精品解析：四川省开江县永兴中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学测试题

四川省开江县永兴中学2025—2026学年八年级上学期10月月考数学测试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数、、、、、、、、，其中无理数的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如果点，则点到轴的距离是（　　） A. B. C. 3 D. 4 3. 满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，分别以正东、正北方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，且艺术楼的坐标为，教学楼的坐标，则实验楼的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 用一张纸片剪出一个空洞，空洞由边长分别为a，b的两个正方形和斜边为c的两个直角三角形组成，如图所示，下列表示空洞面积的式子正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值等于（ ）． A. B. C. D. 8. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为直角三角形时，对角线的长为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 或5 9. ，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若一个正数的两个平方根分别为与，则__________． 12. 如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为__________海里． 13. 如图，已知点A（0，4）、点B（6，4），点C在x轴上，若△ABC是等腰三角形，则点C的横坐标为____________． 14. 已知为实数，且，则________． 15. 如图，点E在正方形的边上，连结垂直平分，分别交，于点．当时，________，________． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算题 （1）； （2）； （3）． 17. 解下列方程． （1）； （2）． 18. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 19. 如图已知矩形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，求的长． 20. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 21. 在平面直角坐标系中， （1）已知点在轴上，求点的坐标； （2）已知两点，，若轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围． （3）在（1）（2）的条件下，如果线段AB的长度是5，求以P、A、B为顶点的三角形的面积S． 22. 观察下列等式，并回答问题： ①； ②； ③； ④； …… （1）请写出第⑤个等式：______，化简：______； （2）写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示） （3）比较与1的大小． 23. 如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物． （1）请画出该蚂蚁沿长方体表面爬行的三条线路图（即平面展开图）； （2）已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8cm/s，问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？ 24. 如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作使和关于轴对称，并写出、、的坐标； （2）求出的面积； （3）在轴上找到一点使最短，在坐标系里找出点P的位置，并求的最短距离． 25. 小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ， ∴， ∴，，∴， ∴． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①化简，求的值； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省开江县永兴中学2025—2026学年八年级上学期10月月考数学测试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数、、、、、、、、，其中无理数的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中是有理数中的整数． 【详解】是无限循环小数,是有理数； 是无限不循环小数,是无理数； ，1是整数，是有理数； 是有限小数,是有理数； 是有限小数,是有理数； ，1是整数，是有理数； 是无限不循环小数,是无理数； ，2是整数，是有理数； 是无限不循环小数,是无理数． 故无理数有3个． 故选：C． 2. 如果点，则点到轴的距离是（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到y轴的距离为横坐标的绝对值，即可得解． 【详解】解：∵点Q到y轴的距离为其横坐标的绝对值即， ∴点P到y轴的距离为4． 故选：D． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离．熟练掌握点到y轴的距离为横坐标的绝对值，是解题的关键． 3. 满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，， ∴最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B、设分别为， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； C、， ∴不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； D、， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除计算法则求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 5. 如图是某学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，分别以正东、正北方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，且艺术楼的坐标为，教学楼的坐标，则实验楼的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据艺术楼的坐标为，教学楼的坐标建立平面直角坐标系求解即可． 【详解】如图， 实验楼的坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解答本题的关键． 6. 用一张纸片剪出一个空洞，空洞由边长分别为a，b的两个正方形和斜边为c的两个直角三角形组成，如图所示，下列表示空洞面积的式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题． 【详解】解：观察图形可知： 空洞面积为a2+b2+ab=c2+ab， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息． 7. 若，则的值等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入数据，利用完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式是解题的关键． 8. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为直角三角形时，对角线的长为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 或5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，分三种情况由勾股定理求出的长，由三角形三边关系可得出答案． 【详解】解：若， ∵， ∴对角线； 若， ∵， ∴对角线的长不符合题意，舍去； 若，不存在， 故选：A． 9. ，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴ ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键． 10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由，得知动点P在与AB平行且与AB的距离为3的直线上，作点A关于直线的对称点E，连接AE、BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值． 【详解】解：∵， 设点P到CD的距离为h，则点P到AB的距离为(4-h), 则，解得：h=1，∴点P到CD的距离1，到AB的距离为3， ∴如下图所示，动点P在与AB平行且与AB的距离为3的直线上，作点A关于直线的对称点E，连接AE、BE，且两点之间线段最短， ∴PA+PB的最小值即为BE的长度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°， 根据勾股定理：， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题（两点之间线段最短），勾股定理，得出动点P所在的位置是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若一个正数的两个平方根分别为与，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根先判断这个数不能为零，然后根据一个正数的两个平方根互为相反数可得出a的值． 【详解】解：若这个数为零，则，， 此时a无解，故这个数不为零， 若这个数不为零，则， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为__________海里． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，证明为直角三角是解题的关键． 由题意得是直角三角形，求得与的长，然后根据勾股定理即可求得的长即可． 【详解】解：由题意知，，（海里），（海里）， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：（海里） 答：M岛与N岛之间的距离为20海里． 故答案为：． 13. 如图，已知点A（0，4）、点B（6，4），点C在x轴上，若△ABC是等腰三角形，则点C的横坐标为____________． 【答案】 或或或或 【解析】 【详解】6-0=6， ①当AB=BC，,所以点C的横坐标为 或; ②当AC=BC，6÷2=3．点C的横坐标为3； ③当AB=AC，,点C的横坐标为或-; 所以点C的横坐标为 或或或或-. 故答案是: 或或或或-. 【点睛】此题主要考查坐标与图形性质，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的动手操作能力和理解能力． 14. 已知为实数，且，则________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了换元法，二次根式的非负性，完全平方公式变形，换元法是解本题的关键．设,，由已知条件得，且，解出和的值，再代入所求表达式计算 【详解】解：设,，则 由,，得 将代入，得 展开得，即 两边除以2得 解方程得或（舍去，因为） 则 故 15. 如图，点E在正方形的边上，连结垂直平分，分别交，于点．当时，________，________． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】见解析中的作辅助线．构造多个矩形与全等三角形，设法证明与，结合已知条件可推得，于是可求；先证明，则，再证明点E为的中点，在直角三角形中可求得的长，继而求得对角线的长． 【详解】①连接．自I分别作的垂线，垂足为点．自点E作射线的垂线，垂足为点Q，与相交于点N． 由正方形知，又， ∴四边形是矩形， ∴，又由知， ∴四边形是矩形，， 又，则． ∴． 由垂直平分知， ∴ ∴． 由是正方形的对角线知，， 又 ∴ ∴． 由垂直平分知， ∴，又 ∴ 由四边形是矩形知，， 由四边形是矩形知， ∴． 又， ∴ ∴ ∴． ②过点N作的平行线，分别交于点．自点G作的垂线，垂足为L． 由①知，， ∴，又， ∴ ∴， 因， ∴四边形与四边形均为矩形， ∴， ∴． 由知四边形是矩形，则， 由知， 在与中， ∴ ∴． 在中，， ∴ 解得： ∴， 在中，． 综合①②可知，，， 故答案为：10与． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识点，解题的关键是作出相关辅助线． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算题 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和运算规则． （1）先将带分数化为假分数，再把各项二次根式化简，最后进行乘法运算； （2）先把各项二次根式化简，然后去括号，再合并同类二次根式； （3）先把各项二次根式化简，再进行除法运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 解： ． 17. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，去分母、去括号，然后移项合并，最后系数化为1求解即可； （2）先去括号，然后移项合并，计算求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母、去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解：， 去括号得，， 移项合并得，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用，解一元一次方程．解题的关键在于正确的运算． 18. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】 △ABC是直角三角形 理由是：∵ ∴a-5=0，b-12=0，c-13=0 ∴a=5 , b=12, c=13， ∵a²+b²=5²+12²=169，c²=13²=169 ∴a²+b²= c² ∴△ABC是直角三角形． 【解析】 【分析】根据非负性求出a，b，c，根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：略． 【点睛】此题主要考查勾股定理逆定理的应用，解题的关键是熟知绝对值与平方的非负性． 19. 如图已知矩形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ， 即． 20. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 【答案】水深尺，芦苇长尺 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据题意画出图形，解答即可； 先设水池的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】（1）解：如图，已知：尺，尺，， 求：与的长度； 故答案为：尺，尺，，与的长度； （2）设水池的深度为尺，则尺， 由题意得：， 即：， 解得：， ， 答：水深尺，这根芦苇的长度各是尺． 21. 在平面直角坐标系中， （1）已知点在轴上，求点的坐标； （2）已知两点，，若轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围． （3）在（1）（2）的条件下，如果线段AB的长度是5，求以P、A、B为顶点的三角形的面积S． 【答案】（1）a=1， P（0，9）；（2）m=4，n＞0；（3）S=12.5. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出a的值，再求解即可；（2）根据第一象限内点的横坐标是正数，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等解答；（3）先确定出点P到AB的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 试题解析：(1)∵点P(a-1,3a+6)在y轴上， ∴a-1=0， 解得a=1， 所以，3a+6=3×1+6=9， 故P(0,9)； (2)∵AB∥x轴， ∴m=4， ∵点B在第一象限， ∴n>0， ∴m=4，n>0； (3)∵AB=5，A. B的纵坐标都为4， ∴点P到AB的距离为9-4=5， ∴以P、A. B为顶点的三角形的面积S=12×5×5=12.5. 点睛：本题考查了点的坐标，两点间的近距离，三角形的面积，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键.在图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律. 22. 观察下列等式，并回答问题： ①； ②； ③； ④； …… （1）请写出第⑤个等式：______，化简：______； （2）写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示） （3）比较与1的大小． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【小问1详解】 解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵， ∴． 【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 23. 如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物． （1）请画出该蚂蚁沿长方体表面爬行的三条线路图（即平面展开图）； （2）已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8cm/s，问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？ 【答案】 （1）如图所示： （2）蚂蚁能在11秒内获取到食物． 【解析】 【分析】（1）分类讨论画出解答几何体的部分侧面展开图，即可得到蚂蚁沿长方体表面爬行的三条线路图； （2）利用直角三角形的边的关系容易解得AB的值，从而得出其中的最小值，再利用速度、时间、路程之间的关系，求出时间和11秒比较大小即可． 【详解】解：（1）从长方体的一条对角线的一个端点A出发，沿表面运动到另一个端点B，有三种方案，如图是它们的三种部分侧面展开图； （2）由（1）可知AB路程可能是： AB== 或 =或 =， ∴它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物最短路程为， ∴所需时间为÷0.8≈10.75＜11， ∴蚂蚁能在11秒内获取到食物． 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，根据题意画出长方体的表面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键． 24. 如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作使和关于轴对称，并写出、、的坐标； （2）求出的面积； （3）在轴上找到一点使最短，在坐标系里找出点P的位置，并求的最短距离． 【答案】（1）如图，△A'B'C'即为所求，（4，0），（－1，－4 ），（－3，－1） （2）11.5 （3） 如图，点P即为所求，最短距离为CB″＝． 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′，顺次连接即可，然后根据所作图形可得、、的坐标； （2）利用分割法求三角形面积即可； （3）作点B关于y轴的对称点B″，连接CB″交y轴于点P，连接PC，此时PB＋PC的值最小，最短距离为CB″的长度，利用勾股定理求出CB″即可． 【小问1详解】 略．嘻嘻嘻解： 【小问2详解】 S△ABC＝4×7−×2×3−×1×7−×4×5＝11.5； 【小问3详解】 略． 【点睛】本题考查作图−轴对称变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 25. 小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ， ∴， ∴，，∴， ∴． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①化简，求的值； ②求的值． 【答案】（1）9 （2）①，的值是3；②0 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式可以求出所求式子的值； （2）①根据平方差公式可以化简，然后即将变形，即可得到的值，再整体代入化简后的式子计算即可； ②根据①中的值，将所求式子变形，再整体代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， ； ②由①知， ． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意，利用完全平方公式和平方差公式解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $