2026-2027学年人教版九年级数学上册 期中数学模拟卷

2026—2027 学年上学期期中模拟卷 九年级数学上学期期中模拟卷（人教版） （学生卷）　满分 150 分　考试时间 120 分钟 考查范围：人教版九年级上册第 21～22 章：一元二次方程、二次函数（含图像与应用） 本卷为原创精品模拟试卷，题型结构与最新高考/中考真题卷型完全一致。含 2 幅原创示意图；命题细目表与逐题详解见教师卷。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 2．一元二次方程 的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根　　D. 无法判断 3．用配方法解方程 ，配方后得到的方程是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 4．抛物线 的顶点坐标是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 5．将抛物线 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 6．方程 的两根为 、，则 与 的值分别为（　　） A. 与 　　B. 与 C. 与 　　D. 与 7．某商品原价为 100 元，连续两次涨价后价格为 121 元，设平均每次涨价的百分率为 ，则方程为（　　） A. 　　B. C. 　　D. 8．如图是二次函数 的图像，其对称轴为直线 ，与 轴交于 、。下列结论：① ；② ；③ ；④ 。其中正确的个数是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 9．已知点 、、 在抛物线 上，则 、、 的大小关系是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 10．圆形喷水池中心 处竖直安装水管，顶端 处喷出水柱，水柱呈抛物线形。以 为原点建立坐标系，水柱在与池中心水平距离 1 m 处达到最高，最高点高 3 m，水柱落地点离池中心 3 m，则水管 的长度为（　　） A. 　　B. C. 　　D. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是＿＿＿＿。 12．若 、 是方程 的两根，则 ＿＿＿＿。 13．有一个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 人，经过两轮传染后共有 169 人患病，则 ＿＿＿＿。 14．抛物线 与 轴的交点坐标为＿＿＿＿。 15．抛物线 与 轴交于 、，则当 时， 的取值范围是＿＿＿＿。 16．抛物线 的最小值为＿＿＿＿。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 96 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17．（8分）解下列一元二次方程： （1）； （2）。 18．（10分）已知二次函数 。 （1）将其化为顶点式，写出对称轴与顶点坐标； （2）求它与 轴的交点坐标； （3）当 时，直接写出 的取值范围。 19．（10分）用长为 20 m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，与墙垂直的一边长为 m。 （1）用含 的代数式表示菜园面积 ； （2）若菜园面积为 48 m2，求 的值； （3）当 为何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 20．（12分）某商品进价 30 元/件，售价 40 元/件时每天可售出 500 件。市场调查发现：售价每上涨 1 元，每天少售出 10 件。设售价上涨 元。 （1）用含 的代数式表示每天的销售量与每件利润； （2）若要每天获得 8000 元利润，求 ； （3）若要求每天销售量不低于 400 件，求每天最大利润。 21．（12分）如图，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点。 （1）求该二次函数的解析式； （2）求其顶点坐标； （3）当 时，求 的取值范围。 22．（12分）抛物线 与 轴交于 、 两点。 （1）求抛物线的解析式； （2）求顶点 的坐标与 的面积； （3）点 在抛物线上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标。 23．（14分）已知抛物线 与直线 。 （1）求抛物线与直线的交点坐标； （2）结合图像，直接写出不等式 的解集。 24．（18分）抛物线 与 轴交于 、 两点，顶点为 。 （1）求顶点 的坐标； （2）点 是第一象限内抛物线上一动点，连接 、，求 面积的最大值及此时点 的坐标； （3）当 的面积为 6 时，求点 的坐标。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年上学期期中模拟卷 九年级数学上学期期中模拟卷（人教版） （教师卷·含逐题解析）　满分 150 分　考试时间 120 分钟 本卷为教师用书：含答案速览表、命题细目表、逐题【思路点拨·规范解答·易错警示】。学生卷另册装订，试题与解析完全同源。考查范围：人教版九年级上册第 21～22 章：一元二次方程、二次函数（含图像与应用） 一、答案速览表 题号 1 2 3 4 5 答案 B A A A A 题号 6 7 8 9 10 答案 A B C C C 填空题 11 12 13 14 15 16 答案 k<1 13 12 (1,0),(3,0) x<-1 或 x>3 -1 二、命题细目表 题号 核心考点 预估难度 分值 1 二次函数的概念 易 3 2 根的判别式 易 3 3 配方法解方程 易 3 4 抛物线的顶点坐标 易 3 5 抛物线的平移 易 3 6 根与系数的关系 易 3 7 一元二次方程的应用（增长率） 中 3 8 二次函数图像与系数 中 3 9 二次函数的对称性比较函数值 中 3 10 二次函数的实际应用（喷泉问题） 中偏难 3 11 根的判别式（逆用） 易 4 12 根与系数的关系（求对称式） 中 4 13 一元二次方程的应用（传染问题） 中 4 14 抛物线与 x 轴的交点 易 4 15 二次函数与不等式（图像法） 中偏难 4 16 二次函数顶点式与最值 中 4 17 解一元二次方程 易 8 18 二次函数的图像与性质 易 10 19 一元二次方程的应用（面积问题） 中 10 20 二次函数的应用（销售利润） 中偏难 12 21 待定系数法与图像信息 中 12 22 二次函数与一次函数的交点 中 12 23 二次函数与一次函数综合 中 14 24 二次函数综合（压轴） 难 18 三、逐题解析 1．（单选） 下列函数中，是二次函数的是 A. 　B. C. 　D. 【答案】B 【考点】二次函数的概念　【难度】易 【思路点拨】整理成一般形式后看 的最高次数是否为 2 且二次项系数不为 0。 【规范解答】A 是一次函数；B 整理后 ，是二次函数；C 是反比例函数；D 整理后 ，是一次函数。 【易错警示】先化简再判断， 化简后不含二次项。 2．（单选） 一元二次方程 的根的情况是 A. 有两个不相等的实数根　B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根　D. 无法判断 【答案】A 【考点】根的判别式　【难度】易 【思路点拨】计算 。 【规范解答】，有两个不相等的实数根。 【易错警示】常数项为负时 必大于 0，可直接判断。 3．（单选） 用配方法解方程 ，配方后得到的方程是 A. 　B. C. 　D. 【答案】A 【考点】配方法解方程　【难度】易 【思路点拨】移项后加上一次项系数一半的平方。 【规范解答】，两边加 1 得 。 【易错警示】配方加的常数是 ，别加成 2。 4．（单选） 抛物线 的顶点坐标是 A. 　B. C. 　D. 【答案】A 【考点】抛物线的顶点坐标　【难度】易 【思路点拨】顶点式中 、 直接读出，注意符号。 【规范解答】由 ，顶点为 。 【易错警示】 对应 不是 。 5．（单选） 将抛物线 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的解析式是 A. 　B. C. 　D. 【答案】A 【考点】抛物线的平移　【难度】易 【思路点拨】左加右减、上加下减。 【规范解答】向左平移 2 个单位：；再向下平移 1 个单位：。 【易错警示】向左平移是 ，「左加」易与直觉相反。 6．（单选） 方程 的两根为 、，则 与 的值分别为 A. 与 　B. 与 C. 与 　D. 与 【答案】A 【考点】根与系数的关系　【难度】易 【思路点拨】韦达定理：，。 【规范解答】，。 【易错警示】和是一次项系数的相反数，别漏负号。 7．（单选） 某商品原价为 100 元，连续两次涨价后价格为 121 元，设平均每次涨价的百分率为 ，则方程为 A. 　B. C. 　D. 【答案】B 【考点】一元二次方程的应用（增长率）　【难度】中 【思路点拨】两次连续增长用 。 【规范解答】第一次涨价后 ，第二次后 。 【易错警示】两次增长是相乘关系，不是 。 8．（单选） 如图是二次函数 的图像，其对称轴为直线 ，与 轴交于 、。下列结论：① ；② ；③ ；④ 。其中正确的个数是 A. 　B. C. 　D. 【答案】C 【考点】二次函数图像与系数　【难度】中 【思路点拨】开口定 符号；对称轴 定 ； 交点定 ； 处函数值定 ③；判别式定 ④。 【规范解答】开口向上 ，对称轴 得 ，交 轴于负半轴 ，故 ，①错误；由 得 ，②正确； 时 （顶点在 轴下方），③错误；图像与 轴有两个不同交点，，即 ，④正确。正确的有②④，共 2 个。 【易错警示】③是高频易错： 恰为顶点横坐标，顶点纵坐标为负，。 9．（单选） 已知点 、、 在抛物线 上，则 、、 的大小关系是 A. 　B. C. 　D. 【答案】C 【考点】二次函数的对称性比较函数值　【难度】中 【思路点拨】开口向上时，离对称轴 越远函数值越大。 【规范解答】三点横坐标到对称轴 的距离分别为 4、1、1，故 。 【易错警示】距离相同则函数值相同（对称性），不要逐个代入硬算。 10．（单选） 圆形喷水池中心 处竖直安装水管，顶端 处喷出水柱，水柱呈抛物线形。以 为原点建立坐标系，水柱在与池中心水平距离 1 m 处达到最高，最高点高 3 m，水柱落地点离池中心 3 m，则水管 的长度为 A. 　B. C. 　D. 【答案】C 【题源】改编自 2025 年中考同类真题 【考点】二次函数的实际应用（喷泉问题）　【难度】中偏难 【思路点拨】顶点 、过 ，设 求 ，再算 处的 。 【规范解答】设 ，代入 ：，。 时 ，水管长 2.25 m。 【易错警示】水管长度是 处的高度，不是最高点高度 3 m。 11．（填空） 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 【答案】 【考点】根的判别式（逆用）　【难度】易 【思路点拨】。 【规范解答】，解得 。 【易错警示】解出后不要忘记写不等号方向。 12．（填空） 若 、 是方程 的两根，则 【答案】 【考点】根与系数的关系（求对称式）　【难度】中 【思路点拨】。 【规范解答】，，。 【易错警示】不要试图先解出根再平方，用韦达定理配凑更快。 13．（填空） 有一个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 人，经过两轮传染后共有 169 人患病，则 【答案】 【考点】一元二次方程的应用（传染问题）　【难度】中 【思路点拨】两轮后总人数 。 【规范解答】，（负值舍去），。 【易错警示】总人数含最初的 1 人，是 而非 。 14．（填空） 抛物线 与 轴的交点坐标为 【答案】 和 【考点】抛物线与 x 轴的交点　【难度】易 【思路点拨】令 解方程。 【规范解答】，， 或 。 【易错警示】答案要写成坐标形式，不能只写横坐标。 15．（填空） 抛物线 与 轴交于 、，则当 时， 的取值范围是 【答案】 或 【考点】二次函数与不等式（图像法）　【难度】中偏难 【思路点拨】开口向上，图象在 轴上方的部分对应 范围。 【规范解答】开口向上，两交点之间 ，两侧 ，故 或 。 【易错警示】开口向上时「大于取两边、小于取中间」。 16．（填空） 抛物线 的最小值为 【答案】 【考点】二次函数顶点式与最值　【难度】中 【思路点拨】化为顶点式或代顶点横坐标。 【规范解答】，开口向上，最小值为 （ 时取得）。 【易错警示】最小值是 不是顶点横坐标 2。 17．（解答 8 分） 解下列一元二次方程： （1）； （2）。 【答案】（1），；（2）， 【考点】解一元二次方程　【难度】易 【思路点拨】（1）因式分解或配方法；（2）系数含 2，用公式法。 【规范解答】(1) ，，。(2) ，。 【易错警示】公式法代入时分子分母都要除以 中的 4，不要漏约分。 18．（解答 10 分） 已知二次函数 。 （1）将其化为顶点式，写出对称轴与顶点坐标； （2）求它与 轴的交点坐标； （3）当 时，直接写出 的取值范围。 【答案】（1），对称轴 ，顶点 ；（2）、；（3） 【考点】二次函数的图像与性质　【难度】易 【思路点拨】配方向顶点式转化；令 解方程得交点。 【规范解答】(1) ，对称轴 ，顶点 。(2) 令 ：，，交点 、。(3) 开口向上，图象在两交点之间位于 轴下方， 时 。 【易错警示】顶点式与交点式是二次函数两大基本工具，务必都熟练。 19．（解答 10 分） 用长为 20 m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，与墙垂直的一边长为 m。 （1）用含 的代数式表示菜园面积 ； （2）若菜园面积为 48 m2，求 的值； （3）当 为何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2） 或 ；（3） 时最大，为 【考点】一元二次方程的应用（面积问题）　【难度】中 【思路点拨】平行于墙的边长为 m；面积列方程；最值配方。 【规范解答】(1) 平行于墙的边长为 m，。(2) ，即 ，， 或 6（均满足 ）。(3) ， 时 最大为 。 【易错警示】别忘记隐含条件 ；求最值用配方，对称轴 恰在范围内。 20．（解答 12 分） 某商品进价 30 元/件，售价 40 元/件时每天可售出 500 件。市场调查发现：售价每上涨 1 元，每天少售出 10 件。设售价上涨 元。 （1）用含 的代数式表示每天的销售量与每件利润； （2）若要每天获得 8000 元利润，求 ； （3）若要求每天销售量不低于 400 件，求每天最大利润。 【答案】（1）销售量 件，每件利润 元；（2）（ 舍去）；（3）9000 元 【题源】改编自 2024 年中考同类真题 【考点】二次函数的应用（销售利润）　【难度】中偏难 【思路点拨】利润 =（每件利润）×（销售量）；由销售量限制确定 范围。 【规范解答】(1) 销售量 件，每件利润 元。(2) ，化简得 ，， 或 30。由销售量限制另算：此问不限，两解均满足方程，结合实际（涨价过高滞销）通常取 ；严格来说此问两解都使利润为 8000，答案 或 。(3) 销售量不低于 400 件：，。利润 ，对称轴 ，在 上 递增， 时最大 元。 【易错警示】（2）中 时销售量为 200 件，虽然利润也是 8000 元，但与（3）的销售量约束无关时两解均可；应用题要交代取舍理由。 21．（解答 12 分） 如图，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点。 （1）求该二次函数的解析式； （2）求其顶点坐标； （3）当 时，求 的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3） 【考点】待定系数法与图像信息　【难度】中 【思路点拨】用交点式 再展开定 ；最值看对称轴与区间的关系。 【规范解答】(1) 由交点式 ，展开 ，比较常数项 ，，故 。(2) ，顶点 。(3) 对称轴 在区间 [0,4] 内，最小值 ；端点 ，，最大值 3。故 。 【易错警示】交点式比待定系数法解方程组快；区间含对称轴时最大值在较远端点处取得。 22．（解答 12 分） 抛物线 与 轴交于 、 两点。 （1）求抛物线的解析式； （2）求顶点 的坐标与 的面积； （3）点 在抛物线上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标。 【答案】（1）；（2），；（3） 或 或 【题源】改编自 2026 年中考同类真题 【考点】二次函数与一次函数的交点　【难度】中 【思路点拨】同底等积 → 到 （ 轴）的距离与 到 的距离相等 → 。 【规范解答】(1) 将 、 代入：？——用两式：（），，得 与 ，相减 ，，。故 。(2) ，。，高 4，。(3) 。当 ：；当 ：，，， 或 。 【易错警示】面积相等的点在 轴两侧各有一类，只求 会漏掉上方两点；解 用求根公式，。 23．（解答 14 分） 已知抛物线 与直线 。 （1）求抛物线与直线的交点坐标； （2）结合图像，直接写出不等式 的解集。 【答案】（1）、；（2） 【考点】二次函数与一次函数综合　【难度】中 【思路点拨】联立消去 解一元二次方程；抛物线在直线下方对应的部分即不等式解集。 【规范解答】(1) 联立 ，即 ，， 或 ，交点 、。(2) 抛物线开口向上，在两交点之间图象位于直线下方，故解集为 。 【易错警示】不等式解集就是「图象上下位置关系」，用图像法比移项讨论快得多；交点的纵坐标要代回直线算。 24．（解答 18 分） 抛物线 与 轴交于 、 两点，顶点为 。 （1）求顶点 的坐标； （2）点 是第一象限内抛物线上一动点，连接 、，求 面积的最大值及此时点 的坐标； （3）当 的面积为 6 时，求点 的坐标。 【答案】（1）；（2）最大值 8，；（3） 【题源】改编自 2026 年中考同类真题 【考点】二次函数综合（压轴）　【难度】难 【思路点拨】 为定底，面积由 的纵坐标决定； 的最大值在顶点处取得。 【规范解答】(1) ，顶点 。(2) 设 （），， 时最大值 8，。(3) ，，，（不在第一象限，舍）或 ，故 。 【易错警示】第一象限的限制条件同时约束了 的范围（）与取舍；面积最值转化为二次函数最值是标准套路。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $