-2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中考试数学模拟卷（第1-5章）

2026-2027学年上学期九年级期中考试模拟卷 数学（新版北师大第一至第五章） 本卷满分120分，考试时间100分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．下列各式中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．方斗杯是古时代品茗的器具之一、如图所示的方斗杯，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 3．菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线相等 4．若抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，则，，的值计算正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的根的情况是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（     ） A． B． C． D． 8．如图是二次函数的图象，则，的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 9．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图．大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程：的解法的构图是（     ） A． B． C． D． 10．如图1，在菱形中，，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，．设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C．， D．点在该函数图象上 二、填空题 11．写出一个顶点为的二次函数表达式_________． 12．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是_______． 13．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，则液面为______cm． 14．已知，，，为互不相等的实数，且，，则的值为_____________． 15．如图，矩形中，，，点E在边上，连接，过点A作交于点F，已知，点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为________． 三、解答题 16．解下列方程． (1) (2) 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 18．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 19．如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证： (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 20．问题背景： 我们知道，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，我们还可以用换元法来解某些方程，如：解方程，可以将看作一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程无实数解．故原方程的解为，． 解决问题： (1)请用换元法解方程：． (2)已知实数x，y满足，求的值． 21．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润最大．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，若该款汽车销售单价为正整数，将该款汽车销售单价定为多少万元时，该店每周的汽车销售利润最大？最大利润是多少万元？ 22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点． (1)求抛物线的函数表达式与顶点坐标； (2)点P是抛物线上位于第一象限内的一动点，连接，交线段于点Q，若，求点 P 的坐标． 23．在正方形中，点在对角线上，连接． 【问题提出】 (1)如图①，连接，若，则的长为__________； 【问题探究】 (2)如图②，过点作，交边于点，试探究线段，与之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，四边形是正方形观景平台，对角线为平台的检修通道，检修通道上有一点，从点安装护栏，，使得，，护栏端点，分别落在平台边缘，上，连接，并加装护栏，为统计管材用料，试探究护栏与之间存在的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年上学期九年级期中考试模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A A D B A B D 9．解：∵， ∴， ∴， ∴应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小长方形的面积为，中间的小正方形的面积为， ∴大正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴正确的构图是B选项中的图形． 10．解：如图， 连接，，与交于点F， 与交于点O． 观察函数图象可知，当点F与点A重合时，，即， 点E是的中点， ， ， 解得． ， 四边形是菱形，， ，，， ， ，是等边三角形， ， ， ，， 垂直平分， ， ， 当三点共线时，最小，最小值为， 设，则， 在中，， ， 解得（负值已舍去）， ， 是等边三角形，E为的中点， ， ， 的最小值为， ，故错误， 过点C作交的延长线于点G， ， ， ， ， ， 当点F在点C处时， ，，故，错误， 当时，F在点O处， ，， ， ， 点在该函数图象上，故正确． 二、填空题 11．（答案不唯一）； 12． ； 13．3； 14． ； 15． 14. 解：，， ，． ，b，m，n为互不相等的实数， ，b可看作方程的两个实数根， ， ． 15．解：矩形，， ∴，，，， ， ∴， 又， ， ，即， 解得，， 如图，作，使，连接，作于，连接，， 则，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴三点共线， ∴为的中点， 点是的中点， ， 由勾股定理得，， ． 16．（1）解：∵， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 17．(1)解：如图所示，即为所求； (2)解：如图所示，即为所求； (3) 18．(1)证明：∵平行四边形的对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2)解：∵四边形是菱形，且周长是40，对角线的长是16， ∴，， ， ． ∴四边形的面积为：． 19．(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（1）解：令，则原方程为：， ∴或者， 解得，， 当时，，∴； 当时，，∴； ∴，． （2）解：设（） 则原方程化为， 解得或（舍去）， ∴． 21．（1）解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为m，由题意得： 解得：，（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为. （2）解：设该店每周的汽车销售利润万元，该款汽车销售单价定为x万元，由题意得： ， ，开口向下，有最大值， ∵对称轴为直线， 又为正整数， ∴当或21时，有最大值，最大值为万元， ∵此次销售尽量让利于顾客， ． 答：将该款汽车销售单价定为20万元时，该店每周的汽车销售利润最大，最大利润是144万元． 22．（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当 当，，解得 ∴，， ∵抛物线经过A，B两点 ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为 ∴顶点坐标为； （2）解：∵ ∴ ∴， 过点作轴于点， 则轴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴ 设直线，则， 解得 ∴直线， 与抛物线表达式联立可得， 解得，（舍去） ∴． 23．(1) （2）解：如图，过点作于，作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， 点在对角线上， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作于，作于，连接，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴，即， ∴， 由（1）知，； 由（2）中可得， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $