专题03 圆17大题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材苏科版

专题03 圆 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的相关概念 考点二 确定圆的条件 考点三 垂径定理 考点四 圆心角和圆周角 考点五 正多边形与圆 考点六 弧长、扇形面积与圆锥的侧面积 05 重难题型突破 题型一 圆的相关概念 题型二 确定圆的条件 题型三 垂径定理及其推论 题型四 垂径定理的实际应用 题型五 圆周角定理 题型六 直径所对的圆周角是直角 题型七 圆的内接四边形求角度 题型八 点与圆的位置关系 题型九 直线与圆的位置关系 题型十 切线的判定与性质 题型十一 切线长定理 题型十二 三角形内心的有关应用 题型十三 圆与三角形结合 题型十四 圆与四边形结合 题型十五 正多边形与圆 题型十六 扇形的弧长与面积计算 题型十七 圆锥的侧面积 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版九年级上册期中，圆板块分值通常 22～30 分，占整张试卷 18%～25%，是几何重点模块。题型覆盖选择、填空、解答，常搭配勾股定理、等腰三角形综合考查，和一元二次方程、反比例函数并列核心考查内容，对总分影响较大。 2. 题型特点 选择填空以基础概念辨析为主，包含圆的相关概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质；解答题以角度推导、线段长度计算为主，期中一般只考切线的基础判定，较少复杂切线综合，命题贴近课本例题与课后习题风格。 3. 难度分布 基础题占比约 55%，直接套用定理即可求解；中档题占 35%，多是垂径定理搭配勾股定理构造直角三角形计算；难题多为填空压轴，集中在弦的位置不确定带来的分类讨论，极易遗漏一种情况造成失分。 4. 备考方向 熟练掌握垂径定理、圆周角定理及推论，牢记圆内接四边形对角互补；重点练习垂径模型计算，有意识训练分类讨论思想；规范几何推理书写，厘清弧、弦、圆心角、圆周角之间的转化关系，避开概念混淆类陷阱。 识记 识记圆、弦、弧、圆心角、圆周角等基本概念；熟记垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质；分清优弧、劣弧、等弧定义，记住切线判定基础条件。能快速识别图形里对应元素，准确复述定理原文，不混淆定理表述，夯实几何说理的基础素材。 理解 理解垂径定理中 “垂直、平分、过圆心” 知二推三的逻辑；理解同弧或等弧所对圆周角与圆心角的数量关系，明白直径所对圆周角为直角；理解圆内接四边形对角互补的缘由，能结合图形解释定理适用前提，分清定理不能乱用的情形。 应用 能利用垂径定理结合勾股定理求弦长、半径、弦心距；会转化弧、角关系进行角度推导；能判断直径模型、圆内接四边形模型，规范书写推理过程；留意弦的双解分类讨论，能解决期中常见圆与勾股、等腰三角形结合的计算与证明题。 考点一 圆的相关概念 圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”. 确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可. 弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弧、半圆、优弧、劣弧、等弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 弓形和扇形 弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”. 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 点在圆内 点P在圆内d<r 点在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 点P在圆外d>r 【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 考点二 确定圆的条件 三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 考点三 垂径定理 圆的对称性 内容 圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 考点四 圆心角和圆周角 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 圆周角定理及圆周角定理的推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形及其性质定理 圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 如图，∠1=∠2 考点五 正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多边形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 考点六 弧长、扇形面积与圆锥的侧面积 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． 【补充】在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量． 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长). 【补充】 1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 圆锥的侧面展开图与圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 题型一 圆的相关概念 典例1（26-27九年级上·浙江宁波·期中）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 迁移应用 1．（2026·甘肃定西·三模）欧几里得在《几何原本》的第一卷中给出了正方形的作法，但圆内接正方形的作法是在第四卷的命题6中给出的，如图，已知，请你根据以下步骤完成圆内接正方形的作图过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①点O为的圆心，点A为上任意一点，过点作的直径； ②作直径的垂直平分线，分别交交于点； ③连接，即得到的内接正方形． (2)若的半径是6，则正方形的面积为________． 【答案】(1)如图，正方形即为所求； (2)72 【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）解：作图见答案， ∵是直径，点O为的圆心，垂直平分， ∴经过点O，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵垂直平分， ∴ ∴四边形是正方形； （2）解：的半径是6， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴． 2．（2026·山西太原·模拟预测）操作与探究：如图，在中，． (1)动手操作： 用直尺和圆规按要求作图：①作的垂直平分线交于点O；②以点O为圆心长为半径作；③连接并延长交于点D，连接，（要求：保留作图痕迹，标明字母）． (2)猜想证明： 在（1）所作的图形中： ①判断点A，B与的位置关系，并说明理由； ②判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)如图即为所求． (2) 解：①点A，B在上． 理由如下：∵垂直平分于点O， ∴点O是的中点， ∴． 在中，，是斜边上的中线， ∴． ∴． ∵是的半径， ∴点A，B在上． ②四边形是矩形． 理由如下：由作图可知，点D在上， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是矩形． 【分析】（1）根据题目的操作步骤画图即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质可得出，即可得证； ②根据，，可证四边形是平行四边形，结合，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 题型二 确定圆的条件 典例2（26-27九年级上·江苏连云港·期中）一直角三角形两直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为______． 【答案】 【分析】先求解一元二次方程得到两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边长，最后利用直角三角形外接圆的直径等于斜边长的性质计算半径． 【详解】解： ， ， ，， 即直角三角形两条直角边长分别为和，由勾股定理得，斜边长为， 直角三角形的外接圆直径等于斜边长， 外接圆直径为， 外接圆半径为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： (1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______； (2)连接，的半径为______，的度数为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）分别作线段和线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心D点的位置； （2）连接，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）和题意得， ∴，， ， ∴的半径为； ∵， ∴， ∴是直角三角形，即． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 题型三 垂径定理及其推论 典例3（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【答案】10 【分析】根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴, ∴ 即， ∴ (2) 【分析】（1）根据垂径定理和弧的中点得出相等的弧，然后根据相等的弧所对的弦相等，得出结论； （2）连接，利用垂径定理求出相关线段的长度，利用半径表示出相关线段的长度，再根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 2．（25-26九年级下·江苏镇江·期中）如图，是的外接圆，是的直径，，垂足为点F．延长交过点D的切线于G点． (1)求证：； (2)连接并延长交于点E，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，进而得到，根据平行线的性质结合圆周角定理，即可得证； （2）延长交于点，连接，先证，得到，再求出、、的长，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点，连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径，， ， 即点为的中点， 点为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ． 题型四 垂径定理的实际应用 典例4（26-27九年级上·江苏连云港·期中）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【答案】 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥（如图1），始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）． (1)在图2中画出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)问一艘宽12米，水面以上高米的货轮能否顺利通过？ 【答案】(1) 分别以A、B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于M、N两点，连接交于D，交于C，如图所示，线段即为所求， (2)能顺利通过 【分析】本题主要考查圆的实际应用，考查数形结合的能力，正确的画出图形结合垂径定理和勾股定理计算是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）设圆O的半径为，画出草图，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）在上方作一个矩形，其中点在上，在上，交于，且 ∵ ∴ 设圆心为，连接，设半径为， 在中，，， ∴ 解得： ∴ 在中， ∴ ∴ ∴一艘宽12米，水面以上高米的货轮能顺利通过 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3) ①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥； 理由：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）略 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 题型五 圆周角定理 典例5（26-27九年级上·江苏南京·期中）在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用圆的内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的度数为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 2．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 题型六 直径所对的圆周角是直角 典例6（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，，求的度数． 【答案】 【分析】由同弧所对的圆周角相等得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，再由直角三角形两个锐角互余即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，是直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)吗？为什么？ (2)若弧的度数为，求弧的度数？（用含m的式子表示） 【答案】(1)，理由如下： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得结论； （2）连接，根据圆周角定理和等边对等角可推出，结合直径所对的圆周角是直角和三角形外角的性质可由求得的度数，进而求得弧的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵弧的度数为， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______． 【答案】65 【分析】连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合求得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 题型七 圆的内接四边形求角度 典例7（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形内接于且， ∴， ∴， 又∵为的延长线上的一点． ∴． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 2．（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得的度数，由三角形内角和定理可得的度数，由圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴； ∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 题型八 点与圆的位置关系 典例8（25-26九年级上·浙江金华·期中）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围． 【详解】解：，，， ， ， ． 可得三点到点距离：，，． 要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外： 当，三点都不在圆内，不符合题意； 当，三点都不在圆外，不符合题意； 当时，，点在内；，点在外，满足条件． 的半径的取值范围为． 2．（2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系． 由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． 故选：A 题型九 直线与圆的位置关系 典例9（2026·湖南娄底·模拟预测）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，． (1)请作出，使得分别与、都相切，并且圆心到点、的距离相等；（请用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，的半径为_____． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【分析】（1）由题意作出的角平分线和线段的垂直平分线，交点即为点，记线段的垂直平分线与交点为点，再以为圆心，为半径即可作圆； （2）先由勾股定理求出，过点作于点，则，设，则，由，求出，再由即可求解半径． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴ ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴，即的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图---角平分线，线段的垂直平分线，直线与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性强． 2．（26-27九年级上·江苏南京·期中）在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 【答案】(1)相离 (2) (3)或 【分析】先通过面积法求出点C到直线AB的距离，再结合直线与圆的位置关系判定前两问；第三问分相切、线段与圆仅有一个交点两类讨论． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 过点作于点， 由三角形面积公式，， ∴，即圆心到直线的距离. 当时， ∵， ∴直线与相离； （2）解：∵直线与相切， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①当与直线相切时，切点在线段上，线段与有唯一公共点，此时； ②当与直线相交时，若线段与仅有一个公共点，则需直线与圆的两个交点中仅一个在线段上， ∵，， 当时，点在上，另一交点在线段上，有2个公共点，不符合； 当时，点在内，点在上或圆外，仅一个交点在线段上，符合； 当时，点、均在内，无公共点，不符合， 综上所述，的取值范围为或． 题型十 切线的判定与性质 典例10（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知与相切于点A，，的半径为3．点B是上一点，且，则的长为________． 【答案】或 【分析】连接，先利用切线性质得到直角三角形，求出的长度，再利用勾股定理逆定理得到，推出，分点B的两种不同位置计算的长度即可． 【详解】解：连接，， ∵与相切于点， ∴， ∵半径为，， ∴在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当点与点在同侧时，如图， 过作于， 可得四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； ②当点与点在异侧时，过作交延长线于，如图 同理可得，， ∴， 在中，； 因此的长为或． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，． (1)在边上找一点，使以点为圆心，长为半径的圆恰好与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，与的切点为，若，，求的半径． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2) 【分析】（1）要满足以点为圆心，为半径的圆与相切，等价于圆心到的距离等于半径，结合的条件，等价于作的角平分线，该角平分线与交于点，过点作的垂线，与的交点即为所求的点，此时，，满足圆与相切，保留全部作图痕迹即可； （2）过点作交于点，结合切线的性质和，推出四边形是矩形，由此得到对应边相等，设半径，则，，在中利用勾股定理列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：作的角平分线，交于点，过点作的垂线交于点，即为所求．以为圆心，长为半径作圆，可以使得圆与相切． （2）解：如图，过点作交于点， ，，， 四边形是矩形， ， 设半径，则，， 在中，， ， 即， 解得． 的半径为． 2．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明：如图， 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点C为上一点， ∴直线是的切线． (2)的直径为 【分析】（1）连接，则，即可得，根据角平分线性质得，等量代换即可得，再根据垂线定义得，进而得，等量代换即可得，进而可证明直线是的切线． （2）连接，，根据勾股定理结合已知求出，再根据圆内接四边形性质、平角定义即可得，再根据等角的余角相等即可得，根据角平分线性质得，进而得，即可证明，，根据相似性质列式计算得，进而可计算出的直径． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 连接，，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 题型十一 切线长定理 典例11（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 迁移应用 1．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正方形的边长为，以正方形的一边为直径在正方形内部作半圆，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则梯形的面积为____．    【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出梯形的面积． 【详解】与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ． 故答案为：． 题型十二 三角形内心的有关应用 典例12（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，点I是的内心，，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解直角三角形，熟练作出辅助线是解题的关键，过点B作交延长线于点D，根据三角形的内心性质可得，进而求得，再利用解直角三角形求出，进而可求解． 【详解】解：过点B作交延长线于点D， 点I是的内心， 在直角三角形中， ， 故答案为：． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，P为的内心，经过点P的线段分别与相交于点D、点E．若，，则点P到的距离为______．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，角平分线的性质，连接，过P作于H，于G，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，过P作于H，于G，    ∵P为的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点P到的距离为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图：已知，如图： (1)求作：的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，则的内切圆的半径为________． 【答案】(1) 作图如下： (2)1 【分析】本题考查了内切圆的基本作图，内切圆半径的计算，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质． （1）利用角的平分线的交点是内切圆的圆心，作图即可． （2）利用切线长定理，正方形的判定和性质计算即可． 【详解】（1）根据角的平分线的交点是内切圆的圆心， 则即为所求． （2）如上图，设与，，的切点分别是F，E，D，设的半径为r， 连接，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为1． 题型十三 圆与三角形结合 典例13（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 迁移应用 1．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 2．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，是的直径，C、G是上两点，且，过点C的直线于点D，交的延长线于点E，连接，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，求的直径的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) (3)的直径的长是 【分析】（1）要证明是的切线，连接，只要证明即可，根据题目中的条件，可以证明，再根据于点D，从而可以证明结论成立； （2）由（1）知，，则，即可得出，进而得出，继而得到，即可得解； （3）由（2）知，可得，，继而得出，，再根据，即可求出，进而求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 即的直径的长是． 题型十四 圆与四边形结合 典例14（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 迁移应用 1．（2026·广东深圳·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，使得，连接交于，取，连接、，则点，为所求点，则点，为所求点，进而即可求解． 【详解】解：的面积为， 圆的半径为， ， 由正方形的性质，可知点是点关于的对称点， 过点作，使得， 连接交于，取，连接、，则点，为所求点，如图所示， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 则， 故的周长最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性质、平行四边形的性质、正方形的性质，确定点的位置是解题的关键． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)8 【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答； （2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 题型十五 正多边形与圆 典例15（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 【答案】4 【分析】连接，，根据是的内接正三角形得出，，从而得到，利用边心距的定义得出，进而在中利用角所对直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是的内接正三角形， ∴，， ∴， ∵为边心距， ∴， ∴在中，． 迁移应用 1．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接． 六边形是正六边形，边长为2， ， ． 又在中，，， 为等腰三角形，即， ， 同理可得，． 又在与中， ，， ， ． 在中， ， ， ． ， ， ， ， ． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，倒马井位于徐州市泉山区夹河街西侧，其井壁外壁为正八边形，内壁为圆形，且圆与四边形各边均相切．若雨滴落在井口区域各点的机会相等，则雨滴落在圆形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，进一步可得，如图，令正八边形的中心为点O，连接，，交于点P，设，再进一步求解即可． 【详解】解：∵多边形为正八边形， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形， 如图，令正八边形的中心为点O，连接，，交于点P，设， ，， ， ， ∴P（雨滴落在圆形区域内）． 题型十六 扇形的弧长与面积计算 典例16（2026·江苏南京·一模）如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧，与和分别交于，两点，则的长为____________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是弧长的计算与等腰三角形的性质，灵活运用等腰三角形的性质求出圆心角的度数是解题的关键．先根据等腰三角形的性质求出的底角，再结合作图条件得到，进而求出的度数，最后推导出弧对应的圆心角的度数，利用弧长公式求出弧的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 由作图得， 又， ， ， 根据弧长公式：． 故答案为：． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）已知：在中，，． (1)画出的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)若的外接圆的圆心O到边的距离为6，，则扇形的面积为 ．（请在备用图上分析） 【答案】(1)如图， (2) 【分析】（1）作和的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可； （２）连接，，过作于点，由垂径定理得，由勾股定理得，由圆周角定理得，再用扇形面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，过作于点，如图， ∴， 在中，，， ， ∴的半径， ∵， ∴ ∴． 2．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轨迹、弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式．通过观察图形可知圆心运动路径的长度等于长加上的长，其中的长为圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示，圆心运动路径的长度等于． 故选：A． 题型十七 圆锥的侧面积 典例17（2026·江苏盐城·三模）若圆锥底面圆的直径和母线长均为，则它的侧面展开图的面积等于______． 【答案】 【分析】已知圆锥底面直径和母线长，利用圆锥侧面展开图是扇形，结合扇形面积公式计算即可. 【详解】解：∵圆锥底面圆直径为， ∴底面圆的周长为， ∵母线长为， ∴侧面展开图的面积为. 迁移应用 1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【分析】以等弧的定义为突破口，判断各选项正误． 【详解】解：A、B、C的说法均符合圆的相关概念，正确，不符合题意， ∵ 能完全重合的弧是等弧，仅长度相等的两段弧不一定能完全重合， ∴ D中说法错误，符合题意． 2．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补，进行计算即可． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的四点， ∴， ∵， ∴． 3．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个扇形的半径为，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为． 【详解】解：由题意得，圆锥的侧面积为． 4．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（     ） A．25° B．50° C．60° D．65° 【答案】B 【分析】利用垂径定理得出弧相等，结合圆周角定理求出圆心角度数． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 6．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）已知的三边长分别是5，12，13，则外接圆的直径是________． 【答案】13 【分析】根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆的性质求直径即可． 【详解】解∶∵的三边长分别为，，， ∴ ， ∴是直角三角形，斜边长为， ∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边的长， ∴外接圆的直径是． 7．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是______． 【答案】 【分析】设正六边形的中心为点，连接、，求出中心角，证明是等边三角形，得出，再求出周长即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、， 则， ∴中心角， ∴是等边三角形， ∴， ∴它的周长是． 8．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 【答案】 【分析】先由圆周角定理求出圆心角，再算出，最后利用等腰三角形性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故． 9．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 10．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 【答案】证明：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】首先利用等边对等角得到，然后利用弧和圆周角的关系得到，即可得到． 【详解】略 12．（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 【详解】略 13．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 14．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知． (1)尺规作图：求作，使经过A，B，C三点； (2)仅用没有刻度的直尺在上找一点D，使，要求：保留作图或画图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 如图，点D即为所求． 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接并延长，交于点D，结合圆周角定理可知，则点D即为所求． 【详解】（1）解：分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． （2）解：连接并延长，交于点D，连接，则点D即为所求． 根据作图可知为的直径， ． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，点A、B、C、D在上，且． (1)求证：； (2)若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∴； (2) 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角与圆周角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角与圆周角的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ∵，且的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）下列个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③经过半径外端的直线是圆的切线；④相等的圆心角所对的弧相等．正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据圆的相关定理逐一判断即可求解． 【详解】解：①直径是过圆心的弦，该选项说法正确； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，该选项说法错误； ③经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，该选项说法错误； ④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，该选项说法错误； 综上，正确的说法有个． 17．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：设半圆圆心为O，过点O作于点C，连接， 由图可知，半圆半径，圆心O距地面，液面距地面， ∴， 在中，， ∵， ∴． 18．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 19．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：由切线的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点E在边上，扇形与边相切于点F，点M，N分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为（     ） A．2 B．1 C．0.7 D．0.5 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质得到，进而得到四边形是矩形，则，再证明，得到，则，设，，则，，根据完全平方公式求出，再根据三角形的内切圆半径公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴， ∵扇形与边相切于点F， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴的半径． 21．（26-27九年级上·江苏南京·期中）在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°． 【答案】45或135 【分析】先根据勾股定理的逆定理求出，然后分点C在优弧上和劣弧上讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵半径为，弦， ∴，， ∴， ∴， 当点C在优弧上，如图中的点，则； 当点C在劣弧上，如图中的点，则， ∴， 综上，或． 22．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知为四边形的外接圆，，，则半径长______． 【答案】 【分析】连接、、，过点作于点，由题意可得是等边三角形，进而得出，在中，利用建立方程即可求出半径长为． 【详解】解：如图所示，连接、、，过点作于点， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即半径长为． 23．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得上（除端点外）所有的点都落在的内部，的度数记为x，则x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据题意，弧在内部，需考虑弧与三角形边界的临界位置．临界情况包括弧与边或相切，以及弧经过点．分别计算这两种情况下的圆心角度数，结合除端点外所有的点都落在内部的条件确定的范围． 【详解】解：设弧所在圆的圆心为，半径为，则.要使弧（除端点外）在内部，圆心应在的垂直平分线上，且位于的右侧， 当弧与边相切于点时，如图， 弧与相切， ，即， ， ， ， ， 此时； 弧与边相切于点时，如图， 弧与相切， ，即. ， ， . . 此时. 弧必定存在，. 综上所述，的取值范围是. 24．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 【答案】/ 【分析】连接AE，连接并延长交于点，先利用切线性质得到，结合推出垂直平分，得到，再由判定为等边三角形，求出相关线段长度，接着在中借助勾股定理算出，最后加上半径得到最大值． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 连接并延长交于点，此时为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是圆的综合填空题，综合考查切线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及圆外一点到圆上点的最值模型，解题关键是掌握圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上半径． 25．（26-27九年级上·江苏南京·期中）根据题目条件，解答下列各题 (1)如图，用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若等腰的外接圆的半径为，底边，则的长为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线得到圆心，以为半径画圆就得到的外接圆． （2）作等腰三角形底边上的高，由三线合一得，连接半径，在直角三角形中算出，分圆心在三角形内部、外部两种情况求出高为 9 或者 1，再用勾股定理算出长为或者． 【详解】（1）略． （2）解：过点作于点，连接． 是等腰三角形，，， ． ， ． 等腰三角形外接圆圆心在高上，外接圆半径． 在中，由勾股定理， ． 分两种情况讨论： ① 当圆心在内部时， ． 在中， ． ② 当圆心在外部时， ． 在中， ． 的长为或． 26．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦、交于点，且． (1)求证：； (2)连接、．求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ (2)证明：连接， 则， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； 【分析】（1）因为所以，则可证，所以； （2）可证，则，又因为，所以垂直平分． 【详解】（1）略 （2）略 27．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，点在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若半径为，，求的长． 【答案】(1)证明：为的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是得到，再根据角平分线的定义证明，再根据等量代换得到，进而根据三角形内角和定理得到，即可得证结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形等面积法得到，继而根据圆周角定理得到． 【详解】（1）略； （2）解：∵的半径为， ， ，， 根据勾股定理可得：， ， ， ， ， ， ， ． 28．（26-27九年级上·江苏南京·期中）【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… (1)如图②，证明：． 【模型运用】 (2)如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 (3)如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． (4)如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 【答案】(1)证明：在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ； (2) (3) (4) 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案； （2）先利用已知条件求出，再用（1）的结论得出，即可得出结论． （3）在上截取，连接、、、，证明，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）作与，因为，则为的中点，由（3）知，由条件可求，则可求，又可求，为等腰直角三角形，所以可解． 【详解】（1）略； （2）解：在上截取，连接， 在中， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 的周长． （3）解： 证明：在上截取，连接、、、，如图3， 是弧的中点， ，， 又， △△， ， ， 又， ， ，即； （4）解：作与， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为的中点， 由（3）知， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ 29．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【答案】(1)解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到，再由平行线的性质得到为，从而得到与相切； （2）过点作于点，结合上一问可得四边形为矩形，设，，由勾股定理列方程可求出的长，再由垂径定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 设，，， ， ， 解得（舍去）， ， ， ． 30．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数； (3)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）结合直径所对的圆周角是90度，得，利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹是以为直径的，连接，，求出，的值，根据，可得结论． 【详解】（1）解：是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． （2）解：如图中，连接，． ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图中，连接，，．    ∵的中点为 ， ， 点的运动轨迹是以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的相关概念 考点二 确定圆的条件 考点三 垂径定理 考点四 圆心角和圆周角 考点五 正多边形与圆 考点六 弧长、扇形面积与圆锥的侧面积 05 重难题型突破 题型一 圆的相关概念 题型二 确定圆的条件 题型三 垂径定理及其推论 题型四 垂径定理的实际应用 题型五 圆周角定理 题型六 直径所对的圆周角是直角 题型七 圆的内接四边形求角度 题型八 点与圆的位置关系 题型九 直线与圆的位置关系 题型十 切线的判定与性质 题型十一 切线长定理 题型十二 三角形内心的有关应用 题型十三 圆与三角形结合 题型十四 圆与四边形结合 题型十五 正多边形与圆 题型十六 扇形的弧长与面积计算 题型十七 圆锥的侧面积 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版九年级上册期中，圆板块分值通常 22～30 分，占整张试卷 18%～25%，是几何重点模块。题型覆盖选择、填空、解答，常搭配勾股定理、等腰三角形综合考查，和一元二次方程、反比例函数并列核心考查内容，对总分影响较大。 2. 题型特点 选择填空以基础概念辨析为主，包含圆的相关概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质；解答题以角度推导、线段长度计算为主，期中一般只考切线的基础判定，较少复杂切线综合，命题贴近课本例题与课后习题风格。 3. 难度分布 基础题占比约 55%，直接套用定理即可求解；中档题占 35%，多是垂径定理搭配勾股定理构造直角三角形计算；难题多为填空压轴，集中在弦的位置不确定带来的分类讨论，极易遗漏一种情况造成失分。 4. 备考方向 熟练掌握垂径定理、圆周角定理及推论，牢记圆内接四边形对角互补；重点练习垂径模型计算，有意识训练分类讨论思想；规范几何推理书写，厘清弧、弦、圆心角、圆周角之间的转化关系，避开概念混淆类陷阱。 识记 识记圆、弦、弧、圆心角、圆周角等基本概念；熟记垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质；分清优弧、劣弧、等弧定义，记住切线判定基础条件。能快速识别图形里对应元素，准确复述定理原文，不混淆定理表述，夯实几何说理的基础素材。 理解 理解垂径定理中 “垂直、平分、过圆心” 知二推三的逻辑；理解同弧或等弧所对圆周角与圆心角的数量关系，明白直径所对圆周角为直角；理解圆内接四边形对角互补的缘由，能结合图形解释定理适用前提，分清定理不能乱用的情形。 应用 能利用垂径定理结合勾股定理求弦长、半径、弦心距；会转化弧、角关系进行角度推导；能判断直径模型、圆内接四边形模型，规范书写推理过程；留意弦的双解分类讨论，能解决期中常见圆与勾股、等腰三角形结合的计算与证明题。 考点一 圆的相关概念 圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”. 确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可. 弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弧、半圆、优弧、劣弧、等弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 弓形和扇形 弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”. 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 点在圆内 点P在圆内d<r 点在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 点P在圆外d>r 【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 考点二 确定圆的条件 三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 考点三 垂径定理 圆的对称性 内容 圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 考点四 圆心角和圆周角 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 圆周角定理及圆周角定理的推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形及其性质定理 圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 如图，∠1=∠2 考点五 正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多边形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 考点六 弧长、扇形面积与圆锥的侧面积 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． 【补充】在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量． 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长). 【补充】 1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 圆锥的侧面展开图与圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 题型一 圆的相关概念 典例1（26-27九年级上·浙江宁波·期中）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 迁移应用 1．（2026·甘肃定西·三模）欧几里得在《几何原本》的第一卷中给出了正方形的作法，但圆内接正方形的作法是在第四卷的命题6中给出的，如图，已知，请你根据以下步骤完成圆内接正方形的作图过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①点O为的圆心，点A为上任意一点，过点作的直径； ②作直径的垂直平分线，分别交交于点； ③连接，即得到的内接正方形． (2)若的半径是6，则正方形的面积为________． 【答案】(1)如图，正方形即为所求； (2)72 【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）解：作图见答案， ∵是直径，点O为的圆心，垂直平分， ∴经过点O，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵垂直平分， ∴ ∴四边形是正方形； （2）解：的半径是6， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴． 2．（2026·山西太原·模拟预测）操作与探究：如图，在中，． (1)动手操作： 用直尺和圆规按要求作图：①作的垂直平分线交于点O；②以点O为圆心长为半径作；③连接并延长交于点D，连接，（要求：保留作图痕迹，标明字母）． (2)猜想证明： 在（1）所作的图形中： ①判断点A，B与的位置关系，并说明理由； ②判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)如图即为所求． (2) 解：①点A，B在上． 理由如下：∵垂直平分于点O， ∴点O是的中点， ∴． 在中，，是斜边上的中线， ∴． ∴． ∵是的半径， ∴点A，B在上． ②四边形是矩形． 理由如下：由作图可知，点D在上， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是矩形． 【分析】（1）根据题目的操作步骤画图即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质可得出，即可得证； ②根据，，可证四边形是平行四边形，结合，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 题型二 确定圆的条件 典例2（26-27九年级上·江苏连云港·期中）一直角三角形两直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为______． 【答案】 【分析】先求解一元二次方程得到两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边长，最后利用直角三角形外接圆的直径等于斜边长的性质计算半径． 【详解】解： ， ， ，， 即直角三角形两条直角边长分别为和，由勾股定理得，斜边长为， 直角三角形的外接圆直径等于斜边长， 外接圆直径为， 外接圆半径为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： (1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______； (2)连接，的半径为______，的度数为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）分别作线段和线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心D点的位置； （2）连接，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）和题意得， ∴，， ， ∴的半径为； ∵， ∴， ∴是直角三角形，即． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 题型三 垂径定理及其推论 典例3（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【答案】10 【分析】根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴, ∴ 即， ∴ (2) 【分析】（1）根据垂径定理和弧的中点得出相等的弧，然后根据相等的弧所对的弦相等，得出结论； （2）连接，利用垂径定理求出相关线段的长度，利用半径表示出相关线段的长度，再根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 2．（25-26九年级下·江苏镇江·期中）如图，是的外接圆，是的直径，，垂足为点F．延长交过点D的切线于G点． (1)求证：； (2)连接并延长交于点E，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，进而得到，根据平行线的性质结合圆周角定理，即可得证； （2）延长交于点，连接，先证，得到，再求出、、的长，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点，连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径，， ， 即点为的中点， 点为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ． 题型四 垂径定理的实际应用 典例4（26-27九年级上·江苏连云港·期中）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【答案】 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥（如图1），始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）． (1)在图2中画出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)问一艘宽12米，水面以上高米的货轮能否顺利通过？ 【答案】(1) 分别以A、B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于M、N两点，连接交于D，交于C，如图所示，线段即为所求， (2)能顺利通过 【分析】本题主要考查圆的实际应用，考查数形结合的能力，正确的画出图形结合垂径定理和勾股定理计算是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）设圆O的半径为，画出草图，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）在上方作一个矩形，其中点在上，在上，交于，且 ∵ ∴ 设圆心为，连接，设半径为， 在中，，， ∴ 解得： ∴ 在中， ∴ ∴ ∴一艘宽12米，水面以上高米的货轮能顺利通过 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3) ①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥； 理由：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）略 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 题型五 圆周角定理 典例5（26-27九年级上·江苏南京·期中）在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用圆的内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的度数为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 2．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 题型六 直径所对的圆周角是直角 典例6（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，，求的度数． 【答案】 【分析】由同弧所对的圆周角相等得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，再由直角三角形两个锐角互余即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，是直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)吗？为什么？ (2)若弧的度数为，求弧的度数？（用含m的式子表示） 【答案】(1)，理由如下： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得结论； （2）连接，根据圆周角定理和等边对等角可推出，结合直径所对的圆周角是直角和三角形外角的性质可由求得的度数，进而求得弧的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵弧的度数为， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______． 【答案】65 【分析】连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合求得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 题型七 圆的内接四边形求角度 典例7（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形内接于且， ∴， ∴， 又∵为的延长线上的一点． ∴． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 2．（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得的度数，由三角形内角和定理可得的度数，由圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴； ∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 题型八 点与圆的位置关系 典例8（25-26九年级上·浙江金华·期中）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围． 【详解】解：，，， ， ， ． 可得三点到点距离：，，． 要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外： 当，三点都不在圆内，不符合题意； 当，三点都不在圆外，不符合题意； 当时，，点在内；，点在外，满足条件． 的半径的取值范围为． 2．（2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系． 由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． 故选：A 题型九 直线与圆的位置关系 典例9（2026·湖南娄底·模拟预测）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，． (1)请作出，使得分别与、都相切，并且圆心到点、的距离相等；（请用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，的半径为_____． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【分析】（1）由题意作出的角平分线和线段的垂直平分线，交点即为点，记线段的垂直平分线与交点为点，再以为圆心，为半径即可作圆； （2）先由勾股定理求出，过点作于点，则，设，则，由，求出，再由即可求解半径． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴ ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴，即的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图---角平分线，线段的垂直平分线，直线与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性强． 2．（26-27九年级上·江苏南京·期中）在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 【答案】(1)相离 (2) (3)或 【分析】先通过面积法求出点C到直线AB的距离，再结合直线与圆的位置关系判定前两问；第三问分相切、线段与圆仅有一个交点两类讨论． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 过点作于点， 由三角形面积公式，， ∴，即圆心到直线的距离. 当时， ∵， ∴直线与相离； （2）解：∵直线与相切， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①当与直线相切时，切点在线段上，线段与有唯一公共点，此时； ②当与直线相交时，若线段与仅有一个公共点，则需直线与圆的两个交点中仅一个在线段上， ∵，， 当时，点在上，另一交点在线段上，有2个公共点，不符合； 当时，点在内，点在上或圆外，仅一个交点在线段上，符合； 当时，点、均在内，无公共点，不符合， 综上所述，的取值范围为或． 题型十 切线的判定与性质 典例10（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知与相切于点A，，的半径为3．点B是上一点，且，则的长为________． 【答案】或 【分析】连接，先利用切线性质得到直角三角形，求出的长度，再利用勾股定理逆定理得到，推出，分点B的两种不同位置计算的长度即可． 【详解】解：连接，， ∵与相切于点， ∴， ∵半径为，， ∴在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当点与点在同侧时，如图， 过作于， 可得四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； ②当点与点在异侧时，过作交延长线于，如图 同理可得，， ∴， 在中，； 因此的长为或． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，． (1)在边上找一点，使以点为圆心，长为半径的圆恰好与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，与的切点为，若，，求的半径． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2) 【分析】（1）要满足以点为圆心，为半径的圆与相切，等价于圆心到的距离等于半径，结合的条件，等价于作的角平分线，该角平分线与交于点，过点作的垂线，与的交点即为所求的点，此时，，满足圆与相切，保留全部作图痕迹即可； （2）过点作交于点，结合切线的性质和，推出四边形是矩形，由此得到对应边相等，设半径，则，，在中利用勾股定理列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：作的角平分线，交于点，过点作的垂线交于点，即为所求．以为圆心，长为半径作圆，可以使得圆与相切． （2）解：如图，过点作交于点， ，，， 四边形是矩形， ， 设半径，则，， 在中，， ， 即， 解得． 的半径为． 2．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明：如图， 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点C为上一点， ∴直线是的切线． (2)的直径为 【分析】（1）连接，则，即可得，根据角平分线性质得，等量代换即可得，再根据垂线定义得，进而得，等量代换即可得，进而可证明直线是的切线． （2）连接，，根据勾股定理结合已知求出，再根据圆内接四边形性质、平角定义即可得，再根据等角的余角相等即可得，根据角平分线性质得，进而得，即可证明，，根据相似性质列式计算得，进而可计算出的直径． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 连接，，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 题型十一 切线长定理 典例11（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 迁移应用 1．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正方形的边长为，以正方形的一边为直径在正方形内部作半圆，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则梯形的面积为____．    【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出梯形的面积． 【详解】与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ． 故答案为：． 题型十二 三角形内心的有关应用 典例12（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，点I是的内心，，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解直角三角形，熟练作出辅助线是解题的关键，过点B作交延长线于点D，根据三角形的内心性质可得，进而求得，再利用解直角三角形求出，进而可求解． 【详解】解：过点B作交延长线于点D， 点I是的内心， 在直角三角形中， ， 故答案为：． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，P为的内心，经过点P的线段分别与相交于点D、点E．若，，则点P到的距离为______．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，角平分线的性质，连接，过P作于H，于G，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，过P作于H，于G，    ∵P为的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点P到的距离为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图：已知，如图： (1)求作：的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，则的内切圆的半径为________． 【答案】(1) 作图如下： (2)1 【分析】本题考查了内切圆的基本作图，内切圆半径的计算，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质． （1）利用角的平分线的交点是内切圆的圆心，作图即可． （2）利用切线长定理，正方形的判定和性质计算即可． 【详解】（1）根据角的平分线的交点是内切圆的圆心， 则即为所求． （2）如上图，设与，，的切点分别是F，E，D，设的半径为r， 连接，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为1． 题型十三 圆与三角形结合 典例13（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 迁移应用 1．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 2．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，是的直径，C、G是上两点，且，过点C的直线于点D，交的延长线于点E，连接，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，求的直径的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) (3)的直径的长是 【分析】（1）要证明是的切线，连接，只要证明即可，根据题目中的条件，可以证明，再根据于点D，从而可以证明结论成立； （2）由（1）知，，则，即可得出，进而得出，继而得到，即可得解； （3）由（2）知，可得，，继而得出，，再根据，即可求出，进而求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 即的直径的长是． 题型十四 圆与四边形结合 典例14（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 迁移应用 1．（2026·广东深圳·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，使得，连接交于，取，连接、，则点，为所求点，则点，为所求点，进而即可求解． 【详解】解：的面积为， 圆的半径为， ， 由正方形的性质，可知点是点关于的对称点， 过点作，使得， 连接交于，取，连接、，则点，为所求点，如图所示， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 则， 故的周长最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性质、平行四边形的性质、正方形的性质，确定点的位置是解题的关键． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)8 【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答； （2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 题型十五 正多边形与圆 典例15（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 【答案】4 【分析】连接，，根据是的内接正三角形得出，，从而得到，利用边心距的定义得出，进而在中利用角所对直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是的内接正三角形， ∴，， ∴， ∵为边心距， ∴， ∴在中，． 迁移应用 1．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接． 六边形是正六边形，边长为2， ， ． 又在中，，， 为等腰三角形，即， ， 同理可得，． 又在与中， ，， ， ． 在中， ， ， ． ， ， ， ， ． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，倒马井位于徐州市泉山区夹河街西侧，其井壁外壁为正八边形，内壁为圆形，且圆与四边形各边均相切．若雨滴落在井口区域各点的机会相等，则雨滴落在圆形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，进一步可得，如图，令正八边形的中心为点O，连接，，交于点P，设，再进一步求解即可． 【详解】解：∵多边形为正八边形， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形， 如图，令正八边形的中心为点O，连接，，交于点P，设， ，， ， ， ∴P（雨滴落在圆形区域内）． 题型十六 扇形的弧长与面积计算 典例16（2026·江苏南京·一模）如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧，与和分别交于，两点，则的长为____________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是弧长的计算与等腰三角形的性质，灵活运用等腰三角形的性质求出圆心角的度数是解题的关键．先根据等腰三角形的性质求出的底角，再结合作图条件得到，进而求出的度数，最后推导出弧对应的圆心角的度数，利用弧长公式求出弧的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 由作图得， 又， ， ， 根据弧长公式：． 故答案为：． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）已知：在中，，． (1)画出的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)若的外接圆的圆心O到边的距离为6，，则扇形的面积为 ．（请在备用图上分析） 【答案】(1)如图， (2) 【分析】（1）作和的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可； （２）连接，，过作于点，由垂径定理得，由勾股定理得，由圆周角定理得，再用扇形面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，过作于点，如图， ∴， 在中，，， ， ∴的半径， ∵， ∴ ∴． 2．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轨迹、弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式．通过观察图形可知圆心运动路径的长度等于长加上的长，其中的长为圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示，圆心运动路径的长度等于． 故选：A． 题型十七 圆锥的侧面积 典例17（2026·江苏盐城·三模）若圆锥底面圆的直径和母线长均为，则它的侧面展开图的面积等于______． 【答案】 【分析】已知圆锥底面直径和母线长，利用圆锥侧面展开图是扇形，结合扇形面积公式计算即可. 【详解】解：∵圆锥底面圆直径为， ∴底面圆的周长为， ∵母线长为， ∴侧面展开图的面积为. 迁移应用 1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【分析】以等弧的定义为突破口，判断各选项正误． 【详解】解：A、B、C的说法均符合圆的相关概念，正确，不符合题意， ∵ 能完全重合的弧是等弧，仅长度相等的两段弧不一定能完全重合， ∴ D中说法错误，符合题意． 2．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补，进行计算即可． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的四点， ∴， ∵， ∴． 3．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个扇形的半径为，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为． 【详解】解：由题意得，圆锥的侧面积为． 4．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（     ） A．25° B．50° C．60° D．65° 【答案】B 【分析】利用垂径定理得出弧相等，结合圆周角定理求出圆心角度数． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 6．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）已知的三边长分别是5，12，13，则外接圆的直径是________． 【答案】13 【分析】根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆的性质求直径即可． 【详解】解∶∵的三边长分别为，，， ∴ ， ∴是直角三角形，斜边长为， ∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边的长， ∴外接圆的直径是． 7．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是______． 【答案】 【分析】设正六边形的中心为点，连接、，求出中心角，证明是等边三角形，得出，再求出周长即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、， 则， ∴中心角， ∴是等边三角形， ∴， ∴它的周长是． 8．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 【答案】 【分析】先由圆周角定理求出圆心角，再算出，最后利用等腰三角形性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故． 9．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 10．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 【答案】证明：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】首先利用等边对等角得到，然后利用弧和圆周角的关系得到，即可得到． 【详解】略 12．（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 【详解】略 13．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 14．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知． (1)尺规作图：求作，使经过A，B，C三点； (2)仅用没有刻度的直尺在上找一点D，使，要求：保留作图或画图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 如图，点D即为所求． 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接并延长，交于点D，结合圆周角定理可知，则点D即为所求． 【详解】（1）解：分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． （2）解：连接并延长，交于点D，连接，则点D即为所求． 根据作图可知为的直径， ． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，点A、B、C、D在上，且． (1)求证：； (2)若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∴； (2) 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角与圆周角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角与圆周角的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ∵，且的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）下列个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③经过半径外端的直线是圆的切线；④相等的圆心角所对的弧相等．正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据圆的相关定理逐一判断即可求解． 【详解】解：①直径是过圆心的弦，该选项说法正确； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，该选项说法错误； ③经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，该选项说法错误； ④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，该选项说法错误； 综上，正确的说法有个． 17．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：设半圆圆心为O，过点O作于点C，连接， 由图可知，半圆半径，圆心O距地面，液面距地面， ∴， 在中，， ∵， ∴． 18．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 19．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：由切线的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点E在边上，扇形与边相切于点F，点M，N分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为（     ） A．2 B．1 C．0.7 D．0.5 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质得到，进而得到四边形是矩形，则，再证明，得到，则，设，，则，，根据完全平方公式求出，再根据三角形的内切圆半径公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴， ∵扇形与边相切于点F， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴的半径． 21．（26-27九年级上·江苏南京·期中）在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°． 【答案】45或135 【分析】先根据勾股定理的逆定理求出，然后分点C在优弧上和劣弧上讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵半径为，弦， ∴，， ∴， ∴， 当点C在优弧上，如图中的点，则； 当点C在劣弧上，如图中的点，则， ∴， 综上，或． 22．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知为四边形的外接圆，，，则半径长______． 【答案】 【分析】连接、、，过点作于点，由题意可得是等边三角形，进而得出，在中，利用建立方程即可求出半径长为． 【详解】解：如图所示，连接、、，过点作于点， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即半径长为． 23．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得上（除端点外）所有的点都落在的内部，的度数记为x，则x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据题意，弧在内部，需考虑弧与三角形边界的临界位置．临界情况包括弧与边或相切，以及弧经过点．分别计算这两种情况下的圆心角度数，结合除端点外所有的点都落在内部的条件确定的范围． 【详解】解：设弧所在圆的圆心为，半径为，则.要使弧（除端点外）在内部，圆心应在的垂直平分线上，且位于的右侧， 当弧与边相切于点时，如图， 弧与相切， ，即， ， ， ， ， 此时； 弧与边相切于点时，如图， 弧与相切， ，即. ， ， . . 此时. 弧必定存在，. 综上所述，的取值范围是. 24．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 【答案】/ 【分析】连接AE，连接并延长交于点，先利用切线性质得到，结合推出垂直平分，得到，再由判定为等边三角形，求出相关线段长度，接着在中借助勾股定理算出，最后加上半径得到最大值． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 连接并延长交于点，此时为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是圆的综合填空题，综合考查切线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及圆外一点到圆上点的最值模型，解题关键是掌握圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上半径． 25．（26-27九年级上·江苏南京·期中）根据题目条件，解答下列各题 (1)如图，用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若等腰的外接圆的半径为，底边，则的长为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线得到圆心，以为半径画圆就得到的外接圆． （2）作等腰三角形底边上的高，由三线合一得，连接半径，在直角三角形中算出，分圆心在三角形内部、外部两种情况求出高为 9 或者 1，再用勾股定理算出长为或者． 【详解】（1）略． （2）解：过点作于点，连接． 是等腰三角形，，， ． ， ． 等腰三角形外接圆圆心在高上，外接圆半径． 在中，由勾股定理， ． 分两种情况讨论： ① 当圆心在内部时， ． 在中， ． ② 当圆心在外部时， ． 在中， ． 的长为或． 26．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦、交于点，且． (1)求证：； (2)连接、．求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ (2)证明：连接， 则， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； 【分析】（1）因为所以，则可证，所以； （2）可证，则，又因为，所以垂直平分． 【详解】（1）略 （2）略 27．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，点在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若半径为，，求的长． 【答案】(1)证明：为的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是得到，再根据角平分线的定义证明，再根据等量代换得到，进而根据三角形内角和定理得到，即可得证结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形等面积法得到，继而根据圆周角定理得到． 【详解】（1）略； （2）解：∵的半径为， ， ，， 根据勾股定理可得：， ， ， ， ， ， ， ． 28．（26-27九年级上·江苏南京·期中）【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… (1)如图②，证明：． 【模型运用】 (2)如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 (3)如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． (4)如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 【答案】(1)证明：在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ； (2) (3) (4) 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案； （2）先利用已知条件求出，再用（1）的结论得出，即可得出结论． （3）在上截取，连接、、、，证明，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）作与，因为，则为的中点，由（3）知，由条件可求，则可求，又可求，为等腰直角三角形，所以可解． 【详解】（1）略； （2）解：在上截取，连接， 在中， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 的周长． （3）解： 证明：在上截取，连接、、、，如图3， 是弧的中点， ，， 又， △△， ， ， 又， ， ，即； （4）解：作与， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为的中点， 由（3）知， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ 29．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【答案】(1)解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到，再由平行线的性质得到为，从而得到与相切； （2）过点作于点，结合上一问可得四边形为矩形，设，，由勾股定理列方程可求出的长，再由垂径定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 设，，， ， ， 解得（舍去）， ， ， ． 30．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数； (3)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）结合直径所对的圆周角是90度，得，利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹是以为直径的，连接，，求出，的值，根据，可得结论． 【详解】（1）解：是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． （2）解：如图中，连接，． ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图中，连接，，．    ∵的中点为 ， ， 点的运动轨迹是以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $