江苏省南京市六合区2026～2027学年苏科版九年级期中模拟数学试卷

2026～2027学年第一学期六合区九年级期中模拟数学试卷 参考答案与解析 （满分120分，考试时间120分钟） 答案速查　1．A　2．A　3．B　4．D　5．B　6．A 7．  或  　8．  或  　9．　10．　11．①　12．  或  　13．　14．　15．；　16． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．把方程    化成一元二次方程的一般形式，且二次项系数为  ，则一次项系数和常数项分别是（　　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 【答案】A 【解析】方程    整理得  ，两边同乘    得  ，所以一次项系数为  ，常数项为  ．故选A． 2．用配方法解方程    时，可以将方程化为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由    得  ，配方得  ，即  ．故选A． 3．在同一平面内，已知    的半径为  ，圆心    到直线    的距离为  ，点    为    上的一个动点，则点    到直线    的最大距离是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】当点    在直线    的另一侧，且    的延长线垂直于    时，点    到直线    的距离最大，最大距离为  ．故选B． 4．在下列选项中，反比例函数    的图象大致是（　　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解析】因为  ，所以该反比例函数的图象位于第一、三象限，且与坐标轴没有交点，故选D． 5．已知反比例函数  （），且在各自象限内，  随    的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】因为在各自象限内    随    的增大而增大，所以  ，图象上的点的横、纵坐标异号．  中  ，不符合；  中  ，符合；、  中纵坐标为  ，而反比例函数的图象与    轴没有交点．故选B． 6．定义：  表示不超过实数    的最大整数，例如  ，，．函数  （）的图象如图所示，则方程    的解为（　　　） A．  或    或   B．  或   C．  或   D．  或   【答案】A 【解析】当    时，，由    得  ，（不合题意，舍去）； 　　　　当    时，，由    得  ，（不合题意，舍去）； 　　　　当    时，，由    得  ；当    时  ，当    时  ，而  ，均无解． 　　　　综上所述，方程的解为    或    或  ．故选A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．若    与    互为相反数，则    的值为                      ． 【答案】  或   【解析】由题意得  ，即  ，所以  ，解得    或  ． 8．在平面直角坐标系中，若直线    不经过第一象限，则关于    的方程    的实数根的个数为                      ． 【答案】  或   【解析】因为直线    不经过第一象限，所以  ．当    时，原方程为  ，是一元一次方程，有    个实数根；当    时，，方程有两个不相等的实数根．所以实数根的个数为    或  ． 9．若关于    的方程    的两根互为倒数，则    的值为                      ． 【答案】 【解析】设方程的两根为  ，，由两根互为倒数得  ，解得    或  ． 　　　　当    时，，方程没有实数根，舍去；当    时，，符合题意．所以  ． 10．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有    人患了流感，则每轮传染中平均每人传染了                      个人． 【答案】 【解析】设每轮传染中平均每人传染了    个人，则  ，解得  ，（不合题意，舍去），即每轮传染中平均每人传染了    个人． 11．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是                      （填“①”“②”或“③”）． 【答案】① 【解析】第①块碎片上出现了两条完整的弦，分别作这两条弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心，由此可确定半径的长，所以最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的是第①块碎片． 12．已知    的直径  ，  是    的弦，，垂足为  ，且  ，则    的长为                      ． 【答案】  或   【解析】连接  ．因为  ，由垂径定理得  ．在Rt  中，，所以  ． 　　　　如图①，当点    在弦    的另一侧时，，所以  ； 　　　　如图②，当点    与弦    在圆心    的同侧时，，所以  ． 　　　　所以    的长为    或  ． 13．如图，，，  是    上的点，  是圆的直径，在    的延长线上取一点  ，使  ，连接  ，则    的度数是                      ． 【答案】 【解析】因为    是圆的直径，所以  ，所以  ．因为  ，所以    是等腰直角三角形，所以  ． 14．如图，正五边形    内接于  ，连接  ，则    的度数是                      ． 【答案】 【解析】因为正五边形    内接于  ，所以  ，，所以  ，所以  ． 15．如图，在半径为    的圆形纸片中，剪出一个圆心角为    的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为                      ；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥的底面半径为                      ． 【答案】； 【解析】连接  ．由题意得  ，，所以    为    的直径，，由勾股定理得  ，所以扇形的面积为  ． 　　　　设圆锥的底面半径为  ，因为扇形的弧长等于圆锥的底面周长，所以  ，解得  ． 16．如图，在Rt  中，，，，  是    内部的一个动点，且满足  ，则线段    长的最小值为                      ． 【答案】 【解析】因为  ，所以  ．又  ，所以  ，所以  ，所以点    在以    为直径的    上运动（  为    的中点）． 　　　　因为  ，，所以  ，所以    的最小值为  ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； 　　　　（2），； 　　　　（3），． 【解析】（1）两边同除以  ，得  ，开平方得  ，所以  ，． 　　　　（2），，，，所以  ，即  ，． 　　　　（3），，，，所以  ，即  ，． 18．（6分）如图，点  ，，，，  都在    上，，，且  ．求证：． 【答案】见解析． 【解析】因为  ，所以  ；因为  ，所以  ，所以  ，即  ． 　　　　因为  ，所以  ，所以  ，所以  ． 19．（7分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化．原空地一边减少了    米，另一边减少了    米，剩余一块面积为    平方米的矩形空地．求原正方形空地的边长． 【答案】原正方形空地的边长是    米． 【解析】设原正方形空地的边长是    米．根据题意得  ，整理得  ，即  ，解得    或  ． 　　　　因为  ，所以    不合题意，舍去．所以原正方形空地的边长是    米． 20．（7分）已知菱形    的边长是  ，两条对角线交于点  ，且  ，  的长分别是关于    的方程    的两个不相等的实数根，求    的值． 【答案】． 【解析】因为四边形    是菱形，所以  ，所以  ． 　　　　由根与系数的关系得  ，，所以  ，即  ，整理得  ，解得    或  ． 　　　　又方程有两个不相等的实数根，所以  ，即  ，所以    不合题意，舍去．所以  ． 21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点    在反比例函数  （）的图象上，过点    作    轴，交    轴于点  ，点    在    轴上，且  ，  的面积是  ，求    的值． 【答案】． 【解析】设点  ，则  ，．因为  ，所以  ． 　　　　所以  ，解得  ． 22．（7分）某果园有    棵苹果树，一棵苹果树平均结    个苹果．现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种一棵苹果树，每棵苹果树的产量就会减少    个．如果要使产量增加  ，且多种的苹果树要少于原有的苹果树，那么应多种多少棵苹果树？ 【答案】应多种    棵苹果树． 【解析】设应多种    棵苹果树，则苹果树共有    棵，每棵苹果树产苹果    个．根据题意得  ， 　　　　整理得  ，解得  ，．因为多种的苹果树要少于原有的苹果树，即  ，所以    不符合题意，舍去．所以应多种    棵苹果树． 23．（8分）如图，四边形    是    的内接四边形，，，直线    与    相切于点  ．若  ，求    的度数． 【答案】． 【解析】连接  ，，．因为  ，，所以  ． 　　　　因为  ，所以  ，所以  ． 　　　　因为  ，所以  ．因为直线    与    相切于点  ，所以  ，所以  ． 24．（7分）如图，点    在    上，点    在    外，线段    与    交于点  ，过点    作    的切线交直线    于点  ，且  ． （1）判断直线    与    的位置关系，并说明理由； （2）若  ，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）直线    与    相切； 　　　　（2）． 【解析】（1）直线    与    相切．理由如下：连接  ，．因为直线    与    相切于点  ，所以  ，即  ． 　　　　在    和    中，，，，所以  （SSS），所以  ，即  ．因为    是    的半径，所以直线    与    相切． 　　　　（2）由（1）得  ，所以  ，．因为  ，所以  ，所以  ，． 　　　　在Rt  中，，，所以  ，，所以  ． 　　　　所以  ． 25．（7分）如图，已知  ． （1）实践与操作：用直尺和圆规作出    的内心  （保留作图痕迹，不写作法）； （2）推理与计算：如果    的周长为    厘米，（  的内切圆）的半径为    厘米，求    的面积． 【答案】（1）见解析； 　　　　（2）  平方厘米． 【解析】（1）如图①，分别作    与    的平分线，两线的交点    即为    的内心（点    到三边的距离相等）． 　　　　（2）如图②，连接  ，，，作    于点  ，  于点  ，  于点  ．因为    是内切圆，半径为    厘米，所以    厘米． 　　　　因为    的周长为    厘米，所以    厘米，所以  （平方厘米）． 26．（10分）下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 解方程：． 解：原方程可变形，得  ，即  ，所以  ，直接开平方并整理，得  ，． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）用“平均数法”解方程  ，则                        ，                      ； （2）请用“平均数法”解方程：①；②． 【答案】（1），； 　　　　（2）①，；②，． 【解析】（1）原方程可变形为  ，即  ，所以  ，直接开平方并整理，得  ，． 　　　　（2）①原方程可变形为  ，即  ，所以  ，所以  ，所以  ，解得  ，． 　　　　②原方程可变形为  ，即  ，所以  ，所以  ，所以  ，解得  ，． 27．（10分）如图，在    中，，  厘米．将    绕点    顺时针旋转得到  ，连接  （旋转过程中），过点    作    于点  ，当点  ，，  在同一直线上时停止旋转．求在这一旋转过程中，点    所经过的路径长． 【答案】  厘米． 【解析】取    的中点  ，连接  ．因为    于点  ，所以  ，所以    厘米，所以点    在以    为圆心、  厘米为半径的圆上运动． 　　　　旋转开始时    与    重合，点    与点    重合；当点  ，，  在同一直线上时，，此时  ． 　　　　所以点    经过的路径长为  （厘米）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期六合区九年级期中模拟数学试卷 九年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．把方程    化成一元二次方程的一般形式，且二次项系数为  ，则一次项系数和常数项分别是（　　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 2．用配方法解方程    时，可以将方程化为（　　　） A． B． C． D． 3．在同一平面内，已知    的半径为  ，圆心    到直线    的距离为  ，点    为    上的一个动点，则点    到直线    的最大距离是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．在下列选项中，反比例函数    的图象大致是（　　　） A．　B．　C．　D． 5．已知反比例函数  （），且在各自象限内，  随    的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．定义：  表示不超过实数    的最大整数，例如  ，，．函数  （）的图象如图所示，则方程    的解为（　　　） A．  或    或   B．  或   C．  或   D．  或   二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．若    与    互为相反数，则    的值为                      ． 8．在平面直角坐标系中，若直线    不经过第一象限，则关于    的方程    的实数根的个数为                      ． 9．若关于    的方程    的两根互为倒数，则    的值为                      ． 10．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有    人患了流感，则每轮传染中平均每人传染了                      个人． 11．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是                      （填“①”“②”或“③”）． 12．已知    的直径  ，  是    的弦，，垂足为  ，且  ，则    的长为                      ． 13．如图，，，  是    上的点，  是圆的直径，在    的延长线上取一点  ，使  ，连接  ，则    的度数是                      ． 14．如图，正五边形    内接于  ，连接  ，则    的度数是                      ． 15．如图，在半径为    的圆形纸片中，剪出一个圆心角为    的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为                      ；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥的底面半径为                      ． 16．如图，在Rt  中，，，，  是    内部的一个动点，且满足  ，则线段    长的最小值为                      ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18．（6分）如图，点  ，，，，  都在    上，，，且  ．求证：． 19．（7分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化．原空地一边减少了    米，另一边减少了    米，剩余一块面积为    平方米的矩形空地．求原正方形空地的边长． 20．（7分）已知菱形    的边长是  ，两条对角线交于点  ，且  ，  的长分别是关于    的方程    的两个不相等的实数根，求    的值． 21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点    在反比例函数  （）的图象上，过点    作    轴，交    轴于点  ，点    在    轴上，且  ，  的面积是  ，求    的值． 22．（7分）某果园有    棵苹果树，一棵苹果树平均结    个苹果．现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种一棵苹果树，每棵苹果树的产量就会减少    个．如果要使产量增加  ，且多种的苹果树要少于原有的苹果树，那么应多种多少棵苹果树？ 23．（8分）如图，四边形    是    的内接四边形，，，直线    与    相切于点  ．若  ，求    的度数． 24．（7分）如图，点    在    上，点    在    外，线段    与    交于点  ，过点    作    的切线交直线    于点  ，且  ． （1）判断直线    与    的位置关系，并说明理由； （2）若  ，，求图中阴影部分的面积． 25．（7分）如图，已知  ． （1）实践与操作：用直尺和圆规作出    的内心  （保留作图痕迹，不写作法）； （2）推理与计算：如果    的周长为    厘米，（  的内切圆）的半径为    厘米，求    的面积． 26．（10分）下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 解方程：． 解：原方程可变形，得  ，即  ，所以  ，直接开平方并整理，得  ，． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）用“平均数法”解方程  ，则                        ，                      ； （2）请用“平均数法”解方程：①；②． 27．（10分）如图，在    中，，  厘米．将    绕点    顺时针旋转得到  ，连接  （旋转过程中），过点    作    于点  ，当点  ，，  在同一直线上时停止旋转．求在这一旋转过程中，点    所经过的路径长． 1 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