专题02 相交线与平行线有关的9种热考模型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

专题02 相交线与平行线有关的9种热考模型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、三线八角的识别 1 类型二、猪蹄模型 2 类型三、铅笔模型 9 类型四、平行平分三等角 13 类型五、大脚模型与骨折模型 16 类型六、等积变换模型 22 类型七、平行线折叠模型 26 类型八、三角板拼接模型 30 类型九、直尺与三角板拼接模型综合 36 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 相交线与平行线模型是初中几何入门核心重难点，所有题型均围绕三线八角识别、拐点辅助线构造、角度转化、折叠 / 拼接角度不变性四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是分清判定与性质，角推线用判定、线推角用性质，因果不可颠倒，二是拐点问题必须过拐点作平行线转化角度，所有角度推导均要有定理依据，动态、折叠类题目结果最终均需合规检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、三线八角的识别 典例精讲1（24-25七年级下·四川泸州·阶段检测）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：与是同位角，此选项正确； 与是内错角，并不是同旁内角,此选项错误； 与是内错角，此选项正确； 与是内错角，此选项正确； 与是同位角，此选项正确； 故正确的有个． 故选：． 题型归纳 1.特征：两条直线被第三条截线所截，在复杂图形中辨别同位角、内错角、同旁内角。 2.方法：先确定截线与被截两直线；根据位置特征识别三类角，剥离多余线段，简化图形。 3.易错提醒：同位角、内错角、同旁内角只关注位置关系，与两条直线是否平行无关；不是成对出现的角都属于三线八角。 变式训练1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为________________________（写出每组具体名称），则的值是____________． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 变式训练2（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】 （1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【详解】略 变式训练3（24-25七年级下·河南商丘·期中）下图所示是一个特殊的棋盘，游戏规则如下：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角、内错角或同旁内角的位置上．例如，从起始角跳到终点角，可以走不同的路径，例如： 路径1：； 路径2：． 试一试： (1)写出一条从起始角跳到终点角的路径； (2)从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角、同旁内角、内错角、同位角的顺序跳，能否跳到终点角？若能，写出其路径；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 路径为：（答案不唯一） (2) 能． 路径为：或． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． （1）根据已知条件找出角与角之间的关系，再根据“同位角、内错角、同旁内角”的定义进行判断，找到正确的游戏路线即可． （2）根据已知条件找出角与角之间的关系，再根据“同位角、内错角、同旁内角”的定义进行判断，找到正确的游戏路线即可． 【详解】（1）解：路径为：（答案不唯一） （2）解：能． 路径为：或． 类型二、猪蹄模型 典例精讲2（24-25七年级下·山东威海·期末）已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则________ ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，过点作，由平行线的性质得出，再根据角平分线的性质求出． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：两条平行线间存在向内凹的拐点，求多个角之间的数量关系。 2.方法：过拐点作已知直线的平行线，拆分拐角；结论：拐点处的角等于两侧两个角之和。 3.易错提醒：辅助线必须用虚线，书写要规范；模型前提是上下两条直线平行，无平行不能直接套用结论。 变式训练1（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则______． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点作，过点作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点作，则，因此． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，，， ， ， 即， ， ， 平分，平分， ，， ． 过点作， ， ， ，， ． 故答案为：142． 变式训练2（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，分别平分，则______． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，能熟练的运用定理进行推理是解此题的关键． 过点O作，利用平行线的性质以及角平分线的定义得到，，即可求解． 【详解】解：过点O作， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式训练3（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，过点向右作， ∴（内错角相等）， ∵， ∴， ∴（内错角相等）， ∵， ∴． (2)如上图，过点向右作， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴． 【分析】（1）过点向右作，根据平行线内错角相等的性质，将和替换为内的角即可证明． （2）过点向右作，根据平行线同旁内角互补的性质，将拆分为和，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 类型三、铅笔模型 典例精讲3（24-25七年级下·河北唐山·期末）近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，可知，由题意可知，根据平行线的判定和性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 题型归纳 1.特征：两条平行线间存在向外凸的拐点，多个角在平行线同一侧。 2.方法：过拐点作平行线拆分角度；结论：所有拐角之和为360°。 3.易错提醒：区分铅笔模型与猪蹄模型，不要记混结论；无平行条件不能直接使用角度和结论。 变式训练1（25-26七年级上·福建泉州·期末）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】过作，过作， ，，，， ，， ， ， ，即， ． 故选：A． 变式训练2（25-26七年级上·吉林长春·期末）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，求出，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 变式训练3（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点A作，则，根据平行线的性质得到，由垂线的定义可得，据此求出的度数，进而求出的度数，则可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式训练4（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，过点作，过点作，则，由平行线的性质可得出，，，再得出，，用再结合即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 类型四、平行平分三等角 典例精讲4（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，平分，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线．熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 由平行线的性质，角平分线的定义可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：平行线搭配角平分线，出现一组相等角，推导另外两角相等。 2.方法：利用平行线性质得到内错角相等，结合角平分线进行等量代换，实现角度转化。 3.易错提醒：推理时不能跳步，每一处等量代换都要写明依据；注意区分已知条件，不要默认角平分线。 变式训练1（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，平分，且，则_____________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，，根据角平分线的定义可得，进而可得，即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：， ，， ∵平分， ， ， ∴， ． 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是_____． 【答案】24 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定：等角对等边，平行线的性质等知识；由角平分线的性质及平行线的性质得：，则有，从而得的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴的周长为： ， 故答案为：24． 变式训练3（20-21七年级上·北京通州·期末）如图，，平分，平分，交于点F，则的度数为_________°． 【答案】16 【分析】根据角平分线的定义可求∠BCF的度数，再根据角平分线的定义可求∠BCD和∠DCF的度数，再根据平行线的性质可求∠CDF的度数． 【详解】解：∵∠BCA=64°，CE平分∠ACB， ∴∠BCF=32°， ∵CD平分∠ECB， ∴∠BCD=∠DCF=16°， ∵DF∥BC， ∴∠CDF=∠BCD=16°， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，内错角相等的知识点． 类型五、大脚模型与骨折模型 典例精讲5（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等即可得到，结合平分，则，最后在中利用三角形内角和为求解即可． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 题型归纳 1.特征：无平行线，利用三角形外角，推导折线图形中角的和差关系。 2.方法：构造三角形，借助外角定理，将分散的角集中到同一个三角形中计算。 3.易错提醒：模型不需要平行线，容易错误套用平行线模型结论；注意外角大于任意一个不相邻内角。 变式训练1（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，已知，，，，则为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，过作，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过作，过作， ， ， ，，，， ，，， ， ， 故选：A． 变式训练2（25-26七年级下·安徽铜陵·期末）如图，已知，设，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点M向左作，过点N向右作，利用平行线的性质将已知角与未知角建立联系，从而求解． 【详解】解：如图，过点M向左作，过点N向右作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 变式训练3（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，已知，点E在上，点F在上，点P在上方，点Q在与之间，连接，，，，并延长至点G．若，，则下列关于与之间的数量关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，则，，，过作，根据平行线的判定与性质得出，，则，即，过作，根据平行线的判定与性质得出，，则，即，从而得出，化简即可得出结论． 【详解】解∶∵，， ∴设，，则，，， 如图，过作， 则， ∴，， ∴， ∴， 如上图，过作， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式训练4（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，，点E在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点P，则的度数为______． 【答案】/70度 【分析】过点E 作，首先根据平行线的性质求出，然后结合垂直的定义求出，当射线旋转时，求出，得到A，B，M三点共线，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 当射线旋转时，旋转的时间为（秒）， ∴射线旋转的度数为，即， ∴， ∵， ∴， ∴此时A，B，M三点共线，如图， ∴， ∴． 变式训练5（25-26七年级下·河北邯郸·期末）某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度和第三次转过的角度分别为、，则第二次拐弯角（）的度数是__________． 【答案】 【分析】过拐点作，根据平行线的性质分别求出、的度数，根据即可求解． 【详解】解：如图，过作， ∵最后行车路线与开始的路线相互平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 类型六、等积变换模型 典例精讲6（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而______.（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【答案】保持不变 【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可． 【详解】解：设平行线与之间的距离为，则， 而， ， 在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变． 故答案为：保持不变． 题型归纳 1.特征：两条平行线间存在同底三角形，判断或计算面积相等问题。 2.方法：平行线间距离处处相等，同底等高的三角形面积相等。 3.易错提醒：必须保证底边相同，高是两条平行线间垂线段；不是同底的三角形不能直接等积转化。 变式训练1（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形中，，与相交于点，下列说法：①三角形与三角形周长相等；②三角形与三角形面积相等；③三角形与三角形面积相等；④与之间的公垂线段相等．其中说法正确的是____________（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行线间的距离，根据，得出间的距离相等，进而根据三角形的面积公式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴间的距离相等， ①三角形与三角形周长不一定相等，故①不正确 ②三角形与三角形面积相等，故②正确； ③∵ ∴ 即三角形与三角形面积相等，故③正确； ④与之间的公垂线段相等，故④正确． 故答案为：②③④． 变式训练2（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 变式训练3（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在四边形中，，，，为的中点，连接交于点，记的面积为，的面积为，若，，则___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形中线的性质、三角形面积等知识点，掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 如图：连接，根据平行线的性质可得、边上的高相等，即，再根据三角形中线的性质可得，根据图形可得、，最后代入作差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴，边上的高相等， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 故答案为：12． 变式训练4（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有块面积分别是，，的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，组合图形的面积计算，解题关键在于根据与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和．因为长方形的面积等于与的面积和，所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和，即． 【详解】解：如图： 因为与的面积都等于长方形的面积， 所以长方形的面积等于与的面积和， 所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和， 即： 故答案为：． 类型七、平行线折叠模型 典例精讲7（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于______． 【答案】76 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，先由折叠的性质和平角的定义得到，再由折叠的性质和平行线的性质推出，据此可得答案． 【详解】解：如图：    ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵彩带对边平行， ∴， ∵折叠，彩带对边平行， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：矩形纸条折叠，存在平行线，求折叠后形成的角度。 2.方法：折叠前后对应角相等，结合平行线的性质，建立角度方程求解。 3.易错提醒：折叠隐藏等角是核心，容易漏掉折叠带来的相等角；计算时注意平角180°的关系。 变式训练1（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，图1是一张足够长的纸条，其中，点E，F分别在，上，（）．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕……依次类推． （1）第1次折叠后，的度数为_______； （2）第n次折叠后，的度数为_______．（用含m和n的代数式表示） 【答案】 【分析】由折叠的性质折叠n次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【详解】解：（1）如图2， 由折叠可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）如图3， 同理可得， ， ……， ∴． 变式训练2（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质；由题意易得，，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：6． 变式训练3（24-25七年级下·山东聊城·期中）数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②．理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，熟知平行线的性质与判定定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质和平角的定义可得，据此可得答案； （2）①由折叠的性质和平角的定义可求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案；②根据折叠的性质和平行线的性质可证明，，再证明，推出，则可证明． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； ②略 类型八、三角板拼接模型 典例精讲8（2026·吉林长春·一模）如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：一副或多副三角板拼接，组合形成新角，求角度大小。 2.方法：牢记两块三角板固定角度(30°,60°,90°)与(45°,45°,90°)，利用角的和差运算。 3.易错提醒：分清三角板各个内角，不要混淆角度；图形旋转类拼接问题，需要分类讨论。 变式训练1（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意，作图如图1，2，根据平行线的性质、三角板的度数进行计算求解即可． 【详解】解：如图1，，      ∴， ∴， 如图2，，    ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 变式训练2（25-26七年级上·江苏南京·期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是_____． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度计算，注意进行分类讨论，是解题的关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：，，， 当时，如图所示： 则； 当时，如图所示： 则， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴； 综上，的度数为或或； 故答案为：或或． 变式训练3（23-24七年级下·山西朔州·阶段检测）综合与探究 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    (1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． (2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算； （1）过点作，则，，根据，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，得出，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，，，，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ （2），理由如下， 过点作，    ∵， ∴ ∴，， ∴ 即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， （3）解：如图所示，当时，则    ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，如图所示，延长交于点，过点作    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 当时如图所示，    此时旋转度数大于，不合题意 综上所述，或 类型九、直尺与三角板拼接模型综合 典例精讲9（22-23七年级下·广东深圳·期末）如下图，用一块含角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若，则∠1的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，再求得，最后根据平行线的性质可得． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 题型归纳 1.特征：直尺上下两边平行，三角板与直尺叠加，结合平行线性质求角度。 2.方法：直尺的对边平行，识别三线八角，结合三角板固定内角进行角度计算。 3.易错提醒：默认直尺两边平行，不要忽略这个前提；复杂叠加图形，要找准截线，避免找错角。 变式训练1（22-23九年级上·安徽·阶段检测）如图为一把直尺、一块含的直角三角板和一块含直角三角板所拼搭成的图形，30°直角三角板的斜边平行于直尺，已知，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和，平行线的知识，即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查三角形，矩形的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和，平行线的性质，矩形的性质． 变式训练2（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点与直尺的一边重合，若，则的度数是______°． 【答案】60 【分析】本题考查了平行线的性质，互余关系；由互余可求得，再由平行线的性质即可求得结果． 【详解】解：如图，∵，， ∴； ∵直尺的两边平行， ∴， 故答案为：60． 变式训练3（2025七年级下·全国·专题练习）在直角三角板中，，，直尺的边与相交于点． (1)如图，直角三角板的边在直线上，则的度数为_______，的度数为_______； (2)如图，现将直角三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时， 的度数为_______，的度数为_______；（结果用含的代数式表示） 若恰好是的，求的值． (3)如图，现将绕点以每秒的转速逆时针旋转，同时绕点以每秒的转速顺时针旋转，当第一次旋转回到起点时，，均停止转动，设旋转时间为．请求出当为何值时，． 【答案】(1)；； (2)，；的值为； (3)当的值为或或时，． 【分析】（）根据邻补角的定义和平行线的性质解答即可； （）根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到； 由的结论和本题的条件列方程，解出即可； （）由题意, 知，因此可画出旋转过程中使的三种情况下的图形，结合图形列出相关角的代数式，利用平行线性质列出方程，求解即可； 本题考查了平行线的性质及应用，垂线的定义，邻补角的定义，直角三角形的性质，一元一次方程的解法，掌握平行线的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知:，，， ∴，， ∵，， ∴，， 故答案为: ，； （2）解：如图可知，，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为: ，； 当时， 解得：， ∴的值是； （3）解：分类如下： ，如图： 由题意，得，， ∵， ∴，即， 解得：； ，如图： 由题意，得，， ∵， ∴，即， 解得； ， 如图： 由题意，得，， ∵， ∴，即， 解得：， 综上所述，当的值为或或时，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E、F分别作的平行线，设，因为，所以所作直线也平行于，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等性质，依据角平分线的定义，将平分平分的条件转化为角的倍分关系，分别将用α和β表示．结合已知条件，将得到的两个角的表达式代入，求出，即可求解的度数． 【详解】解：过点E作，过点F作，设， 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·四川凉山·期末）将一副直角三角板按如图所示摆放，，点在上，，，经测量，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，则可求出，据此可判断B；再求出的度数，则可得到，，据此可判断A、C、D． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴与不平行，故A结论错误，符合题意； ∵， ∴，故C结论正确，不符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）将一副直角三角板如图放置，点C在线段上，点D在直线上，F在线段上（不与A，B重合），已知，，．若，则的度数用可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角板的度数求得，过点作，分别表示出，进而可得，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 过点作， ∴， ∴ ∴ 4．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，，为上的两点，，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若，有下列结论：①，②；③设，则，④．其中，正确的有（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】求出，，可判断①正确；求出，可判断②正确；过点作，可求出，从而，然后根据角平分线的定义可判断③错误；由③知，求出，进而可判断④正确． 【详解】解：平分， ， ， ， ，故①正确； ， ， 平分， ， ，故②正确； 如图，过点作， ，， ， ， ， ， ， 平分， ，故③错误； ， ， 平分， ， 由③知， ， ， 点在直线上， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 5．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，已知，平分，点是上的一个定点．点是直线上的一个动点，设，则点在运动过程中，与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况讨论点的位置：当点在之间时，当点在的下方时，当点在的上方时，利用平行线的性质和角平分线的定义推导与的关系，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当点在之间时，如图，过点作， ∴， ∴，， ∴，即，，故A可能； 当点在的下方时，如图，过点作， ∴，，， ∴，即，，故B可能； 当点在的上方时，如图，过点作， ∴， ∴，， ∴，即，，故C可能； 综上所述，与的关系不可能是．故选D． 6．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点，点是上任一点，以为圆心，以同样长为半径画弧交于点，以为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线，然后以为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图步骤得到，，结合平行线判定及等腰三角形性质逐项判断即可 【详解】由作图过程可知，是作出的等于的角， ，故A选项结论正确； ， （同位角相等，两直线平行），故B选项结论正确； 由作图过程可知，， （等边对等角），故C选项结论正确； ， （两直线平行，内错角相等）， ， 即平分， ， 又， ，故D选项结论错误． 7．（25-26七年级下·山东德州·期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少存在年．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为与．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 9．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺的特征得出相关角的度数，利用平行线的性质将角进行转化，最后根据三角形外角性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵两个三角尺的竖直直角边在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用两直线平行的性质和判定依次判断即可求解． 【详解】解：①如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故①错误； ②如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ④如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故④正确． 11．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 【答案】/80度 【分析】由得，再由三角形内角和为可得，由，得，即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 12．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如图，点，分别在长方形的边，上，，把长方形纸片沿折叠，，两点的对应点分别是，，若，则__________． 【答案】72 【分析】由平行线的性质可知，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）在我们生活的世界中，平行与相交无处不在——从笔直的铁轨到高楼间的光影，从三角尺的边角设计到设计师的构图，几何关系不仅定义着形状，也隐藏着严谨的逻辑．数学课上，小明将一副直角三角板如图所示摆放在与之间，其中，，，请你解决以下问题： （1）__________． （2）小明提出了下列三个猜想：①；②；③．其中正确的有__________（填序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】（1）过点F作，则；由邻补角互补求出的度数，进而求出的度数，再证明，由平行线的性质即可得到答案； （2）可证明，据此可判断①；由（1）可判断②；求出的度数，进而求出的度数，据此可判断③． 【详解】解：（1）如图所示，过点F作， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由（1）可得，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 14．（25-26七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧交、于点、，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线．为上一点，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/31度 【分析】根据尺规作图痕迹可得是的角平分线，根据平行线的性质可得，，结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 由作图可得是的角平分线， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·四川达州·期末）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则_______． 【答案】30 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 16．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）一副直角三角板中， ，现将直角顶点 C 按照如图方式叠放，点E 在直线上方，且（ ，能使三角形 有一条边与平行的所有的度数的和为_____________． 【答案】 【分析】分当时，当时，当时，3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当时，如图 ∵， ∴， 当时，如下图所示，则， ∵， ∴； 当时，延长交于点F，如下图所示，则， ∵， ∴ ∴， 综上：所有 的度数的和为. 17．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）过拐点作平行线，利用内错角相等，将大角拆成两个分别等于和的小角，得到数量关系； （2）过两个拐点分别作平行线，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，将目标角拆分为两部分，再用含，，的式子表示． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，， ， ． 18．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在放学回家的路上，小亮同学发现地面上有一块矩形的玻璃片碎成了两块（形如图1），为防止碎玻璃伤害行人，他小心地捡起碎玻璃准备放入路边的垃圾分类收集点时，爱思考的小亮同学又发现这碎玻璃与数学课上学习过的“猪蹄模型”很相似，于是尝试用“猪蹄模型”的研究方法去探究其中角之间的关系． (1)在图2中，证明． (2)针对此问题，小亮同学进行了深入探究，感受到数学探究的乐趣，现在重现小亮的探究过程，并请你解决以下问题． 【探究1】小亮同学在“猪蹄模型”的基础上画出了图3，发现图3中、、、也存在着某种数量关系，请你写出这四个角之间的数量关系，并写出证明过程． 【探究2】小亮同学进一步探究，画出了图4，请问这五个角之间是否存在某种数量关系，如果有，请写出数量关系并予以证明；如果没有，请说明理由． 【探究3】小亮同学突发奇想：“若是摔碎的玻璃上有个角（如图5），那么这些角之间有什么数量关系呢？”请你做出一个猜想，直接写出你猜想的这个角的数量关系，并说一说为什么可以这样猜想． 【答案】(1) 证明：过点B作的平行线，如图2 则由题意知 ∴， ∵ ∴；， (2) 探究1：解：、、、数量关系为：． 理由如下：过点F作的平行线，如图3 则由题意知 ∴， ∵ ∴； 探究2：解：、、、、数量关系为 理由如下：过点J作的平行线，如图4 则由题意知 ∴， ∵ ∴； 探究3：解：①当n为奇数时，． 理由：由（1）知：当时，； 当时，；．．．．， 由此，可猜想当n为奇数时． ②当n为偶数时， 理由：由（2）知：当时，； 当时，；．．．．， 由此，可猜想当n为偶数时． 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）过点B作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； （2）探究1：过点F作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； 探究2：过点J作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； 探究3：①当n为奇数时，由，是找到规律求解即可；②当n为偶数时，同①即可得． 【详解】（1）略 （2）探究1：略 探究2：略 探究3：略 19．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1)100， (2)解：，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； (3) 【分析】（1）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （2）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （3）由（1）知，得到，由角平分线的定义求得，，由（2）知，同理，根据规律得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ∴； （2）略 （3）解：由（1）知， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， 由（2）知， 同理， ， ， ，即， ∴． 20．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】 （1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1）略 （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线有关的9种热考模型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、三线八角的识别 1 类型二、猪蹄模型 2 类型三、铅笔模型 4 类型四、平行平分三等角 5 类型五、大脚模型与骨折模型 6 类型六、等积变换模型 8 类型七、平行线折叠模型 9 类型八、三角板拼接模型 11 类型九、直尺与三角板拼接模型综合 12 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 相交线与平行线模型是初中几何入门核心重难点，所有题型均围绕三线八角识别、拐点辅助线构造、角度转化、折叠 / 拼接角度不变性四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是分清判定与性质，角推线用判定、线推角用性质，因果不可颠倒，二是拐点问题必须过拐点作平行线转化角度，所有角度推导均要有定理依据，动态、折叠类题目结果最终均需合规检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、三线八角的识别 典例精讲1（24-25七年级下·四川泸州·阶段检测）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型归纳 1.特征：两条直线被第三条截线所截，在复杂图形中辨别同位角、内错角、同旁内角。 2.方法：先确定截线与被截两直线；根据位置特征识别三类角，剥离多余线段，简化图形。 3.易错提醒：同位角、内错角、同旁内角只关注位置关系，与两条直线是否平行无关；不是成对出现的角都属于三线八角。 变式训练1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为________________________（写出每组具体名称），则的值是____________． 变式训练2（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 变式训练3（24-25七年级下·河南商丘·期中）下图所示是一个特殊的棋盘，游戏规则如下：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角、内错角或同旁内角的位置上．例如，从起始角跳到终点角，可以走不同的路径，例如： 路径1：； 路径2：． 试一试： (1)写出一条从起始角跳到终点角的路径； (2)从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角、同旁内角、内错角、同位角的顺序跳，能否跳到终点角？若能，写出其路径；若不能，请说明理由． 类型二、猪蹄模型 典例精讲2（24-25七年级下·山东威海·期末）已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则________ ． 题型归纳 1.特征：两条平行线间存在向内凹的拐点，求多个角之间的数量关系。 2.方法：过拐点作已知直线的平行线，拆分拐角；结论：拐点处的角等于两侧两个角之和。 3.易错提醒：辅助线必须用虚线，书写要规范；模型前提是上下两条直线平行，无平行不能直接套用结论。 变式训练1（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则______． 变式训练2（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，分别平分，则______． 变式训练3（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 类型三、铅笔模型 典例精讲3（24-25七年级下·河北唐山·期末）近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：两条平行线间存在向外凸的拐点，多个角在平行线同一侧。 2.方法：过拐点作平行线拆分角度；结论：所有拐角之和为360°。 3.易错提醒：区分铅笔模型与猪蹄模型，不要记混结论；无平行条件不能直接使用角度和结论。 变式训练1（25-26七年级上·福建泉州·期末）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 变式训练2（25-26七年级上·吉林长春·期末）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 变式训练3（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为______． 变式训练4（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为_______． 类型四、平行平分三等角 典例精讲4（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，平分，，，则__________． 题型归纳 1.特征：平行线搭配角平分线，出现一组相等角，推导另外两角相等。 2.方法：利用平行线性质得到内错角相等，结合角平分线进行等量代换，实现角度转化。 3.易错提醒：推理时不能跳步，每一处等量代换都要写明依据；注意区分已知条件，不要默认角平分线。 变式训练1（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，平分，且，则_____________． 变式训练2（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是_____． 变式训练3（20-21七年级上·北京通州·期末）如图，，平分，平分，交于点F，则的度数为_________°． 类型五、大脚模型与骨折模型 典例精讲5（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 题型归纳 1.特征：无平行线，利用三角形外角，推导折线图形中角的和差关系。 2.方法：构造三角形，借助外角定理，将分散的角集中到同一个三角形中计算。 3.易错提醒：模型不需要平行线，容易错误套用平行线模型结论；注意外角大于任意一个不相邻内角。 变式训练1（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，已知，，，，则为(    ) A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级下·安徽铜陵·期末）如图，已知，设，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 变式训练3（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，已知，点E在上，点F在上，点P在上方，点Q在与之间，连接，，，，并延长至点G．若，，则下列关于与之间的数量关系正确的是（     ） A． B． C． D． 变式训练4（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，，点E在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点P，则的度数为______． 变式训练5（25-26七年级下·河北邯郸·期末）某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度和第三次转过的角度分别为、，则第二次拐弯角（）的度数是__________． 类型六、等积变换模型 典例精讲6（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而______.（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 题型归纳 1.特征：两条平行线间存在同底三角形，判断或计算面积相等问题。 2.方法：平行线间距离处处相等，同底等高的三角形面积相等。 3.易错提醒：必须保证底边相同，高是两条平行线间垂线段；不是同底的三角形不能直接等积转化。 变式训练1（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形中，，与相交于点，下列说法：①三角形与三角形周长相等；②三角形与三角形面积相等；③三角形与三角形面积相等；④与之间的公垂线段相等．其中说法正确的是____________（填序号） 变式训练2（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为________． 变式训练3（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在四边形中，，，，为的中点，连接交于点，记的面积为，的面积为，若，，则___________． 变式训练4（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有块面积分别是，，的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是___________． 类型七、平行线折叠模型 典例精讲7（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于______． 题型归纳 1.特征：矩形纸条折叠，存在平行线，求折叠后形成的角度。 2.方法：折叠前后对应角相等，结合平行线的性质，建立角度方程求解。 3.易错提醒：折叠隐藏等角是核心，容易漏掉折叠带来的相等角；计算时注意平角180°的关系。 变式训练1（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，图1是一张足够长的纸条，其中，点E，F分别在，上，（）．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕……依次类推． （1）第1次折叠后，的度数为_______； （2）第n次折叠后，的度数为_______．（用含m和n的代数式表示） 变式训练2（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 变式训练3（24-25七年级下·山东聊城·期中）数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 类型八、三角板拼接模型 典例精讲8（2026·吉林长春·一模）如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：一副或多副三角板拼接，组合形成新角，求角度大小。 2.方法：牢记两块三角板固定角度(30°,60°,90°)与(45°,45°,90°)，利用角的和差运算。 3.易错提醒：分清三角板各个内角，不要混淆角度；图形旋转类拼接问题，需要分类讨论。 变式训练1（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 变式训练2（25-26七年级上·江苏南京·期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是_____． 变式训练3（23-24七年级下·山西朔州·阶段检测）综合与探究 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    (1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． (2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 类型九、直尺与三角板拼接模型综合 典例精讲9（22-23七年级下·广东深圳·期末）如下图，用一块含角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若，则∠1的度数为（　　） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：直尺上下两边平行，三角板与直尺叠加，结合平行线性质求角度。 2.方法：直尺的对边平行，识别三线八角，结合三角板固定内角进行角度计算。 3.易错提醒：默认直尺两边平行，不要忽略这个前提；复杂叠加图形，要找准截线，避免找错角。 变式训练1（22-23九年级上·安徽·阶段检测）如图为一把直尺、一块含的直角三角板和一块含直角三角板所拼搭成的图形，30°直角三角板的斜边平行于直尺，已知，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 变式训练2（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点与直尺的一边重合，若，则的度数是______°． 变式训练3（2025七年级下·全国·专题练习）在直角三角板中，，，直尺的边与相交于点． (1)如图，直角三角板的边在直线上，则的度数为_______，的度数为_______； (2)如图，现将直角三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时， 的度数为_______，的度数为_______；（结果用含的代数式表示） 若恰好是的，求的值． (3)如图，现将绕点以每秒的转速逆时针旋转，同时绕点以每秒的转速顺时针旋转，当第一次旋转回到起点时，，均停止转动，设旋转时间为．请求出当为何值时，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川凉山·期末）将一副直角三角板按如图所示摆放，，点在上，，，经测量，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）将一副直角三角板如图放置，点C在线段上，点D在直线上，F在线段上（不与A，B重合），已知，，．若，则的度数用可表示为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，，为上的两点，，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若，有下列结论：①，②；③设，则，④．其中，正确的有（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 5．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，已知，平分，点是上的一个定点．点是直线上的一个动点，设，则点在运动过程中，与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点，点是上任一点，以为圆心，以同样长为半径画弧交于点，以为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线，然后以为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东德州·期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少存在年．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为与．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 12．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如图，点，分别在长方形的边，上，，把长方形纸片沿折叠，，两点的对应点分别是，，若，则__________． 13．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）在我们生活的世界中，平行与相交无处不在——从笔直的铁轨到高楼间的光影，从三角尺的边角设计到设计师的构图，几何关系不仅定义着形状，也隐藏着严谨的逻辑．数学课上，小明将一副直角三角板如图所示摆放在与之间，其中，，，请你解决以下问题： （1）__________． （2）小明提出了下列三个猜想：①；②；③．其中正确的有__________（填序号）． 14．（25-26七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧交、于点、，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线．为上一点，交于点，若，则的度数为________． 15．（25-26七年级下·四川达州·期末）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则_______． 16．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）一副直角三角板中， ，现将直角顶点 C 按照如图方式叠放，点E 在直线上方，且（ ，能使三角形 有一条边与平行的所有的度数的和为_____________． 17．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 18．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在放学回家的路上，小亮同学发现地面上有一块矩形的玻璃片碎成了两块（形如图1），为防止碎玻璃伤害行人，他小心地捡起碎玻璃准备放入路边的垃圾分类收集点时，爱思考的小亮同学又发现这碎玻璃与数学课上学习过的“猪蹄模型”很相似，于是尝试用“猪蹄模型”的研究方法去探究其中角之间的关系． (1)在图2中，证明． (2)针对此问题，小亮同学进行了深入探究，感受到数学探究的乐趣，现在重现小亮的探究过程，并请你解决以下问题． 【探究1】小亮同学在“猪蹄模型”的基础上画出了图3，发现图3中、、、也存在着某种数量关系，请你写出这四个角之间的数量关系，并写出证明过程． 【探究2】小亮同学进一步探究，画出了图4，请问这五个角之间是否存在某种数量关系，如果有，请写出数量关系并予以证明；如果没有，请说明理由． 【探究3】小亮同学突发奇想：“若是摔碎的玻璃上有个角（如图5），那么这些角之间有什么数量关系呢？”请你做出一个猜想，直接写出你猜想的这个角的数量关系，并说一说为什么可以这样猜想． 19．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 20．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $