培优专题03 离心率问题综合突破（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 培优专题03离心率问题综合突破 常考题型·精准突破 ◆题型1齐次式构造法求离心率 1.C 2.50.8 3.A 4.0.5+5 6 5.D ◆题型2定义转化型离心率问题 6.A 7.A 8.B 9.B 10.A ◆题型3焦点三角形背景下的离心率定值计算 11.C 12.B 13.C 14.D 15.C ◆题型4双曲线渐近线关联的离心率问题 16.D 17. 2 18 ABD 19.D 1/3 上好每一堂课 (专项训练) 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.C ◆题型5位置关系与几何约束下的高心率问题 21.D 22.A 23.B 24.C 2556 ◆题型6离心率取值范围综合构造 27.D 28.A 29.C 30.A ◆题型7椭圆与双曲线复合离心率模型 31.C 32.C 33.D 34.C 35.C ◆题型8拓展衍生类离心率问题 37.B 38.ACD 39.BCD 40.BCD ◆题型9多选压轴·离心率多结论综合辨析 2/3 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 41.AC 42.ACD 43.ACD 44.AD 45.ACD 综合攻坚知能拔高 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 & C D B B D 8 C BD 题号 11 12 答案 ABD ACD 6 13.3 2) 15 3/3 培优专题 03 离心率问题综合突破（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 齐次式构造法求离心率（重） ◆题型2 定义转化型离心率问题（重） ◆题型3 焦点三角形背景下的离心率定值计算（高频） ◆题型4 双曲线渐近线关联的离心率问题（重） ◆题型5 位置关系与几何约束下的离心率问题（高频） ◆题型6 离心率取值范围综合构造（难） ◆题型7 椭圆与双曲线复合离心率模型（难） ◆题型8 拓展衍生类离心率问题 ◆题型9 多选压轴・离心率多结论综合辨析（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 齐次式构造法求离心率 1．（2026·广西南宁·一模）设分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，，若的周长为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量关系设线段长，结合双曲线定义表示，由三角形周长求出；再利用共线，两个邻补角余弦互为相反数，借助余弦定理建立的方程，求出离心率． 【详解】设，由，得，， ，， 周长为，即，解得， 所以，，，， 在中，，； 在中，，， 因为三点共线，且在之间， 所以，余弦值互为相反数， 设焦距，在中，， 在中， 因为，所以， 两边同乘得，化简得， 所以． 2．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率_________． 【答案】/ 【分析】设，根据条件，利用椭圆的定义得到，进而可得，再利用，可得，即可求解. 【详解】设，则①，因为，则②， 由①②可得， 又的内切圆半径，则， 所以，得到，又， 所以，整理得到， 所以或（舍），则的离心率. 3．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线定义求出各线段长度，借助公共角的余弦值相等建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】因为点在双曲线的左支上，故， 设，由得，， 代入得，即， 因此，，， 又点A在双曲线C的左支上，则，解得， ， 在中，由余弦定理，， 在中，， 由两式相等得，化简得：， 即，整理得，即， 因此离心率. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，求出，由于，根据二次函数的性质分类讨论求得的最大值，并由得出关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】由已知，设，则，又，， 所以， 因为，所以， 当，即时，时，，即满足题意， 此时由得，，， 当，即时，时，， 由题意，， ，， ，，， 又，即， 所以， 综上，的范围是,即. 5．（26-27高三上·广东·阶段检测）记坐标原点为，椭圆的左，右焦点分别为，线段的垂直平分线与在第一象限交于点交轴于点.若，则的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由垂直平分线确定的横坐标，利用与焦点对称性判定为等腰直角三角形，求出坐标；再代入椭圆方程，整理得到离心率的方程，结合离心率范围取舍根，求得结果即可. 【详解】∵，∴， 又∵在轴上，关于轴对称， ∴，为等腰直角三角形， 设的半焦距为，则， 设，由，得，即， 设的离心率为，则， ， 由得 . ◆题型2 定义转化型离心率问题 6．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的对称性和椭圆定义求出的值，再结合椭圆参数关系计算离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，因为点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 因此，又因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 因此，结合已知，可得，解得， 又因为，由椭圆参数关系可得：，故离心率. 7．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的方程确定圆心即为右焦点，得出的值，利用向量加法的平行四边形法则（中线向量公式）求出，再结合椭圆的定义求出，最后代入离心率公式即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径， 因为为椭圆的右焦点，所以的坐标为，即， 因为为圆的直径，所以圆心是线段的中点， 根据向量的中点公式，可得， 因为，所以，即， 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可知， 又已知，所以，解得, 所以椭圆的离心率. 8．（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的最小值为，则双曲线离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可，进而可得，从而可得离心率的值. 【详解】根据双曲线的定义，有， 两式相加得，如图： 又，所以，即 所以的最小值为，，即 又因为通径是过焦点的弦中最短的弦，所以轴时最小，此时， 所以的最小值为，即， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得，或 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率为2． 故选：B 9．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    10．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由正弦定理表示出的外接圆半径，由三角形面积公式、余弦定理、正弦面积公式表示出的内切圆半径， 根据同时结合倍角公式化简整理得到，再根据范围得到的最大值，即可列不等式求解. 【详解】设，的外接圆半径和内切圆半径分别为，, 由椭圆定义得； 由正弦定理， 由得， 由正弦面积公式得，所以 在中，由余弦定理得， 即， 所以，代入得； 又，即，则， 又因为，代入上式得 ， 又因为当为椭圆的上下顶点时，取最大值，即取最大值，所以此时取最大值， ，因此； 所以， 因为，所以，不等式整理得，解得. ◆题型3 焦点三角形背景下的离心率定值计算 11．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段检测）设椭圆的左､右焦点分别为，直线交椭圆于点，，若的周长的最大值为16，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义求出的周长的最大值可得的值，根据椭圆方程即可求离心率. 【详解】依题意，的周长等于 ，而，当且仅当三点共线时取等号， 则， 因此当直线过点时，的周长取得最大值，即，解得， 所以的离心率， 故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：①直接利用公式；②利用变形公式； ③根据条件列出关于 的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解. 12．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 13．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得，再由双曲线的定义得，最后由余弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，结合， 所以， 又由，所以， 由余弦定理得：， 所以，所以， 所以. 14．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围. 【详解】由题意知，，关于原点对称， 不妨设点为第一象限内一点，则，， 又，，所以，， 记，因为为锐角三角形， 所以，，， 即，，， 解得，所以. 故选:D. 15．（2026·河南安阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义可得 三点共线，结合面积关系判定为等边三角形，再利用余弦定理求解离心率. 【详解】如图，，根据双曲线的定义，得，因为 ，所以，故 三点共线. 因为，所以，所以， 又，所以是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，故离心率 . ◆题型4 双曲线渐近线关联的离心率问题 16．（26-27高三上·广西·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定点的横坐标，再结合双曲线渐近线方程求出点的纵坐标，已知，在中，用、、表示，即可得到，进而求解离心率 【详解】对于双曲线，设半焦距为，满足， 左右焦点为，离心率， 由轴，得横坐标为，不妨令在渐近线上，代入得， 是直角三角形，直角在处，记， 已知，则，， 又，所以， 则，因此. 17．（2026·天津宝坻·三模）双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为，直线过的右顶点，且与一条渐近线平行，以为直径的圆与直线交于M，N两点，则______． 【答案】/ 【详解】由题可知，所以， 又，所以，所以双曲线方程为， 设双曲线的右顶点为，则，双曲线的渐近线方程为， 圆与双曲线都具有对称性，不妨取直线的斜率为， 则直线的方程为：，即， 又，所以，即以为直径的圆半径为，圆心为， 则到直线的距离为，所以. 18．（2026·河南开封·二模）（多选）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据圆与双曲线渐近线相切得到，结合离心率公式及可判断选项A、B；根据，求出，进而求出，判断选项C；根据，得到，，，进而得到点，坐标，求出直线方程，结合垂径定理及点到直线的距离可判断选项D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，即. 圆：的圆心为，半径为. 由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以. 对于A：，故A正确. 对于B：，所以渐近线方程为，故B正确. 对于C：，，因为，所以点的横坐标为， 代入双曲线方程，解得. 取，则，， 所以，故C错误. 对于D：若，则，，，，. 直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 由垂径定理可得，，故D正确. 19．（2026·天津河西·一模）双曲线的左、右焦点依次为，以点为焦点的抛物线的准线为，交双曲线的两条渐近线于点，过点作轴的垂线与抛物线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用向量垂直的条件构建等式，找出双曲线中的关系，从而得离心率. 【详解】对于双曲线，右焦点为，其中，离心率， 渐近线为， 因为抛物线以为焦点，故，即. 又因为准线交渐近线于，将代入渐近线方程得：，过作轴的垂线，交抛物线于第一象限的点， 因为，即向量， 又因为，， 所以，整理得：， 所以离心率. 20．（25-26高二上·浙江舟山·期末）双曲线的离心率，直线为该双曲线斜率为正的一条渐近线，已知为该双曲线右支上一动点，点为点关于直线的对称点，则到双曲线另一条渐近线距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定双曲线的相关参数.设，利用轴对称表示出，写出点到另一条渐近线的距离，再利用三角代换的方法求最小值. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以. 所以斜率为正的渐近线：，另一条渐近线为. 设，，因为为该双曲线右支上一动点，所以， 由. 所以到渐近线即的距离为：. 又，可设，. 所以， 设， 所以，所以. 所以. 即到双曲线另一条渐近线距离的最小值为. 故选：C ◆题型5 位置关系与几何约束下的离心率问题 21．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线与的另一个交点为，关于轴的对称点为，若，则的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查椭圆的基本性质及直线的位置关系，联立直线与椭圆方程求出交点，进而表示出对称点坐标，利用两直线垂直时，对应向量数量积为，建立等量关系，从而求出离心率. 【详解】由题意得，，， 则直线的斜率，设直线AF的方程为，联立， 则，化简得，解得，， 所以点，因此点的坐标为． 因为，所以，又，， 则， 整理可得，将代入，化简得， 所以，故离心率． 22．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 23．（2025·河北张家口·一模）设为钝角，若直线与曲线只有一个公共点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与曲线，由题意结合判别式求出，再结合双曲线定义和标准方程以及离心率公式即可求解. 【详解】因为为钝角，所以， 联立， 当即时，方程只有一个解， 所以直线与曲线只有一个公共点，符合题意； 当即时， 因为直线与曲线只有一个公共点， 所以， 因为，所以，解得或，都不符合，舍去， 所以，所以曲线，所以曲线是焦点在x轴上的双曲线， 所以，，所以的离心率为. 故选：B 24．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF 交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据双曲线左焦点和直线斜率求出直线的方程，然后联立直线与圆的方程求出点的坐标.接着利用点是中点这一条件，联立直线与双曲线渐近线方程求出、横坐标，再根据中点坐标公式列出等式，最后求解出双曲线的离心率. 【详解】由题意双曲线左焦点为，已知圆的圆心为，半径为c，直线的斜率为， 则直线方程为， 由，得，即点P的坐标为， 双曲线渐近线方程为，设点，点， 则①，， 由，得， 由，得， 代入①得，解得， 所以双曲线C的离心率 故选：    25．（2025·江西新余·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的左焦点为，为坐标原点，三点均在上（，位于同一象限），在线段上，在线段上，且，则的离心率为：__________. 【答案】/ 【分析】根据条件，可设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，表示出，进而得到，再根据直线的斜率列式，可得的关系，进而可求椭圆的离心率. 【详解】如图：不妨设点在轴上方. 因为，在线段上，所以直线的方程为：. 由得：. 设，，则，所以. 根据椭圆的对称性，可得. 由，所以直线的倾斜角为，所以. 即， 所以. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题意可得、两点关于原点对称，再根据直线的倾斜角可得直线的倾斜角，由斜率列式可求的关系. ◆题型6 离心率取值范围综合构造 26．（25-26高三·全国·三轮复习）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】运用坐标进行运算，把坐标代入进已知条件中，化简后得到离心率的范围. 【详解】因为，，所以，令， 因为，所以 由点都在椭圆上，得解得 因为，所以，解得.所以. 所以椭圆的离心率的取值范围为. 27．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最大值即可. 【详解】设，令，则，， 所以，所以， 在中，，则由余弦定理得 ， 所以， 所以， 令，由，可得，则 ， 当或时，取最大值：， 所以的最大值为. 28．（25-26高二下·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出共轭双曲线的标准方程，分别表示出两者的离心率平方，再结合基本不等式求乘积的最小值. 【详解】设焦点在x轴上的双曲线的标准方程为（）， 由共轭双曲线的定义，其共轭双曲线的标准方程为， 对，半焦距，离心率，故； 对，半焦距，离心率，故； 则， 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 因此， 又，故， 即的最小值为2. 29．（26-27高三·全国·二轮复习）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过点引的外角平分线的垂线，垂足为，且点与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交的延长线于点，连接， 由题意知:， 所以，则点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以，则. 30．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性可得，且，不妨设，由余弦定理可得，结合离心率公式即可求解. 【详解】直线与双曲线都关于原点对称，则它们的交点也关于原点对称，记C的下焦点为， 利用对称性，四边形为平行四边形，则，， 可得，且， 不妨设，，， 离心率． ◆题型7 椭圆与双曲线复合离心率模型 31．（2026高二·全国·专题练习）离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若，且四边形与四边形的面积相等，则（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，．利用，分别求出两四边形在第一象限内顶点的坐标，再由两四边形面积相等得到，最后利用椭圆、双曲线离心率公式求． 【详解】设 则． 又因为，所以 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为． 由同时在两曲线上，得 即 解得 因此四边形的面积为 双曲线在第一象限的渐近线为 设该渐近线与椭圆在第一象限的交点为，则． 代入椭圆方程，得所以 因此四边形的面积为 由题意， 由于均为正数，所以 代入上式，得 得即 又因为所以 32．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，由余弦定理得出与的关系，从而得出，然后由三角换元法设，，，求得，从而得出结论． 【详解】设P为第一象限的交点，，则， 解得，. 在中，由余弦定理得， 所以，即， 整理得，即，故， 设，，，又， 则， ，所以或， 时，舍去， 时满足题意，此时，所以. 故选：C． 33．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的定义列式即可求的范围. 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， 依题意，， 而椭圆的离心率， 双曲线的离心率， 因此， 由，得，∴， ∴，∴. 即. 故选：D 34．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆：，由双曲线方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得，即可求出的离心率． 【详解】设椭圆：， 双曲线：，可得，所以， 解得，所以， ，， ，， 因为四边形为矩形，所以在中，， ，即， ，，即的离心率是. 故选：C. 35．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据椭圆与双曲线的定义可得，从而可得，于是可得的取值范围. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，则， 由椭圆与双曲线的定义得，可得， 因为，所以，即， 则，故，且，则 所以， 由于函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 故选：C ◆题型8 拓展衍生类离心率问题 36．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用点差法求得中点的轨迹方程，再利用得到中点的横坐标，最后代回直线方程求离心率. 【详解】设，那么， 又，所以即， 因为，所以点在中垂线上，故， 又直线：经过椭圆的左焦点， 所以，又点M在直线：上， 所以，代入得 ，即， 则. 37．（2024·上海·一模）椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得. 【详解】依题意，令声音传播速度为，时刻，刚刚呐喊声音传播为0， 时刻听到第一次回声，声音的路程为，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点， 时刻，声音的路程为，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点， 时刻，声音的路程为，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点， 因此，， 即，则，即，整理得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键. 38．（25-26高三上·福建·开学考试）（多选） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD 【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断是否等于可判断选项正误；D由，计算，，可判断选项正误. 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 39．（2026·江苏扬州·三模）（多选）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（     ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，利用平面几何知识可判断AB；根据圆锥和截面相交求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】已知圆锥的轴截面是斜边长的等腰直角三角形， 可得，，是中点，. 以为原点，以方向为轴，以与垂直向内的方向为轴， 以方向为轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. 选项A：截口为圆时，截面平行于底面，圆半径， 面积，A错误； 选项B：截面过，椭圆长轴为线段， 可得， 故长轴长为，B正确； 选项C，如图，作出符合题意的图形， 设抛物线与底面圆的交点为，以为原点， 以为轴，在平面建立平面直角坐标系. 由于圆锥底面半径为，则，得，，， 将代入抛物线方程，得， 故抛物线的焦点到准线的距离为1，C正确； 选项D，如图，作出符合题意的图形， 在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点的坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则， 将代入双曲线方程得，解得， 则离心率，D正确. 40．（2026·四川绵阳·二模）（多选）函数的图象是以两坐标轴为渐近线的双曲线，将该函数图象绕坐标原点顺时针旋转45°，即可将其化为双曲线的标准方程.已知A，B，C是双曲线H：上三个不同的点，则（   ） A．双曲线H的离心率为2 B．直线与坐标轴交于M，N，与H交于P，Q，则 C．的垂心（三高线的交点）在H上 D．若是等边三角形，则其中心P关于坐标原点的对称点Q在的外接圆上 【答案】BCD 【分析】对A，根据题意可得双曲线为等轴双曲线，得解；对B，分别求出线段和线段的中点，由中点重合得解；对C，求出，边上的高所在直线方程，进而求得的垂心坐标，判断；对D，由选项C，求得点的坐标，设的外接圆方程为，代入得，进而判断点的横坐标满足上面方程，得解. 【详解】对于A，双曲线的两条渐近线为轴，轴，它们的夹角为90°，故为等轴双曲线，离心率为，选项A错误； 对于B，设：，则，，线段的中点坐标为. 将直线，代入有. 由韦达定理，，线段的中点为. 故线段与中点重合，所以，故B正确； 对于C，设，，，则斜率， 故边上的高所在直线方程为， 同理，边上的高所在直线方程为. 解得的垂心坐标为，故垂心也在曲线上，故C正确； 对于D，等边三角形的垂心即为其中心，由前述可知，所以，且点在曲线上， 设的外接圆方程为，代入得 这是一个四次方程，，，，是它的四个根， 则， 可得，即Q的横坐标，故说明点Q在圆上，故D正确. 故选：BCD.    ◆题型9 多选压轴・离心率多结论综合辨析 41．（2026·海南儋州·二模）（多选）已知椭圆的焦距为，直线与相交于，两点，的中点为，点在直线上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为 C． D．到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为 【答案】AC 【分析】由题意可得，将椭圆方程与直线方程联立，结合韦达定理及中点坐标公式，可求得，，进而可判断A，B；求出点的坐标，根据向量数量积的坐标运算，可判断C；求出关于直线的对称点，利用,求解后可判断D. 【详解】由题意可得，所以，所以， 所以椭圆方程为， 由，可得， 设，则有，解得， 所以，所以， 所以椭圆的离心率，故A正确； 因为，所以，所以椭圆的短轴长为，故B错误； 因为，所以直线与椭圆联立后所得方程为：， 解得，所以，即， 所以，所以，故C正确； 因为椭圆的两焦点分别为，又因为在直线上， 设关于直线的对称点为， 则有，解得，所以， 所以,, 当三点共线时，等号成立， 又因为， 即到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为，故D错误. 42．（26-27高三上·贵州·阶段检测）（多选）如图所示，点是双曲线上一点，，为的左、右焦点，延长交于另一点，已知是等腰直角三角形，若位于第一象限，，则（    ） A． B．的离心率为 C．直线的斜率为 D．与切于点处的直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】选项A根据焦点三角形及已知条件求出各段长，计算比值；选项B根据直角三角形勾股定理计算的方程；选项C求角的正切值，计算斜率；选项D利用双曲线的光学性质求解. 【详解】 设，， 则，， 是等腰直角三角形，， 所以，即，， ， ，， ，选项A正确； ，，即， ，，选项B错误； ， 直线的斜率为，选项C正确； 由双曲线的光学性质，与切于点处的直线平分，故垂直于直线， 则直线的斜率为， 故与切于点处的直线的斜率为，选项D正确. 43．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）（多选）已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（    ） A．的离心率为 B．，，，四点可能共圆 C．为直角三角形 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A直接由椭圆的几何性质计算可得；对B根据点的对称可知，若四点共圆则圆心必在原点，再由，再结合对称性可知四点不共圆；对C，设，由三角形面积关系得，再通过解方程可得，进而可得，从而可判断C，再由直角三角形中边角关系可得，由基本不等式可得最小值，可判断D选项. 【详解】因为椭圆（）满足 ，结合椭圆关系， 代入得：，即，所以，因此离心率​​，选项A正确. 设，由椭圆关于原点对称得 ；轴则. 所以​，由题意. 设 ，的面积也可表示为， 所以，得，即. 由，椭圆方程可写为， 又因为直线过和，斜率， 直线方程为，代入椭圆方程，， 结合，得，，， ，， ，， ，解得或. 所以，代入得，即， 所以， 又因为，所以，即，因此， 所以为直角三角形，故C正确. 由是直角，所以在直角三角形中， 又因为， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，D正确. 对选项B，，若四点共圆， 则圆心必在弦的垂直平分线 轴上，也在弦的垂直平分线上，且的垂直平分线过原点， 因此圆心必在轴与弦的垂直平分线的交点，即原点. 所以圆的半径，圆的方程为. 又因为在椭圆上，也在圆上， 联立，显然方程组无解，故不存在， 所以，，，四点不可能共圆，故B错误. 44．（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（   ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D．若的周长为，则的离心率的取值范围是 【答案】AD 【分析】对A根据圆的切线长相等及双曲线的定义可得；对B由A选项解析及条件得，再由双曲线的性质可得，进而可得渐近线方程；对C由垂直解得，，再由等面积法得内切圆半径，再结合A选项结果可得离心率；对D根据双曲线的定义可得焦点三角形的周长，进而可得，再由焦点弦的性质可得离心率的范围. 【详解】对于A项，设点的横坐标为，的焦距为，作，， 垂足分别为点，连接，则， 所以，， ， 又，所以，即， 所以，即，所以点到轴的距离为，故A项正确． 对于B项，由A项知，．又， 所以，所以，所以，所以， 则，所以C的渐近线方程为，故B项错误． 对于C项，因为，，所以， 解得，， 所以内切圆半径， 由A项知，即，则， 即，解得或（舍），所以C的离心率为，故C项错误． 对D项，由双曲线的定义可得，， 两式相加可得， 则的周长为，即， 又因为，所以，解得，所以，故D项正确． 45．（2026·江苏南京·三模）（多选）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点，过与底面平行的平面绕点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（    ） A．截面中圆的面积为 B．截面是完整椭圆的离心率最大是 C．截面是抛物线的焦准距 D．垂直于底面的双曲线截面的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出截面中圆的面积判断A；确定离心率最大的完整椭圆位置并求出离心率判断B；建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程，进而求解判断CD. 【详解】依题意，圆锥的底面圆半径，圆锥的高，， 对于A，由为母线的中点，得截面圆的半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，圆锥曲线的离心率公式为， 其中是母线与圆锥轴的夹角，是截面与圆锥底面的夹角， 当截面从平行于底面对应圆，开始转动，要得到完整椭圆，截面不能超出圆锥的侧面范围， 当截面刚好经过圆锥底面圆周上一点时最大可取到， 此时离心率，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为x轴， 在平面中建立平面直角坐标系，则，，点， 设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，C正确； 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则，，解得， ，所以双曲线的离心率为，D正确. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于为等腰直角三角形，所以，通过双曲线的性质可知，整理可得，最后求得的离心率. 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 2．已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先确定圆的圆心与半径，写出焦点在轴的双曲线的渐近线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径建立等式，求出的关系，再结合双曲线求解离心率． 【详解】圆的标准方程为，可得圆心坐标为，半径． 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 整理为一般式为．直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径， 由点到直线距离公式，圆心到渐近线的距离： ，由相切条件，得． 因为，等式两边同时除以，得， 两边平方：，整理得到，即． 由双曲线关系式，把代入：， 故，离心率． 3．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 4．已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义及基本性质，结合余弦定理，列出方程，求得，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，椭圆与双曲线的焦距相同，即焦点相同，设，， 则在椭圆中，可得。，则， 则， 又，即， 即，所以， 所以， 在双曲线中，可得，则， 所以， 又，所以，化简得， 又，所以，所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 5．已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，从而得，代入椭圆方程可得，再由及离心率公式求解即可, 【详解】由题意，抛物线的焦点为，则. 抛物线方程为. 因为轴且点在第一象限，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程得，故. 又点在椭圆上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此. 由代入得. 两边同除以并设离心率，得. 解得（负根已舍去）. 6．已知椭圆的离心率为，两焦点分别为，抛物线以为顶点、为焦点，点为抛物线和椭圆的一个交点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】C 【分析】利用抛物线和椭圆的定义，结合已知等量关系得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】设椭圆长半轴为，半焦距为，离心率，焦点，， 抛物线以为顶点、为焦点，顶点到焦点距离为，因此抛物线准线为， 根据抛物线定义：交点满足等于点到准线的距离，即， 椭圆第二定义：椭圆上点到左焦点的距离满足， 由，则，整理得，即， 因此. 7．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义和已知比例关系求得，借助余弦定理建立等量关系，求得的关系，从而求得离心率. 【详解】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. 8．已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义表示出，结合等腰三角形性质求出，然后利用圆的几何性质及余弦定理建立等式，又利用三点共线，建立等式，联立求解得出离心率. 【详解】由题意知，双曲线半焦距为，， 设， 则，所以， 又，所以， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 过作于点， 所以， 在中，， 因为三点共线，所以即为， 即， 因为点在以为直径的圆上， 所以，即， 在中，， 在中，由余弦定理得， ， 所以， 化简整理得，①， 在中，由余弦定理得， ， 因为三点共线， 所以，即， 所以， 化简整理得，②， 联立①②得，， 因为，所以， 将代入①式得，， 所以双曲线离心率为. 9．记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对称性可得，代入椭圆方程化简得到，进而求解即可. 【详解】由对称性可知，设的半焦距为，易知，故， 将代入椭圆方程得，即， 设的离心率为，则，即， 所以，又，则． 二、多选题 10．如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 【答案】BD 【分析】对于A，根据双曲线求得焦点坐标及焦距，根据椭圆的标准方程判断即可；对于B，根据切线长定理及双曲线、椭圆的定义求解即可；对于C，根据椭圆的定义求出，进而求离心率即可；对于D，根据双曲线、椭圆的定义及完全平方公式求解即可. 【详解】对于A，双曲线：，，所以，则. 故焦点，.则，A错误. 对于B，设的内切圆切轴于点，切于点，切于点. 则，，， 由双曲线定义得， （*）， 又，，代入（*）解得，故切点为，B正确. 对于C，若，则. 双曲线：，所以. 椭圆：，则，所以. 故椭圆的离心率为，C错误. 对于D，若，则. 又，则， 所以，则， 即，则，， 故椭圆方程为，D正确. 11．已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 【答案】ABD 【分析】A选项，利用焦点三角形边长关系可得的周长；B选项，当直线垂直于轴时，可以将横坐标代入椭圆方程，得到纵坐标，从而得到；C选项，利用，，可得，，分别在和中，计算，可得，从而得到离心率；D选项假设存在满足条件的点，可求得即可. 【详解】对于选项A，的周长，故A正确； 对于选项B，当直线垂直于轴时，将代入，得，，故B正确； 对于选项C，，，， ，，，，. 在中， 在中，，得， ，，故C错误； 对于选项D，假设存在满足条件的点，过点向圆引两条切线，设切点为和， 因为，，，， 所以四边形为正方形，所以. 所以当时，椭圆上存在点满足题意，故D正确． 12．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为．这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球的半径分别为，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则（     ） A．椭圆的中心不在直线上 B．直线与椭圆所在平面所成的角的正弦值为 C．椭圆的离心率为 D．从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值为 【答案】ACD 【分析】先在过圆锥轴的截面内利用球与圆锥母线相切，求出两个球心到圆锥顶点的距离以及轴线与平面的夹角；再利用同一点向球所引切线段相等，求椭圆的长轴、焦距和离心率，并判断椭圆中心的位置；最后把化为同一母线上的切线段，利用路线长度与三角不等式求最小值. 【详解】设圆锥顶点为，直线与平面所成的角为. 圆锥母线与轴的夹角为. 在过轴的截面内，球与母线相切，所以. 由，得从而. 平面位于两个球心之间，且到平面的距离分别为，所以 即 故B错误. 设椭圆的中心为，为的中点. 由于分别是在平面上的垂足，所以是在平面上的垂足. 又因两个球心到平面的距离分别为且位于平面两侧，故不在平面上. 若在直线上，则既在轴线上又垂直于平面，从而轴线应垂直于平面，这与矛盾. 因此椭圆的中心不在直线上，A正确. 任取椭圆上一点，过的圆锥母线分别与两个球相切于，其中在切点圆上. 由同一点向同一球所引切线段相等， 并且在同一条母线上，所以 又故 因此椭圆的长轴长. 另一方面，是线段在平面上的正投影，所以即. 于是故C正确. 对于D，仍取上述点，则. 设从沿圆锥表面到固定点的任一路线长度为，把母线段与这条路线连接起来，可得到圆锥表面上从到的一条路线，因此 又由三角不等式 当取为母线与椭圆的交点，并沿该母线由到时，共线且位于之间，上述两次不等式均取等号. 因此所求最小值为，D正确. 三、填空题 13．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】根据条件，结合椭圆定义以及三角形内切圆性质，即可化简得到，再利用即可求得结果. 【详解】由得，， 又共线，故， 设，， 则， 所以，又， 且， 所以， 即， 又， 所以， 又， 联立，可得， 又， 化简得，， 又， 所以，， 即椭圆的离心率为. 14．法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据直线与圆的位置关系求出的取值范围，结合椭圆的离心率公式可求得结果. 【详解】因为，则椭圆的焦点在轴上， 因为直线，与椭圆都相切， 所以直线，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 且圆的圆心为坐标原点，半径为， 因为直线与圆没有公共点，所以，解得， 所以， 故椭圆的离心率为. 15．如图，已知圆柱底面半径为1，母线长为8，球与圆柱侧面及上底面相切，球与圆柱侧面及下底面相切，平面与球、球均相切（球心、在平面两侧）.则平面截圆柱侧面所得椭圆的离心率为________. 【答案】/ 【分析】设为椭圆上不同于的一点，过点作平行于的直线，与圆分别相切于，连接，根据切线关系求出，即可求出离心率. 【详解】如图， 设为椭圆上不同于的一点，为圆柱一母线与两圆的切点， 过点作平行于的直线，与圆分别相切于，连接. 根据切线关系可得， 则， 故所得椭圆的离心率. 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题 03 离心率问题综合突破（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 齐次式构造法求离心率（重） ◆题型2 定义转化型离心率问题（重） ◆题型3 焦点三角形背景下的离心率定值计算（高频） ◆题型4 双曲线渐近线关联的离心率问题（重） ◆题型5 位置关系与几何约束下的离心率问题（高频） ◆题型6 离心率取值范围综合构造（难） ◆题型7 椭圆与双曲线复合离心率模型（难） ◆题型8 拓展衍生类离心率问题 ◆题型9 多选压轴・离心率多结论综合辨析（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 齐次式构造法求离心率 1．（2026·广西南宁·一模）设分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，，若的周长为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率_________． 3．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 5．（26-27高三上·广东·阶段检测）记坐标原点为，椭圆的左，右焦点分别为，线段的垂直平分线与在第一象限交于点交轴于点.若，则的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 定义转化型离心率问题 6．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的最小值为，则双曲线离心率为（   ） A． B．2 C． D． 9．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型3 焦点三角形背景下的离心率定值计算 11．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段检测）设椭圆的左､右焦点分别为，直线交椭圆于点，，若的周长的最大值为16，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 13．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·河南安阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． ◆题型4 双曲线渐近线关联的离心率问题 16．（26-27高三上·广西·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·天津宝坻·三模）双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为，直线过的右顶点，且与一条渐近线平行，以为直径的圆与直线交于M，N两点，则______． 18．（2026·河南开封·二模）（多选）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 19．（2026·天津河西·一模）双曲线的左、右焦点依次为，以点为焦点的抛物线的准线为，交双曲线的两条渐近线于点，过点作轴的垂线与抛物线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 20．（25-26高二上·浙江舟山·期末）双曲线的离心率，直线为该双曲线斜率为正的一条渐近线，已知为该双曲线右支上一动点，点为点关于直线的对称点，则到双曲线另一条渐近线距离的最小值是（   ） A． B． C． D． ◆题型5 位置关系与几何约束下的离心率问题 21．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线与的另一个交点为，关于轴的对称点为，若，则的离心率为（    ）． A． B． C． D． 22．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·河北张家口·一模）设为钝角，若直线与曲线只有一个公共点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF 交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·江西新余·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的左焦点为，为坐标原点，三点均在上（，位于同一象限），在线段上，在线段上，且，则的离心率为：__________. ◆题型6 离心率取值范围综合构造 26．（25-26高三·全国·三轮复习）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是______. 27．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 29．（26-27高三·全国·二轮复习）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过点引的外角平分线的垂线，垂足为，且点与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 30．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． ◆题型7 椭圆与双曲线复合离心率模型 31．（2026高二·全国·专题练习）离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若，且四边形与四边形的面积相等，则（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 32．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（   ）    A． B． C． D． 35．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ◆题型8 拓展衍生类离心率问题 36．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 37．（2024·上海·一模）椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·福建·开学考试）（多选） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 39．（2026·江苏扬州·三模）（多选）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（     ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 40．（2026·四川绵阳·二模）（多选）函数的图象是以两坐标轴为渐近线的双曲线，将该函数图象绕坐标原点顺时针旋转45°，即可将其化为双曲线的标准方程.已知A，B，C是双曲线H：上三个不同的点，则（   ） A．双曲线H的离心率为2 B．直线与坐标轴交于M，N，与H交于P，Q，则 C．的垂心（三高线的交点）在H上 D．若是等边三角形，则其中心P关于坐标原点的对称点Q在的外接圆上 ◆题型9 多选压轴・离心率多结论综合辨析 41．（2026·海南儋州·二模）（多选）已知椭圆的焦距为，直线与相交于，两点，的中点为，点在直线上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为 C． D．到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为 42．（26-27高三上·贵州·阶段检测）（多选）如图所示，点是双曲线上一点，，为的左、右焦点，延长交于另一点，已知是等腰直角三角形，若位于第一象限，，则（    ） A． B．的离心率为 C．直线的斜率为 D．与切于点处的直线的斜率为 43．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）（多选）已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（    ） A．的离心率为 B．，，，四点可能共圆 C．为直角三角形 D．的最小值为 44．（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（   ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D．若的周长为，则的离心率的取值范围是 45．（2026·江苏南京·三模）（多选）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点，过与底面平行的平面绕点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（    ） A．截面中圆的面积为 B．截面是完整椭圆的离心率最大是 C．截面是抛物线的焦准距 D．垂直于底面的双曲线截面的离心率为 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 3．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的离心率为，两焦点分别为，抛物线以为顶点、为焦点，点为抛物线和椭圆的一个交点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．以上均不对 7．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 11．已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 12．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为．这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球的半径分别为，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则（     ） A．椭圆的中心不在直线上 B．直线与椭圆所在平面所成的角的正弦值为 C．椭圆的离心率为 D．从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值为 三、填空题 13．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 14．法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 15．如图，已知圆柱底面半径为1，母线长为8，球与圆柱侧面及上底面相切，球与圆柱侧面及下底面相切，平面与球、球均相切（球心、在平面两侧）.则平面截圆柱侧面所得椭圆的离心率为________. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $