对称轴，任意边上都满足三线合一 知识点04等腰三角形的判定定理 1.判定定理(等角对等边)：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言：在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。 2.等边三角形的判定 ①三边相等的三角形是等边三角形； ②三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 3.常用模型：角平分线+平行线，可证等腰三角形。 考点01图形的轴对称 考点内容：轴对称图形、两个图形成轴对称的概念；轴对称的性质；作对称图形；将军饮马最短路径模型。常见考法： ①判断一个图形是否为轴对称图形，找出对称轴； ②利用轴对称性质求线段长度、角度； ③画出点、线段、简单图形关于直线的对称图形； ④利用轴对称求解将军饮马最短路径问题。 考点02等腰三角形 考点内容：等腰三角形、等边三角形定义；等腰三角形的轴对称性。 常见考法： ①识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角； ②判断三角形是否为等腰三角形； ③确定等腰、等边三角形对称轴数量； ④尺规作图作等腰三角形。 考点03等腰三角形的性质定理 考点内容：等边对等角；三线合一；等边三角形内角性质。 常见考法： ①利用等边对等角求等腰三角形内角； ②利用三线合一进行线段、角度计算与证明； ③等边三角形角度相关计算； ④等腰三角形边角综合计算。 考点04等腰三角形的判定定理 考点内容：等角对等边；等边三角形的判定方法。 常见考法： ①利用等角对等边证明两条线段相等； ②根据条件判定一个三角形是否为等边三角形； ③角平分线+平行线模型证明等腰三角形； ④选择合适条件判定等腰(等边)三角形。 一、等腰三角形 1.等边对等角 在△ABC中，若，则 2.等角对等边 在△ABC中，若，则 3.等边三角形：三个内角∠A=∠B=∠C=60° 辨析01等腰三角形边、角分类讨论遗漏 等腰三角形分腰和底边、顶角和底角，题目没有指明边长是腰还是底，角度是顶角还是底角，必须分类讨论，同时要满足三角形三边关系。 易错表述：已知等腰三角形两边为2.4,直接认为三边长是2,2,4,忽略2+2<4,不能构成三角形；已知一个内角是70°,直接默认是底角，漏掉顶角为70°的情况。 辨析02“三线合一”使用条件理解误区 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合，只适用于等腰三角形，且必须是底边上的高、中线，顶角的平分线。 易错点：普通三角形也乱用三线合一；等腰三角形腰上的高、中线不满足三线合一。 辨析03轴对称图形与两个图形成轴对称概念混淆 轴对称图形：一个图形自身沿直线折叠后两边重合；两个图形成轴对称：两个独立图形沿直线折叠能够重合。易错表述：把两个图形成轴对称说成是轴对称图形；认为全等图形一定成轴对称。 【题型一】轴对称图形的识别 【例1】（26-27八年级上·重庆·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，符合题意． 【变式1-1】（26-27八年级上·全国·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该选项不是轴对称图形，故选项A不符合题意； B、该选项不是轴对称图形，故选项B不符合题意； C、该选项是轴对称图形，故选项C符合题意； D、该选项不是轴对称图形，故选项D不符合题意 【变式1-2】（26-27八年级上·浙江·期中）下列四个图案中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，不符合题意． 【变式1-3】（26-27八年级上·江西·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 【变式1-4】（25-26七年级下·陕西西安·期中）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【题型二】根据成轴对称图形的性质判断结论是否正确 【例2】（26-27八年级上·福建·期中）已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 【变式2-1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，，故A，C正确； ∴，故B正确； 根据已知条件无法得到，故D不一定正确． 【变式2-3】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可．， 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，，， 故选项A、B、C判断正确，不符合题意，选项D判断错误，符合题意， 故选：D． 【变式2-4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线和直线的交点不一定在上 B． C．与面积相等 D．垂直平分， 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任一点， ∴，与面积相等，垂直平分，， 故选项B，C，D均正确，不符合题意； 直线和直线关于直线对称，故两条直线的交点一定在上；故A错误，符合题意； 故选A． 【题型三】根据成轴对称图形的性质求周长 【例3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长． 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，直线交于点D，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，三角形的周长，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴． 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．先根据轴对称的性质得出，，进而得出，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，， ∴，， ， ∴的周长 ． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴的周长； 故选B． 【题型四】求对称轴的条数 【例4】（25-263八年级下·江苏苏州·期中）下列四个图形中，对称轴数量最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念，分别找出各图形的对称轴条数，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：A、该图形是等边三角形结构，有条对称轴； B、该图形不是轴对称图形，有条对称轴； C、该图形是正五边形与五角星的组合，有条对称轴； D、该图形是圆与正六边形的组合，有条对称轴， 对称轴数量最多的是D． 【变式4-1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南平顶山·期中）下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照对称轴的定义，针对每个选项的图形确定其对称轴的条数，最后选出对称轴条数最多的图形所对应的选项． 【详解】解：对于A选项：该图形有1条对称轴； 对于B选项：该图形有1条对称轴； 对于C选项：该图形有5条对称轴； 对于D选项：该图形有3条对称轴； 故图形对称轴条数最多的是5条，即C选项． 【变式4-3】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 【题型五】根据等腰三角形的定义求周长 【例5】（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知a，b，c是等腰三边长，满足，则周长是______． 【答案】19 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出，的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，根据三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，计算得到周长． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形，分两种情况讨论： ①若腰长为，则三边长为，，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ②若腰长为，则三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形此时周长为， ∴的周长为． 【变式5-1】（25-26七年级下·北京海淀·期中）如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值和平方数的非负性求出和的值，再分情况讨论腰长，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 若是腰长，三角形三边长为，，，，满足三角形三边关系，此时的周长为； 若是底边长，三角形三边长为，，，，满足三角形三边关系，此时的周长为， 综上，的周长为或． 【变式5-2】（25-26七年级下·河北承德·期中）已知等腰三角形的一条边长是4，另一条边长是7，那么这个三角形的周长是__________． 【答案】15或18 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分为腰长和底边两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否组成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当为腰长时，三角形的三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为， 当为底边时，三角形的三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为， 综上所述，这个三角形的周长是或． 【变式5-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 【答案】12 【分析】利用配方法把已知式子化为平方和的形式，利用非负数的性质求出a、b的值．然后根据等腰三角形的定义进行分类计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当a为腰时，，不能构成三角形； ②当b为腰时，该三角形的周长为：． 故答案为：12． 【题型六】根据“等边对等角”求角度 【例6】（26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，，，，则的度数为______． 【答案】/72度 【分析】设，由等边对等角和三角形内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，，若，则的度数是______． 【答案】/25度 【分析】利用“等边对等角”和三角形外角的性质可以得到，，从而解得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【变式6-2】（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，已知，点在上，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由可得，，由等腰三角形的性质可得，结合三角形的内角和定理可得，由等量代换可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ∵， ∵，， 又∵， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，则_______°． 【答案】40 【分析】先结合等边对等角以及三角形的外角性质，得，再运用三角形内角和性质为列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 则， 在中，， 即， 解得． 【题型七】根据等边三角形的性质求解 【例7】（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，和均为等边三角形，连接，其中交于点F．若恰好平分，且，则的度数为___________． 【答案】 【分析】首先根据角平分线的定义确定，再结合等边三角形的性质证明，进一步证明，由全等三角形的性质可得，然后由三角形外角的定义和性质求的值即可． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26八年级上·广东珠海·期中）是等边三角形，是中线，延长到点，使．则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质． 由为等边三角形，可求出，由是等腰三角形求出，即可求出的度数． 【详解】解：为等边三角形，为中线， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 【答案】/105度 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，则，根据即可建立方程求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； 若是等边三角形．则， ∴，解得； 故答案为： 【题型八】根据“等角对等边”证明边相等 【例8】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，是的平分线，，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 是等腰三角形，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出，从而得证； （2）由已知可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-1】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，平分，，连接． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：是等腰三角形，理由如下： 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以为等腰三角形； (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义以及平行线的性质： （1）根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，即可解答； （2）根据等腰三角形的性质可得的度数，再结合平行线的性质可得的度数，的度数，再由角平分线的定义可得的度数，从而得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以． 【变式8-2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，使点，分别落在点，处，交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2) 证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【分析】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）、等腰三角形的判定． （1）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，即可得出答案； （2）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，得出，证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）略 【变式8-3】（25-26八年级上·天津·期中）如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即；再根据等边对等角即可证明结论； （2）先求得，再证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解∶∵，， ∴，                  ∵，， ∴是等边三角形，    ∴． 【变式8-4】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图①，已知是的角平分线，、分别在的延长线上，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)如图②，点是线段上的动点，垂足为，设．求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵， 且， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此利用三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质可证明，由角平分线的定义可得，据此可证明，则，即是等腰三角形； （3）可求出；则由三角形外角的性质得到，进而由角平分线的等腰得到，据此根据三角形内角和定理求出的度数，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）略 （3）略 【题型九】根据“等角对等边”证明线段相等 【例9】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且， (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵是等边三角形，是的边上的中线， ∴， 由（1）可知： ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边对等角，三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）根据三线合一，以及等角对等边即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （2）略 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，是的平分线，且． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据平行结合角平分线得到等腰三角形进行论证即可； （2）根据角平分线结合平行可得，进而得到，最后利用三角形内角和求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 【变式9-2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，点为垂足，于点，的延长线交于点，且． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 同理． 因为， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以． 【分析】此题考查了同角的余角相等，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据同角得余角相等得到即可； （2）根据同角得余角相等得到，然后等量代换得到，然后证明出，得到，即可证明出． 【详解】（1）如图所示， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，即； （2）略 【变式9-3】（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：是等腰三角形的底边上的高， ， ， 根据平行线的性质得，， ， 是等腰三角形； (2) 证明：是等腰三角形的底边上的高， ∴， ， ， ， ， ， 由（1）得是等腰三角形； ∴， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答． （2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 【题型十】利用“三线合一”进行求解 【例10】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，平分，点是的中点，连接，若的面积为4，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线有关的面积问题，先根据三角形面积公式，由点E是的中点得到，再根据等腰三角形的性质得到，则利用，所以． 【详解】解：∵点是的中点，的面积为4， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 【变式10-1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分交于点交于点，若，则的长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的性质．根据三线合一可得是边上的中线，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等腰直角三角形中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接，若的面积为，则的面积为________ 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形的面积，解题的关键是根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据等底同高的三角形面积相等求出的面积等于面积的一半． 【详解】解：，平分， ， ，， ， ， . 故答案为：． 【变式10-3】（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，点E是边上一点，连接，且，过点E作于点D，若的周长为20，，则的周长为__________． 【答案】26 【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 由题意可知，，结合得到的周长等于的周长加上的长，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∵的周长为20， ∴， ∴的周长． 故答案为：26． 【题型十一】电子钟的镜面对称 【例11】平面镜中的电子钟示数为，则实际时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，但数字和在镜中成像不变，且数字序列左右颠倒后不变，因此实际时间与镜中示数相同． 【详解】解：平面镜中的电子钟示数为“”的数字均为或，这些数字在平面镜中成像不变，且数字序列左右颠倒后仍为1，0，0，1， ∴实际时间为， 故选：A． 【变式11-1】（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 【变式11-2】（25-26八年级上·云南昆明·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 【变式11-3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 【变式11-4】（25-26八年级上·山东临沂·期中）时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 【题型一】等腰三角形边长求解忽略分类讨论与三边关系检验 【例1】（26-27八年级上·江苏淮安·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的腰长为________． 【答案】 【分析】等腰三角形未明确腰长，需分两种情况讨论，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合条件的情况即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，，． ∵，不满足三角形两边之和大于第三边． ∴此种情况不能构成三角形，舍去． 当腰长为时，三角形三边长为，，． ∵，满足三角形三边关系． ∴此种情况可以构成三角形，该等腰三角形的腰长为． 易错警示 已知两边求腰、底时，要分两种情况讨论，求出边长后，必须用三角形三边关系验证，舍去不能构成三角形的无效解。 【变式1-1】（26-27八年级上·福建厦门·期中）用长度为的绳子围成一个等腰三角形，若其中一边为，则该三角形的底边长为______________ 【答案】或 【分析】 分两种情况讨论，即为腰长和为底边长，再结合三角形三边关系逐一验证即可得到结果 【详解】解：分两种情况讨论： ①若为等腰三角形的腰长， 则底边长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系的要求； ②若为等腰三角形的底边长， 则腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系的要求； 综上，该三角形的底边长为或． 【变式1-2】（26-27八年级上·浙江金华·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，则该等腰三角形的底边长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：设等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分， ∴分2种情况： ①当时，则， ∴， ∴底边长为； ②当时，则， ∴， ∴底边长为； 综上：等腰三角形的底边长为或. 【变式1-3】（26-27八年级上·江苏南京·期中）已知的两条边长分别为2和5，若为等腰三角形，则第三边c的值是______． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形的性质讨论：当以2为腰时，根据三角形三边关系可得结论；当以2为底边时，再根据三角形三边关系解答即可． 【详解】解：当以2为腰时，三边长为2，2，5， 根据三角形三边关系，可得， 所以不符合题意； 当以2为底边时，三边长为2，5，5， 根据三角形三边关系，可得， 所以符合题意， 则第三边c的值为5． 【题型二】等腰三角形角度计算忽略顶角、底角双解限制 【例2】（26-27八年级上·湖南长沙·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】未明确已知角是顶角还是底角，需分两种情况计算． 【详解】解：分两种情况： ①当角为底角时，顶角为； ②当角为顶角时，顶角为； 这个等腰三角形的顶角为或． 易错警示 已知一个内角求剩余两角，要先判断该角是顶角还是底角；底角一定是锐角，不能≥90°，避免算出违反三角形内角和的错误答案。 【变式2-1】（2026·江苏镇江·中考真题）如图，，是等腰直角三角形，，顶点G，E分别在，上，交于点H．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰直角三角形性质求出，结合平角定义求出，再利用平行线性质求解． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ，点在同一直线上， ， ， ∴． 【变式2-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据外角性质求出相邻内角的度数，再分该内角为等腰三角形顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理计算底角即可. 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴与该外角相邻的内角度数为. 分两种情况讨论： ①若角为等腰三角形的顶角，则底角为，符合三角形内角和定理. ②若角为等腰三角形的底角，此时顶角为，符合三角形内角和定理. ∴等腰三角形的底角为或. 【变式2-3】（2026·河南平顶山·二模）如图，直线，将等腰的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作，得出，确定，，结合图形即可求出结果 【详解】解：过点A作， ∵， ∴， ∴， ∵等腰， ∴， ∴， ∴ 【题型三】格点画等腰三角形分类不全导致漏解 【例3】（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在方格中，，两点都在小方格的格点上且坐标分别是，，若点也在格点上，且是等腰三角形，则点的坐标是_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．分为底和为腰两种情况考虑，画出图形，即可得出点的坐标． 【详解】解∶如图所示， 当以为底时，点C的个数有1个，点的坐标是， 当以为腰时，点C的个数有2个，点的坐标是或， 故答案为∶或或． 易错警示 要分两类讨论：已知点为顶角顶点、已知点为底角顶点，容易只考虑其中一种情况，漏掉符合条件的点。 【变式3-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 【变式3-2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知、是两个定格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是_________． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有8个， 故答案为：8． 【题型四】镜面对称直接读取镜面图像，忽略左右翻转 【例4】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 易错警示 镜面变换为左右轴对称，不是上下翻转；不能直接读出镜子里看到的数字、时刻，可将纸面左右翻转（透光看背面）得到真实结果。 【变式4-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，认真观察，注意技巧是解题的关键． 利用镜面对称的性质，大小和形状保持不变，方向相反，求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26七年级下·江西抚州·期中）汽车司机在观后镜中看到后面一辆汽车的车牌号为，则这辆车的实际牌照是_____． 【答案】18025 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际车牌号是：18025， 故答案为：18025． 【变式4-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字，也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看，关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平线的对称即可． 【详解】解：实际车牌号是， 故答案为：． 【题型一】画轴对称图形 【例1】（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线m的轴对称图形； (2)在直线m上作一点P，使得． 【答案】(1)解：如图即为所作． (2)解：如图即为所作． 【分析】（1）先根据轴对称的定义画出点，，，再顺次连接即可； （2）作线段的垂直平分线，交直线于点即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】如图，，，，是直线上的四点，，，． (1)将沿直线翻折得到，用直尺和圆规在图中作出；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)如图即为所求， (2)证明：如图，设与交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， 由（1）可得， ． 【分析】（1）分别以点B和C为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别连接即可； （2）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【变式1-2】（26-27八年级上·湖北·期中）操作发现： 如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标为（____，____）； (2)在轴上找点，在轴上找点，使得最小，在直角坐标系中作出点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)将向右平移五个单位长度，则扫过的面积是________（直接写出结果）． 【答案】(1)如图，即为所求，的坐标为； (2)如图，点，点即为所求． (3)21 【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）确定点、、的坐标，并顺次连接即可． （2）属于“两定点、两动点、两定直线”的最短路径问题，要求最小，根据轴对称性质，需分别作点B关于x轴的对称点和点A关于y轴的对称点，连接，该线段与x轴、y轴的交点即为所求的D、E． （3）分析平移扫过的图形形状，该图形为一个梯形，其上底为平移距离，下底为平移距离加上原三角形底边长，高为三角形的高，利用梯形面积公式求解． 【详解】（1）解：点关于x轴对称，根据对称性质，横坐标仍为，纵坐标变为；同理可得、；顺次连接、、即可得到． （2）略 （3）如图，向右平移五个单位长度，得到， 21 观察图形可知，扫过的区域是一个梯形． 上底：线段，长度等于平移距离，即5； 下底：线段（即从最左端点B到最右端点），B点横坐标为，C点横坐标为，平移5个单位后横坐标为4，所以下底长度为； 高：三角形的高，即A点纵坐标与边纵坐标之差． 所以扫过的面积． 【变式1-3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移4个单位长度后的； (2)作出关于直线对称的，再作出关于直线对称的，观察和发现，可以由经过_______变换得到（填：平移，旋转，对称），平移的方向是_______，平移的距离是_______； (3)在直线上找一点，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1) (2)， 平移，向右，10个单位长度 (3) 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据轴对称的特点确定点的位置、继而确定点的位置，再描出并顺次连接成三角形，继而观察发现可以由经过平移变换得到，即可解答； （3）连接，与直线m的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；图略． （2）解：如图所示，、即为所求；图略． 观察和发现，可以由经过平移变换得到，平移的方向是向右，平移的距离是10个单位长度； （3）解：如图所示，点P即为所求；图略． 【题型二】设计轴对称图案 【例2】如图①，7个相同的涂色方块组成了一幅轴对称图案．请在图②，③中，用7个涂色方块设计出另外两种不同的轴对称图案． 【答案】（答案不唯一） 【分析】7是奇数，必有1格在对称轴上，剩下6格分成3对，每对关于对称轴对称，满足这个条件就能画出不同的轴对称图案． 【详解】略 【变式2-1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，在正方形网格中已有个小方格涂成了阴影，请从其余的小方格中选一个涂成阴影，使整个阴影图形成为轴对称图形，用种不同的方法在图中补全图形，并画出相应的对称轴． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念作图即可． 【详解】略 【变式2-2】（25-26七年级下·江西萍乡·期中）如图，每个小三角形都是等边三角形，请你分别在下面四个图中再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形． 【答案】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此涂色即可． 【详解】略 【变式2-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有如下三个由阴影部分构成的图案． (1)请写出以上三个图案都具备的3个特征：①__________；②___________；③__________． (2)请你借助下面的网格设计出三个由阴影部分构成的图案，使它们也具备你所写出的上述特征． 【答案】(1)①都是轴对称图形  ②面积都为4  ③对称轴都有4条（答案不唯一） (2) 如图所示． 【分析】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． （1）观察发现三个图形都是轴对称图形，对称轴的数量相等，且面积相等； （2）根据三个特征解决问题即可． 【详解】（1）解：①都是轴对称图形；②面积都为；③对称轴都有条． （2）略 【变式2-4】（25-26七年级上·全国·寒假作业）如图（1）、（2）分别是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中部分小正方形涂黑，请你用两种不同的方法，分别在两个图中再涂黑两个空白的小正方形，使它（涂黑部分）成为轴对称图形． 【答案】 如图所示，即为所作图形： 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，准确分析作图是解题的关键． 根据轴对称图形的性质先确定一个对称轴，再找出阴影部分的图形的关键点的对称点，画出图形即可． 【详解】略 【题型三】等腰三角形尺规作图 【例3】（26-27八年级上·四川自贡·期中）如图，已知线段，，求作，使，．（要求保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】如图所示，即为所求作的三角形． 【分析】本题要作满足，的等腰三角形，先作出长度为的底边，再分别以、为圆心，为半径画弧，得到两弧交点，连接各顶点即可得到符合要求的三角形，利用基本尺规作图方法即可完成． 【详解】略 【变式3-1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，． 求作：等腰，使得点，分别在，上，且底边上的高为． 【答案】如图，即为所求； 【分析】先作的平分线，再在角平分线上截取，再过作角平分线的垂线，交于即可. 【详解】解：作图依据：由作图可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求． 【变式3-2】作图题 (1)如图（1），已知和线段a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的一个内角等于，腰长等于a． (2)在（1）中，如果把变成图（2）中的，其他条件不变呢？ 【答案】(1)和都是所求三角形 (2)是所求三角形 【分析】（1）这样的等腰三角形有两种情况：①锐角为等腰三角形底角时：作法：作，截取．以为圆心，为半径画弧交于点，连接，则即为以为底角，为腰的等腰三角形．②锐角为等腰三角形顶角时：作法：作，在角的两边上分别截取．连接，即为以为顶角，为腰的等腰三角形． （2）这样的等腰三角形只有一个，此时是等腰三角形的顶角．作法：作，分别截取．连接，即为以为顶角，为腰的等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-3】（2026·陕西咸阳·二模）如图，已知菱形，请用尺规作图法在上方求作一点，连接、，使得是以为底边的等腰三角形，且边上的高等于菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，并在垂直平分线上截取的长即可. 【详解】解：如图，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线即为的垂直平分线，以该垂直平分线与的交点为圆心，的长为半径画弧，在上方交该垂直平分线于点,连接、，点即为所求． 【题型四】图形的轴对称解答题综合（基础版） 【例4】（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是上的一点，，是上的两点，将和分别沿，折叠后，得到四边形． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，，， ， ． (2)． 【分析】（1）根据折叠可知，，，由此即可证明； （2）根据折叠可知，，根据对应角相等及三角形外角即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，得，， ，，， ， ， ． 【变式4-1】已知平面内四点，，，，，点在线段上移动，点在线段上移动，点在线段上移动，将以为折痕折叠，点落在处，将以为折痕折叠，点落在处． (1)如图①，点，，在同一直线上，，求的度数； (2)如图②，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和求出的度数，由折叠的性质求得，，再由互补关系即可求解；　 （2）由折叠可得，由平角可求得，进而求得的度数，再由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：，， ． 由折叠可得，， ，． ， ， ． （2）解：由折叠可得，， ． ，且， ， ． ， ． 【变式4-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，三角形内角和，求解即可； 【详解】解：∵关于的对称线段是， ∴． ∵， ∴， ∵关于的对称线段是， ∴， ∴， ∴， 又∵点落在所在的直线上，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-263七年级上·江苏淮安·期中）如图，C为长方形纸片边的中点，B为长方形纸片边上一个动点（不与点A、D重合），将长方形纸片的一角沿着所在直线折叠，使顶点A落在点处，是的平分线． (1)与有怎样的数量关系：________（小于、等于或大于） (2)当时，________° (3)当点B在纸片边上沿方向运动时，的度数将________（变小、不变、变大），的度数________（变小、不变、变大） 【答案】(1)等于 (2)90 (3)变小；不变 【分析】（1）根据折叠的性质进行解答即可； （2）先根据折叠求出，再根据角平分线定义求出，最后根据计算即可； （3）根据运动可以得出当点B在纸片边上沿方向运动时，的度数将变小；根据折叠得出，根据角平分线定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：根据题意可得：当点B在纸片边上沿方向运动时，的度数将变小； 根据折叠可得：， 即， ∵平分， ∴， ∴， 即的度数保持不变． 【题型五】图形的轴对称解答题压轴 【例5】（25-26七年级下·江西景德镇·期中）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则； (2)折叠长方形纸片，，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求证：； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，直接写出的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2)①证明：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②； ③ 【分析】（1）由折叠的性质可得平分，由此计算即可得出结果； （2）①由折叠的性质可得，，再结合，计算即可得出结果；②由折叠的性质可得，，再求出，即可得出结果；③由折叠的性质可得，，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得平分， ∴； （2）解：①略； ②由折叠的性质可得，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为（用含n的式子表示）． 【答案】(1)28 (2)①；②；③ 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题． 熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【详解】（1）解：， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，， ∴当点在上时， ； ②由条件可知， 由折叠知，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ，， ∴， ∴由折叠得，． 【变式5-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）材料阅读：美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏，我们知道：长方形的四个角大小都是，通过折叠我们可以在折痕的另一侧，得到一个和原来的角大小相等的新角．现在将长方形卡纸沿着线段折叠，如图1，点C落在了处． 通过上面的介绍，我们很容易发现：新角和原来的角相等，新角和原来的角也相等．请依据上述材料回答下列问题： (1)如图1，若，求． (2)如图2，若沿着再次折叠卡纸，点A恰好落在上的处，求． (3)如图3，与交于点N，沿着再次折叠卡纸，点A落在了M处，若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查直角和角度之间的和差关系， 根据题意得，结合直角和角度之间关系即可求得答案； 由题意得和，结合直角和角度之间关系即可求得答案； 由题意得和，利用直角可得，结合即可求得答． 【详解】（1）解：由题意得， ∵，， ∴； （2）由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）由题意得，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】 （1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）反射光线即为所求： （3）； （4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 【题型六】判断三角形的形状 【例6】（26-27八年级上·江西宜春·期中）已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（     ） A．直角三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．三边都不相等的三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的性质确定a，b，c的值，结合等腰三角形的定义即可获得答案． 【详解】解：∵，且， ∴，，， ∴，，， ∴此三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 【变式6-1】（26-27八年级上·河北邯郸·期中）已知的三边长分别为1，5，，且周长为整数，则的形状是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再根据周长为整数得到的具体值，最后根据三边长判断三角形的形状. 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即. ∵的周长为，且周长为整数， ∴为整数，可得. ∴的三边长为，有两边相等，因此是等腰三角形. 【变式6-2】（25-26八年级下·四川成都·期中）若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解与三角形形状判断，先对已知等式因式分解，再结合三角形三边关系得到边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】∵是的三边长， ∴，即， ∵ ∴ ∵ ∴，即 ∴一定是等腰三角形 故选：． 【变式6-3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）若为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为0的条件，以及等腰三角形的定义，根据分式值为0时分子为0、分母不为0，结合三角形的分类判断三角形形状即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， ∴，且， ∴此三角形有两边相等，为等腰三角形． 故选B． 【题型七】等腰三角形的性质与判断解答题综合（基础版） 【例7】（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，最后求出结果即可； （2）根据，结合的周长为，，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ． （2）解：∵， 的周长．   ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26七年级下·四川达州·期中）已知，点E为上一点，且，、的延长线交于点F，连接， (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，G是的中点，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ∵， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证，再根据等角对等边可证结论成立； （2）连接、，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证，是等腰直角三角形，得到，利用可证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】（1）略 （2）解：连接、， ∵，， ， ， ， ，， ∴， 由（1）有，点是的中点， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ， ， ∴ ∵， ， ∴， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ． 【变式7-2】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若E为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由三线合一定理可得，再由同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可证明，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，为边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）证明：过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式7-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，D是边上一点，且，过点A作于点E，过点C作于点G，与交于点H，延长交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案； （2）证明．，结合垂直与内角和定理可得，结合，进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式7-4】（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，中，，点D是边的中点，点E在边的延长线上，连接交于点F，连接，且． (1)若，求的度数； (2)证明：． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角形相关的角度计算、证明． （1）先求出，由可知，，再根据 ，求得的度数； （2）先证，由，推出，从而证得，，由点D为中点，同理可证，，最后在中根据内角和定理，结合，，证得． 【详解】（1） 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数为； （2）略． 【题型八】等腰三角形的性质与判断解答题综合（压轴版） 【例8】（26-27八年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在中，，点D是边上一个动点（不与点A、B重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，使． (1)若，，求的度数． (2)若，，．求与的数量关系． (3)连接，F是中点，连接，，如图2，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由、得，故．由得，三角形的外角定理得，从而． （2）同理，．由得；由三角形的外角定理，联立得． （3）延长至使，延长至使．通过三组全等（、、）推出，再由得，故．其中的核心等式由与三角形的外角定理共同保证：． 【详解】（1）解：∵，，， ，则， ， ， ， （2）解：∵，，， ，则， ， ， ， ； （3）解：延长到H，使，连接、，延长到点G，使，连接、， ， ，， ∴． 在和中， ， ， ， ∵F是中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 【变式8-1】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）根据题意解答下列问题． (1)【问题发现】如图1，和均为等边三角形，连接，，延长，交于点，则与之间的数量关系是_____，的度数是_____°； (2)【拓展探究】如图2，和均为等腰三角形，，，，点，，，在同一直线上，为的中线，连接，若，求的度数． 【答案】(1)，60 (2) 【分析】（1）根据“”，可得，即可得到，，再根据三角形外角的性质，可得，从而可得； （2）同（1）可得，，根据等量代换，得，再根据中线的定义，可得，从而，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，与相交于点， 和均为等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，与相交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点，，，在同一直线上， ， ， ，， ， 为的中线， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， 则的度数为． 【变式8-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，为等腰直角三角形，，，点D为平面内一点，连接． (1)如图1．当点D在边上运动时，过点C在右侧作，且，连接，求证：； (2)如图2，当点D在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形．且．延长交于F，证明：F为线段的中点； (3)如图3，若点D为中点，连接，过点B作的平行线，E为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于G，连接，，当线段最短时，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴； (2)证明：如图2，连接，过点A作，交的延长线于点H， ∵是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为线段的中点； (3) 【分析】（1）先证明，再利用即可证明； （2）连接，过点A作，交的延长线于点H，证明，得到，，则可证明，证明是等腰直角三角形，得到，，则可证明，推出，则为线段的中点； （3）证明，得到，证明，当时，最短，证明是等腰直角三角形；延长交于点O，过点O作交于点M，连接，证明是等腰直角三角形，得到，则，证明，得到；证明，得到；过点C作交的延长线于点N，证明，得到，则可证明；再证明，得到，则，即． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F在射线上运动， ∴当时，最短， 如图所示，当时，则是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 如图所示，延长交于点O，过点O作交于点M，连接， ∵点D为的中点，， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，过点C作交的延长线于点N， 同理可证明， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）按要求完成下面各题． (1)如图①，在中，，，是上一点，过点作交延长线于点，连接，求的度数； 小硕的解题思路是，从出发，过点A作，通过构造全等三角形，证明等腰直角三角形求解，请你根据小硕的思路或自己的想法，写出解题过程． (2)如图②，在四边形中，，且，，连接对角线，，过点作交于点，为上一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）过点作交于点，证明得到，然后利用等腰直角三角形的判定与性质可得结论； （2）过点作交延长线于点，证明得到，，，进而可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，随后证明，平分，再利用等腰三角形的三线合一得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴即． 【变式8-4】（25-26七年级下·辽宁本溪·期中）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或． 【分析】（1）由垂直得，结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点E作交延长线于点N，证，得到，，再证即可得到结果； （3）分两种情况求出结论即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点E作交延长线于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，当点D在射线上时，连接交直线于M，作交的延长线于N， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如下图，点D在射线上，作交的延长线于G， 同理可证：， ， ， ， ，即， 设，则， ， ， ， ， 综上所述，或． 【题型一】根据成轴对称图形的性质中最值问题 1.定直线、定点、动点：明确动点在哪条直线上运动，确定两个定点。 2.作对称点：选择其中一个定点，作它关于动点所在直线的对称点(利用轴对称性质)。 3.连线找交点：连接对称点与另一个定点，这条线段和动点所在直线的交点，就是取到最值时动点的位置。 4.转化线段：由轴对称性质，对称点到动点的距离=原定点到动点距离，把折线段之和转化为两点之间线段。 5.计算求值：依据“两点之间，线段最短”得到最小值，结合勾股定理等计算线段长度。 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查作轴对称，两点之间，线段最短，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 作E关于的对称点F，作关于的对称，连接根据两点之间，线段最短，得点D为的交点，继而，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：作E关于的对称点F，作关于的对称，连接如图，有 ，点F在上，，，， ∴，根据两点之间，线段最短，得点D为的交点． 当时，根据垂线段最短，此时取得最小值． ∵， ∴， 即， 解得， 则的最小值为． 故答案为：． 【变式1-1】（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当三角形的面积是，时，的最小值等于__________． 【答案】 【分析】在上取一点，使，可证，根据全等三角形的性质可知，过点作，根据垂线段最短可得，利用三角形的面积公式求出的值即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，在上取一点，使， 平分， ， 在和中， ， ， ， 过点作，则， 三角形的面积是，， ， ， ， 的最小值是． 【变式1-2】（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，，点、分别为、上的动点，连接、、，当的周长最小时，的度数为________°． 【答案】 54 【分析】利用对称点法求周长最小值：分别作点关于、的对称点、，连接，其与、的交点即为周长最小时的、，结合已知，利用对称性质与三角形内角和推导得出的度数． 【详解】解：  作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接， 这条线段与、的交点就是周长最小时对应的、点， 此时的周长==，为最短值． 根据轴对称的性质：，． 在中，， 因此． ． 【变式1-3】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，两点关于直线对称，，的周长是16，若点在直线上，则的最大值为________． 【答案】6 【分析】由对称得直线垂直平分，由垂直平分线的性质得，进而求出，则，当，B，C三点共线时等号成立． 【详解】解：，两点关于直线对称， 直线垂直平分， ， 的周长是16，， ， ， 点在直线上， ， ，当，B，C三点共线时等号成立，如图： 的最大值为6． 【变式1-4】（26-27八年级上·江苏盐城·期中）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一个动点，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段的长即可得到答案． 【详解】解：连接，如图， ∵的垂直平分线交于点F， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵的边的长为，面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【题型二】台球桌面上的对称问题 1.确定边界与点：确定台球反弹的桌边(反射直线),区分击球起点(定点)、目标球位置(定点) 反弹撞击点(动点)。 2.作对称点：作起点(或目标点)关于反弹桌边的对称点。 3.连线找撞击点：连接对称点与另一个定点，连线与桌边的交点就是台球撞击桌边的位置。 4.转化路径：由轴对称性质，撞击点到定点距离等于撞击点到对称点距离，折线击球路径转化为直线。 5.验证与计算：依据“两点之间线段最短”,该路径为符合反弹规则的击球路径，可计算角度、线段长。 易错点：选错反射边界，混淆多次反弹的对称做法 【易错警示】 ①只对反弹的这条桌边作对称点，不是对任意直线； ②多次反弹需要连续多次作对称，不能只做一次对称； ③注意台球不能穿出桌面，交点必须落在桌边线段上，不能在线段延长线上。 【例2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 【变式2-1】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 【变式2-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【答案】675 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， 因为， 故它与边的碰撞次数是（次）． 【变式2-3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【题型三】轴对称中的光线反射问题 1.确定反射界面与点：找到光线反射的镜面(反射直线),区分光源点(定点) 接收点(定点) 光线在镜面上的入射点(动点)。2.作对称点：作光源点(或接收点)关于反射镜面的对称点。 3.连线找入射点：连接对称点与另一定点，连线与镜面的交点即为光线入射点。 4.路径转化：由轴对称性质，入射点到定点距离等于入射点到对称点距离，折线光线路径转化为直线。 5.角度推导/计算：依据轴对称得到反射角等于入射角，结合几何条件求角度、线段长。 一句话要点(填入技巧表格) 轴对称中的光线反射问题——化折为直法：作定点关于镜面的对称点，连线确定入射点，利用轴对称把折线光线路径拉直求解。 易错点：误将对称点作在镜面同侧，忽略入射点必须在镜面线段上 【易错警示】 ①对称点要作在镜面另一侧，不能和定点在同一侧； ②入射点必须落在镜面线段上，不能在镜面延长线上； ③不要混淆入射角、反射角，两角是光线与法线夹角，不是光线与镜面夹角。 【例3】（25-26六年级下·山东烟台·期中）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3-1】（25-26七年级下·河南开封·期中）【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 【变式3-2】（25-26七年级下·河北保定·期中）图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 【变式3-3】（2026·山西吕梁·二模）如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据题意以及三角形的外角的性质求得，结合平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，， ∴． 【变式3-4】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型四】折叠问题 1.找折叠前后对应元素：确定折痕，找到折叠前后重合的对应边、对应角。 2.写全等结论：折叠前后图形全等，直接得到对应边相等、对应角相等。 3.标记等量：在图上标出相等线段、相等角，把已知条件集中。 4.建立等量关系：结合三角形内角和、勾股定理、等腰三角形性质列等式。 5.求解并检验：计算角度或线段长度，验证结果符合图形约束。 折叠问题——折叠全等法：折痕为对称轴，折叠前后图形全等，对应边、角相等，标记等量后列式计算。 易错点：只看到边相等，忽略折痕是对应点连线的垂直平分线【易错警示】 ①折叠一定全等，不要只凭视觉判断边角相等； ②折痕是对称轴，是对应点连线的垂直平分线； ③求角度时常会隐藏平角、三角形内角和，注意不要漏看角度之间的互补关系。 【例4】（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，将一张宽为的长方形纸片沿着线段折叠，若重叠部分的的面积是，则线段的长为____． 【答案】8 【分析】过F作于点K，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，过F作于点K， 由图可知：等于长方形的宽，即， 的面积是， ， ． 【变式4-1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点(如图1)；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，(如图2)．若，则_______． 【答案】/124度 【分析】先由长方形，利用内错角相等、同旁内角互补求出与，再用第一次折叠得到，减去得到，由第二次折叠得． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 根据折叠的性质，， ∴， 根据折叠的性质得． 【变式4-2】（26-27八年级上·湖北·期中）如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 【答案】7 【分析】由题意可得：，，即可求，则可求的周长． 【详解】解：由折叠得， ∴，， ∴， ∴的周长 ． 【变式4-3】（26-27八年级上·湖南长沙·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置上，的延长线与的交点为．若，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】根据长方形对边平行得到，利用平行线性质求出相关角的度数，再结合折叠前后角相等，进而求出的度数． 【详解】解：四边形为长方形， ． ，． 由折叠的性质可知：， ． 【变式4-4】（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，结合平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，最后利用平行线的性质求出的度数. 【详解】解：如图， 由折叠的性质可得，， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【题型五】最短路径问题 1.定点动点定位：确定动点所在的定直线，找出两个定点。 2.作对称点：任选一个定点，作它关于动点所在直线的对称点。 3.连线找交点：连接对称点与另一个定点，连线与定直线的交点，即为使线段和最小的动点位置。 4.线段转化：由轴对称性质，动点到原定点距离等于到对称点距离，将两条折线段之和转化为两点间线段。 5.计算求值：依据两点之间，线段最短得到最小值，利用勾股定理等计算长度。 一句话要点(填入技巧表格) 最短路径问题——对称转化法：作定点关于直线的对称点，化折线段为直线段，利用两点之间线段最短求线段和最小值。 易错点：分不清线段和最小、线段差最大模型，对称点作错直线 【易错警示】 ①动点在哪条直线，就对哪条直线作对称； ②线段和最小用将军饮马；线段差最大模型思路不同，不可混用； ③求出交点后要确认交点在给定线段上，而不是延长线上。 【例5】（25-26七年级下·江西九江·期中）如图，在正方形网格中，、、、、为网格中的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图： (1)作线段关于直线对称的线段； (2)在直线上作一点，使的值最小． 【答案】(1)线段即为所求 (2)点即为所求 【分析】（1）根据网格的特征分别作出点、关于直线的对称点、，连接即可； （2）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）理由：如图： ∵垂直平分， ∴， 故，即此时的值最小． 【变式5-1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在正方形网格中有一个，且每个小正方形的长为1（其中点A，B，C均在格点上）． (1)作出关于直线l的轴对称图形； (2)在l上确定点P的位置，使得值最小，在图中体现点P的确定方法． 【答案】(1)解：如图所示： (2)解：点P如图所示： 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据对称可知，若使值最小，则值最小，只有当点C，点P，点三点共线时，值最小，即值最小，连接与l的交点即为点P． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短； (2)11 (3) 解：如图，最短， 理由：过点P分别作的对称点，， 连接与交点即为点C，D． ，， 最短． 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短． 【详解】（1）解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得：，， ，， 的周长最小值为： ； （3）略 【变式5-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1) 点即为所求． (2) 点、、、即为所求． 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点， （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点， 技巧 一句话要点 轴对称图形识别——定义判定法 沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合，则为轴对称图形；注意区分一个图形自身对称。 成轴对称性质判断——对应量分析法 两个图形成轴对称，则对应边相等、对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线。 轴对称求周长——等量转移法 利用轴对称对应线段相等，把分散线段等量替换，转化为已知线段求和，无需逐条计算未知边。 轴对称求角度——等角代换法 标出轴对称带来的相等角，结合三角形内角和、平角，等量代换求解目标角。 轴对称最值——对称化折法 作定点关于直线的对称点，将折线段转化为两点之间的直线段求解最小值。 对称轴条数——分类枚举法 沿着不同方向依次尝试折叠，数出所有能使图形重合的直线，不重不漏。 画轴对称图形——找点描点法 找出图形关键点，作出各点关于对称轴的对称点，依次连接对称点得到图形。 设计轴对称图案——对称补全法 确定对称轴，画出一侧基础图形，利用轴对称补全另一侧，得到完整图案。 台球反射问题——反射对称法 反弹问题等价光的反射，作定点关于边界对称点，连线确定撞击点。 光线反射问题——化折为直法 利用轴对称，将反射路径拉直，反射角等于入射角求解。 折叠问题——折叠全等法 折叠前后图形全等，对应边、角相等；折痕是对应点连线的垂直平分线。 镜面对称问题——左右翻转法 镜面为左右轴对称，将图像左右翻转（纸面透光看背面）读出真实数字或时间。 最短路径（将军饮马）——对称转化法 作定点关于直线对称点，两点连线与直线交点即为动点，两点之间线段最短。 等腰三角形角度——分类讨论法 已知一个内角求剩余两角，分该角为顶角或底角讨论，底角必须为锐角。 等腰三角形求边长——双解检验法 已知两边求腰、底，分两种情况，求出边长后用三边关系检验，舍去无效解。 等腰三角形求周长——分类取舍法 先分类讨论腰和底，再用三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合情况再算周长。 等腰三角形尺规作图——轨迹交点法 利用圆规画弧确定等长线段，找到顶点，完成等腰三角形绘制。 等边对等角求角度——等边推等角法 同一三角形内两条边相等，则它们所对的角相等，结合内角和计算角度。 等边三角形求解——性质综合法 等边三角形三边相等、三角均为60°，三线合一，直接用于边角计算。 三线合一——前提限定法 只有等腰三角形，顶角平分线、底边上中线、底边上高互相重合，普通三角形不能直接使用。 等角对等边证等腰——等角推等边法 同一三角形中两个角相等，则两角所对边相等，以此证明三角形为等腰三角形。 等角对等边证边相等——等角转化法 在同一个三角形内，找到一组相等角，推出对应两条边长度相等。 等角对等边求边长——等角定边法 先证明三角形内两角相等，得到对应边相等，代入数据求出线段长度。 格点画等腰三角形——定点分类法 分已知点作顶角顶点、底角顶点两类，在格点上找满足腰长相等的点，防止漏解。 判断三角形形状——边角判定法 计算边长或角度，根据边相等判定等腰，三角60°或两边相等+一角60°判定等边。 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03图形的对称与等腰三角形 目录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(4类) 公式清单(1类) 辨析清单(3类) 题型类 高频题型清单(11类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(8类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01图形的轴对称 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形叫做 图形，这条直线叫做 。 2.两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形成 ，这条直线是 。 区别：轴对称图形是 图形；成轴对称是 图形的位置关系。 3.轴对称的性质 ①成轴对称的两个图形是 图形； ②对称轴垂直平分连结两个对应点的线段； ③对应线段 ，对应角 。 4.作图：作点、线段、多边形关于已知直线的对称图形。 5.模型：将军饮马(利用轴对称，转化线段，求最短路径)。 知识点02等腰三角形 1.定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫 ，另一边叫 ，两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫 。 2.轴对称性：等腰三角形是 图形，顶角平分线所在的 是它的 。 3.等边三角形定义：三边都 的三角形，是特殊的等腰三角形。 4.尺规作图：已知线段，作等腰三角形。 知识点03等腰三角形的性质定理 1.定理1( )：等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。 2.定理2( )：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3.等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，且每一个内角都等于60°；等边三角形有3条对称轴，任意边上都满足三线合一 知识点04等腰三角形的判定定理 1.判定定理( )：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言：在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。 2.等边三角形的判定 ①三边相等的三角形是等边三角形； ②三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 3.常用模型：角平分线+平行线，可证等腰三角形。 考点01图形的轴对称 考点内容：轴对称图形、两个图形成轴对称的概念；轴对称的性质；作对称图形；将军饮马最短路径模型。常见考法： ①判断一个图形是否为轴对称图形，找出对称轴； ②利用轴对称性质求线段长度、角度； ③画出点、线段、简单图形关于直线的对称图形； ④利用轴对称求解将军饮马最短路径问题。 考点02等腰三角形 考点内容：等腰三角形、等边三角形定义；等腰三角形的轴对称性。 常见考法： ①识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角； ②判断三角形是否为等腰三角形； ③确定等腰、等边三角形对称轴数量； ④尺规作图作等腰三角形。 考点03等腰三角形的性质定理 考点内容：等边对等角；三线合一；等边三角形内角性质。 常见考法： ①利用等边对等角求等腰三角形内角； ②利用三线合一进行线段、角度计算与证明； ③等边三角形角度相关计算； ④等腰三角形边角综合计算。 考点04等腰三角形的判定定理 考点内容：等角对等边；等边三角形的判定方法。 常见考法： ①利用等角对等边证明两条线段相等； ②根据条件判定一个三角形是否为等边三角形； ③角平分线+平行线模型证明等腰三角形； ④选择合适条件判定等腰(等边)三角形。 一、等腰三角形 1.等边对等角 在△ABC中，若，则 2.等角对等边 在△ABC中，若，则 3.等边三角形：三个内角∠A=∠B=∠C=60° 辨析01等腰三角形边、角分类讨论遗漏 等腰三角形分腰和底边、顶角和底角，题目没有指明边长是腰还是底，角度是顶角还是底角，必须分类讨论，同时要满足三角形三边关系。 易错表述：已知等腰三角形两边为2.4,直接认为三边长是2,2,4,忽略2+2<4,不能构成三角形；已知一个内角是70°,直接默认是底角，漏掉顶角为70°的情况。 辨析02“三线合一”使用条件理解误区 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合，只适用于等腰三角形，且必须是底边上的高、中线，顶角的平分线。 易错点：普通三角形也乱用三线合一；等腰三角形腰上的高、中线不满足三线合一。 辨析03轴对称图形与两个图形成轴对称概念混淆 轴对称图形：一个图形自身沿直线折叠后两边重合；两个图形成轴对称：两个独立图形沿直线折叠能够重合。易错表述：把两个图形成轴对称说成是轴对称图形；认为全等图形一定成轴对称。 【题型一】轴对称图形的识别 【例1】（26-27八年级上·重庆·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27八年级上·全国·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27八年级上·浙江·期中）下列四个图案中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27八年级上·江西·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26七年级下·陕西西安·期中）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】根据成轴对称图形的性质判断结论是否正确 【例2】（26-27八年级上·福建·期中）已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线和直线的交点不一定在上 B． C．与面积相等 D．垂直平分， 【题型三】根据成轴对称图形的性质求周长 【例3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，直线交于点D，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【变式3-3】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 【题型四】求对称轴的条数 【例4】（25-263八年级下·江苏苏州·期中）下列四个图形中，对称轴数量最多的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南平顶山·期中）下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【题型五】根据等腰三角形的定义求周长 【例5】（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知a，b，c是等腰三边长，满足，则周长是______． 【变式5-1】（25-26七年级下·北京海淀·期中）如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【变式5-2】（25-26七年级下·河北承德·期中）已知等腰三角形的一条边长是4，另一条边长是7，那么这个三角形的周长是__________． 【变式5-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 【题型六】根据“等边对等角”求角度 【例6】（26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，，，，则的度数为______． 【变式6-1】（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，，若，则的度数是______． 【变式6-2】（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，已知，点在上，若，则的度数为________． 【变式6-3】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，则_______°． 【题型七】根据等边三角形的性质求解 【例7】（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，和均为等边三角形，连接，其中交于点F．若恰好平分，且，则的度数为___________． 【变式7-1】（25-26八年级上·广东珠海·期中）是等边三角形，是中线，延长到点，使．则的度数为______． 【变式7-2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 【变式7-3】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 【题型八】根据“等角对等边”证明边相等 【例8】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，是的平分线，，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式8-1】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，平分，，连接． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式8-2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，使点，分别落在点，处，交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【变式8-3】（25-26八年级上·天津·期中）如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【变式8-4】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图①，已知是的角平分线，、分别在的延长线上，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)如图②，点是线段上的动点，垂足为，设．求证：． 【题型九】根据“等角对等边”证明线段相等 【例9】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且， (1)求的度数； (2)求证：． 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，是的平分线，且． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【变式9-2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，点为垂足，于点，的延长线交于点，且． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【变式9-3】（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【题型十】利用“三线合一”进行求解 【例10】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，平分，点是的中点，连接，若的面积为4，则的面积等于__________． 【变式10-1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分交于点交于点，若，则的长度为___________． 【变式10-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等腰直角三角形中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接，若的面积为，则的面积为________ 【变式10-3】（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，点E是边上一点，连接，且，过点E作于点D，若的周长为20，，则的周长为__________． 【题型十一】电子钟的镜面对称 【例11】平面镜中的电子钟示数为，则实际时间为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26八年级上·云南昆明·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【变式11-4】（25-26八年级上·山东临沂·期中）时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【题型一】等腰三角形边长求解忽略分类讨论与三边关系检验 【例1】（26-27八年级上·江苏淮安·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的腰长为________． 易错警示 已知两边求腰、底时，要分两种情况讨论，求出边长后，必须用三角形三边关系验证，舍去不能构成三角形的无效解。 【变式1-1】（26-27八年级上·福建厦门·期中）用长度为的绳子围成一个等腰三角形，若其中一边为，则该三角形的底边长为______________ 【变式1-2】（26-27八年级上·浙江金华·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，则该等腰三角形的底边长为_______． 【变式1-3】（26-27八年级上·江苏南京·期中）已知的两条边长分别为2和5，若为等腰三角形，则第三边c的值是______． 【题型二】等腰三角形角度计算忽略顶角、底角双解限制 【例2】（26-27八年级上·湖南长沙·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（     ） A． B． C．或 D．或 易错警示 已知一个内角求剩余两角，要先判断该角是顶角还是底角；底角一定是锐角，不能≥90°，避免算出违反三角形内角和的错误答案。 【变式2-1】（2026·江苏镇江·中考真题）如图，，是等腰直角三角形，，顶点G，E分别在，上，交于点H．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2-3】（2026·河南平顶山·二模）如图，直线，将等腰的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型三】格点画等腰三角形分类不全导致漏解 【例3】（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在方格中，，两点都在小方格的格点上且坐标分别是，，若点也在格点上，且是等腰三角形，则点的坐标是_____． 易错警示 要分两类讨论：已知点为顶角顶点、已知点为底角顶点，容易只考虑其中一种情况，漏掉符合条件的点。 【变式3-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【变式3-2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知、是两个定格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是_________． 【题型四】镜面对称直接读取镜面图像，忽略左右翻转 【例4】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 易错警示 镜面变换为左右轴对称，不是上下翻转；不能直接读出镜子里看到的数字、时刻，可将纸面左右翻转（透光看背面）得到真实结果。 【变式4-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【变式4-2】（25-26七年级下·江西抚州·期中）汽车司机在观后镜中看到后面一辆汽车的车牌号为，则这辆车的实际牌照是_____． 【变式4-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是：______． 【题型一】画轴对称图形 【例1】（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线m的轴对称图形； (2)在直线m上作一点P，使得． 【变式1-1】如图，，，，是直线上的四点，，，． (1)将沿直线翻折得到，用直尺和圆规在图中作出；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【变式1-2】（26-27八年级上·湖北·期中）操作发现： 如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标为（____，____）； (2)在轴上找点，在轴上找点，使得最小，在直角坐标系中作出点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)将向右平移五个单位长度，则扫过的面积是________（直接写出结果）． 【变式1-3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移4个单位长度后的； (2)作出关于直线对称的，再作出关于直线对称的，观察和发现，可以由经过_______变换得到（填：平移，旋转，对称），平移的方向是_______，平移的距离是_______； (3)在直线上找一点，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【题型二】设计轴对称图案 【例2】如图①，7个相同的涂色方块组成了一幅轴对称图案．请在图②，③中，用7个涂色方块设计出另外两种不同的轴对称图案． 【变式2-1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，在正方形网格中已有个小方格涂成了阴影，请从其余的小方格中选一个涂成阴影，使整个阴影图形成为轴对称图形，用种不同的方法在图中补全图形，并画出相应的对称轴． 【变式2-2】（25-26七年级下·江西萍乡·期中）如图，每个小三角形都是等边三角形，请你分别在下面四个图中再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形． 【变式2-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有如下三个由阴影部分构成的图案． (1)请写出以上三个图案都具备的3个特征：①__________；②___________；③__________． (2)请你借助下面的网格设计出三个由阴影部分构成的图案，使它们也具备你所写出的上述特征． 【变式2-4】（25-26七年级上·全国·寒假作业）如图（1）、（2）分别是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中部分小正方形涂黑，请你用两种不同的方法，分别在两个图中再涂黑两个空白的小正方形，使它（涂黑部分）成为轴对称图形． 【题型三】等腰三角形尺规作图 【例3】（26-27八年级上·四川自贡·期中）如图，已知线段，，求作，使，．（要求保留作图痕迹，不写作法．） 【变式3-1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，． 求作：等腰，使得点，分别在，上，且底边上的高为． 【变式3-2】作图题 (1)如图（1），已知和线段a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的一个内角等于，腰长等于a． (2)在（1）中，如果把变成图（2）中的，其他条件不变呢？ 【变式3-3】（2026·陕西咸阳·二模）如图，已知菱形，请用尺规作图法在上方求作一点，连接、，使得是以为底边的等腰三角形，且边上的高等于菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型四】图形的轴对称解答题综合（基础版） 【例4】（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是上的一点，，是上的两点，将和分别沿，折叠后，得到四边形． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式4-1】已知平面内四点，，，，，点在线段上移动，点在线段上移动，点在线段上移动，将以为折痕折叠，点落在处，将以为折痕折叠，点落在处． (1)如图①，点，，在同一直线上，，求的度数； (2)如图②，，，求的度数． 【变式4-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 【变式4-3】（25-263七年级上·江苏淮安·期中）如图，C为长方形纸片边的中点，B为长方形纸片边上一个动点（不与点A、D重合），将长方形纸片的一角沿着所在直线折叠，使顶点A落在点处，是的平分线． (1)与有怎样的数量关系：________（小于、等于或大于） (2)当时，________° (3)当点B在纸片边上沿方向运动时，的度数将________（变小、不变、变大），的度数________（变小、不变、变大） 【题型五】图形的轴对称解答题压轴 【例5】（25-26七年级下·江西景德镇·期中）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则； (2)折叠长方形纸片，，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求证：； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，直接写出的度数（用含n的式子表示）． 【变式5-1】（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为（用含n的式子表示）． 【变式5-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）材料阅读：美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏，我们知道：长方形的四个角大小都是，通过折叠我们可以在折痕的另一侧，得到一个和原来的角大小相等的新角．现在将长方形卡纸沿着线段折叠，如图1，点C落在了处． 通过上面的介绍，我们很容易发现：新角和原来的角相等，新角和原来的角也相等．请依据上述材料回答下列问题： (1)如图1，若，求． (2)如图2，若沿着再次折叠卡纸，点A恰好落在上的处，求． (3)如图3，与交于点N，沿着再次折叠卡纸，点A落在了M处，若，求． 【变式5-3】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【题型六】判断三角形的形状 【例6】（26-27八年级上·江西宜春·期中）已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（     ） A．直角三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．三边都不相等的三角形 D．等边三角形 【变式6-1】（26-27八年级上·河北邯郸·期中）已知的三边长分别为1，5，，且周长为整数，则的形状是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式6-2】（25-26八年级下·四川成都·期中）若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）若为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【题型七】等腰三角形的性质与判断解答题综合（基础版） 【例7】（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【变式7-1】（25-26七年级下·四川达州·期中）已知，点E为上一点，且，、的延长线交于点F，连接， (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，G是的中点，求的度数． 【变式7-2】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若E为的中点，求证：． 【变式7-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，D是边上一点，且，过点A作于点E，过点C作于点G，与交于点H，延长交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式7-4】（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，中，，点D是边的中点，点E在边的延长线上，连接交于点F，连接，且． (1)若，求的度数； (2)证明：． 【题型八】等腰三角形的性质与判断解答题综合（压轴版） 【例8】（26-27八年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在中，，点D是边上一个动点（不与点A、B重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，使． (1)若，，求的度数． (2)若，，．求与的数量关系． (3)连接，F是中点，连接，，如图2，求的度数． 【变式8-1】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）根据题意解答下列问题． (1)【问题发现】如图1，和均为等边三角形，连接，，延长，交于点，则与之间的数量关系是_____，的度数是_____°； (2)【拓展探究】如图2，和均为等腰三角形，，，，点，，，在同一直线上，为的中线，连接，若，求的度数． 【变式8-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，为等腰直角三角形，，，点D为平面内一点，连接． (1)如图1．当点D在边上运动时，过点C在右侧作，且，连接，求证：； (2)如图2，当点D在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形．且．延长交于F，证明：F为线段的中点； (3)如图3，若点D为中点，连接，过点B作的平行线，E为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于G，连接，，当线段最短时，求的值． 【变式8-3】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）按要求完成下面各题． (1)如图①，在中，，，是上一点，过点作交延长线于点，连接，求的度数； 小硕的解题思路是，从出发，过点A作，通过构造全等三角形，证明等腰直角三角形求解，请你根据小硕的思路或自己的想法，写出解题过程． (2)如图②，在四边形中，，且，，连接对角线，，过点作交于点，为上一点，且，求证：． 【变式8-4】（25-26七年级下·辽宁本溪·期中）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【题型一】根据成轴对称图形的性质中最值问题 1.定直线、定点、动点：明确动点在哪条直线上运动，确定两个定点。 2.作对称点：选择其中一个定点，作它关于动点所在直线的对称点(利用轴对称性质)。 3.连线找交点：连接对称点与另一个定点，这条线段和动点所在直线的交点，就是取到最值时动点的位置。 4.转化线段：由轴对称性质，对称点到动点的距离=原定点到动点距离，把折线段之和转化为两点之间线段。 5.计算求值：依据“两点之间，线段最短”得到最小值，结合勾股定理等计算线段长度。 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______． 【变式1-1】（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当三角形的面积是，时，的最小值等于__________． 【变式1-2】（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，，点、分别为、上的动点，连接、、，当的周长最小时，的度数为________°． 【变式1-3】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，两点关于直线对称，，的周长是16，若点在直线上，则的最大值为________． 【变式1-4】（26-27八年级上·江苏盐城·期中）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一个动点，则的最小值为_________． 【题型二】台球桌面上的对称问题 1.确定边界与点：确定台球反弹的桌边(反射直线),区分击球起点(定点)、目标球位置(定点) 反弹撞击点(动点)。 2.作对称点：作起点(或目标点)关于反弹桌边的对称点。 3.连线找撞击点：连接对称点与另一个定点，连线与桌边的交点就是台球撞击桌边的位置。 4.转化路径：由轴对称性质，撞击点到定点距离等于撞击点到对称点距离，折线击球路径转化为直线。 5.验证与计算：依据“两点之间线段最短”,该路径为符合反弹规则的击球路径，可计算角度、线段长。 易错点：选错反射边界，混淆多次反弹的对称做法 【易错警示】 ①只对反弹的这条桌边作对称点，不是对任意直线； ②多次反弹需要连续多次作对称，不能只做一次对称； ③注意台球不能穿出桌面，交点必须落在桌边线段上，不能在线段延长线上。 【例2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____． 【变式2-1】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【变式2-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【变式2-3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【题型三】轴对称中的光线反射问题 1.确定反射界面与点：找到光线反射的镜面(反射直线),区分光源点(定点) 接收点(定点) 光线在镜面上的入射点(动点)。2.作对称点：作光源点(或接收点)关于反射镜面的对称点。 3.连线找入射点：连接对称点与另一定点，连线与镜面的交点即为光线入射点。 4.路径转化：由轴对称性质，入射点到定点距离等于入射点到对称点距离，折线光线路径转化为直线。 5.角度推导/计算：依据轴对称得到反射角等于入射角，结合几何条件求角度、线段长。 一句话要点(填入技巧表格) 轴对称中的光线反射问题——化折为直法：作定点关于镜面的对称点，连线确定入射点，利用轴对称把折线光线路径拉直求解。 易错点：误将对称点作在镜面同侧，忽略入射点必须在镜面线段上 【易错警示】 ①对称点要作在镜面另一侧，不能和定点在同一侧； ②入射点必须落在镜面线段上，不能在镜面延长线上； ③不要混淆入射角、反射角，两角是光线与法线夹角，不是光线与镜面夹角。 【例3】（25-26六年级下·山东烟台·期中）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【变式3-1】（25-26七年级下·河南开封·期中）【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【变式3-2】（25-26七年级下·河北保定·期中）图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【变式3-3】（2026·山西吕梁·二模）如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 【变式3-4】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【题型四】折叠问题 1.找折叠前后对应元素：确定折痕，找到折叠前后重合的对应边、对应角。 2.写全等结论：折叠前后图形全等，直接得到对应边相等、对应角相等。 3.标记等量：在图上标出相等线段、相等角，把已知条件集中。 4.建立等量关系：结合三角形内角和、勾股定理、等腰三角形性质列等式。 5.求解并检验：计算角度或线段长度，验证结果符合图形约束。 折叠问题——折叠全等法：折痕为对称轴，折叠前后图形全等，对应边、角相等，标记等量后列式计算。 易错点：只看到边相等，忽略折痕是对应点连线的垂直平分线【易错警示】 ①折叠一定全等，不要只凭视觉判断边角相等； ②折痕是对称轴，是对应点连线的垂直平分线； ③求角度时常会隐藏平角、三角形内角和，注意不要漏看角度之间的互补关系。 【例4】（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，将一张宽为的长方形纸片沿着线段折叠，若重叠部分的的面积是，则线段的长为____． 【变式4-1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点(如图1)；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，(如图2)．若，则_______． 【变式4-2】（26-27八年级上·湖北·期中）如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 【变式4-3】（26-27八年级上·湖南长沙·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置上，的延长线与的交点为．若，则的度数为______． 【变式4-4】（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为_________． 【题型五】最短路径问题 1.定点动点定位：确定动点所在的定直线，找出两个定点。 2.作对称点：任选一个定点，作它关于动点所在直线的对称点。 3.连线找交点：连接对称点与另一个定点，连线与定直线的交点，即为使线段和最小的动点位置。 4.线段转化：由轴对称性质，动点到原定点距离等于到对称点距离，将两条折线段之和转化为两点间线段。 5.计算求值：依据两点之间，线段最短得到最小值，利用勾股定理等计算长度。 一句话要点(填入技巧表格) 最短路径问题——对称转化法：作定点关于直线的对称点，化折线段为直线段，利用两点之间线段最短求线段和最小值。 易错点：分不清线段和最小、线段差最大模型，对称点作错直线 【易错警示】 ①动点在哪条直线，就对哪条直线作对称； ②线段和最小用将军饮马；线段差最大模型思路不同，不可混用； ③求出交点后要确认交点在给定线段上，而不是延长线上。 【例5】（25-26七年级下·江西九江·期中）如图，在正方形网格中，、、、、为网格中的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图： (1)作线段关于直线对称的线段； (2)在直线上作一点，使的值最小． 【变式5-1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在正方形网格中有一个，且每个小正方形的长为1（其中点A，B，C均在格点上）． (1)作出关于直线l的轴对称图形； (2)在l上确定点P的位置，使得值最小，在图中体现点P的确定方法． 【变式5-2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 【变式5-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 技巧 一句话要点 轴对称图形识别——定义判定法 沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合，则为轴对称图形；注意区分一个图形自身对称。 成轴对称性质判断——对应量分析法 两个图形成轴对称，则对应边相等、对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线。 轴对称求周长——等量转移法 利用轴对称对应线段相等，把分散线段等量替换，转化为已知线段求和，无需逐条计算未知边。 轴对称求角度——等角代换法 标出轴对称带来的相等角，结合三角形内角和、平角，等量代换求解目标角。 轴对称最值——对称化折法 作定点关于直线的对称点，将折线段转化为两点之间的直线段求解最小值。 对称轴条数——分类枚举法 沿着不同方向依次尝试折叠，数出所有能使图形重合的直线，不重不漏。 画轴对称图形——找点描点法 找出图形关键点，作出各点关于对称轴的对称点，依次连接对称点得到图形。 设计轴对称图案——对称补全法 确定对称轴，画出一侧基础图形，利用轴对称补全另一侧，得到完整图案。 台球反射问题——反射对称法 反弹问题等价光的反射，作定点关于边界对称点，连线确定撞击点。 光线反射问题——化折为直法 利用轴对称，将反射路径拉直，反射角等于入射角求解。 折叠问题——折叠全等法 折叠前后图形全等，对应边、角相等；折痕是对应点连线的垂直平分线。 镜面对称问题——左右翻转法 镜面为左右轴对称，将图像左右翻转（纸面透光看背面）读出真实数字或时间。 最短路径（将军饮马）——对称转化法 作定点关于直线对称点，两点连线与直线交点即为动点，两点之间线段最短。 等腰三角形角度——分类讨论法 已知一个内角求剩余两角，分该角为顶角或底角讨论，底角必须为锐角。 等腰三角形求边长——双解检验法 已知两边求腰、底，分两种情况，求出边长后用三边关系检验，舍去无效解。 等腰三角形求周长——分类取舍法 先分类讨论腰和底，再用三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合情况再算周长。 等腰三角形尺规作图——轨迹交点法 利用圆规画弧确定等长线段，找到顶点，完成等腰三角形绘制。 等边对等角求角度——等边推等角法 同一三角形内两条边相等，则它们所对的角相等，结合内角和计算角度。 等边三角形求解——性质综合法 等边三角形三边相等、三角均为60°，三线合一，直接用于边角计算。 三线合一——前提限定法 只有等腰三角形，顶角平分线、底边上中线、底边上高互相重合，普通三角形不能直接使用。 等角对等边证等腰——等角推等边法 同一三角形中两个角相等，则两角所对边相等，以此证明三角形为等腰三角形。 等角对等边证边相等——等角转化法 在同一个三角形内，找到一组相等角，推出对应两条边长度相等。 等角对等边求边长——等角定边法 先证明三角形内两角相等，得到对应边相等，代入数据求出线段长度。 格点画等腰三角形——定点分类法 分已知点作顶角顶点、底角顶点两类，在格点上找满足腰长相等的点，防止漏解。 判断三角形形状——边角判定法 计算边长或角度，根据边相等判定等腰，三角60°或两边相等+一角60°判定等边。 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $