3.1 认识不等式 导学案 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

本文围绕“认识不等式”展开，涵盖不等式概念、表示不等关系及解的相关知识。承接数与代数基础，为后续不等式学习奠基。通过实例分析、练习巩固等环节，培养学生抽象能力、运算能力与模型意识，提升用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的素养。 该设计亮点在于以即时训练强化知识理解，借助多样化题型突破难点。从学生层面看，能提升其对不等式的认知与应用能力；从教师角度，提供了系统授课资源；课堂效果上，有效帮助学生掌握重点，突破理解“≥”“≤”等难点。

3.1 认识不等式导学案 一、学习目标（简写版） 1. 理解不等式的概念，能识别不等式并掌握常见不等号的含义。 1. 学会用不等式表示数量之间的不等关系，能写出简单的不等式。 1. 了解不等式的解的概念，能判断一个数是否为不等式的解。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 不等式的概念及常见不等号（＞、＜、≥、≤、≠）的意义。 1. 用不等式表示实际问题中的不等关系。 1. 不等式的解的概念及判断一个数是否为不等式的解。 （二）学习难点 1. 准确理解 “≥”“≤” 的含义，区分 “＞” 与 “≥”、“＜” 与 “≤” 的不同。 1. 将实际问题中的文字语言转化为不等式，尤其是隐含不等关系的表述。 1. 理解不等式的解与方程的解的区别，明确不等式的解不唯一。 三、知识点自主预习填空 1. 用不等号连接而成的式子叫做______，常见的不等号有______、______、______、______、。 1. “不大于” 用符号______表示，“不小于” 用符号______表示。 1. 能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的______。 1. 用不等式表示 “x 的 3 倍与 2 的和大于 5”：______。 1. 判断：在数 - 3，0，2，4 中，______是不等式 2x-1＞0 的解。 四、知识点讲解 知识点1：不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）下列数学表达式中，不等式有（     ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式．根据不等式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：不等式有①②⑤⑥，共4个． 故选：C 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·专题练习）给出下列数学式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义识别上述式子是否属于不等式，即可． 【详解】∵用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫不等式 ∴①，⑤，⑥符合题意， ∵②，④没有不等关系，属于代数式 ∴②④不符合题意； ∵③属于等式， ∴③不符合题意； 不等式有①⑤⑥，共个． 故选：C． 知识点2：不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 【即时训练】 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得出是不等式的解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴是不等式的解，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式解的意义． 4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 知识点3：不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 【即时训练】 5．（2025·浙江杭州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，， 当时，， 而一定成立， 所以选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 6．（2025·浙江·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：由，得，故选项A，选项B，选项C错误，选项D正确， 故选：D． 五、效果检测 1. 用不等号连接的式子一定是不等式。（ ） 1. “x 不小于 - 1” 表示为 x＞-1。（ ） 1. 不等式 x+3＞5 的解是 x=3。（ ） 1. 0 是不等式 x≥0 的解。（ ） 1. “a 的平方是非负数” 表示为 a²＞0。（ ） 六、归纳总结 1. 不等式的概念：用＞、＜、≥、≤、≠连接而成的式子，要准确理解各不等号的含义，尤其是 “≥” 和 “≤” 包含等于的情况。 1. 用不等式表示不等关系：关键是抓住关键词，将文字语言转化为对应的不等号，再结合代数式列出不等式，注意隐含的限制条件。 1. 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，其解不唯一，与方程的解有明显区别，判断时需代入验证。 7、 课后作业 1．在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若是不等式，则符号“”可以是（   ） A． B． C． D． 3．若□是不等式，则符号“□”不能是（   ） A． B． C． D． 4．已知：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．已知，下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 9．不等式的解集是 ． 10．若，则 ． 11．的2倍与的和小于5.用不等式表示为 ． 三、解答题 12．已知，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 八、答案 （一）自主预习填空答案 1. 不等式；＞；＜；≥；≤；≠ 1. ≤；≥ 1. 解 1. 3x+2＞5 1. 2，4 （二）效果检测答案及解析 1. ×。用不等号连接的式子不一定是不等式，若连接的是两个恒不等的代数式且不表示数量关系，则可能不是，不过一般情况下符合定义的是不等式，此处严格来说，该说法不准确，因为不等式强调表示数量不等关系，所以错误。 1. ×。“x 不小于 - 1” 表示 x 大于或等于 - 1，应表示为 x≥-1，而不是 x＞-1，所以错误。 1. ×。不等式 x+3＞5 的解是 x＞2，x=3 只是其中一个解，不是唯一解，所以错误。 1. √。当 x=0 时，0≥0 成立，所以 0 是不等式 x≥0 的解，正确。 1. ×。“a 的平方是非负数” 表示为 a²≥0，而不是 a²＞0，因为 0 的平方是 0，也是非负数，所以错误。 （三）课后作业答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A B B D A 1．C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，掌握含有不等号（如＞、＜、≠、≥、≤）的式子是不等式成为解题的关键． 根据不等式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式； ②，含“＞”号，属于不等式； ③，含“=”号，属于等式，不是不等式； ④是代数式，不属于不等式； ⑤，含“≠”号，属于不等式； ⑥，含“＞”号，属于不等式． 综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选C． 2．B 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 用符号“、、、”表示大小关系的式子，叫做不等式．如；像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式．根据不等式的定义即可求解． 【详解】是不等号，、、都不是不等号， 根据不等式的定义可知，若是不等式，则符号“”可以是． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义即可得出答案，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵□是不等式， ∴□内不可能为， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如），统计符合的个数即可求解； 【详解】解：①是等式，不含不等号，不属于不等式； ②含有，属于不等式； ③是多项式，不含不等号或等号，不属于不等式； ④含有，属于不等式； ⑤含有，属于不等式； 综上，属于不等式的有②、④、⑤，共3个； 故选：B 5．B 【分析】本题考查不等式性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否符合变形规则即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、， 不等式两边同时乘以正数2，不等号方向不变， ，故选项错误，不符合题意； B、， 不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变， ，故选项正确，符合题意； C、， 不等式两边同时乘以负数，得，再两边加1得， 故选项错误，不符合题意； D、， 不等式两边同时减3，不等号方向不变， ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解： 选项A：原式，两边同时加3，不等号方向不变，应为，故A不成立； 选项B：原式，两边乘以负数，不等号方向改变，应为，故B不成立； 选项C：当时，成立；当时，；当时，，因此C不一定成立； 选项D：原式，两边乘以负数，得；再两边加1，不等号方向不变，即，等价于，故D一定成立． 故选：D ． 7．A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，不等式一定成立，故该选项符合题意； B、∵，∴，原不等式不一定成立，故该选项不符合题意； C、∵，∴，原不等式不一定成立，故该选项不符合题意； D、∵，且，∴，原不等式不一定成立，故该选项不符合题意； 故选：A． 8． 【分析】本题主要考查了不等式的性质，当不等式的两边同时乘或者除以一个负数时，不等号方向要改变，根据此性质即可得到答案； 【详解】解：由题意可知：当两边同时除以时，不等式方向发生了改变，所以； 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可得到答案； 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了不等式的性质． 直接根据不等式的性质作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意列出不等式是关键； 【详解】解：不等式表示为： 故答案为：. 12．证明见解析 【分析】本题主要考查不等式的性质；根据不等式的性质逐步证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． $$