专题03 平行线的性质（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平行线的性质 内容概览 目常考题型精推突破 题型1两直线平行同位角相等（重） 题型2两直线平行内错角相等（重） 题型3两直线平行同旁内角互补（重） 题型4根据平行线的性质探究角的关系（难） 题型5根据平行线的性质求角的度数（重） 题型6平行线的性质在生活中的应用（高频） 题型7根据平行线的判定与性质求角的度数（重） 题型8根据平行线的判定与性质证明（重） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1两直线平行同位角相等 1.55°/55度 2.C 3. 40 4.60°160度 5.C ◆题型2两直线平行内错角相等 6.B 7.A 8.证明：：AB1MN(已知)，CD⊥MN(已知)， ∴.AB‖CD(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)， .∠AST=∠STD(两直线平行，内错角相等)· 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(1) 两直线平行，同位角相等。 (2) 两直线平行，内错角相等。 10. 67°167度 ◆题型3两直线平行同旁内角互补 11.(1)BAD (2)BCD 12.互补 13.C 14.A 15. ∠1的度数为130° ◆题型4根据平行线的性质探究角的关系 16.(1)证明：如图，过点E向右作EF‖AB, ∴.∠1BEF(内错角相等)， .AB CD .CD‖EF, :.∠2=DEF(内错角相等)， .∠BED=∠BEF+∠DEF, .∠BED=∠ 1. A ⊙ M -------------万 2c D N (2)如上图，过点E向右作EF‖AB :.∠EBM+∠BEF=180°（同旁内角互补）， .AB CD .CD‖EF, 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠EDN+∠DEF=180°（同旁内角互补）， ,∠BED=∠BEF+∠DEF, .∠EBM+∠EDN+∠BED=360° 17.(1)证明：.AB‖CD, ∴.∠C=∠BFE, .GH‖CE ∴.∠HGB=∠BFE, .∴.∠HGB=∠C, ,∠AGM+∠C=90°， .∴.∠AGM+∠HGB=90°， .∴.∠MGH=180°-∠AGM+∠HGB=90°. .∴.GM⊥GH: (2)∠AGH=116° 18.(1)∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，理由见解析 (2)10° 19.=;1;两直线平行，内错角相等；CF；DE;平行于同一条直线的两条直线互相平行；2：两直线平 行，内错角相等 20.(1)75° (2)MN‖PQ.理由如下： .∠MAB=35°，∠BAC=90°， ∴.∠MAC=35°+90°=125°， .'∠PCB=10°，∠ACB=45°， ∴.∠ACP=10°+45°=55° ∴.∠MAC+∠ACP=125°+55°=180°， ∴.MN‖PQ (3)∠PAB-∠MCA=90° ◆题型5根据平行线的性质求角的度数 21.30° 22.125° 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M BC 23.(1)如图所示，射线 即为所求 图① M D B BD E (2)如图所示，射线即为所求 图② 24.(1)证明：.∠2C, ∴.EM‖BC ∴.∠M+∠4=180， 3+, .∠3M, ∴.BF‖DM. (2)46° 25.(1)①15°：②45°； (2)45°+X或45°-x或90°+x ◆题型6平行线的性质在生活中的应用 26.30 27.C 28.C 29.53 30.C ◆题型7根据平行线的判定与性质求角的度数 31.100 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.解：如图，设直线a与直线OA,OB的交点为C,D,直线a也表示为直线EF,设直线b与直线OA, OB的交点为G,H,直线b也表示为直线MN, E a ∠1=12D-60°，∠3=709 Nb G H A B ∴.∠0DC=180°-∠1=60°，∠DHN=180°-∠2=120°，∠0CF=180°-∠3=110， ∴.∠1=DHN, ∴.EFMN, .∠EDH=∠ 2BN=60°，∠CDH=∠DHN=∠GHB=120°， .∠FCG=∠3eGH=∠AGM=70°， OCF=∠DCG=∠CGM=∠AGH=110°， ∴.∠0=180°-∠ ODC3502. 33.(1)EF‖AB (2)50° 34.(1)证明：.CM⊥MD, .∴.∠CMD=90° ∴.∠1+BMD=180°-∠CMD-180°-90°=90°， ∠ 1+, .∴.∠2=BMD ∴.AB‖CD: (2)112° 35.(1)CDEF.理由如下： 因为GD‖AC, 所以∠ACD=∠2. 因为∠ 1+, 所以∠1+ACD=180°， 所以CD‖EF (2)80° ◆题型8根据平行线的判定与性质证明 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36.证明：，AB⊥BD,CD⊥BD, ..AB CD ∴.∠1+C180° .∠1=， ∠ 2+C5180° ∴.CD‖EF 37.(①)CE‖AB,理由如下： .OC⊥DF, .∴.∠BOC+∠BOD=90°. .∠BOC=4∠BOD, ∠B0C=4×90°=72， 5 ,∠C=108° ∴.∠B0C+∠C=180°， .CE‖AB: (2)∠AOF的补角的度数为162°. 38.①)：AB‖CD .∠1-CEE .AE平分∠BAD, .∠1=」 又.∠CFE=∠E, .∠2=E AD‖BC. (2)50° 39.(①)证明：如图，过E作EF‖AB, B A .AB‖CD AB‖EF‖CD, 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEF=∠A,∠C+∠FEC=180°， ∴.∠E=∠AEF+∠FEC=∠A+180°-∠C, 即∠E+∠C-∠A=180°： (2)①∠E=180°-3∠P:②180°-80 40.(1)证明：如图1， E A B P G PG‖AB D F 图1 过点P作 :AB‖CD, PG‖CD, ,∠AEP=∠1，∠CFP=∠2， 又，∠1+∠2P旺， ∴.∠AEP+∠CFP=∠EPP: (2)∠EPF=90°，∠EQF=135° (3)∠P+3∠Q=360°，理由如下 如图3， A B 一D 图3 由(1)，可得 ∠P=∠AEP+∠CFP,∠Q=∠BEQ+∠DFQ, :∠BEQ=3∠BEP,∠DFQ=3∠DFP ∴.∠Q=∠BEQ+∠DFQ (REP+DFPI =1|360°-∠AEP+∠CFP 37 号x360-2P 3 ∴.∠P+3∠Q=360° 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 1.A 2.D 3.B 4.B 5.B 6.B 7.36°/36度 8.42 9.75 10.①②③④ 11.110° 12.(1)∠E=30°：∠DAB=73° (2)平行，理由如下： 由(1)得，∠DAC=43°， ∴.∠CAE=∠DAC-∠1=43°-30°=13， .∠BAE=∠2GAE=30°+13°=43°， ∠， ∴.∠3=BAE, ∴.ABCD 13.(1)60° (2)100° (3)52° 8/8 专题03 平行线的性质 常考题型·精准突破 题型1 两直线平行同位角相等（重） 题型2 两直线平行内错角相等（重） 题型3 两直线平行同旁内角互补（重） 题型4 根据平行线的性质探究角的关系（难） 题型5 根据平行线的性质求角的度数（重） 题型6 平行线的性质在生活中的应用（高频） 题型7 根据平行线的判定与性质求角的度数（重） 题型8 根据平行线的判定与性质证明（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1两直线平行同位角相等 1．如图，直线，，则的度数为________． 【答案】/55度 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．如图，直线，直线分别交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据“两直线平行，同位角相等”可得，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：如下图， ∵ ∴， ∴． 3．如图， 直线， 直线与直线、 分别相交于点、 ，，垂足为点， 若， 则________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，再结合垂线的定义与三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，，那么__________． 【答案】/60度 【分析】根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴． 5．如图，直线，量角器的零刻度线与重合，其中心与，的交点重合，则的度数为（     ） A．130 B．55 C．50 D．45 【答案】C 【分析】先从量角器读出，再根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：由量角器读数可得 ∵， ◆题型2两直线平行内错角相等 6．如图，，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的定义得出，根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 7．五一来汕头，骑遍山海间！汕头滨海旅游路濠江、潮南先行段——26+7公里，2026年5月1日正式开放．如图是骑行单车示意图，．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 8．如图，已知，，垂足分别为点，直线分别交于点．求证：． 对于上述问题，请将下列证明过程补充完整． 证明：（已知），（已知）， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）． ______________________． 【答案】证明：（已知），（已知）， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得出，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】略 9．根据题图，在下列解答中，填上适当的理由． (1)（已知）， （                           ）． (2)（已知）， （                           ）． 【答案】(1) 两直线平行，同位角相等. (2) 两直线平行，内错角相等. 【分析】（1）（2）根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，已知，交于点，，那么的度数是________． 【答案】 /67度 【分析】本题考查了平行线的性质以及邻补角，先根据平行求出，再利用邻补角即可求得． 【详解】解：， ， ． ◆题型3两直线平行同旁内角互补 11．根据题图，在下列解答中，填空： (1)（已知）， （    ）（两直线平行，同旁内角互补）． (2)（已知）， （    ）（两直线平行，同旁内角互补）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）略； （2）略． 12．如图，如果，那么与______________． 【答案】互补 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，作答即可. 【详解】解：∵， ∴，即与互补. 13．如图，直线，是截线，若 ，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线， ， ， ． 14．自行车结构示意图如图所示，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，，，则的度数是多少度？ 【答案】 的度数为 【详解】解： 设图中斜线与的交点为， ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型4根据平行线的性质探究角的关系 16．如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，过点向右作， ∴（内错角相等）， ∵， ∴， ∴（内错角相等）， ∵， ∴． (2)如上图，过点向右作， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴． 【分析】（1）过点向右作，根据平行线内错角相等的性质，将和替换为内的角即可证明． （2）过点向右作，根据平行线同旁内角互补的性质，将拆分为和，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 17．如图，，直线分别与直线、交于点、，点在线段上，过点作，在内部作射线． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，即可求出； （2）由（1）可得，进而即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ， ， ， ． 18．如图，，点在直线，之间，连接，． (1)如图1，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点是射线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）先作，从而根据平行线的性质可得到，根据平行线的性质可得，进而得出结论； （2）先作，再设，，接着得出，再结合角平分线的意义求解． 【详解】（1）解：， 理由：过点作，如图， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ； （2）解：过点作，如图， 设，， 由（1）得， ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 即， 解得：，即． 19．如图，已知，试问、、有什么数量关系． 解：关系是：________． 理由如下： 过点C作， 则________（   ） 又，， ________________（   ） ________（   ） 即． 【答案】；1；两直线平行，内错角相等；；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；2；两直线平行，内错角相等 【分析】根据平行线的性质得到与、与的关系，结合进行证明即可． 【详解】略． 20．按要求解答下列问题： (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请判断直线与是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的关系式不用说明理由． 【答案】(1) (2)．理由如下： ， ． ， ， ， ． (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，所以可得，进而完成解答； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：．理由略． （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型5根据平行线的性质求角的度数 21．如图，在中，是的角平分线，，交于点E，若，则的度数是______ 【答案】 【详解】解：是的角平分线， , ， . 22．如图，已知，一含的直角三角板如图放置，两个顶点恰好在这组平行线边上．若，则__________． 【答案】 【分析】依据直角以及角的和差可得出的度数，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ∵， ． 23．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均为格点．仅用无刻度的直尺，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中，确定格点C，作射线，使； (2)在图②中，确定格点D，作射线，使． 【答案】(1)如图所示，射线即为所求 (2)如图所示，射线即为所求 【分析】（1）取格点C，作射线，根据网格的特点可得，则； （2）取格点D，作射线，由网格的特点可得，则，则． 【详解】（1）略 （2）略 24．如图，在中，点D在边上，点E在边上，点F，G在边上，与的延长线交于点M，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）首先证明，再证明即可得证； （2）首先求得，再根据平行线的性质，求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：， ， ，， ， ， ， ． 25．两个直角三角形按如图1初始放置，，其中，此时与重合．当点D从点A出发沿射线方向滑动的同时，点F在射线上滑动．滑动过程中，三角形不动，三角形形状、大小不变． (1)若，， ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，若点D运动到延长线上时，连接，设．当时，求的值； (2)如图4，过点E作射线交射线于点G，设，在整个滑动过程中，若存在与三角形的某一边平行时，请直接写出的度数．（用含x的式子表示） 【答案】(1)①；②； (2)或或 【分析】（1）①利用平行线的性质求解即可； ②过点B作，则，根据平行线的性质得到，，进而求得，即可解答； （2）分三种情况：当时；当时；当时，利用平行线的性质和角度的运算分别求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，， ∴； ②如图，过点B作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，过点D作， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当时，； ∴； ③当时，过点D作， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或． ◆题型6平行线的性质在生活中的应用 26．飞机在某高空因任务向左偏转，飞行一段距离完成任务后返回，返回时要回到与原航向平行的轨道上，则需要向右偏转______度． 【答案】 【分析】画出飞行航向示意图，结合平行线的性质计算偏转角度即可． 【详解】解：如图，与是原定的平行轨道，为飞机偏转后的轨道，则为飞机返航时的轨道， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴飞机需要向右偏转度才能回到与原航向平行的轨道上． 27．近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，可知，由题意可知，根据平行线的判定和性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 28．机器人在年春晚舞台上大放异彩，如图为机器人武术表演精彩瞬间的示意图，当机器人的胳膊和腿平行（即）时，若的度数为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 根据平行线的性质：两直线平行,同旁内角互补． 29．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则___________． 【答案】53 【详解】解：如图， ∵， ， ∵， ∴． 30．如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向， ∴， ∵， ∴． ◆题型7根据平行线的判定与性质求角的度数 31．如图，已知，，则______________． 【答案】100 【分析】根据平行线的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．如图，直线a，b被直线，所截．已知，你还能求出哪些角的度数？ 【答案】解：如图，设直线a与直线，的交点为，直线a也表示为直线，设直线b与直线，的交点为，直线b也表示为直线， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】根据平行线的判定和性质，对顶角的性质，解答即可． 【详解】解：略． 33．如图，，，，． (1)直线与有怎样的位置关系？ (2)若，则的度数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行的性质可得，再通过角度计算，利用同旁内角互补证明两直线平行即可； （2）根据两直线平行，同位角相等得,再根据两直线平行，同旁内角互补得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 34．如图，直线与被直线所截，与，分别交于M，N，且，． (1)证明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ； (2)． 【分析】（1）根据垂直的定义和邻补角的定义可得，结合已知可得，即可得出结论； （2）由角平分线的定义结合邻补角的定义可得，根据可得，结合求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， ， ， ， ，即， 又， ∴ ∴， ， ， ， ， ∴． 35．如图，在中，点，在边上，点在边上，过点作交于点，连接，，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)．理由如下： 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． (2) 【分析】（1）根据，得到，由得，即可得出结论； （2）根据，得到，根据平分，求出，由平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以． ◆题型8根据平行线的判定与性质证明 36．如图，在同一平面内，于点，于点，，求证： ． 【答案】证明：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的判定与性质证明即可. 【详解】略 37．如图，直线、交于点，，过点作射线，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)求的补角的度数． 【答案】(1)，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； (2)的补角的度数为． 【分析】（1）利用垂直的定义得出，根据求出，结合，即可判断； （2）先求出，再根据对顶角求出，最后根据补角的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ， 的补角的度数为． 38．如图，，平分，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． (2) 【分析】（1）因为，所以可得内错角．结合平分的条件，可得；再结合已知，通过等量代换得到内错角相等，根据平行线判定定理即可证明． （2）因为，所以利用平行线同旁内角互补的性质，可求出的度数．结合角平分线的定义，即可计算出的度数． 【详解】（1）略． （2）∵， ∴， ∵平分， ∴． 39．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证： (2)如图2．直线，交于点，且， ． ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交于点，若，，则的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】(1)证明：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； (2)①；② 【分析】（1）过作，通过平行线的性质证明角度关系式； （2）①过作，设未知数，利用第一问的结论推导与的数量关系；②结合平行线的性质，三角形外角性质代入化简即可． 【详解】（1）略 （2）①解：如图，过作， ∵， ， ∴设，，，， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； ②解：如图，过作， ∵， ∴， ∵， ∴， 由①知，， ∴． 40．如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：； (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点Q，且，，直接写出与的度数； (3)如图3，已知，，则与有什么关系，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图1， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴； (2)， (3)，理由如下 如图3， 由（1），可得 ，， ∵， ∴ ∴. 【分析】（1）过P点作，继而根据平行线的性质可求证； （2）利用（1）的结论结合已知条件求得，然后求得，再利用四边形内角和为360度，求得 （3）由（1）可得：，，结合已知条件，根据邻补角的概念，四边形内角和为360度，即可得出关系 【详解】（1）略 （2）解： ，， ，， 由（1）可知， ， 分别为，的角平分线， ， ， ， ，； （3）略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对顶角相等，得到，再根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：直线相交于点， ； ， ， ． 2．如图，，点E在的延长线上，平分，平分交的延长线于点G，且．则下列结论错误的是（     ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线性质、角平分线定义及垂直定义推导角度关系，逐项判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即平分，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， 根据题意无法得到， ∴不一定等于，故D错误，符合题意． 3．如图，直线，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C作，过B作，利用平行线的性质和判定即可得出结论． 【详解】解：过C作，过B作， ∴,, ∴， ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴， ∴， ∴, ∴． 4．将一把直尺和一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，结合直尺的对边平行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴． 5．如图，，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得，由角平分线的定义得，再根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ． 6．中华武术源远流长，如图①为某运动员比赛时的照片，把图①抽象成如图②所示的图形，伸展的手臂与水平地面平行，躯干与手臂的夹角，与大腿的夹角，小腿与水平地面的夹角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，过点作，由平行线的判定及性质，，，再由角的和差，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ，， ， ． 二、填空题 7．如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若，则________． 【答案】/36度 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 8．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则______． 【答案】 【分析】首先明确三角板的直角为，由于、三角板的直角与在直尺的同一条边上，则和互余，两者之和为，从而求出的度数，由直尺的两条边是互相平行的，根据两直线平行，同位角相等，可得，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 、三角板的直角与在直尺的同一条边上， 和互余， ， ， ， 直尺的两条边是互相平行的， 根据两直线平行，同位角相等， ． 9．小华将一副三角板（和）按如图所示的方式摆放，其中，，，，则的度数为_________． 【答案】75 【分析】设与交于点，根据平行线的性质可得，则． 【详解】解：设与交于点， 由题意得，，， ， ， ． 10．如图，，点O在上，过点O作于点G，连接，平分，过点O作，若，则下列结论：①；②平分；③；④，其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】由得，结合，可推出，即可判断①；由平行线性质得，再通过平角可得．根据角平分线定义可得，即可判断③；由平分得，结合，得，进而可得，即可判断②；由得，结合，得；又由②知，可得出，即可判断④． 【详解】解：， ． ， ， ， ，故①正确； ，且， ． ． 平分， ，故③正确； ， ． 平分， ∴， ， 又， ， ， ∴平分，故②正确； ， ． ， ． 又， ，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①②③④． 三、解答题 11．空竹在我国有悠久的历史，图1是运动员抖空竹时某一时刻的姿势，其示意图如图2所示，其中，，，请你求出的度数． 【答案】 【分析】过点A作，则，根据平行线的性质和角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，在四边形中，连接，延长到点，连接交于点．已知，，． (1)求和的大小： (2)与平行吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)平行，理由如下： 由（1）得，， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到和，得到的大小，再利用角的和差即可求出的大小； （2）由（1）得，利用角的和差得到，进而得到，再根据内错角相等，两直线平行推出，即可解答． 【详解】（1）解：， （两直线平行，内错角相等）． ， ． ， ． ， ． 又， （2）平行，理由：略． 13．解答： 【问题解决】 (1)如图1，已知点A是外一点，连接．过点A作，若，，求的度数； 【方法运用】 (2)如图2，，点E是直线之间一点，连接，且，延长到点F，过点E作，求的度数； 【深化拓展】 (3)如图3，，点E是直线之间一点，连接，且，平分，平分，且交的延长线于点F，过点E作，过点F作，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由得，再由平角定义可得结论； （2）由，得，得出，故得出； （3）证明，由平分，平分得出，，设，，求出，，得，，可得． 【详解】（1）解：因为，所以， 又因为， 所以． （2）解：因为，， 所以，， 所以， 所以． （3）解：因为，，， 所以， 因为平分，平分， 所以，， 设，， 因为，， 所以，， 因为， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平行线的性质 内容概览 目常考题型精推突破 题型1两直线平行同位角相等（重） 题型2两直线平行内错角相等（重） 题型3两直线平行同旁内角互补（重） 题型4根据平行线的性质探究角的关系（难） 题型5根据平行线的性质求角的度数（重） 题型6平行线的性质在生活中的应用（高频） 题型7根据平行线的判定与性质求角的度数（重） 题型8根据平行线的判定与性质证明（重） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1两直线平行同位角相等 1.如图，直线ab,∠2=55，则∠1的度数为 2.如图，直线AB‖CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,若∠1=55，则∠2的度数为() AE B F D 2 A.550 B.115° C.125° D.135° 3.如图，直线ab,直线c与直线a、b分别相交于点A、B,AD⊥b,垂足为点D,若∠1=50， 则∠2=. 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -h D 4.如图，AD‖BC,∠B=60°，∠C,那么∠C= 5.如图，直线ABCD,量角器的零刻度线与AB重合，其中心与AB,CE的交点O重合，则∠I的度数 为() C D A.130 B.55 C.50 D.45 ◆题型2两直线平行内错角相等 6.如图，ABCD,点E在CA的延长线上.若∠BAE=60°，则∠ACD的度数为() E D A.110° B.120° C.130° D.140° 7.五一来汕头，骑遍山海间！汕头滨海旅游路濠江、潮南先行段一一26+7公里，2026年5月1日正式开 放.如图是骑行单车示意图，AM‖BC.己知∠ACB=74°，则∠MAC的度数为() 出发 D A.74° B.70° C.56 D.50° 8.如图，已知AB⊥MN,CD⊥MN,垂足分别为点E、F,直线PQ分别交AB、CD于点S、T.求 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证：∠AST=∠STD, A M E F R D 对于上述问题，请将下列证明过程补充完整。 证明：，AB⊥MN(已知)，CD⊥MN(已知)， ∴.ABCD(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)· 9.根据题图，在下列解答中，填上适当的理由。 1).AD‖BC(已知)， ∴.∠1=B( )· (2).AB‖CD(已知)， ..21D( 10.如图，已知ABDE,BC交DE于点F,∠B=113°，那么∠CFE的度数是 C D E ◆题型3两直线平行同旁内角互补 11.根据题图，在下列解答中，填空： C (I).AD‖BC(已知)， ∴.∠（)+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 3/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)：AB‖CD(已知)， ∴.∠ABC+∠()=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 12.如图，如果AB‖CD,那么∠A与∠C 13.如图，直线ab,c是截线，若∠1=135°，则∠2的度数是() 2 b A.135° B.50° C.45° D.35 14.自行车结构示意图如图所示，其中AB‖CD,AE‖BD,∠BDC=57°，则∠EAB的度数为 () E D A.57 B.43° C.33 D.123° 15.如图，AB‖CD,∠A=50°，则∠1的度数是多少度？ D ◆题型4根据平行线的性质探究角的关系 16.如图，ABCD,点E为两平行线间的一点，请证明两个结论. A B M 2 D 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)∠BED=∠ 1 (2)∠EBM+∠EDN+∠BED=360°」 17.如图，AB‖CD,直线CE分别与直线AB、CD交于点F、C,点G在线段AF上，过点G作GH‖CE, 在∠AGH内部作射线GM. H M B G C 一D I)若∠AGM+∠C=90°，求证：GM⊥GH: (2)若∠C=64°，求∠AGH的度数， l8.如图，AB‖DC,点E在直线AB,DC之间，连接DE,BE. D C A GF 图1 图2 (①)如图1，写出∠ABE,∠BED,∠EDC之间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若点F是射线BA上的一点，且∠BEF=∠BPFE,EG平分∠BED交直线AB于点G,若 ∠EDC=20°，求∠FEG的度数. 19.如图，已知AB‖DE,试问∠B、∠E、∠BCE有什么数量关系. B D E 解：关系是：∠B+∠E∠BCE 理由如下： 过点C作CFAB, 则∠B=∠ () 又.AB‖DE,AB‖CF, 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () ∴.∠E=∠() ∴.∠B+∠E=∠1 即∠B+∠E=∠BCE. 20.按要求解答下列问题： D 个 图1 图2 图3 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知 ∠DAE=60°，∠B=∠C=45°，且AD‖BC,求∠CAE的度数： (2)如图2，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B=∠ACB=45°），并使直角 顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB=35°，∠PCB=10°，请判断直线MN与PQ是 否平行，并说明理由： (3)现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B=∠ACB=45),，使顶点C在直线MN上，直角顶点A在 直线PQ上，若MN‖PQ,请直接写出∠PAB与∠MCA之间的关系式不用说明理由. ◆题型5根据平行线的性质求角的度数 21.如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DEBC,交AC于点E,若∠ACB=60°，则 ∠EDC的度数是 D 22.如图，已知ab,一含30°的直角三角板如图放置，两个顶点恰好在这组平行线边上.若∠1=35， 则∠2= B 23.图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、MN均为格点.仅用无刻度 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的直尺，按下列要求在给定的网格中画图： 图① 图② (1)在图①中，确定格点C,作射线BC,使∠CBA+∠MAN=180°： (2)在图②中，确定格点D,作射线BD,使∠MBD+∠MAN=135° 24.如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AB边上，点F,G在AC边上，EF与DG的延长线交于 点M,连接BP.已知∠2C,∠ 3+. B D (I)求证：BF‖DM: (2)若∠AEF=68°，且∠1=22，求∠M的度数. 25.两个直角三角形按如图1初始放置，∠C=∠EDF=90°，其中∠BAC=∠ABC=45°，此时AB与 DF重合.当点D从点A出发沿射线AB方向滑动的同时，点F在射线CB上滑动.滑动过程中，三角形 ABC不动，三角形EDF形状、大小不变. (B (图1) (图2〉 (图3) (图4) (1)若∠DFE=30°，∠DEF=60°， ①如图2，当AB‖EF时，求∠CFD的度数： ②如图3，若点D运动到AB延长线上时，连接CE,设∠ECF=C.当CE‖DF时，求∠BDE+∠ECF 的值； (2)如图4，过点E作射线EG交射线CF于点G,设∠DEG=X,在整个滑动过程中，若存在EG与三角形 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABC的某一边平行时，请直接写出∠BDF的度数.（用含x的式子表示） ◆题型6平行线的性质在生活中的应用 26.飞机在某高空因任务向左偏转30°，飞行一段距离完成任务后返回，返回时要回到与原航向平行的轨 道上，则需要向右偏转 度 27.近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高 度忽略不计)如图所示，其中BC1AB,ED‖AB,经使用发现，当∠EDC=126°时，台灯光线最佳， 则此时∠DCB的度数为() E A A.126° B.136° C.144° D.154 28.机器人在2026年春晚舞台上大放异彩，如图为机器人武术表演精彩瞬间的示意图，当机器人的胳膊 AB和腿CD平行（即ABCD)时，若∠1的度数为75°，则∠2的度数为(） B A.15° B.75° C.105° D.115° 29.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同， 所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然.如图，若水面和杯底是互相平行的，且 ∠1=38，∠2=127，则∠3= 空气 水 30.如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB=145°，则 ∠ABD的度数是() C.---->-4 B---->--D A.110° B.125° C.145 D.150° 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7根据平行线的判定与性质求角的度数 31.如图，已知∠1=，∠4=80°，则∠3= 32.如图，直线a,b被直线0A,OB所截.已知∠1=120°，∠2=60°，∠3=70，你还能求出哪些角 的度数？ 3 33.如图，CD‖AB,∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°. F B (1)直线EF与AB有怎样的位置关系？ (2)若∠CEF=60°，则∠ACB的度数是多少？ 34.如图，直线AB与CD被直线EF所截，EF与AB,CD分别交于MN,且CM⊥MD,∠ 1+ E 2 D F (1)证明：AB‖CD: O)若CM平分∠AME,∠2+号∠3=112，求∠MNC的度数. 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.如图，在△ABC中，点D,F在边AB上，点E在边AC上，过点D作DG‖AC交BC于点G,连接CD, EF,且4 1+. D B (1)判断CD与EF的位置关系，并说明理由； (2)若DG平分∠CDB,∠ACD=40°，求∠EFB的度数. ◆题型8根据平行线的判定与性质证明 36.如图，在同一平面内，AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,∠1=，求证：CD‖EF 02 37.如图，直线AB、DF交于点O,OC⊥DF,过点C作射线CE,∠BOC=4∠BOD,∠C=108°. C E B D (1)CE与AB平行吗？为什么？ (2)求∠AOF的补角的度数. 38.如图，ABCD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于点F,∠CFE=∠E (1)求证：AD‖BC: (②)若∠B=80°，求∠DAE的度数. 39.如图，ABCD,点A,E,B,C不在同一条直线上. 10/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B -D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠E+∠C-∠A=180° ②图2直线EA,CP交于点P,且∠BAF=专∠BAE,∠DCP=专<DCE, ①试探究∠E与∠P的数量关系： ②如图3，延长CE交PA于点Q,若AE‖PC,∠BAQ=c0°<o<22.5°，则∠PQC的度数为（用含a 的式子表示)· 40.如图1，AB‖CD,在AB、CD内有一条折线EPF.】 E 一B -B B D F 图1 图2 图3 (I)求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF: (2)如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q,且∠BEP=150°，∠DFP=120°，直接 写出∠EPF与∠EQF的度数： (③如图3.已知∠BEQ=专∠BEP,∠DPQ专∠DP,则∠P与∠Q有什么关系，访说明理白. E D F 图3 由(1)，可得 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.如图，直线AB,CD相交于点O,BE‖CD,若∠AOC=35°，则∠B的度数为() A D B 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.145° B.135° C.45° D.35 2.如图，BC‖AD,点E在CB的延长线上，DB平分∠ADC,BG平分∠ABE交DA的延长线于点 G,且BG⊥BD.则下列结论错误的是() G B A.BD平分∠ABC B.AB‖CD C.∠C=2∠G D.∠ABC+∠BDC=180° 3.如图，直线mn,AB⊥BC,∠1=35，∠2=62，则∠BCD的度数为() A I -m B 2 A.97° B.117° C.125° D.152° 4.将一把直尺和一块含45°角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若∠DAB=20°，则∠CFE的大小 是() A.15° B.25° C.45° D.65° 5.如图，AB‖CD,BC平分∠ABE,∠C=35°，则∠BED的度数是() 9 D A.60° B.70° C.80° D.90° 6.中华武术源远流长，如图①为某运动员比赛时的照片，把图①抽象成如图②所示的图形，伸展的手臂 CD与水平地面AB平行，躯干CE与手臂CD的夹角∠C=90°，与大腿EF的夹角∠CEF=100°，小腿FB 与水平地面AB的夹角∠B=80°，则∠EFB的度数为() 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 人9 图① 图② A.100° B.110° C.120° D.130° 二、填空题 7.如图，已知直线mn,将一块含60°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，若∠1=66，则 ∠2= m C 8.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=48时，则∠2=° 9.小华将一副三角板（△ABC和△DEF)按如图所示的方式摆放，其中∠C=∠D=90°，∠B=30°， ∠E=45°，AB‖EF,则∠1的度数为 0 I0.如图，CD‖AB,点O在AB上，过点O作OG⊥CD于点G,连接OD,OE平分∠AOD,过点O 作OF⊥OE,若∠CD0=50°，则下列结论：①0G⊥AB;②0F平分∠BOD;③∠AOE=65°；④ ∠GOE=∠DOF,其中所有正确结论的序号是 13/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 三、解答题 11.空竹在我国有悠久的历史，图1是运动员抖空竹时某一时刻的姿势，其示意图如图2所示，其中 DE‖BC,∠A=25°，∠B=85°，请你求出∠ADE的度数. 图1 图2 l2.如图，在四边形ABCD中，连接AC,延长BC到点E,连接AE交CD于点F.已知AD‖BC, 1=,∠ 3=, D (I)求∠E和∠DAB的大小： (2)AB与CD平行吗？为什么？ 13.解答： E A D M E C D 图1 图2 图3 【问题解决】 (I)如图1，已知点A是BC外一点，连接AB,AC.过点A作DE‖BC,若∠BAC=50°，∠ABC=70°， 求∠DAC的度数： 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【方法运用】 (2)如图2，AB‖CD,点E是直线AB,CD之间一点，连接BE,CE,且∠BEC=80°，延长CE到点 F,过点E作EH‖AB,求∠B-∠C的度数： 【深化拓展】 (3)如图3，AB‖CD,点E是直线AB,CD之间一点，连接BE,CE,且∠BEC=76°，CG平分 ∠DCE,BF平分∠ABE,且BF交GC的延长线于点F,过点E作EM‖AB,过点F作FNCD,求 ∠CFB的度数 15/15