专题04 相交线与平行线有关的热考模型（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相交线与平行线有关的热考模型 内容概览 目 常考题型精准突破 题型1三线八角的识别（高频） 题型2猪蹄模型（重） 题型3铅笔模型（重）) 题型4靴子模型（重） 题型5骨折模型（重） 题型6蛇形模型（重） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三线八角的识别 1.在如图所示的4个角的位置关系中，∠1与∠2是 ,∠1与∠3是，∠2与∠3是 ∠2与∠4是 ,∠3与∠4是 八1 3K4 2.如图，直线AB、CD相交于点O,连接BC,∠B的内错角是() ○ A.∠AOD B.∠AOC C.∠BOD D.∠BOC 3.下列各图中，∠1和∠2为同位角的是() 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”，如图所示，以下选项 中在位置上互为同位角的是() A.∠3和∠7 B.∠4和∠6 C.∠3和∠5 D.∠4和∠5 5.如图，下列6种说法：①∠1与∠4是内错角；②∠1与∠2是同位角；③∠2与∠4是内错角；④∠4与 ∠5是同旁内角：⑤∠3与∠5是同位角；⑥∠2与∠5是内错角.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ◆题型2猪蹄模型 6. 【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形 形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系。 A B B B G (00 E D D 图① 图② 图③ (I)如图①，AB‖CD,E为AB、CD之间一点，连接BE、DE,请你写出∠BED与∠B、∠D之间的数 量关系，并说明理由： (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题 ①【类比探究】如图②，AB‖CD,线段AD与线段BC相交于点E,∠BAD=36°，∠BCD=80°，EF 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平分∠BED交直线AB于点F,则∠BEF= ②【拓展延伸】如图③，AB‖CD,线段AD与线段BC相交于点B,∠BAD=36°，∠BCD=80°，过 点D作DG‖CB交直线AB于点G,AH平分∠BAD,DH平分∠CDG,求∠AHD的度数. 7.【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将 这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系. E B B E F D D 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，AB‖CD,P是AB、CD之间的一点，连接BP、DP,试说明：∠B+∠D=∠BPD;请 将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作PM‖AB D ,PM‖AB.(辅助线的作法) .∠B=∠BPM.(_) .AB‖CD.(已知) .PM‖CD.() .∠D=∠DPM.(_) .∠BPM+∠DPM=∠BPD.(角的和差定义) ∴.∠B+=∠BPD.(等量代换) 【方法应用】 (2)如图2，若AB‖CD,∠BEP=150°，∠PFD=128°，则∠EPF=_°： 【变式探究】 (3)如图3，AB‖CD,点P在AB的上方，问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有什么数量关系？请说明 理由： 【拓展延伸】 (4)如图4，若∠EPF=98°，∠PEA的平分线和∠P℉C的平分线交于点Q,则∠Q=_°. 8.【知识储备】构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，两条平行线间的拐点问题经常可以 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通过作一条直线的平行线进行转化. 【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们把这个图形形象地称为“猪 蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系， (1)如图，AB‖CD,E为AB,CD之间一点，连接BE,DE,得到∠BED.写出∠BED与∠B, ∠D之间的数量关系，并说明理由 【类比应用】已知直线ABCD,P为平面内一点，连接PA,PD (2)如图，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数 B (3)如图，根据图形直接写出∠PAB,∠CDP,∠APD之间的数量关系. 9.【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪 蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系 C N A B 图① 图2 图3 (I)如图①，ABCD,E为AB,CD之间一点，连接BE,DE,得到∠BED.试探究∠BED与∠B、 ∠D之间的数量关系，并说明理由， (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图2，已知MN‖PQ,CD‖AB,点E在PQ上，∠ECN=∠CAB,请你说明 ∠ABP+∠DCE=∠CAB;(把下面的解答补充完整) 解：因为CD‖AB 所以∠CAB+=180°( 因为∠ECM+∠ECN=180°( 又因为∠ECN=∠CAB 所以∠_=∠-( 即∠MCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE 所以∠MCA=∠DCE 由(I)知∠MCA+∠ABP=∠CAB .∠ABP+∠DCE=∠CAB (3)【拓展延伸】如图3，BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,AF‖CG.若∠CAB=68°，请直接写出 ∠AFB的度数为_· 10.某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称 为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系， 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，若ABCD,∠BEP=150°，∠PFD=128°，则∠EPF= 0 (2)如图3，AB‖CD,点P在AB的上方，问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有什么数量关系？请说明理 由； (3)如图4，AB‖CD,若∠EPF=98°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点Q,求∠Q的度数. ◆题型3铅笔模型 11.综合与实践 【问题初探】 B D 图1 图2 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，ABCD,点E在AB,CD之间且点E在点A右侧，求 证：∠AEC=∠BAE+∠DCE(提示：过点E作EF‖AB); 【类比探究】 (2)小聪对李老师给出的问题进行改编：如图2，ABCD,点E在AB,CD之间且点E在点A左侧，猜想 ∠AEC,∠BAE,∠DCE之间的数量关系，并加以证明； 【学以致用】 图3 图4 (3)如图3是超市的购物车，图4是其侧面示意图，已知ABCD,FD⊥CD,测量得知∠ABE=76°， ∠DFE=114°，直接写出∠BEF的度数. 12.[]问题情境：如图1，AB‖CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数，小明的思路是： 如图2，过点P作PE‖AB,通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°： [2]问题迁移： B 图1 图2 图3 备用图 (①)如图3.AD‖BC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠BCP=∠B.猜想 ∠CPD、∠C、∠β之间有何数量关系？请说明理由： (2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），猜想 ∠CPD、∠α、∠B之间有何数量关系？选择其中一种情况画图并证明， 13.下列各图中的MA1与NAn(n是正整数)平行. M A M A M A: A N As ① 第n个图中的∠A+∠A,+∠A3+.+∠A口1=度. 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则 ∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 15.如图1，高铁车顶上的“受电弓”能保持稳定和高效的电能传输，其示意图如图2所示，已知 AB‖CD,∠2=30，∠E=85°，则∠1的度数为() B C 图1 图2 A.115° B.125° C.135° D.145° ◆题型4靴子模型 16.己知AB‖DE,点C在AB上方，连接BC,CD」 H A B D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ABC=146°，∠EDC=115°，则∠BCD=_°： (②)如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,判断∠ABC与∠F之间的数量关系，并说明理由： 3)如图3，在(2)的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G,连接GB并延长至点H.若BH平分 ∠ABC,求∠BGD-∠CGF的值. 17.如图1，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美.图2是从糖画线条 中抽象出的几何图形.己知AB‖CD,∠BAE=105°，∠DCE=134°，则∠E的度数是 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 18.如图，某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题.如图所示，已知 AB‖CD,∠BAE=89°，∠DCE=123°，则∠E的度数是 19.如图，已知直线AB‖CD,点P在两平行线的外侧，若∠BAP=130°，∠DCP=110°，则∠APC的 度数是 度 110° A 1309 D B 20.如图①所示为一名同学抖空竹时的一个瞬间，小明将其抽象成一个数学问题：如图②，ABCD, ∠EAB=80°，∠ECD=110°，则∠E的度数是() ② A.30° B.20° C.40° D.25° ◆题型5骨折模型 21.解答下列各题 (①)感知：如图O,若AB‖CD,点P在直线AB,CD之间，则∠P,∠A,∠C满足的数量关系是 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D ① (2)探究：如图②，若AB‖CD,点P在直线CD下方，则∠P,∠A,∠C满足的数量关系是 B D ② (3)应用：如图③是北斗七星的位置图，将北斗七星分别标为A,B,C,D,E,F,G,其中B,C,D三点 在一条直线上，AB‖EF,求∠B,∠BDE,∠E满足的数量关系，并说明理由. B G ③ 22.如图，AB与HN交于点E,点G在直线CD上，∠FMA=∠FGC,∠FEN=3∠NEB, ∠FGH=3∠HGC.下列四个结论：①ABCD:②∠FEN+∠FGH=3∠H;③ ∠H+∠F=∠FGD;④4∠H-∠F=180°.其中正确的结论有（)个. A E B G A.1 B.2 C.3 D.4 23.己知：AB‖CD,B、G是AB上的点，R、H是CD上的点，满足EF‖GH. A E GB A E GB A B 只 H/ H DCF nc M 图1 图2 图3 9116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，求证：∠1三.下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：：AB‖CD(已知)； ∴.∠1=GHD(). .EFGH(已知)； (两直线平行，同位角相等)· .21=∠2(). (2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M,作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N,EN交 GH于点P,求∠ENF的度数； (3)如图3，在(2)的条件下，当∠FEN=2∠HFM时，请问是否存在 ∠GQH ∠GPN 为定值，使得QG平分 飞AGM?若存在，请求出GPN的值；若不存在，请说明理由 24.已知：如图1，ABCD,E,G是AB上的点，F,H是CD上的点，∠ 1= D E B 图1 图2 图3 ()求证：EF‖GH; (2)如图2，点P是FE延长线上的一点，连接PG,若∠AGP的平分线与∠FHG的平分线交于点M,试探 究∠P与∠M的数量关系： (3)如图3，在(2)的条件下，作∠GHD的角平分线交AB于点N,若2∠FHM=3∠AGP,∠P=88°， ∠ANH 请直接写出∠MG币的值. 25.已知：ABCD,E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1= G M 图1 图2 图3 10/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，求证：EF‖GH; (2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M,作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N,EN交 GH于点P,求∠N的度数： (3)如图3，在(2)的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q,交EF于点K.若 ∠EKG ∠FEN:∠HFM=5:4,直接写出∠MPN的值. ◆题型6蛇形模型 26.已知AB1CD,∠1=30，∠2=50，∠3=60，求∠4. -B 20E F3 4 O -D 27.如图，ABIDE,∠B=70°，∠D=135°.求∠C的度数. D 28.如图，AB‖CD,EB⊥AB于点B,连接CE,若∠C=20°，则∠CEB=() D E A B A.120° B.115 C.100° D.110° 29. 劳动情境·公路修建」-条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯上M的度数为4.第二 次拐弯∠N的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠P= 11/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M B P 30.如图，AB‖DE,∠CDE=20°，则∠B+∠C的度数是 E 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.如图，已知ABDE,∠ 1=,则∠BCE的度数为() A C D一 A.70° B.65 C.35° D.45° 2.如图，已知直线ABDE,则∠B,∠C,∠D之间的关系是() -E A.∠C-∠B=∠D B.∠C+∠B+∠D=360° C.∠C+∠B-∠D=180° D.∠C+∠D-∠B=180° 3.如图，已知AB‖CD,点E,F分别在AB,CD上，点Q在AB的上方，连接QF,QE,点P在AB与 CD之间，连接PF,连接PE并延长至点H,满足∠QEH=2∠HEB,∠PFQ=2∠PFC,设∠Q=33°， 则∠P的度数为() 12/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D A.68° B.70° C.71° D.72° 4.近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座 高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB,EDAB,经使用发现，当∠EDC=114°时，台灯光线最佳. 则此时∠DCB的度数为() A A.114° B.144° C.146 D.156 5.如图，AB‖CD,点E在CD上，点G,R,I在AB,CD之间，且GE平分∠CEF,BI平分∠FBH, GF‖BI.若∠BFE=52°，则∠G的度数为()· B H 1 E D A.112° B.114° C.116° D.118° 二、填空题 6.如图，已知AB‖CD,点E,F分别在AB,CD上，点G,H在两条平行线AB,CD之间，∠AEG 与∠FHG的平分线交于点M,若∠EGH=84°，∠HFD=20°，则∠M= A E B M D 7.如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A,B,G,C,D,E,F,将A,B,G, C,D,E,F顺次首尾连接.若B,G,C三点共线，AF恰好经过点G,且AFDE, 13/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠BCD+10°，∠D=105°，则∠B-∠CGF= 贪狼星 廉贞星 B 文曲星 G 武曲星 破军星 巨题星 禄存星 图① 图② 8.如图，AB‖CD,∠A=120°∠C=100°，则∠AEC= -B D 9.如图，ABEF,∠C=60°，∠A=o,∠E=β，∠D=Y,则a,B,Y的数量关系是 B D B E 10.如图，已知AB‖CD‖EF,∠1=60，∠3=30，则∠2的度数为 A B C D 3 三、解答题 11.如图，已知ABCD,求证：∠A+∠C=∠AEC,以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完 整. B E D 证明：如图、过点E作EF‖AB, ∴.∠A=∠AEF(), 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB‖CD, ∴.EF‖CD(), .ㄥC= (两直线平行，内错角相等)， ∴.∠A+∠C=∠+∠AEF=∠AEC. 12.己知，直线AB‖CD,点P为平面上一点，连接AP与CP B B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，点P在直线AB,CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC的度数. (2)如图2，点P落在直线AB外侧，写出∠APC与∠BAP,∠DCP之间的数量关系，并说明理由. (3)如图3，在(2)的条件下，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APC之间的数 量关系，并利用(3)的结论说明理由. I3.已知AB‖CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF, ∠EMF=c. M A G 图1 图2 图3 (1)如图1，若c=80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数： (②)如图2，点N是AB上方-点，连接NE、NE,NF与ME交于点G,∠MEB=,∠MEN, ∠MFN专∠DEN,乙DFPM=-20°，求∠ENF的度数：（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF,若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分 ∠AEM交FP于点G,2∠ENF+∠EMF=110°，求∠CFN的度数. 14.【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的 一些线.这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的 15/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C≤ 图 图二 图三 (I)如图-一，己知AB‖EF,∠B=∠E,请说明BC‖DE. 解：分别过点C,D作CG‖AB,DH‖EF】 因为①，所以AB‖CG‖DH‖EF 由两直线平行，内错角相等，可知∠B=∠1，∠2=，∠4=E, 由题知∠B=∠E,所以② 则∠1+∠2=∠，即③. 由④，可得BCDE 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整. (②)【迁移应用】如图二，已知AB‖CD,CE,BE的交点为E.判断∠BEC,∠ABE,∠DCE之间的 数量关系，并说明理由。 (3)【拓展延伸】在第(2)题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的 平分线，交点为E1;第二次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E2:第三次操作，分别作 ∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3,,第n次操作，分别作∠ABEn-1和∠DCEn-1的平分线， 交点为En,如图三.若∠En=1°，直接写出∠BEC的大小. I5.已知直线AMCN,点B为平面内一点，AB⊥BC,垂足为B EA F B M -M 图① 图② 图③ (1)如图①，过点B作AM的平行线DE,若∠C=50°，则∠A的度数为 (2)如图②，过点B作BD⊥AM交直线AM于点D.求证：∠ABD=∠C (3)如图③，在(2)的条件下，点E,F在线段DM上，连接BE,BF,CF,BF平分∠DBC,BE平分 ∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数. 16/16 专题04 相交线与平行线有关的热考模型 常考题型·精准突破 题型1 三线八角的识别（高频） 题型2 猪蹄模型（重） 题型3 铅笔模型（重）） 题型4 靴子模型（重） 题型5 骨折模型（重） 题型6 蛇形模型（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三线八角的识别 1．在如图所示的4个角的位置关系中，与是_______，与是_______，与是_______，与是________，与是________． 【答案】 对顶角 同位角 内错角 同旁内角 邻补角 【分析】根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义，并结合图形分析即可解题． 【详解】解：由图知，与是对顶角，与是同位角，与是内错角，与是同旁内角，与是邻补角． 2．如图，直线、相交于点，连接，的内错角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内错角定义即可解答． 【详解】解：根据内错角的定义，可得． 3．下列各图中，和为同位角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角， A、和不是同位角，不符合题意； B、和是同位角，符合题意； C、和不是同位角，不符合题意； D、和不是同位角，不符合题意． 4．两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同位角的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：由图可知：互为同位角的是和，和，和，和． 5．如图，下列种说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同旁内角；⑤与是同位角；⑥与是内错角．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：①与不是内错角，故①错误； ②与是同位角，故②正确； ③与不是内错角，故③错误； ④与是同旁内角，故④正确； ⑤与不是同位角，故⑤错误； ⑥与是内错角，故⑥正确； 综上所述，正确的有②④⑥，共3个． ◆题型2猪蹄模型 6．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为、之间一点，连接、，请你写出与、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题． ①【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，平分交直线于点F，则__________； ②【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)解：与、之间的数量关系为：，理由如下： 如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与、之间的数量关系为：． (2)① ② 【分析】（1）过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质即可得相等，相等， 进一步根据角的和差计算即可得与、之间的数量关系． （2）根据“猪蹄模型”，结合（1）得：等于，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质得，根据角平分线定义求出，等量代换可得，再根据求出，再根据角平分线定义求出，再根据求出，再后根据计算即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①如图， 根据“猪蹄模型”，结合（1）得：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的度数为． 7．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3）略 （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 8．【知识储备】构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图，，E为，之间一点，连接，，得到．写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接，． （2）如图，已知，，求的度数． （3）如图，根据图形直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），证明： 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，，熟练掌握平行线的性质正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过作，根据平行线性质即可证明结论成立； （2）过点作，根据平行线性质可得，，即可求出的度数； （3）过点作，根据平行线性质可得，，即可得出，从而得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点作， ，， ， ，， ， ∴； （3）如图，过点作， ，， ， ，， ， . 9．【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，已知，，点E在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整） 解：因为 所以 （                ） 因为（                ） 又因为 所以 （                ） 即 所以 由（1）知 ∴ (3)【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为 ． 【答案】(1) ，理由如下： 过点E作，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； (2) ；两直线平行，同旁内角互补；；；等角的补角相等； (3) 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质和判定求解即可； （3）根据平行线的性质得出，再由角平分线及（1）中结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵ ∴， ∵ 即， ∴ 由（1）可知， ， ∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键． 10．某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图2，若，，，则___________°； (2)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)如图4，，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数． 【答案】(1) (2) 解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； (3) 【分析】（1）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （2）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （3）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】（1）解：过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）略 （3）解：∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． ◆题型3铅笔模型 11．综合与实践 【问题初探】 (1)数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，点在，之间且点在点右侧，求证：（提示：过点作）； 【类比探究】 (2)小聪对李老师给出的问题进行改编：如图2，，点在，之间且点在点左侧，猜想，，之间的数量关系，并加以证明； 【学以致用】 (3)如图3是超市的购物车，图4是其侧面示意图，已知，，测量得知，，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 证明：如图2，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． (3) 【分析】（1）如图1，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （2）如图2，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （3）如图4，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图4，过点作，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．[1]问题情境：如图1，，，求的度数，小明的思路是：如图2，过点P作，通过平行线性质，可得； [2]问题迁移： (1)如图3．，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，．猜想之间有何数量关系？请说明理由； (2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），猜想之间有何数量关系？选择其中一种情况画图并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)当P在A左侧时，；当P在B的右侧时， 【分析】（1）过P作，交于E．可得，从而得到，即可； （2）分两种情况讨论：当P在A左侧时，当P在B的右侧时，结合平行线的性质以及三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图3：过P作，交于E． ∵． ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，当P在A左侧时． ∵． ∴． ∵是的外角． ∴． ∴； 如图，当P在B的右侧时． ∵． ∴． ∵是的外角． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的判定和性质以及三角形外角的性质是解题的关键． 13．下列各图中的与（n是正整数）平行． 第n个图中的____度． 【答案】 【分析】对图②和图③作平行线，然后利用平行线的性质解决问题，根据计算的结果得到一般情况下的规律即可得解． 【详解】解：如图①，，则； 如图②，过点作， ∵ ∴， ，， ； 如图③，过点作，过点作， 同理可得， ，，， ， …… 观察发现，第n个图中． 14．如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______．    【答案】540° 【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小． 【详解】解：如图，根据题意可知：AB∥EF， 分别过点C，D作AB的平行线CG，DH， 所以AB∥CG∥DH∥EF， 则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°， ∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°． 故答案为：540°．    【点睛】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小． 15．如图，高铁车顶上的“受电弓”能保持稳定和高效的电能传输，其示意图如图所示，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据平行线的判定和性质求出，，根据计算即可． 【详解】解：如图，作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ◆题型4靴子模型 16．已知，点在上方，连接，． (1)如图1，若，，则 °； (2)如图2，过点作交的延长线于点，判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，连接并延长至点．若平分，求的值． 【答案】(1)31 (2)解：． 理由：如图2，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ， ， ， 即． (3) 【分析】（1）过C点作，根据平行线的性质和角的和差即可得解； （2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得； （3）延长，交于点，过点作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过C点作， 则，， ∴． （2）略 （3）解：如图3，延长，交于点，过点作， ． ， ． ， ，， ， ． ， ． 平分，平分， ，， ． 由（2），可得， ， 即． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 17．如图1，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，，，则的度数是______． 【答案】 【分析】过点E作，则，根据平行线的性质求出的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．如图，某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是_______． 【答案】/度 【分析】作，利用平行线的性质求得，，进一步计算即可求解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．如图，已知直线，点在两平行线的外侧，若，，则的度数是___________度． 【答案】20 【分析】过点P作，则，由平行线的性质得出，，进而根据角度的和差可求出． 【详解】解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 20．如图①所示为一名同学抖空竹时的一个瞬间，小明将其抽象成一个数学问题：如图②，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，利用平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ◆题型5骨折模型 21．解答下列各题 (1)感知：如图①，若，点P在直线AB，CD之间，则，，满足的数量关系是________； (2)探究：如图②，若，点P在直线CD下方，则，，满足的数量关系是________； (3)应用：如图③是北斗七星的位置图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，其中B，C，D三点在一条直线上，，求，，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由：如图，过点D作，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 即． 【分析】（1）感知：作平行线利用平行线的性质通过角等量关系转化解题即可． （2）探究：作平行线利用平行线的性质通过角等量关系转化解题即可． （3）应用：如图，过点D作，则，证明，可得，可得，整理即可 【详解】（1）解：感知：； 如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：探究：；理由如下：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 22．如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，过点作，，分别表示出、，即可分析出答案． 【详解】解： ①正确； 过点作，， ， ， 设，，则， ， ②正确； ， ， 而 ③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 23．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；等量代换 (2) (3)存在，定值为 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，结合等量代换进行证明即可； （2）过点N作，设、，进而得到，结合垂线的性质得到，进而得到，从而得到； （3）由结合（2）中的结论，得、，进而得到，及，由角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而得到，从而计算的值． 【详解】（1）证明：（已知）； （两直线平行，内错角相等）． （已知）； （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换； （2）解：如图2，过点N作， ， ， 、， 、是、的角平分线， ∴、， 设、， 、， ， ， 、， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，设、， ， ， ， ， ， 、， ， ， 、， 平分， ， ， ， ， ． 24．已知：如图1，，，是上的点，是上的点，． (1)求证：； (2)如图2，点是延长线上的一点，连接，若的平分线与的平分线交于点，试探究与的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2)，见详解 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而可知，问题得证； （2）由条件可知是由的平分线与的平分线相交形成的，同时发现和，也密切相关，因此先寻找这两个角与，的关系，然后结合解决平行线问题时常用的作辅助线的方法，通过作，建立联系，继而求解； （3）结合第（2）问的结论和所给条件寻找等量关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图所示，过点作，过点作， ，． ， ， ，． ， ， ． ∵平分，平分， ，， ， ， ∴ ； （3）解：，理由： 如图2所示，由于， 则设，，则 ． 由（2）可得， 解得 ， ∴ ，， ∴ ∵平分， ∴ ． ∵ ， ∴ ，， ∴， ． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等．熟知平行线的性质与判定，能够结合条件作出恰好的辅助线使各角之间建立联系是解题的关键． 25．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，交于点K．若，直接写出的值． 【答案】(1) 解：证明：， ， 又， ， ； (2) (3) 【分析】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）设，，则，由，结合前面（2）的结论，求出角度可得的值． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，过点N作， ∵， ， ，， 、分别平分，, ∴设，， ，， 又， ， 又， ∴， ， ， ； （3）解：设，，则， ，即， ， ，， ∵； ∴， 和是角平分线， ∴， ， 又， ， 故答案为：． ◆题型6蛇形模型 26．已知AB//CD，，，，求． 【答案】 【分析】设直线交于，交于，根据三角形外角的性质求出 ，根据平行线的性质得到 ，再由外角的性质得出 ，即可求解． 【详解】解：延长交于，延长EF交DC的延长线于，如图， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 27．如图，AB∥DE，∠B＝70°，∠D＝135°．求∠C的度数． 【答案】∠BCD＝25°． 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，即可解答． 【详解】过点C向右作CH∥DE． ∵CH∥DE，∴∠DCH+∠D=180°． ∵∠D=135°，∴∠DCH=180°-∠D=180°-135°=45°． 又∵AB∥DE，CH∥DE，∴AB∥CH，∴∠B=∠BCH． ∵∠B=70°，∴∠BCH=70°，∴∠BCD=∠BCH-∠DCH=70°-45°=25°． 【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键是正确作出辅助线． 28．如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义．首先根据平行线的性质可知，根据垂直的定义可知，再根据角的和与差可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D ． 29．一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 30．如图，，，则的度数是________． 【答案】/200度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定等知识点，掌握平行于同一直线的两直线平行成为解题的关键． 如图：过C作，则，然后根据平行线的性质以及角的和差即可解答． 【详解】解：如图：过C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，已知，，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点作，则，得到，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，已知直线，则，，之间的关系是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过C作，根据平行线的传递性可得，根据平行线的性质得出，，最后结合即可得出结论． 【详解】解：过C作，    ∵， ∴， ∴，， ∴； 又， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线是解答的关键． 设，，作，，则，利用平行线的性质，结合图形中的角的数量关系列方程求得，进而由求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴，， 如图，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴，解得， ∴，即， 故选：C． 4．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、垂线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：过C作得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：过C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作，可设，由，可设，设，而平分，可得，可得，由，可得， 可得答案． 【详解】解：如图，过作， ∴设， ∵， ∴， ∴设， ∵平分， ∴， 设，而平分， ∴， ∵， ∴， 由平角的定义可得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线是解本题的关键． 二、填空题 6．如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，与的平分线交于点M．若，，则______． 【答案】/32度 【分析】过点G，M，H作，，，根据已知易得：，再利用锯齿模型可得，然后利用角平分线的定义可得，，从而可得，进而可得，最后利用猪脚模型可得，即可解答． 本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点G，M，H分别作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 7．如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则_____．    【答案】/115度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． 8．如图， ，则 _______________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 9．如图，，，，，，则，，的数量关系是______．    【答案】 【分析】过C，D点分别作，，则有，根据平行线的性质解题即可． 【详解】解：过C，D点分别作，， ∵， ∴， ∴，， 又 ∴ ． 故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 10．如图，已知，，，则的度数为_______． 【答案】/150度 【分析】本题主要考查平行线的性质，由可得出的度数，可得出的度数，由可得出的度数．解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作， （______）， ， （______）， ______（两直线平行，内错角相等）， ______． 【答案】两直线平行，内错角相等 ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，两直线平行，内错角相等；． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 利用两直线平行，内错角相等，平行公理推论即可． 【详解】证明：如图、过点作， （两直线平行，内错角相等 ）， ， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， 故答案为：两直线平行，内错角相等 ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，两直线平行，内错角相等；． 12．已知，直线，点为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P落在直线外侧，写出与，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，与的平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并利用（3）的结论说明理由． 【答案】(1) (2) ； 理由：如图，过点P作，则有． ∵，， ∴， ∴， ∴． (3) ； 理由：由（2）可知，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点P作，根据平行线的性质求出，，即可得出答案； （2）过点P作，根据平行线的性质得出，，然后得出答案即可； （3）由（2）可知，．根据角平分线定义得出，，再得出答案即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作，则有． ∵，， ∴． ∴， ∴． （2）略 （3）略 13．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 14．【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2) 解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 15．已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，； (3)． 【分析】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，据此计算得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴， ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相交线与平行线有关的热考模型 内容概览 目 常考题型精准突破 题型1三线八角的识别（高频） 题型2猪蹄模型 (重) 题型3铅笔模型（重）) 题型4靴子模型（重) 题型5骨折模型（重） 题型6蛇形模型（重） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三线八角的识别 1. 对顶角 同位角 内错角 同旁内角 邻补角 2.C 3.B 4.A 5.C ◆题型2猪蹄棋型 6.(1)解：∠BED与∠B、∠D之间的数量关系为：∠BED=∠B+∠D,理由如下： 如图①， A -R D 图① 过点E作ER‖AB .AB CD, 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..ER AB CD. .∠B=∠BER,∠DER=∠D, ∴.∠BED=∠BER+∠DER=∠B+∠D, “.∠BED=∠B+∠D, ∴.∠BED与∠B、∠D之间的数量关系为：∠BED=∠B+∠D, (2)①58°②148° 7.(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行：两直线平行，内错角相等； ∠D； (2)82: (3)∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF;理由如下： 过点P作PH‖AB(点H在点P的右侧)，如图3所示： F D 图3 .∠HPE=∠PEA, .AB CD ..PH CD. ∴.∠HPF=∠PFC, ∴.∠EPF=∠HPF-∠HPE=∠PFC-∠PEA, 即∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF; (4)131 8.(1)∠B+∠D=∠BED,证明： 如图，过E作EQ‖AB, A B …Q .AB‖CD :.AB‖EQ‖CD .∠B=∠BEQ,∠D=∠DEQ, 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠B+∠D=∠BEQ+∠DEQ=∠BED: (2)80°；(3)∠CDP+∠PAB-∠DPA=180° 9.(1) ∠BED=∠B+∠D,理由如下： 过点E作ETBA,如图： A B E D ,AB‖CD, ∴ET‖AB‖CD, .∠B=∠BET,∠D=∠DET, ∴.∠BET+∠DET=∠B+∠D, 即∠BED=∠B+∠D: (2) ∠ACD;两直线平行，同旁内角互补；ECM;ACD;等角的补角相等； (3)124° 10.(1)82 (2) 解：∠PEA,∠PFC,∠EPP之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF;理由如下： 过点P作PH‖AB(点H在点P的右侧)，如图3所示： D 图3 ∴.∠HPE=∠PEA, :AB‖CD, .PH‖CD, .∠HPF=∠PFC, ∴.∠EPF=∠HPF-∠HPE=∠PFC-∠PEA, 即∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF; 319 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)131° ◆题型3铅笔模型 11.(1)证明：如图1，过点E作EF‖AB,则∠BAE=∠AEF, A下 -B C D 图1 :AB‖CD, ..EF CD, .∠DCE=∠CEF, .∠AEC=∠AEF+∠CEF, ∴.∠AEC=∠BAE+∠DCE. (2) ∠BAE+∠AEC+∠DCE=360° 证明：如图2，过点E作EF‖AB,则∠BAE+∠AEF=180°， A B ---------F C D 图2 :AB‖CD .EF‖CD, .∠CEF+∠DCE=180. .∠BAE+∠AEF+∠CEF+∠DCE=180°+180°， 即∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°. (3)100° 12.(1)∠CPD=∠0+∠β，见解析 (2)当P在A左侧时，∠B=∠o+∠CPD;当P在B的右侧时，∠Q=∠B+∠CPD 13.180n 14.540° 15.B ◆题型4靴子模型 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(1)31 (2)解：∠ABC-∠F=90°. 理由：如图2，过点C作CN‖AB …W B ∴.∠ABC=∠BCN D 图2 AB‖DE .CN‖EF, ∴.∠F=∠FCN」 ,'∠BCN=∠BCF+∠FCN, ∴.∠ABC=∠BCF+∠F」 .CF⊥BC, ∴.∠BCF=90°， ∴.∠ABC=90°+∠F, 即∠ABC-∠F=90°」 (3)∠BGD-∠CGF=45° 17.29° 18.34°/34度 19.20 20.A ◆题型5骨折模型 21.(1)∠P=∠A+∠C (2)∠P=∠A-∠C (3)∠BDE+∠B-∠E=180°，理由：如图，过点D作DH‖EF,则∠HDE=∠E, A R C G D E .AB‖EF, .AB‖DH, 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B+∠BDH=180°，即∠BDH=180°-∠B, ∴.∠HDE+∠BDH=∠E+180°-∠B, 即∠BDE+∠B-∠E=180°. 22.C 23.(1)两直线平行，内错角相等；∠2GHD;等量代换 (2)45° (3)存在，定值为4 24.(1)见详解 (2)∠P=2∠M,见详解 12 35 25.(1) 解：证明：.AB‖CD .∠2=AEF 又.∠1=， .∠1=AEF, ∴.EFGH: (2)45 号 ◆题型6蛇形模型 26.140° 27.∠BCD=25 28.D 29.180°-β+a 30.200°/200度 综合攻坚知能拔高 1.B 2.D 3.C 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.D 5.C 6.32°/32度 7.115°/115度 8.140° 9.β+Y-a=60° 10.150°/150度 11.两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行： ∠FEC,两直线平行，内错角相等；FEC. 12.(1)80 (2) ∠APC=∠DCP-∠BAP: 理由：如图，过点P作PQ‖AB,则有∠APQ=∠BAP B D ,AB‖CD,PQ‖AB, .PQ‖CD .∠QPC=∠DCP, ∴.∠APC=∠QPC-∠APQ=∠DCP-∠BAP. (3) <AKC=1 APC: 理由：由(2)可知∠APC=∠DCP-∠BAP,∠AKC=∠DCK-∠BAK, .AK平分∠BAP,CK平分∠DCP, ∠DCK=克∠DCP,∠BAK∠BAD, 2 ∴∠AKC∠DCP-∠BAP∠APC, 13.(1)80° (2)70°-20 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)52.5°或42° 14.(①)①AB‖EF;②∠1=；③∠BCD=∠CDE;④内错角相等，两直线平行 (2) 解：∠BEC=∠ABE+∠DCE 理由：过点E作EF‖AB(如图)， B A .AB‖CD D ∴.AB‖EF‖CD, ∴.∠ABE=∠BEF(两直线平行，内错角相等)， ∠DCE=∠CEF(两直线平行，内错角相等)， .∠BEC=∠BEF+∠CEF, ∴.∠BEC=∠ABE+∠DCE. (3)∠BEC=2 15.(1)40° (2) 证明：如图2，过点B作BG‖DM, A -M B G C 图2 BD⊥AM, ∴DB⊥BG ∴.∠DBG=90°， .∠ABD+∠ABG=90°， ,AB⊥BC ∴.∠CBG+∠ABG=90°， ∴.∠ABD=∠CBG, ..AM BG, 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=∠CBG,∠ABD=∠C; (3)∠EBC=105°. 9/9