精品解析：四川达州市开江县长岭中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达州市开江县长岭中学2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 根据勾股定理逆定理逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、， 构不成三角形，故此选项不符合题意； C、， 是直角三角形，故此选项符合题意； D、， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 9的平方根是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 3. 若一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有分母”是解题关键．根据二次根式的性质化简后，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、，是最简二次根式，故B符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 故C不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 5. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ）． A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，图形类变化规律，根据勾股定理得出规律经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得： “生长”次，“生长”出的两个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； …， 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是， ∴“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为， 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、无意义，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理可求出半径，根据圆的性质，即可得出点A表示的数． 【详解】由勾股定理，得斜边的长为， 由圆的性质，得点A表示的数为， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜边的长是解题关键． 8. 已知，则的值为（） A. B. C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算．本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得； 解得． ． 把代入得 ， 解得． ∴． 故选：B． 9. 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜜蜂点的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆柱的侧面展开图，结合两点之间线段最短（将军饮马问题）、勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示，点在圆柱侧面展开图所成矩形两边对边中点的连线上，过点作关于矩形上面一条边的对称点，连结，则的长就是蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离． 过点作于点， 由题意得：， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为． 10. 长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，，证明，推出，求得，推出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 比较大小：__．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，先将根号外的因数移到根号内，再根据所得结果比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键．根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】解：∵是49的算术平方根， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：． 当，时，， ∴的立方根是， 故答案为：． 13. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 【答案】34 【解析】 【分析】在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴ ． 14. 若，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据二次根式有意义的条件，求出的值是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件，求的值，进而求的值，然后代入计算． 【详解】解：依题意得：， ， 将代入得：， ， 故答案为：1． 15. 如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、勾股定理等知识点，利用垂直平分线将转化为，找到P、A、D三点共线时最短成为解题的关键． 由作法知是的垂直平分线，可得，线段的最小就是，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边的中点，可，由可得，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作法知是的垂直平分线， ∴， ∴， 线段的最小就是， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算绝对值、开方、乘方，再算加减； （2）先根据平方差公式、二次根式的性质以及二次根式的除法法则计算，再算加减． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，在中，，垂足为，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出和的长，再利用勾股定理求出的长，再根据三角形面积相等求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， 在中，得：， ∵， ∴， 即， 解得． 18. 如果 是 的算术平方根，是 的立方根，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根以及算术平方根，根据“ 是的算术平方根， 是的立方根”即可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出a、b的值，将其代入m、n中求出m、n的值，再求出的值即可． 【详解】解：由题得：， 解得：， ，， 的平方根为：． 19. 如图，小区有一块三角形空地，为响应张掖市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由米，米，米可得，由勾股定理的逆定理可得，由邻补角互补可得，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由三角形的面积公式可得，进而可得，由此即可求出小路的长． 【小问1详解】 解：米，米，米， ，， ， ， ， （米）； 【小问2详解】 解：， （米）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 20. 已知，，求下列各代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先求出，，然后通过，再代入求值即可； （）把，代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 21. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1）5 （2） 证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理， （1）在中，根据勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 【小问2详解】 略 22. 已知等式． （1）若有意义，则的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得 ； （2）根据（1）的分析，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】第一小问根据二次根式的性质和绝对值的性质即可解决；第二小问则是在第一小问的基础上来对题目式子进行变形化简即可． 【小问1详解】 解： 去绝对值符号后为 【小问2详解】 23. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）∠ACB＝90° （2） 解：海港C受台风影响，理由： 过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴×300×400＝×500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响， ∴海港C受台风影响； （3）台风影响该海港持续的时间为小时 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可求解； （2）过点C作CD⊥AB， 根据直角三角形的面积可得AC×BC＝CD×AB，从而得到CD＝240km，即可求解； （3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 根据等腰三角形的性质可得EF=2ED=200km，即可求解． 【小问1详解】 解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 由（2）得：CD⊥AB，CD=240km， ∴EF=2ED， ∵ED＝＝100（km）， ∴EF＝200km， ∵台风的速度为28千米/小时， ∴200÷28＝（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 24. 阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． （1）计算：． （2）已知m是正整数，，，，求m． （3）已知，则的值为? 【答案】（1） （2）504 （3）9 【解析】 【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果； （2）、互为倒数，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可； （3）设，，则，利用已知等式导出，根据完全平方公式计算出即为所求． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ，， ，，， ， ， ， ； 【小问3详解】 设，，则， ， ， ， ， ， ， ．（舍去）， ． 【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法． 25. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】 （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）千米； （3）8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）略 （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市开江县长岭中学2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 9的平方根是（ ） A. B. C. 3 D. 3. 若一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 5. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ）． A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值为（） A. B. C. 2024 D. 2025 9. 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜜蜂点的最短距离为（ ） A. B. C. D. 10. 长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 比较大小：__．（填“”“”或“”） 12. 已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是______． 13. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 14. 若，则的值为______． 15. 如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，垂足为，，，求的长． 18. 如果 是 的算术平方根，是 的立方根，求的平方根． 19. 如图，小区有一块三角形空地，为响应张掖市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 20. 已知，，求下列各代数式的值． （1）； （2）． 21. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 22. 已知等式． （1）若有意义，则的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得 ； （2）根据（1）的分析，求的值． 23. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 24. 阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． （1）计算：． （2）已知m是正整数，，，，求m． （3）已知，则的值为? 25. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $