专题02 反比例函数13大题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材苏科版

专题02 反比例函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 反比例函数的有关概念 考点二 反比例函数的性质 考点三 反比例函数的对称性 考点四 反比例函数中k值的几何意义 考点五 一次函数与反比例函数的交点问题 考点六 反比例函数的实际问题 05 重难题型突破 题型一 反比例函数的定义求参数 题型二 用反比例函数描述数量关系 题型三 求反比例函数自变量和值 题型四 画反比例函数图象 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型六 已知双曲线分布的象限求参数范围 题型七 反比例函数的增减性求参数 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 题型九 反比例函数k值的几何意义 题型十 求反比例函数的解析式 题型十一 反比例函数与一次函数结合 题型十二 反比例函数的实际应用 题型十三 反比例函数与几何结合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 【分值占比】苏科版九上期中，反比例函数一般占 15～22 分，约整张试卷 13%～18%。常搭配一元二次方程考查，填空、选择、解答均有分布，是函数板块核心得分模块。 【题型特点】选择填空侧重定义、象限、增减性、k 的几何意义；解答多为反比例与一次函数综合，求交点、面积，偶结合简单几何，贴合苏科版教材例题风格。 【难度分布】基础题占六成，考查图像基础；中档题考面积转化、坐标计算；难题多为填空压轴或解答次压轴，常结合线段比例、设点法综合分析。 【备考方向】吃透 k 的几何意义，区分 “每个象限内” 增减性；专项练两函数交点、面积题；整理设点代换模型，规避忽略自变量范围的典型易错点。 识记 熟记反比例函数定义、一般形式，掌握自变量取值范围；牢记图像是双曲线，清楚k>0、k<0对应的象限；记住增减性表述、k的几何意义基础结论，能准确识别反比例函数，区分它与正比例、一次函数形式差异，做到概念清晰，无表述漏洞。 理解 理解k的符号对图像位置、增减趋势的影响，明白增减性必须限定在同一象限内；理解k的几何意义的推导逻辑，懂得图像上点的横纵坐标乘积恒为定值；能结合图像解释函数变化规律，看懂反比例与一次函数联立的交点含义，理清坐标和图像之间的对应关系。 应用 会用反比例函数模型解决简单实际问题，熟练利用k的几何意义求图形面积；能联立一次、反比例函数解析式求交点坐标，结合几何线段、面积条件列方程求解；灵活运用设点法转化坐标，规范书写步骤，准确规避漏解、忽略象限等易错问题，综合解决期中典型综合题。 考点一 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 考点二 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 考点三 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 考点四 反比例函数中k值的几何意义 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 考点五 一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 考点六 反比例函数的实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 题型一 反比例函数的定义求参数 典例1（25-26九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数是反比例函数，则________． 【答案】1 【分析】根据反比例函数的定义，列出关于的指数方程与系数不等式，求解后舍去不符合条件的解，即可得到的值． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴， 解方程，得或， 解不等式，得 ∴． 💡破题要诀 抓住两点：x次数为-1，系数k≠0，列方程加不等式联立求解。求出参数后务必回代检验，排除使系数为 0 的情况，避免忽略限制条件出错。 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）若函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了正比例和反比例函数的定义以及性质求解即可． （1）根据正比例函数的定义以及性质求解即可． （2）根据反比例函数的定义以及性质求解即可． 【详解】（1）解：当函数为正比例函数时， 则， 解得：， ∵随的增大而增大． ∴， ∴， ∴． （2）当函数为反比例函数时， 则， 解得：， ∵图象经过第一、三象限 ∴， ∴， ∴． 题型二 用反比例函数描述数量关系 典例2（2025九年级上·北京·专题练习）下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当平行四边形的面积一定时，底与高成反比例，故原说法正确，不符合题意； B．当总面积一定时，方砖的边长的平方与所需的块数成反比例，故原说法错误，符合题意； C．圆的面积，可知圆的面积与半径的平方成正比，故原说法正确，不符合题意； D．正方形的周长边长（一定），所以正方形的周长与边长成正比例，故原说法正确，不符合题意． 故选：B． 迁移应用 1．（25-26九年级上·全国·周测）为了响应新中考体育考试要求，某中学八（1）班用200元购买了某品牌篮球y个．若该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·全国·期中）2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 题型三 求反比例函数自变量和值 典例3（2026·江苏泰州·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，则______． 【答案】6 【分析】先将点代入反比例函数解析式求出的值，再将点代入解析式即可求出． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图象上， ∴． 迁移应用 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）在反比例函数中，若，则y的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，结合x的取值范围，通过不等式变形求出y的取值范围． 【详解】∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， 又∵当时，，当时，， ∴当时，． 2．（25-26九年级上·全国·期中）已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，． （2）将代入中，得． （3）将代入中，得，解得． 题型四 画反比例函数图象 典例4（26-27九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)画出这个反比例函数的图象． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数表达式，将已知点A的坐标代入函数式求出参数k即可得到结果； （2）按照列表、描点、连线的步骤画反比例函数图象，该函数，图象分布在第二、四象限． 【详解】（1）解：已知反比例函数的图象经过点， 将代入，得， 解得， 因此这个反比例函数的表达式为； （2）解：列表： x 1 2 5 y 2 5 10 描点，连线，得到反比例函数的图象，图略． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)画出函数图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的取值范围_______． 【答案】(1) (2)列表格如下： 描点，连线，绘制函数图象如图所示， (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （2）先列表格，再描点、连线即可； （3）结合函数图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为； （2）略； （3）解：根据函数图象可知反比例函数在时，随的增大而增大， ∴在时，函数的最小值为：当时，， ∴在时，函数的取值范围为， 根据函数图象可知反比例函数在时，随的增大而增大，但始终小于零， ∴在时，函数的取值范围为， 综上所述，函数的取值范围为或． 2．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求出与的函数表达式； (2)在所给网格中画出这个反比例函数图象， (3)当时，的取值范围为______． (4)当不小于时，的取值范围为______． 【答案】(1)y与x之间的函数表达式是 (2) (3) y的取值范围是 (4)x的取值范围为或 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，将代入，计算即可； （2）在网格图中，描点，作图即可； （3）先求出当，时，y的值，再结合反比例函数的性质解答即可； （4）分两种情况，和，列不等式，解答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入，得: 解得， 所以y与x之间的函数表达式为：； （2）略； （3）解：当时，；当时，； 在第一象限内，y随x的增大而减小， 所以当时，y的取值范围是； （4）解：y不小于时，即， 当，图象在第一象限，， 当，图象在第三象限，，即， 综上所述，x的取值范围为或． 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 典例5（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 【答案】 【分析】两个函数的交点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的坐标性质，由点的坐标可求得点的坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个图象的交点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 迁移应用 1．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 2．（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的表达式； (2)将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)平移的距离为 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求解，设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴，， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上， ∴平移的距离为． 题型六 已知双曲线分布的象限求参数范围 典例6（26-27九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，，解得， ∴k的取值范围为． （2）解：由题意知，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴在第一象限内y随x的增大而减小． ， ∴，解得， ∵， ∴a的取值范围为． 💡破题要诀 口诀：一三象限k>0，二四象限k<0。把含参数的代数式代替k，转化为一元一次不等式求解，看清题干条件，不要颠倒不等号方向。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由反比例函数图象所在象限确定比例系数的符号，列不等式求解； （2）结合反比例函数的增减性与点的位置比较函数值大小． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得； （2）解：由（1）知， ∴该反比例函数在每个象限内，随的增大而减小． ∵点，均在第一象限，且， ∴． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； (2)在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 【答案】(1)， 画图如下： (2) 由图象可知：在每一个象限内，随的增大而增大， ∵和在反比例函数图象上， ∴当在同一象限内时，， 当不在同一象限内时，； 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数图象所在的象限，判断的取值范围，利用对称性画出另一支的示意图即可； （2）分在同一象限内，和不在同一象限内两种情况进行讨论说明即可． 【详解】（1）解：由图象可知，反比例函数图象过第二象限，则另一支在第四象限， ∴， ∴， （2）略 题型七 反比例函数的增减性求参数 典例7（26-27九年级上·江苏南京·期中）反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当图象在每一象限内y随x增大而增大时，比例系数小于0，据此列出不等式求解k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴， 解得． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）若是反比例函数且图象在每一象限内y随x的增大而减小，则a的值为_____ 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义确定指数的值，再结合函数增减性确定系数的范围，求解得到的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴可得且， 解得，即或． 解得． ∵图象在每一象限内随的增大而减小 ∴，即 ∴不符合条件，舍去 因此可得． 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内随的增大而减小， A、若两点在不同分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； B、若两点在同一分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； C、当时，两点都在第一象限，，原说法正确，符合题意； D、当时，两点都在第一象限，，原说法错误，不符合题意； 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 典例8（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知点都在反比例函数（其中是常数）的图象上，则的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点代入反比例函数解析式，用含的式子表示,,，结合比较大小． 【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴，又， ∴， ∴． 💡破题要诀 先看k定增减，重点区分点是否在同一分支；同分支直接用增减性判断，不同分支按象限正负区分，优先画图辅助，不盲目套用增减性结论。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值． 【详解】解：∵当时，的最大值为， ∴， ∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小， ∴在中，取最小值时，取得最大值， 将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵当时，，随的增大而减小， ∴取最小值3时，取得最大值，为． 2．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数， ∵当时，， ， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴双曲线位于一，三象限，在每一个象限内，随着的值的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴，即. 题型九 反比例函数k值的几何意义 典例9（26-27九年级上·安徽安庆·期中）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 💡破题要诀 过双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积等于|k|，三角形面积等于。注意k自带符号，面积为正数，求k时结合图像象限确定正负。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，点，在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，连接，以，为边作，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由平行四边形性质得，，证得，结合及反比例函数的几何意义求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点，在轴上， ， 点在轴上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义，可得到反比例函数的解析式，即可求解； （2）直接观察函数函数图象，即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则，当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，且轴，的面积为4， ∴， ∴， 即反比例函数的解析式为， 把点和点代入得：， ∴； （2）解：由（1）得：点和点， 观察图象得：当或时，函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴中x的取值范围为或； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则， 当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为． 题型十 求反比例函数的解析式 典例10（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． (1)求的函数解析式； (2)求的函数解析式； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入，即可； （2）把点代入，求出点的坐标，再根据待定系数法求出的解析式，即可； （3）连接，，根据，即可． 【详解】（1）解：∵点在的图像上， ∴, 解得：， ∴； ∴的函数解析式；． （2）解：∵点在双曲线上， ∴, 解得：， ∴点， ∵点，点在一次函数上， ∴ 解得：， ∴， 的函数解析式为：． （3）解：连接，， 设直线与轴的交点为点， ∴当时，，即； ∴ ． 迁移应用 1．（26-27九年级上·重庆·期中）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为： (2) (3) 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 即， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． （3）解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 2．（26-27九年级上·北京海淀·期中）直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据点在直线上，求出；根据点在反比例函数上，求出； （2）不等式可变形为，即，再结合函数图象即可解答； （3）令直线与反比例函数的函数值为，求出的横坐标，根据的长列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， ∵点在反比例函数上， ∴，解得． （2）解：不等式可变形为，即， 两个函数在第一象限的交点为， 结合图象：当时，，即； （3）解：过点作平行于轴的直线，其解析式为， ∵直线与直线的交点为， ， ， ∵直线与反比例函数的交点为， ，即， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 即当时，． 题型十一 反比例函数与一次函数结合 典例11（26-27九年级上·河北沧州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴ ∴ ∴反比例函数表达式为， 然后将点，代入， 可得 解得 ∴一次函数表达式为； （2）解：由函数图象可得，的解集为或． 💡破题要诀 联立解析式求交点，交点坐标同时满足两个函数；看图找自变量范围、比较函数值大小，面积问题多用割补法，设点代换，留意多解和象限限制。 迁移应用 1．（26-27九年级上·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________． 【答案】或 【分析】根据函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数交于点和点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为和， ∵不等式表示反比例函数的图象在一次函数图象的上方， ∴观察图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 2．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)______，______； (2)满足不等式的x的取值范围是______； (3)为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用点的坐标求出的长度，从而确定点的坐标，使用待定系数法求解即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，观察图象得出答案； （3）根据题意求出的面积，再将的面积表示出来，利用不等式求解． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， ， 把及代入， 则，解得， ∴． （2）解：令，代入中， 则， 解得， 直线与轴交于点， 根据图象可知，当时，的取值范围为； （3）解：由条件可得， ， ， ， 的面积不小于的面积， ， 或． 题型十二 反比例函数的实际应用 典例12（26-27九年级上·四川成都·期中）某一农家计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆圈成一个面积为的矩形花园，现在可用的篱笆总长为．设，． (1)请写出y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； (2)若要使的篱笆全部用完能否围成符合标准的矩形花园？若能，请求出和的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，为,为． 【分析】（1）根据长方形的面积公式列出y与x的关系式即可； （2）设,则,列出方程求出即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵墙长为, ∴， ∴， 可用的篱笆总长为， ， 可得， 设， 令， 解得：， ， 二次函数图象的开口向上， 结合二次函数的图象可得原不等式的解集为， 即y关于x的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 设,则, 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 则， 即能围成面积为的花园，为,为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加 (1)当时，求与之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？ 【答案】(1)时， (2)时，电阻不超过 【分析】（1）根据题意先求出，设关系为 ，将代入求m； （2）将代入关系式中求y，再利用温度每上升，电阻增加，得出图像上点的坐标，再求出函数关系即可，将代入函数关系式求出x的值． 【详解】（1）解：由题意：, 解得，， 函数过，两点， 设， 过点， ． 当时，y与x的关系式为：； （2）过点， 温度每上升，电阻增加 过点， ， 解得：， 与x的关系式为：， ，当时，， ，当时，， 答：温度x取值范围是：． 2．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 【答案】(1)加热阶段的函数表达式为，水温下降阶段的函数表达式为 (2)同学们能喝到不高于的温水 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）判断出时，饮水机处于第4个周期的第10分钟，则此时处于水温下降阶段，将代入反比例函数表达式求出函数值，再与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，加热阶段与是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为． 因为初始水温为， 所以． 因为每分钟上升， 所以． 所以加热阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以加热阶段的函数表达式为． 由题意可知，水温下降阶段与成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点， 所以， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 综上：加热阶段的函数表达式为， 水温下降阶段的函数表达式为； （2）解：从到经过的时间为：1小时10分钟分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．． 所以时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为， 所以此时处于水温下降阶段． 将代入，得． 因为， 所以同学们能喝到不高于的温水． 答：同学们能喝到不高于的温水． 题型十三 反比例函数与几何结合 典例13（26-27九年级上·河北沧州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 迁移应用 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点C的坐标； (3)将沿x轴正方向平移10个单位长度后，判断点能否落在反比例函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点落在反比例函数的图象上．理由如下： 把点沿x轴正方向平移10个单位长度后得到对应点的坐标为， 而当时，， ∴平移后点能落在反比例函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据四边形为平行四边形，得到，再根据点的坐标，得到，从而可知，即可求解； （3）先求得点沿x轴正方向平移10个单位长度后得到对应点的坐标为，再将点代入中，即可判定． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形为平行四边形， ， ∵点A，D，B的坐标分别为， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）略 2．（26-27九年级上·山东日照·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围； (3)点是轴上一点，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，将代入，求得，进而求得，将，代入，求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）设一次函数与轴的交点为，由，得到，令，求出，根据，进而得，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ， 将，代入得， 解得， ∴一次函数为； （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或； （3）解：设一次函数与轴的交点为， 由题意可知， ， 把代入得，， 解得， ∴， ， ， ， ，即， ， 或． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）下列函数是关于的反比例函数的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项：的分母为，不是反比例函数，不符合题意； 选项：的分母为，不是反比例函数，不符合题意； 选项：的分母为，，是反比例函数，符合题意； 选项：是正比例函数，不符合题意． 2．（26-27九年级上·江苏南京·期中）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于轴成轴对称 D．在每一个象限内，随的增大而减小 【答案】D 【分析】先由解析式确定比例系数的符号，再结合反比例函数的图象与性质判断各选项． 【详解】解：A、将代入，得，故A错误； B、，函数图象的两个分支分布在第一、三象限，故B错误； C、反比例函数图象的两个分支关于原点中心对称，不关于轴对称，故C错误； D、，在每一个象限内，随的增大而减小，故D正确． 3．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点、在第四象限的图象上， ∴． 4．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵点、， ∴的中点坐标为：， 反比例函数的图象经过的中点，可得， ． 6．（26-27九年级上·江苏南通·期中）若反比例函数的图像位于第二、第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像位于第二、四象限， ，解得． 7．（26-27九年级上·江苏南京·期中）若、是反比例函数的图象上的两点，则与的大小关系是________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】可以将两点横坐标代入反比例函数解析式求出和的值，再比较大小． 【详解】解：∵、是反比例函数图象上的两点， ∴将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8．（26-27九年级上·全国·期中）已知反比例函数． （1）在每一个象限内，y随x的增大而_______； （2）当时，y的取值范围是_______． 【答案】 减小 【分析】（1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）先分别求出和对应的函数值，再根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴在每一个象限内，y随x的增大而减小； （2）在中，当时，，当时，， ∵当时， y随x的增大而减小， ∴当时，y的取值范围是． 9．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为________． 【答案】 【分析】设反比例函数的一般形式，利用待定系数法代入已知点坐标求出参数，即可得到函数解析式． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将点代入解析式，得， 解得， 所以这个反比例函数的解析式为． 10．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知一个交点为，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】或 【分析】先将分别代入和，求得，，联立两个函数解析式解得另一交点，然后结合图象求解． 【详解】解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴ 联立得， 解得或 将代入 ∴ 由图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 11．（26-27九年级上·陕西延安·期中）已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，． 12．（26-27九年级上·全国·期中）已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在该反比例函数的图象上，点不在该反比例函数的图象上． 【分析】（1）将代入求解即可； （2）分别将和代入判断即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点在该反比例函数的图象上； 将代入，得， ∴点不在该反比例函数的图象上． 13．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． 14．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把点代入解析式即可求出的值； （）把代入解析式即可求解； （）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 15．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第小时起开始起效，第2小时达到最高微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，每毫升血液中含药量（微克）与时间（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．      (1)当时，与之间的函数表达式为 ；当时，与之间的函数表达式为 ． (2)如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间有多少小时． 【答案】(1)； (2)11小时 【分析】本题实际问题与反比例函数，正确地求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）求出时的两个自变量的值，作差即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 由图象可知，直线经过点 ∴， 解得： ∴解析式为； 当时，设与之间的函数关系式为， 由图象可知，反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴函数的解析式为； （2）解：令，解得：， 令，解得：， ∴（小时）， ∴一次服药后的有效时间有11小时． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·江苏南京·期中）下列函数中，当时，变量随变量的增大而减小的是（） A． B． C．（） D． 【答案】A 【详解】解：A选项，，，当时，随的增大而减小，符合题意． B选项，，当时，随的增大而增大，不符合题意； C选项，时，，，当时，随的增大而增大，不符合题意； D选项，，，当时，随的增大而增大，不符合题意． 17．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质，先判断定值的符号，再结合两点纵坐标的符号推导横坐标的符号，即可比较大小． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，； ∴． 18．（26-27九年级上·江苏南通·期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】梳理函数图象与参数的对应关系，分情况讨论k的取值，综合分析确定正确选项． 【详解】解：①当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项的图象符合要求； ②当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，没有符合条件的选项； 综上，只有B选项符合要求． 19．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出反比例函数的解析式为，设的解析式为，由经过，得出的解析式为，设，由平行四边形的性质得，，根据平行四边形的面积可得，则，推出，最后代入直线求出，即可得出结果． 【详解】解：在反比例函数上， ， 解得， 反比例函数解析式为， 设直线表达式为， 将点坐标代入得， 解得， 直线表达式为， 设， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的面积是， ， ， ， ， ， 点在直线上， ， 解得（负值已舍去）， ， 故选：B． 20．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（     ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】设，；根据轴可推出点B的纵坐标为，横坐标为，再由求解即可． 【详解】解：设， ∵E为的中点， ∴； ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为， ∴， ∴ ． 21．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】 【分析】已知三点在反比例函数图象上，结合的条件，代入横坐标得到纵坐标表达式，即可比较大小． 【详解】解： ∵ 点，，在反比例函数的图象上， ∴ 将各点横坐标代入函数解析式，得，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 22．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 【答案】 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 23．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过第_____象限 【答案】三 【分析】根据正比例函数经过的已知点得到的符号，根据反比例函数的象限位置得到的符号，再利用一次函数的性质判断不经过的象限． 【详解】解：∵ 正比例函数的图象经过点， ∴ 代入点坐标得，即． ∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴ ． ∵ 一次函数中，，， ∴ 一次函数的图象经过第一、第二、第四象限， 因此一次函数的图象一定不经过第三象限． 24．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，对于点和，当时，；当时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为_____． 【答案】或 【分析】根据“演绎点”的定义，分和两种情况讨论，结合点在反比例函数图象上的坐标特征列方程求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数上，且的横坐标为， ∴， ∵是点的“演绎点”， 当时，根据定义得， ∴，解得，符合条件； 当时，根据定义得， ∴，解得，符合条件； 综上，的值为或． 25．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图象经过点D，则k的值为________． 【答案】 【分析】过点分别作轴、轴、的垂线，利用角平分线的性质证明垂线段相等，从而得出点横纵坐标绝对值相等；结合勾股定理求出长，利用全等三角形对应边相等建立关于点坐标参数的方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作轴于，轴于，交的延长线于， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ， 四边形是正方形， 点，， ，， 在中，， 设，则， 点在第二象限， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，且由图可知在下方（若在上方则，此时，由得无解）， ， ， 解得， ， 反比例函数的图象经过点， ． 26．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，双曲线与直线交于，两点，轴于，且． (1)点的坐标为________，点的坐标为________． (2)当时的取值范围是________；当时，的取值范围是________． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或；或 (3) 【分析】（1）根据，结合的几何意义得出，联立双曲线和一次函数解析式，解方程组即可求出、两点坐标； （2）根据图象，结合、两点坐标即可得出时的取值范围；求出时的值，结合图象即可得出时，的取值范围； （3）设交轴于，根据一次函数解析式求出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，轴 ∴， 解得， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴，， 联立双曲线和一次函数解析式得，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴由图象可知，时的取值范围是或； 当时，， 解得， ∴当时，的取值范围是或． （3）解：如图，设交轴于， ∵， ∴当时，， ∴，， ∴． 27．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】（1）先通过一次函数表达式求解点坐标，再由待定系数法求解反比例函数表达式； （2）先求出点坐标，则不等式的解集转化为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点横坐标的取值范围； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 将代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：将代入， ， 解得， ． 不等式的解集为或． （3）解：如图， 设直线交y轴于点C，令，则， ，． 的面积为8． 28．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1． (1)求b的值； (2)若点C在y轴上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)如图2，若点P坐标是，将线段绕点P顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求m的取值范围． 【答案】(1)7 (2)或 (3) 【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，直线交轴于点，先求出点的坐标，再根据求解即可； （3）先利用全等三角形的性质求出点，的坐标，再代入反比例函数的解析式，由此即可得． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得：， ∴， 将点代入一次函数得：， 解得． （2）解：如图，设点的坐标为，直线交轴于点， 由（1）可知，直线的解析式为，点的坐标为， 将代入函数得：，即， ∴， 联立， 解得或， ∴， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∵的面积为5， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 同理可得：， ∵线段与反比例函数在第三象限的图象有交点， ∴有以下两个临界点： ①将点代入反比例函数得：， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ②将点代入反比例函数得：， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴． 29．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）新定义探究：函数的“迁移中心” 对于函数（a、b、h为常数，且），变形可得，称点为该函数图象的“迁移中心”．例如的迁移中心为． (1)①函数的迁移中心是 ； ②在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的大致图象（小方格的边长为1）． 观察图象可知，函数的对称中心是点 （写出点的坐标）； (2)若函数图象的“迁移中心”为，且该函数图象由函数的图象平移得到，求此函数的解析式； (3)若直线与（2）中函数图象交于P、Q两点，点P的横坐标为p，点Q的纵坐标为q，求代数式的值． 【答案】(1) ；，对称中心为 (2) （或） (3) 【分析】（1）① 对照定义比较系数得 、、，直接写出迁移中心；② 将函数式变形为 ，明确双曲线由 平移得到，列表描点画图，由双曲线的中心对称性读出对称中心； （2）先求 的迁移中心 ，由“中心从 平移到 ”确定平移方式，写出平移后的解析式并化成标准形验证； （3）设 、，把双曲线与直线都化为 、 的关系式，联立后利用两交点对应的 值之积整体代换，避免求 、 的具体值． 【详解】（1）解：① 在 中，，，分母 ，故 ， 所以迁移中心为 ． ② ， 其图象由 的图象向左平移 1 个单位、向上平移 1 个单位得到，是两支双曲线． 列表如下： 描点连线可得图象（图象分两支，无限接近直线 和 ）． 由双曲线的中心对称性可知，对称中心为 ． （2）解： 可写成 ，即 ，，，迁移中心为 ． 新图象的迁移中心为 ，由 平移到 ，故图象向左平移 2 个单位、向上平移 2 个单位， 得 ． 验证：，，，，符合定义． 所以所求函数解析式为 ． （3）解：由（2），函数图象满足 ． 设 ，，则双曲线为 ；直线 即 ． 联立得 ，即 （，方程有两个不相等的实数根）． 设交点 对应 ，交点 对应 ，则 ． 点 的横坐标为 ，则 ；点 的纵坐标为 ，则 ． 所以 ． 【点睛】① 迁移中心是 ，分母须化成 的形式：，，易误写为 ； ② 平移方向与中心对应：中心 平移到 是左移 2、上移 2，分母是 而不是 ； ③ 第（3）问中 、 含参数 ，不能（也不必）分别求出具体值，须设 、 整体代换，利用 消去 ． 30．（26-27九年级上·江苏南京·期中）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足，为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 (1)点______________“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______________； 【深入探究】 (2)已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式； 结合图象研究性质，下列结论正确的选项是______________； 图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； 随着的增大而减小； 随着的增大而增大； 图象经过点； 对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)不是， (2)，，是定值， 【分析】（1）根据题意矩形的周长与面积的数值相等，直接判断计算即可． （2）根据题意点是第一象限内的“美好点”，直接求出函数表达式，同时注意，，根据函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，两点，如图， ∴四边形是矩形， ∴，， 矩形的周长， 矩形的面积， ∴矩形的周长和面积不相等， ∴点不是平面直角坐标系中的“美好点”． ∵点是第一象限内的一个“美好点”，如图， ∴矩形的周长与面积的数值相等， ∵点坐标为， ∴，， 矩形的周长， 矩形的面积， ∴， 解得． （2）解：点是第一象限内的“美好点”，如图， ∴矩形的周长与面积的数值相等， ∵点坐标为， ∴，， 矩形的周长是， 矩形的周长是， ∴， ∴， ∵点是第一象限内的“美好点”， ∴，， ∴， 解得， ∴关于的函数表达式为，， 由可知函数表达式为，，变形可得，由反比例函数向右平移 个单位，再向上平移个单位得到的图象，自变量取值范围为，函数值的取值范围为 函数图象靠近和 ， 选项，经过点且平行于坐标轴的直线为和 ，函数的自变量取值范围为，所以图象与直线没有交点，函数值的取值范围为，所以图象与直线 没有交点，选项正确． 选项，对于，且，根据反比例函数的性质，当增大时，增大，减小，从而减小，选项正确，选项错误． 选项，将 代入函数表达式：，即图象经过点，而不是 ，选项错误． 是定值， 图象上任意一点，满足， ， 代数式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 反比例函数的有关概念 考点二 反比例函数的性质 考点三 反比例函数的对称性 考点四 反比例函数中k值的几何意义 考点五 一次函数与反比例函数的交点问题 考点六 反比例函数的实际问题 05 重难题型突破 题型一 反比例函数的定义求参数 题型二 用反比例函数描述数量关系 题型三 求反比例函数自变量和值 题型四 画反比例函数图象 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型六 已知双曲线分布的象限求参数范围 题型七 反比例函数的增减性求参数 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 题型九 反比例函数k值的几何意义 题型十 求反比例函数的解析式 题型十一 反比例函数与一次函数结合 题型十二 反比例函数的实际应用 题型十三 反比例函数与几何结合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 【分值占比】苏科版九上期中，反比例函数一般占 15～22 分，约整张试卷 13%～18%。常搭配一元二次方程考查，填空、选择、解答均有分布，是函数板块核心得分模块。 【题型特点】选择填空侧重定义、象限、增减性、k 的几何意义；解答多为反比例与一次函数综合，求交点、面积，偶结合简单几何，贴合苏科版教材例题风格。 【难度分布】基础题占六成，考查图像基础；中档题考面积转化、坐标计算；难题多为填空压轴或解答次压轴，常结合线段比例、设点法综合分析。 【备考方向】吃透 k 的几何意义，区分 “每个象限内” 增减性；专项练两函数交点、面积题；整理设点代换模型，规避忽略自变量范围的典型易错点。 识记 熟记反比例函数定义、一般形式，掌握自变量取值范围；牢记图像是双曲线，清楚k>0、k<0对应的象限；记住增减性表述、k的几何意义基础结论，能准确识别反比例函数，区分它与正比例、一次函数形式差异，做到概念清晰，无表述漏洞。 理解 理解k的符号对图像位置、增减趋势的影响，明白增减性必须限定在同一象限内；理解k的几何意义的推导逻辑，懂得图像上点的横纵坐标乘积恒为定值；能结合图像解释函数变化规律，看懂反比例与一次函数联立的交点含义，理清坐标和图像之间的对应关系。 应用 会用反比例函数模型解决简单实际问题，熟练利用k的几何意义求图形面积；能联立一次、反比例函数解析式求交点坐标，结合几何线段、面积条件列方程求解；灵活运用设点法转化坐标，规范书写步骤，准确规避漏解、忽略象限等易错问题，综合解决期中典型综合题。 考点一 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 考点二 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 考点三 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 考点四 反比例函数中k值的几何意义 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 考点五 一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 考点六 反比例函数的实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 题型一 反比例函数的定义求参数 典例1（25-26九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数是反比例函数，则________． 💡破题要诀 抓住两点：x次数为-1，系数k≠0，列方程加不等式联立求解。求出参数后务必回代检验，排除使系数为 0 的情况，避免忽略限制条件出错。 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）若函数是反比例函数，则的值为__________． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 题型二 用反比例函数描述数量关系 典例2（2025九年级上·北京·专题练习）下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 迁移应用 1．（25-26九年级上·全国·周测）为了响应新中考体育考试要求，某中学八（1）班用200元购买了某品牌篮球y个．若该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为_________． 2．（24-25七年级上·全国·期中）2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 题型三 求反比例函数自变量和值 典例3（2026·江苏泰州·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，则______． 迁移应用 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）在反比例函数中，若，则y的取值范围是______． 2．（25-26九年级上·全国·期中）已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 题型四 画反比例函数图象 典例4（26-27九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)画出这个反比例函数的图象． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)画出函数图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的取值范围_______． 2．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求出与的函数表达式； (2)在所给网格中画出这个反比例函数图象， (3)当时，的取值范围为______． (4)当不小于时，的取值范围为______． 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 典例5（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 迁移应用 1．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的表达式； (2)将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 题型六 已知双曲线分布的象限求参数范围 典例6（26-27九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，且，求a的取值范围． 💡破题要诀 口诀：一三象限k>0，二四象限k<0。把含参数的代数式代替k，转化为一元一次不等式求解，看清题干条件，不要颠倒不等号方向。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值、的大小． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； (2)在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 题型七 反比例函数的增减性求参数 典例7（26-27九年级上·江苏南京·期中）反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）若是反比例函数且图象在每一象限内y随x的增大而减小，则a的值为_____ 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 典例8（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知点都在反比例函数（其中是常数）的图象上，则的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 先看k定增减，重点区分点是否在同一分支；同分支直接用增减性判断，不同分支按象限正负区分，优先画图辅助，不盲目套用增减性结论。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 题型九 反比例函数k值的几何意义 典例9（26-27九年级上·安徽安庆·期中）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 过双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积等于|k|，三角形面积等于。注意k自带符号，面积为正数，求k时结合图像象限确定正负。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，点，在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，连接，以，为边作，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 题型十 求反比例函数的解析式 典例10（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． (1)求的函数解析式； (2)求的函数解析式； (3)求的面积． 迁移应用 1．（26-27九年级上·重庆·期中）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 2．（26-27九年级上·北京海淀·期中）直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值． 题型十一 反比例函数与一次函数结合 典例11（26-27九年级上·河北沧州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 💡破题要诀 联立解析式求交点，交点坐标同时满足两个函数；看图找自变量范围、比较函数值大小，面积问题多用割补法，设点代换，留意多解和象限限制。 迁移应用 1．（26-27九年级上·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________． 2．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)______，______； (2)满足不等式的x的取值范围是______； (3)为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 题型十二 反比例函数的实际应用 典例12（26-27九年级上·四川成都·期中）某一农家计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆圈成一个面积为的矩形花园，现在可用的篱笆总长为．设，． (1)请写出y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； (2)若要使的篱笆全部用完能否围成符合标准的矩形花园？若能，请求出和的值；若不能，请说明理由． 迁移应用 1．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加 (1)当时，求与之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？ 2．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 题型十三 反比例函数与几何结合 典例13（26-27九年级上·河北沧州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 迁移应用 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点C的坐标； (3)将沿x轴正方向平移10个单位长度后，判断点能否落在反比例函数的图象上，请说明理由． 2．（26-27九年级上·山东日照·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围； (3)点是轴上一点，当时，请求出点的坐标． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）下列函数是关于的反比例函数的是（     ）． A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏南京·期中）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于轴成轴对称 D．在每一个象限内，随的增大而减小 3．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 6．（26-27九年级上·江苏南通·期中）若反比例函数的图像位于第二、第四象限，则的取值范围是________． 7．（26-27九年级上·江苏南京·期中）若、是反比例函数的图象上的两点，则与的大小关系是________．（填“”、“”或“”） 8．（26-27九年级上·全国·期中）已知反比例函数． （1）在每一个象限内，y随x的增大而_______； （2）当时，y的取值范围是_______． 9．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为________． 10．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知一个交点为，则关于x的不等式的解集为________． 11．（26-27九年级上·陕西延安·期中）已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)当时，求的值． 12．（26-27九年级上·全国·期中）已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 13．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 14．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 15．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第小时起开始起效，第2小时达到最高微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，每毫升血液中含药量（微克）与时间（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．      (1)当时，与之间的函数表达式为 ；当时，与之间的函数表达式为 ． (2)如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间有多少小时． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·江苏南京·期中）下列函数中，当时，变量随变量的增大而减小的是（） A． B． C．（） D． 17．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（     ） A． B． C． D． 18．（26-27九年级上·江苏南通·期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 19．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 20．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（     ） A．5 B．6 C． D．4 21．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 22．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 23．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过第_____象限 24．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，对于点和，当时，；当时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为_____． 25．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图象经过点D，则k的值为________． 26．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，双曲线与直线交于，两点，轴于，且． (1)点的坐标为________，点的坐标为________． (2)当时的取值范围是________；当时，的取值范围是________． (3)求的面积． 27．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 28．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1． (1)求b的值； (2)若点C在y轴上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)如图2，若点P坐标是，将线段绕点P顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求m的取值范围． 29．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）新定义探究：函数的“迁移中心” 对于函数（a、b、h为常数，且），变形可得，称点为该函数图象的“迁移中心”．例如的迁移中心为． (1)①函数的迁移中心是 ； ②在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的大致图象（小方格的边长为1）． 观察图象可知，函数的对称中心是点 （写出点的坐标）； (2)若函数图象的“迁移中心”为，且该函数图象由函数的图象平移得到，求此函数的解析式； (3)若直线与（2）中函数图象交于P、Q两点，点P的横坐标为p，点Q的纵坐标为q，求代数式的值． 30．（26-27九年级上·江苏南京·期中）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足，为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 (1)点______________“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______________； 【深入探究】 (2)已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式； 结合图象研究性质，下列结论正确的选项是______________； 图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； 随着的增大而减小； 随着的增大而增大； 图象经过点； 对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $