《第2章 特殊三角形》 单元复习 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

浙教版（2024）数学八年级上册期末单元复习 第2章　特殊三角形 题型一　轴对称及轴对称图形 【例1】下列图案中，属于轴对称图形的是(　 　) A　　　　　　　 　B　　　　　　 　　C　　　　　　　　 　D 题型二　线段的垂直平分线 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E.若∠A＝30°，CD＝3.求： (例2) (1)∠BDC的度数． (2)AC的长． 【变式跟进】1．如图，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线．若△ADF的周长为15，则BC＝_____________． (变式跟进1) 2．已知：如图，在△ABC中，AD是高线，AB＋BD＝DC，在线段DC上取一点E，使DE＝BD.求证：点E在线段AC的垂直平分线上． (变式跟进2) 题型三　等腰三角形的性质 【例3】如图，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点D，B，C，E在同一条直线上，DB＝AB，CE＝CA，求∠D，∠E，∠DAE的度数． (例3) 【变式跟进】3．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，连结AD，且AD＝AE.若∠BAD＝54°，求∠CDE的度数． (变式跟进3) 题型四　等腰三角形的判定 【例4】如图，从①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CDA；③AB＝DC；④BE＝CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形(写出一种即可)． (例4) 已知：________________________(填序号)．求证：△AED是等腰三角形． 证明： 【变式跟进】4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连结AD. (变式跟进4) (1)若∠BAD＝45°，求证：△ACD是等腰三角形． (2)若△ACD是直角三角形，求∠BAD的度数． 题型五　等边三角形的性质与判定 【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，以AC为腰在其右侧作△ACD，使AD＝AC，连结BD，设∠CAD＝α. (例5) (1)若α＝60°，CD＝2，求BD的长． (2)设∠DBC＝β，请你猜想β与α之间的数量关系，并说明理由． 【变式跟进】5．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD. (变式跟进5) 6．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB. (变式跟进6) (1)求∠C的度数． (2)求证：△ADE是等边三角形． 题型六　勾股定理的计算 【例6】如图，在平面直角坐标系中，以点A(3，1)为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B(1，1)，C(1，3)，D(4，4)，E(5，2)，则∠BAC____________(填“＞”“＜”或“＝”)∠DAE. 　 (例6)　　　　　　　　 【变式跟进】7．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是(　 　) A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．直角三角形的两条边长分别为3和4，求这个直角三角形斜边上的高线长． 题型七　勾股定理的逆定理 【例7】如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°. (例7) (1)判断∠D是否是直角，并说明理由． (2)求四边形ABCD的面积． 【变式跟进】9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在AB上，且AF∶FB＝3∶1. (变式跟进9) (1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求DF的长． 题型八　勾股定理的实际应用 【例8】如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，且A1B1＝8 km.若要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到点P的距离之和最短，则这个最短距离之和为多少千米？ (例8) 【变式跟进】10．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“综合执法1号”“综合执法2号”轮船同时离开港口，各自沿一定方向执法巡逻．“综合执法1号”每小时航行16海里，“综合执法2号”每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (变式跟进10) (1)求PQ，PR的长． (2)如果知道“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，请确定“综合执法2号”沿哪个方向航行． 【巩固作业】 1．若等腰三角形的一个内角度数为40°，则它的顶角度数为(　 　) A．100° B．40° C．100°或40° D．60°或40° 2．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为25°，则它的顶角度数为(　 　) A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115° 3．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，则BD的长为(　 　) (第3题) A. B．2 C．3 D．4 4．如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为(　 　) (第4题) A．(1，1) B．(，1) C．(，) D．(1，) 5．如图，小明家需购买一张大圆桌面(不能折叠，不考虑木板厚度)．若入户门的高为2 m，宽为1 m，则尽可能大的圆桌的直径可以为(　 　) (第5题) A．2.1 m B．2.2 m C．2.3 m D．2.4 m 6．如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形所围成的正方形，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠ACB＝90°，则AB的长为____________；若将图①中的四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则该“数学风车”的外围周长为_____________． (第6题) 7.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标． (2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标． (第7题) 8．已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝AD，ED⊥AB.求证：△CDE是等腰三角形． (第8题) 9．在长方形零件ABCD中，BC＝2AB，两孔中心点M，N到AD上点P的距离相等，且MP⊥NP，相关尺寸如图所示，则两孔中心点M，N之间的距离为____________mm. (第9题) 10.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“美好三角形”． (1)等边三角形ABC的边长为2，△ABC是“美好三角形”吗？请说明理由． (2)已知Rt△ABC是“美好三角形”，∠C＝90°，AC＝6.求BC的长． 11．在△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△ABE，△CBF，AC，AB，BC分别是斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4. (第11题) (1)当AC＝6，BC＝8时， ①求S1的值． ②求S4－S2－S3的值． (2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系． 【参考答案】 第2章　特殊三角形 题型一　轴对称及轴对称图形 【例1】下列图案中，属于轴对称图形的是(　A　) A　　　　　　　 　B　　　　　　 　　C　　　　　　　　 　D 【方法指导】判断一个图形是不是轴对称图形的主要依据就是轴对称图形的定义，即将图形沿着某条直线折叠，看直线两旁的部分能否完全重合，能够完全重合的是轴对称图形，反之则不是． 题型二　线段的垂直平分线 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E.若∠A＝30°，CD＝3.求： (例2) (1)∠BDC的度数． (2)AC的长． 解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠BDC＝∠ABD＋∠A＝60°. (2)在△ABC中，∵∠C＝90°，∠BDC＝60°， ∴∠CBD＝90°－∠BDC＝30°，∴BD＝2CD＝2×3＝6， ∴AD＝BD＝6，∴AC＝AD＋CD＝9. 【方法指导】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． (2)欲证明线段相等，可通过证明三角形全等或利用线段的垂直平分线的性质得到． 【变式跟进】1．如图，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线．若△ADF的周长为15，则BC＝__15__． (变式跟进1) 2．已知：如图，在△ABC中，AD是高线，AB＋BD＝DC，在线段DC上取一点E，使DE＝BD.求证：点E在线段AC的垂直平分线上． (变式跟进2) 证明：∵AD是高线，∴AD⊥BC. ∵DE＝BD，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线， ∴AB＝AE，∴AB＋BD＝AE＋DE. ∵AB＋BD＝DC，∴DC＝AE＋DE， ∴DE＋EC＝AE＋DE，∴EC＝AE， ∴点E在线段AC的垂直平分线上． 题型三　等腰三角形的性质 【例3】如图，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点D，B，C，E在同一条直线上，DB＝AB，CE＝CA，求∠D，∠E，∠DAE的度数． (例3) 解：∵BD＝BA，∴∠D＝∠DAB. ∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝25°. 同理∠E＝∠ACB＝40°，∴∠DAE＝180°－∠D－∠E＝115°. 【方法指导】(1)等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合． (2)等腰三角形“三线合一”的性质涉及角相等又涉及线段相等或垂直，为证明线段和角的关系增添了又一理论依据．在解题时，应既能运用全等三角形的知识，又能运用等腰三角形的知识． 【变式跟进】3．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，连结AD，且AD＝AE.若∠BAD＝54°，求∠CDE的度数． (变式跟进3) 解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED. 设∠CDE＝x，则∠ADE＝∠AED＝x＋∠C. ∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD， ∴x＋∠C＋x＝∠C＋54°，∴2x＝54°，解得x＝27°，∴∠CDE＝27°. 题型四　等腰三角形的判定 【例4】如图，从①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CDA；③AB＝DC；④BE＝CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形(写出一种即可)． (例4) 已知：__①②(答案不唯一)__(填序号)．求证：△AED是等腰三角形． 证明： 证明：在△BAD和△CDA中，∵， ∴△BAD≌△CDA(AAS)，∴∠ADB＝∠DAC， 即在△AED中，∠ADE＝∠DAE，∴EA＝ED， ∴△AED是等腰三角形． 【方法指导】“等角对等边”是证明线段相等的又一个重要方法．当要证明一个三角形的两条边相等时，可尝试“等角对等边”． 【变式跟进】4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连结AD. (变式跟进4) (1)若∠BAD＝45°，求证：△ACD是等腰三角形． (2)若△ACD是直角三角形，求∠BAD的度数． 解：(1)∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝120°. ∵∠BAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝75°，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝75°， ∴∠ADC＝∠CAD，∴AC＝DC， ∴△ACD是等腰三角形． (2)分两种情况讨论： ①当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝60°； ②当∠CAD＝90°时，∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝30°. 综上所述，∠BAD的度数为60°或30°. 题型五　等边三角形的性质与判定 【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，以AC为腰在其右侧作△ACD，使AD＝AC，连结BD，设∠CAD＝α. (例5) (1)若α＝60°，CD＝2，求BD的长． (2)设∠DBC＝β，请你猜想β与α之间的数量关系，并说明理由． 解：(1)∵α＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD＝2. ∵∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠BAC＋α＝90°. 又∵AB＝AC＝AD＝2，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝2. (2)β＝.理由如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝＝75°. ∵AB＝AD，∴∠ABD＝＝75°－， ∴β＝∠ABC－∠ABD＝. 【方法指导】等边三角形的判定方法：①已知三边关系，则选用定义判定；②已知三角关系，则通过利用三个角都相等的三角形是等边三角形判定；③已知三角形是等腰三角形，则选用边角综合的办法判定． 【变式跟进】5．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD. (变式跟进5) 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABE＝60°. ∵△BDE是等边三角形，∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD. 在△ABE和△CBD中，∵ ∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD. 6．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB. (变式跟进6) (1)求∠C的度数． (2)求证：△ADE是等边三角形． 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝＝30°. (2)∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠EAD＝180°－∠ADE－∠AED＝60°＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． 题型六　勾股定理的计算 【例6】如图，在平面直角坐标系中，以点A(3，1)为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B(1，1)，C(1，3)，D(4，4)，E(5，2)，则∠BAC__＝__(填“＞”“＜”或“＝”)∠DAE. 　 (例6)　　　　　　　　 【解析】 如答图，连结DE. 　　　　　　　　　　　　 　(例6答图) 由图可知，AB＝2，BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°. ∵AE＝＝＝， 同理DE＝＝，AD＝＝. 在△ADE中，有AE2＋DE2＝AD2，AE＝DE， ∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝45°，∴∠BAC＝∠DAE. 【方法指导】勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边，求第三边的长，我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，勾股定理的不同形式有： ①c2＝a2＋b2，a2＝c2－b2，b2＝c2－a2； ②c＝，a＝，b＝. 【变式跟进】7．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是(　D　) A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．直角三角形的两条边长分别为3和4，求这个直角三角形斜边上的高线长． 解： 分两种情况讨论： ①如答图①，当3，4都为直角边长时， (变式跟进8答图①) 易知AB＝＝5. ∵AC·BC＝AB·CD，∴CD＝＝； ②如答图②，当4为斜边长时， (变式跟进8答图②) 易知BC＝＝. ∵AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝＝. 综上所述，这个直角三角形斜边上的高线长为或. 题型七　勾股定理的逆定理 【例7】如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°. (例7) (1)判断∠D是否是直角，并说明理由． (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)∠D是直角．理由如下： 如答图，连结AC. (例7答图) ∵∠B＝90°， ∴AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625. ∵AD2＋CD2＝242＋72＝625， ∴AC2＝AD2＋CD2， ∴△ADC是直角三角形，∠D是直角． (2)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AB·BC＋AD·CD＝×20×15＋×24×7＝234. 【方法指导】勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路．熟悉常见的勾股数对灵活运用勾股定理的逆定理有一定帮助． 【变式跟进】9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在AB上，且AF∶FB＝3∶1. (变式跟进9) (1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求DF的长． 解：(1)EF⊥DE.理由如下： 如答图，连结DF. (变式跟进9答图) 设正方形边长为a，则AD＝CD＝a，AF＝a，BF＝a，BE＝CE＝a. 在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝a2. 在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝a2. 在Rt△EFB中，EF2＝BF2＋BE2＝a2. ∵DE2＋EF2＝a2＝DF2，∴△DFE是直角三角形，∠DEF＝90°，即EF⊥DE. (2)∵正方形的面积为16，∴a2＝16. ∵DF2＝a2＝×16＝25，∴DF＝5. 题型八　勾股定理的实际应用 【例8】如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，且A1B1＝8 km.若要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到点P的距离之和最短，则这个最短距离之和为多少千米？ (例8) 解：如答图，作点B关于MN的对称点B′，连结AB′交A1B1于点P，连结BP，则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′， (例8答图) 易知此时点P到A，B的距离之和最短． 过点A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8 km，B′E＝AA1＋B1B′＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)． 由勾股定理可知，AB′＝＝10 km， ∴AP＋BP＝10 km， 即出口P到A，B两个村庄的最短距离之和为10 km. 【方法指导】解这类题的关键在于运用几何知识确定点P的位置，并会通过构造直角三角形算出答案．勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此是数形结合的典范． 【变式跟进】10．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“综合执法1号”“综合执法2号”轮船同时离开港口，各自沿一定方向执法巡逻．“综合执法1号”每小时航行16海里，“综合执法2号”每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (变式跟进10) (1)求PQ，PR的长． (2)如果知道“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，请确定“综合执法2号”沿哪个方向航行． 解：(1)由题意，得RP＝12×1.5＝18(海里)，PQ＝16×1.5＝24(海里)． (2)由(1)，得RP2＋PQ2＝900＝QR2，∴△RPQ是直角三角形，∠RPQ＝90°. 由题意，得∠QPy＝61°，∴∠RPy＝∠RPQ－∠QPy＝29°， ∴“综合执法2号”沿北偏西29°方向航行． 【巩固作业】 1．若等腰三角形的一个内角度数为40°，则它的顶角度数为(　C　) A．100° B．40° C．100°或40° D．60°或40° 2．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为25°，则它的顶角度数为(　D　) A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115° 3．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，则BD的长为(　D　) (第3题) A. B．2 C．3 D．4 4．如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为(　D　) (第4题) A．(1，1) B．(，1) C．(，) D．(1，) 5．如图，小明家需购买一张大圆桌面(不能折叠，不考虑木板厚度)．若入户门的高为2 m，宽为1 m，则尽可能大的圆桌的直径可以为(　B　) (第5题) A．2.1 m B．2.2 m C．2.3 m D．2.4 m 6．如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形所围成的正方形，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠ACB＝90°，则AB的长为____；若将图①中的四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则该“数学风车”的外围周长为__4＋12__． (第6题) 【解析】 如答图． (第6题答图) 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠ACB＝90°， ∴AB2＝AC2＋BC2＝13， ∴AB＝. 设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为BD， 则BD2＝CD2＋BC2＝62＋22＝40， ∴BD＝， ∴“数学风车”的外围周长为4(BD＋AD)＝4×(＋3)＝4＋12. 7.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标． (2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标． (第7题) 解：(1)△A1B1C1如答图①所示，点A1(0，4)，B1(2，2)，C1(1，1)． 　　 　　　　　　(第7题答图①)　　　　　　　　　　　(第7题答图②) (2)△A2B2C2如答图②所示，点A2(6，4)，B2(4，2)，C2(5，1)． 8．已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝AD，ED⊥AB.求证：△CDE是等腰三角形． (第8题) 证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠ACB. ∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ACE－∠ACD＝∠ADE－∠ADC，即∠ECD＝∠EDC， ∴△CDE是等腰三角形． 9．在长方形零件ABCD中，BC＝2AB，两孔中心点M，N到AD上点P的距离相等，且MP⊥NP，相关尺寸如图所示，则两孔中心点M，N之间的距离为__26__mm. (第9题) 【解析】 如答图，过点M作ME⊥AD于点E，过点N作NF⊥AD于点F，则∠MEP＝∠PFN＝90°. (第9题答图) ∵MP⊥NP，∴∠MPN＝90°， ∴∠PME＋∠MPE＝∠MPE＋∠NPF＝90°，∴∠EMP＝∠FPN. ∵PM＝NP，∴△PEM≌△NFP(AAS)，∴PF＝ME＝10 mm，PE＝NF. 设PE＝NF＝x(mm)，∴CD＝(11＋x)mm，DF＝(50－x－10)mm， ∴BC＝54＋(50－x－10)＝(94－x)mm. ∵四边形ABCD是长方形，∴CD＝AB. ∵BC＝2AB，∴94－x＝2(11＋x)，解得x＝24，∴PE＝NF＝24 mm. ∵ME＝10 mm，∴PM＝＝26 mm. ∵PM＝NP，∴∠PMN＝∠PNM＝＝45°， ∴MN＝PM＝26 mm. 10.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“美好三角形”． (1)等边三角形ABC的边长为2，△ABC是“美好三角形”吗？请说明理由． (2)已知Rt△ABC是“美好三角形”，∠C＝90°，AC＝6.求BC的长． 解： (1)△ABC不是“美好三角形”．理由如下： 如答图①，作BC边上的中线AD. (第10题答图①) ∵△ABC是等边三角形，AD是中线， ∴AD⊥BC，AB＝BC＝AC， ∴AD＜AB，∴AD＜BC. 同理可证AB上的中线长小于AB的长，AC上的中线长小于AC的长， ∴△ABC不是“美好三角形”． (2)分两种情况讨论： ①如答图②，作AC边上的中线BD. (第10题答图②) ∵Rt△ABC是“美好三角形”， 当BD＝AC＝6时，CD＝AC＝3. 由勾股定理可知，BC＝＝； ②如答图③，作BC边上的中线AD. (第10题答图③) ∵Rt△ABC是“美好三角形”， 当BC＝AD时，AD＝2CD. 由勾股定理可知，CD2＋AC2＝AD2， ∴CD2＋62＝4CD2，∴CD＝，∴BC＝2CD＝2. 综上所述，BC的长为或2. 11．在△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△ABE，△CBF，AC，AB，BC分别是斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4. (第11题) (1)当AC＝6，BC＝8时， ①求S1的值． ②求S4－S2－S3的值． (2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系． 解：(1)①∵△ACD是等腰直角三角形，AC＝6， ∴AD＝CD＝AC＝3，∴S1＝×3×3＝9. ②如答图，设AE与BC相交于点G. (第11题答图) ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10. ∵△ABE，△CBF是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝5，CF＝BF＝4. 设S△BEG＝S5，则S4－S2－S3＝(S4＋S5)－(S2＋S3＋S5)＝S△ABE－S△CBF ＝×5×5－×4×4＝9. (2)设S△BEG＝S5. ∵△ACD，△ABE，△CBF都是等腰直角三角形， ∴易得S△ACD＝AC2，S△CBF＝BC2，S△ABE＝AB2. ∵AC2＋BC2＝AB2，∴AC2＋BC2＝AB2， 即S△ACD＋S△CBF＝S△ABE. ∵S△ACD＝S△ABE－S△CBF＝(S4＋S5)－(S2＋S3＋S5)＝S4－S2－S3， 即S1＝S4－S2－S3，∴S1＋S2＋S3＝S4. 学科网（北京）股份有限公司 $