专题01 直线与圆（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题01 直线与圆 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01直线的方程 考点02两条直线的位置关系 考点03圆的方程 考点04直线与圆、圆与圆的位置关系 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01与直线有关的最值问题 难点解读02与圆有关的最值问题 难点解读03隐圆及其应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01直线与圆的位置关系 题型02圆与圆的位置关系 ▶重点突破・考法深研 重点01直线方程的求解 重点02两条直线的平行与垂直 重点03点到直线、平行线间的距离问题 重点04圆的方程的求解 重点05根据直线与圆的位置关系求参数 重点06与圆弦长有关的问题 重点07圆的切线方程问题 重点08两圆的公共弦问题 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01直线的倾斜角问题 技法点拨02直线的斜率问题 技法点拨03两条直线的交点问题 技法点拨04点与直线、直线与直线的对称问题 技法点拨05直线与圆的位置关系的判断 技法点拨06圆与圆的位置关系 技法点拨07两圆的公切线问题 技法点拨08与圆有关的轨迹问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01误解“截距”与“距离”的关系致错 易错点02平行线间的距离公式使用不当致错 易错点03遗漏方程表示圆的充要条件致错 易错点04直线与圆相切分类不全致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 【新题对点练】（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 考点02 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 【新题对点练】（2026·河北邯郸·二模）已知直线，，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，，， 则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为， 因为两条直线斜率，且在轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件； 若，当时，，，显然两条直线有交点， 当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等， 即：，解得：，因此“”是的必要条件， 所以“”是的充要条件. 考点03 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 【新题对点练】（2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】将圆C的方程化为标准形式，得，故圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，所以． 考点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【新题对点练】（2025·广东·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【答案】 【解析】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 难点解读01 与直线有关的最值问题 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短; 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 难点破解 【典例1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此， 当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4.故选：D 【典例2】（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）如图，在等腰直角中，，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于______. 【答案】 【解析】以A为原点，AB、AC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，，且直线BC方程为， 的重心为，即， 设， 点P关于直线BC的对称点为， 由，解得，可得， 点关于y轴的对称点为， 根据光线反射的原理，可知，Q，R，四点共线，且，， 直线QR就是，其方程为，即， 根据直线QR经过点， 可得，解得不符合题意，舍去， 所以，，， 可得， 所以的周长 难点解读02 与圆有关的最值问题 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 难点破解 【典例1】（2026·吉林·模拟预测）已知点满足，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)40；10；(2)． 【解析】（1）表示以为圆心，为半径的圆， 设，直线与圆有公共点， ．， 即的最大值为40，最小值为10. （2）解法一：设， 则， ∴其最小值为． 解法二：设是圆上的点，圆外一点， 则的几何意义是，而最小值是，即． 【典例2】（25-26高三下·广东汕头·阶段检测）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，，直线， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为的圆， 又圆的圆心，半径，两圆位置关系如下图所示， 的最大值是．故选：D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 直线与圆的位置关系 考情定位：新高考解答题核心必考母题，区分度较高的主干题型．命题集中考查直线与圆的相交、相切、相离判定，以及弦长、切线、最值综合，套路固定但细节陷阱多，是解析几何重要得分点． 核心考法：①几何法、判别式法判定直线与圆位置关系；②求圆的切线方程；③求弦长、弦中点轨迹；④结合距离、最值的综合问题；⑤已知位置关系反求参数． 解题要点：优先用几何法（圆心到直线距离与半径比较）判定，计算简便；求切线严格区分过圆上一点、圆外一点两类情形；弦长问题活用垂径定理与弦长公式，数形结合构造直角三角形，规避联立方程繁琐计算． 【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 【典例2】（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时.故选：C 题型02 圆与圆的位置关系 考情定位：新高考选填压轴、解答题拔高设问常考母题，难度中等偏上，是高分段学生拉分关键题型．包含两圆位置关系判定、公共弦、公切线及参数范围，综合性强、结合图形定性考查，套路清晰但容错率低． 核心考法：①两圆五种位置关系判定；②公共弦所在直线方程与公共弦长；③由位置关系求参数范围（含临界相切）；④圆与直线、其他曲线的最值综合；⑤对称、切线长等综合应用． 解题要点：判定位置关系坚持“先算圆心距、再比半径和差”，注意相切临界值；公共弦方程由两圆方程相减得到，公共弦长用垂径定理；由位置关系求参数严格讨论临界点、闭合区间，杜绝端点漏解、错解． 【典例1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程_____． 【答案】或或 【解析】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]：设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 【典例2】（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知：，：，则（    ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径， 所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径， 由于的圆心为，半径， 所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 重点01 直线方程的求解 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程． 【典例1】（24-25高三上·山东德州·阶段检测）经过点，且在 x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般式方程是______. 【答案】或 【解析】当截距为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故，即； 当截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得， 故直线方程为，即. 【典例2】（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的倾斜角为，则， 当直线绕原点顺时针旋转时， 旋转后的直线的倾斜角为， 其斜率为， 该直线方程为， 再将该直线向左平移1个单位可得：，即. 重点02 两条直线的平行与垂直 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 【典例1】（2026·河南南阳·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 【典例2】（2026·四川绵阳·模拟预测）若直线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】对于直线和直线垂直,则. 已知直线中,直线中. 因为,即.故选：C. 重点03 点到直线、平行线间的距离问题 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【典例1】（26-27高三上·浙江·阶段检测）写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 【答案】或(答案不唯一) 【解析】将直线方程化成一般式，得， 设点到直线的距离为1， 则有， 即有，解得或， 所以所求点的坐标为或. 【典例2】（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将变形为， 故两直线的距离为，故选：B 重点04 圆的方程的求解 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【典例1】（25-26高三上·重庆·阶段检测）圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的方程为， 则， 所以圆的方程是，故选：C. 【典例2】（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 重点05 根据直线与圆的位置关系求参数 解题步骤 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 【典例1】（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即，则， 化简可得， 而，则，即， 即曲线是以为圆心、为半径的圆的一半， 结合题意可绘出图象，如图所示： 当直线过点时，； 当直线与半圆刚好相切时， 圆心到直线距离等于半径，即，解得或（舍去）， 故实数的取值范围是.故选：B 【典例2】（2026·新疆·模拟预测）若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆的方程为，可得圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得：， 对于选项A，，不在范围内； 对于选项B，，在范围内； 对于选项C，，在范围内； 对于选项D，，在范围内；故选：A. 重点06 与圆弦长有关的问题 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【典例1】（2026·黑龙江大庆·一模）已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，则， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 由弦长公式可得，故D正确. 【典例2】（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 重点07 圆的切线方程问题 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【典例1】（2026·广西南宁·模拟预测）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 【典例2】（2026·浙江·二模）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 重点08 两圆的公共弦问题 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【典例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 【典例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 技法点拨01 直线的倾斜角问题 求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率k＝tan α的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 【典例1】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则________． 【答案】 【解析】由题意可得直线的斜率为，所以，解得． 故答案为：. 【典例2】（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故.故选：D. 技法点拨02 直线的斜率问题 斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． 【典例1】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【解析】直线垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 【典例2】（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 技法点拨03 两条直线的交点问题 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 【典例1】（25-26高三上·四川·阶段检测）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是______． 【答案】 【解析】过直线与的交点， 故，解得，故交点坐标为； 故过点且与直线垂直的直线方程为，整理得． 故答案为：． 【典例2】（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为______． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，则， 则直线的斜率， 又直线过原点，所以的方程为， 联立，解得，即直线与的交点坐标为. 故答案为： 技法点拨04 点与直线、直线与直线的对称问题 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【典例1】（25-26高三上·甘肃金昌·阶段检测）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为.故选：B. 【典例2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线：，直线：，则直线关于直线的对称直线方程是______. 【答案】 【解析】在直线上取两点， 设关于直线的对称点为， 则，所以，. 同理设关于直线的对称点， 则，所以，， 直线关于直线的对称直线过，， 由点斜式可得方程为，得， 化为一般式可得所求直线方程为. 技法点拨05 直线与圆的位置关系的判断 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【典例1】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【解析】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 【典例2】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【解析】由题意知圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离，所以直线和圆相交.故选：A. 技法点拨06 圆与圆的位置关系 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【典例1】（24-25高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距，两圆的半径之差为，所以两圆内含. 【典例2】（25-26高三上·辽宁铁岭·阶段检测）已知圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】，即，圆心，半径， ，圆心为，， 则， 则，故两圆相交.故选：B. 技法点拨07 两圆的公切线问题 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【典例1】（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 【典例2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆与直线相切于点，切线斜率为. 故圆心与连线垂直于切线，斜率为. 设圆心，则，得，即. 圆：化为标准式. 圆心，半径. 两圆有三条公切线，故两圆外切，即. 设圆半径为，由相切得.. 由外切得，约去得. 圆心横坐标为自然数，分情况讨论： 时，，无解； 时，，得，舍去； 时，，恒成立. 结合，为自然数，得. 圆面积，时，；时，. 故满足条件的所有圆的面积之和为. 技法点拨08 与圆有关的轨迹问题 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 【典例1】已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易得弦中点为直线和的交点， 设，则直线的方程为， 又均与圆相切，故， 故四点共圆，且为以为直径的圆与圆的公共弦. 又以为直径的圆的方程为，即， 故的方程为相减，即. 又，所以， 代入有， 化简得. 当时，； 当时，均满足方程. 又当时，不满足题意. 综上有点的轨迹方程为故选：B 【典例2】（2025·江西鹰潭·一模）已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则， 由，则直线过定点， 由，则直线过定点， 易知动点的轨迹为为直径的圆，圆心，半径， 由题意易知直线的斜率存在，则交点不能是， 则动点的轨迹方程为.故选：C. 易错点01 误解“截距”与“距离”的关系致错 辨析：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视． 【典例1】（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知直线，若直线在两个坐标轴上的截距相等，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】当，即时，直线，直线在两个坐标轴上的截距均为，符合题意； 当，即且时， 对于直线，令，解得，令，解得， 依题意可得，即，解得； 综上可得或. 故答案为：或 【典例2】（25-26高三上·甘肃天水·期中）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】当直线在轴和轴上截距都为0时， 设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时， 设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或，故选：B 易错点02 平行线间的距离公式使用不当致错 辨析：在求解平行线间的距离时需先将的系数先化为一致，再使用距离公式进行求解． 【典例1】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知直线，，则和之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将直线方程化为：， 由两条平行线间距离公式得．故选：B． 【典例2】（2026高三下·湖北咸宁·专题练习）直线，直线，若，则两直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线和，， 由，即，解得或， 当时，直线即，和， 此时与的距离为； 当时，和，此时与重合，不符合题意，舍去. 综上可得，当时，两平行线间的距离为.故选：B. 易错点03 遗漏方程表示圆的充要条件致错 辨析：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 【典例1】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 【典例2】（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】化成标准方程， 所以，解得或， 因为或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件.故选：B. 易错点04 直线与圆相切分类不全致错 辨析：求过圆外一点的切线方程时，仅考虑斜率存在情形、遗漏斜率不存在的那条切线，导致切线漏解、切线条数判断错误． 【典例1】（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或.故选：D. 【典例2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【解析】将代入圆的方程左侧得， 故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时，直线与圆心距距离，为圆的切线； 当斜率存在时，设切线方程，即. ，整理得. 切线方程得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（    ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【解析】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 2．（24-25高三下·山东青岛·开学考试）圆在点处的切线斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 因为，所以点在圆：上. 所以圆在点处的切线与半径所在的直线垂直. 又，所以切线的斜率为：.故选：C 3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 4．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知直线：恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 因为，得，得，故恒过定点． 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）若圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 6．（26-27高三上·河北·开学考试）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线方程整理为， 该式对任意实数恒成立， 故需满足，解得， 即直线恒过定点.圆心，半径. 圆心到定点的距离. 当直线时，弦长最小. 由弦长公式得最小值为. 故的最小值为. 7．（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. 8．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意知圆，其圆心为，半径为， 则圆心关于直线的对称点坐标， 则可知与的中点在直线上， 所以有解之可得，则， 而圆化为标准方程为，其圆心为，半径为， 则与之间距离为， 圆上点关于直线在上的对称点为， 所以.故选： 二、多选题 9．（2025·云南保山·模拟预测）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（    ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【解析】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 10．（2026·陕西商洛·三模）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【解析】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 11．（2026·广东深圳·模拟预测）已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为3 B．直线恒过定点 C．当时，直线截圆所得弦长为6 D．存在，使得直线与圆相离 【答案】ABC 【解析】对于A，变形为， 即圆心坐标为，半径为3，故A正确； 对于B，当时，，所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，圆心在直线上， 故直线截圆所得弦长为直径6，故C正确； 对于D，因为直线恒过定点，此点与圆心的距离为， ，所以定点在圆内，过圆内一点的任意直线一定和圆相交， 所以直线不可能与圆相离，故D错误. 三、填空题 12．（26-27高三上·重庆江北·阶段检测）已知直线，则其在轴上的截距为________. 【答案】 【解析】令代入直线方程，可得 ，解得， 因此该直线在轴上的截距为. 13．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【解析】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上， 即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 14．（24-25高三上·江苏淮安·阶段检测）已知两平行直线，，则与间的距离是______. 【答案】 【解析】由，得，解得，则， 又，所以与间的距离. 故答案为：. 四、解答题 15．（26-27高三上·重庆江北·阶段检测）已知直线与直线交于点P． (1)直线过点P且垂直于直线，求直线的方程； (2)直线经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程． （注：结果都写成直线方程的一般式） 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）联立方程组，解得，即， 直线的斜率，因为，所以， 所以，即. （2）由题意可知的横截距和纵截距的绝对值相等， 所以设或， 又因为直线经过点，所以或，解得或， 则或. 16．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】(1)或；(2)或 【解析】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为， 则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 17．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)或；(2)， 【解析】（1），，， ，，在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. （2）①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. $专题01 直线与圆 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01直线的方程 考点02两条直线的位置关系 考点03圆的方程 考点04直线与圆、圆与圆的位置关系 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01与直线有关的最值问题 难点解读02与圆有关的最值问题 难点解读03隐圆及其应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01直线与圆的位置关系 题型02圆与圆的位置关系 ▶重点突破・考法深研 重点01直线方程的求解 重点02两条直线的平行与垂直 重点03点到直线、平行线间的距离问题 重点04圆的方程的求解 重点05根据直线与圆的位置关系求参数 重点06与圆弦长有关的问题 重点07圆的切线方程问题 重点08两圆的公共弦问题 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01直线的倾斜角问题 技法点拨02直线的斜率问题 技法点拨03两条直线的交点问题 技法点拨04点与直线、直线与直线的对称问题 技法点拨05直线与圆的位置关系的判断 技法点拨06圆与圆的位置关系 技法点拨07两圆的公切线问题 技法点拨08与圆有关的轨迹问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01误解“截距”与“距离”的关系致错 易错点02平行线间的距离公式使用不当致错 易错点03遗漏方程表示圆的充要条件致错 易错点04直线与圆相切分类不全致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 【新题对点练】（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（    ） A． B． C． D． 考点02 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 【新题对点练】（2026·河北邯郸·二模）已知直线，，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点03 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 【新题对点练】（2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（    ） A． B．2 C． D．1 考点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【新题对点练】（2025·广东·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 难点解读01 与直线有关的最值问题 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短; 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 【典例1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【典例2】（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）如图，在等腰直角中，，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于______. 难点解读02 与圆有关的最值问题 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 【典例1】（2026·吉林·模拟预测）已知点满足，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【典例2】（25-26高三下·广东汕头·阶段检测）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 直线与圆的位置关系 考情定位：新高考解答题核心必考母题，区分度较高的主干题型．命题集中考查直线与圆的相交、相切、相离判定，以及弦长、切线、最值综合，套路固定但细节陷阱多，是解析几何重要得分点． 核心考法：①几何法、判别式法判定直线与圆位置关系；②求圆的切线方程；③求弦长、弦中点轨迹；④结合距离、最值的综合问题；⑤已知位置关系反求参数． 解题要点：优先用几何法（圆心到直线距离与半径比较）判定，计算简便；求切线严格区分过圆上一点、圆外一点两类情形；弦长问题活用垂径定理与弦长公式，数形结合构造直角三角形，规避联立方程繁琐计算． 【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型02 圆与圆的位置关系 考情定位：新高考选填压轴、解答题拔高设问常考母题，难度中等偏上，是高分段学生拉分关键题型．包含两圆位置关系判定、公共弦、公切线及参数范围，综合性强、结合图形定性考查，套路清晰但容错率低． 核心考法：①两圆五种位置关系判定；②公共弦所在直线方程与公共弦长；③由位置关系求参数范围（含临界相切）；④圆与直线、其他曲线的最值综合；⑤对称、切线长等综合应用． 解题要点：判定位置关系坚持“先算圆心距、再比半径和差”，注意相切临界值；公共弦方程由两圆方程相减得到，公共弦长用垂径定理；由位置关系求参数严格讨论临界点、闭合区间，杜绝端点漏解、错解． 【典例1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程_____． 【典例2】（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知：，：，则（    ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 重点01 直线方程的求解 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程． 【典例1】（24-25高三上·山东德州·阶段检测）经过点，且在 x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般式方程是______. 【典例2】（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（    ） A． B． C． D． 重点02 两条直线的平行与垂直 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 【典例1】（2026·河南南阳·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2026·四川绵阳·模拟预测）若直线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 重点03 点到直线、平行线间的距离问题 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【典例1】（26-27高三上·浙江·阶段检测）写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 【典例2】（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 重点04 圆的方程的求解 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【典例1】（25-26高三上·重庆·阶段检测）圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 重点05 根据直线与圆的位置关系求参数 解题步骤 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 【典例1】（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·新疆·模拟预测）若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是（    ） A． B． C． D． 重点06 与圆弦长有关的问题 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【典例1】（2026·黑龙江大庆·一模）已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 重点07 圆的切线方程问题 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【典例1】（2026·广西南宁·模拟预测）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·浙江·二模）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 重点08 两圆的公共弦问题 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【典例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 技法点拨01 直线的倾斜角问题 求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率k＝tan α的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 【典例1】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则________． 【典例2】（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 技法点拨02 直线的斜率问题 斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． 【典例1】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【典例2】（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 两条直线的交点问题 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 【典例1】（25-26高三上·四川·阶段检测）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是______． 【典例2】（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为______． 技法点拨04 点与直线、直线与直线的对称问题 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【典例1】（25-26高三上·甘肃金昌·阶段检测）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线：，直线：，则直线关于直线的对称直线方程是______. 技法点拨05 直线与圆的位置关系的判断 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【典例1】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【典例2】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 技法点拨06 圆与圆的位置关系 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【典例1】（24-25高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【典例2】（25-26高三上·辽宁铁岭·阶段检测）已知圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 技法点拨07 两圆的公切线问题 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【典例1】（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（    ） A． B． C． D． 技法点拨08 与圆有关的轨迹问题 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 【典例1】已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·江西鹰潭·一模）已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 易错点01 误解“截距”与“距离”的关系致错 辨析：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视． 【典例1】（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知直线，若直线在两个坐标轴上的截距相等，则实数的值为__________. 【典例2】（25-26高三上·甘肃天水·期中）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 易错点02 平行线间的距离公式使用不当致错 辨析：在求解平行线间的距离时需先将的系数先化为一致，再使用距离公式进行求解． 【典例1】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知直线，，则和之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高三下·湖北咸宁·专题练习）直线，直线，若，则两直线的距离为（    ） A． B． C． D． 易错点03 遗漏方程表示圆的充要条件致错 辨析：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 【典例1】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【典例2】（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 易错点04 直线与圆相切分类不全致错 辨析：求过圆外一点的切线方程时，仅考虑斜率存在情形、遗漏斜率不存在的那条切线，导致切线漏解、切线条数判断错误． 【典例1】（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【典例2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）过点作圆的切线，则的方程为________. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（    ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 2．（24-25高三下·山东青岛·开学考试）圆在点处的切线斜率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知直线：恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）若圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（26-27高三上·河北·开学考试）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．（2025·云南保山·模拟预测）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（    ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 10．（2026·陕西商洛·三模）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 11．（2026·广东深圳·模拟预测）已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为3 B．直线恒过定点 C．当时，直线截圆所得弦长为6 D．存在，使得直线与圆相离 三、填空题 12．（26-27高三上·重庆江北·阶段检测）已知直线，则其在轴上的截距为________. 13．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 14．（24-25高三上·江苏淮安·阶段检测）已知两平行直线，，则与间的距离是______. 四、解答题 15．（26-27高三上·重庆江北·阶段检测）已知直线与直线交于点P． (1)直线过点P且垂直于直线，求直线的方程； (2)直线经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程． （注：结果都写成直线方程的一般式） 16．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 17．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. $