专题01 等差数列与等比数列（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题01 等差数列与等比数列 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01数列的概念 考点02等差数列 考点03等比数列 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01数列的单调性与最值问题 难点解读02等差数列前n项和的最值问题 难点解读03等差数列与等比数列新背景问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01等差数列的通项与求和 题型02等比数列的通项与求和 ▶重点突破・考法深研 重点01求解等差数列基本量的策略 重点02等差数列通项性质的应用 重点03等差数列前n项和性质的应用 重点04求解等比数列基本量的策略 重点05等比数列性质的应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01由前几项归纳数列通项 技法点拨02周期数列的解题方法 技法点拨03等差数列判断与证明的方法 技法点拨04等比数列判断与证明的方法 技法点拨05含绝对值的等差数列求和 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01混淆数列与函数致错 易错点02对等比数列“中项”理解错误致错 易错点03忽视对公比q的讨论致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． （3）数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． （4）数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式． 2、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N* 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使 3、数列与函数的关系 数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为． 【新题对点练】（24-25高三上·广西北海·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】C 【解析】对A，数列可为常数数列，A错误； 对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误； 对C，当时，，C正确； 对D，数列中的第一项不能用表示，D错误.故选：C 考点02 等差数列 1、等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式为(，为常数)． （2）等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 2、等差数列的有关公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． 3、等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 4、等差数列前项和的常用性质 （1）； （2）； （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （4）数列，，，…构成等差数列． 【新题对点练】（2026·湖南益阳·模拟预测）已知等差数列满足：，，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】A 【解析】由得； 由，得， 联立两式作差得，解得公差，代回，得首项， 故 . 考点03 等比数列 1、等比数列的有关概念 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示． （2）等比中项：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中． 注意：同号的两个数才有等比中项． 2、等比数列的有关公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：． （2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，． 3、等比数列的常用性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列． （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列． 4、等比数列前项和的常用性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为． （2）对，有． （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和． （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）． 【新题对点练】（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又为正项等比数列，所以或（舍）. 因为，所以. 设数列的公比为， 由可得， 所以. 难点解读01 数列的单调性与最值问题 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值 （3）利用“两边夹”求数列中的最大项，利用求数列中的最小项． 【注意】适用于单峰函数，若解不唯一时，比较各解的大小即可确定 难点破解 【典例1】（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】由题意得，，又因为， 所以，解得， 又因为，所以． 【典例2】（2026·山东日照·模拟预测）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【解析】已知递推关系，因此，所以， 令，则， 是一个公差为1的等差数列，首项， 所以， 因此，原数列的通项公式为， 因此， 当，即时，，数列递增； 当，即时，，数列递减， 因此，数列在时取得最大值. 难点解读02 等差数列前n项和的最值问题 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 难点破解 【典例1】（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是中的唯一最大项，所以且， 即且，又，解得， 即的取值范围为． 【典例2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 难点解读03 等差数列与等比数列新背景问题 解决数列新背景问题的步骤 （1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意； （2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型； （3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和． 难点破解 【典例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（    ） A．25台 B．24台 C．23台 D．22台 【答案】B 【解析】设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1，这台抽水机完成的任务依次为，（） 依题意，，是公差为的等差数列， ， 要完成所有任务，则， ， 记，在上是减函数， ，， 所以时，， 所以最小值需要24台抽水机，故选：B． 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为______，次操作后图中所有圆的面积总和为___________. 【答案】； 【解析】次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 素养进阶·答题技法突破 题型01 等差数列的通项与求和 考情定位：必考基础母题，稳定出现在选择、填空或解答题第一问，属于数列板块保底得分题型．命题风格常规固定，侧重考查等差数列基本量运算、通项推导、常规求和，偶尔结合性质简化运算，难度偏低，重在公式熟练与计算规范，无复杂变形，容错率高． 核心考法：①基本量运算：已知两项、两项关系、前n项和条件，列方程求解首项与公差；②通项求解：利用通项公式、推广公式求解通项或指定项；③常规求和：套用两级求和公式求解前n项和；④性质简算：利用下标和性质、中项性质、片段和性质简化求值；⑤基础综合：结合等差单调性求解简单最值问题． 解题要点：解题坚持“先定基本量，再套公式”的核心思路．优先根据题干条件锁定首项、公差，联立方程求解参数；能使用性质整体代换的不硬算，简化运算；求和优先选择适配公式，对称结构优先利用中项求和公式；全程注意公差符号、项数统计，杜绝基础计算失误，规范步骤稳拿满分． 【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以.故选：B. 【典例2】（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 【典例3】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 题型02 等比数列的通项与求和 考情定位：核心主干题型，考查频率极高，是新高考解答题重点考查对象，常与等差数列交替考查，兼具基础性与灵活性．相较于等差数列，本题型易错点更多，侧重考查分类讨论思想、公式活用与性质化简，是区分基础扎实度的关键题型． 核心考法：①基本量求解：依托单项、和式条件，求解首项与公比；②通项推导：利用标准通项、跨项推广公式求通项与特定项；③分类求和：分公比q=1与q≠1两种情况完成求和运算；④性质应用：利用下标积性质、片段和性质整体化简；⑤含参运算：结合方程思想求解公比、项数等参数问题． 解题要点：等比解题核心为严控前提、分类讨论、灵活代换．解题第一步优先判断公比取值，求和必须讨论q=1特殊情况；所有项与公比默认非零，及时剔除增根；对称下标结构活用乘积性质简化运算，避免复杂指数运算；含参问题列式严谨，收尾校验参数范围，规避漏解、错解． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和.若，，则___． 【答案】24 【解析】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 【典例2】（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 【典例3】（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 重点01 求解等差数列基本量的策略 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【典例1】（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 【典例2】（2026·陕西渭南·三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【解析】，即，解得：，． 重点02 等差数列通项性质的应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap． 【典例1】（2026·山东日照·模拟预测）在等差数列中，，，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】C 【解析】因为为等差数列，， 所以，解得， 又因为， 所以，为等差数列的公差,解得， 所以 【典例2】（2026·广东汕头·模拟预测）在等差数列中，且．若该数列前n项和为5070，则n为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解析】在等差数列中，， 则，因此， 由该数列的前n项和为5070，得，则， 所以.故选：C 重点03 等差数列前n项和性质的应用 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝． 【典例1】（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【解析】因为是等差数列的前项和， 所以成等差数列. 所以， 即. 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为， 所以，则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)， ，， 所以. 重点04 求解等比数列基本量的策略 1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． 2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 【典例1】（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为等比数列的前n项和为，且，，成等差数列， 所以， 设等比数列的公比为q， 由题意知，， 所以， 化简，得，解得或舍去， 所以故选： 【典例2】（2026·陕西西安·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【解析】设正项等比数列的首项为，公比为， 则，， 因为， 得，解得或（舍去），所以， 则． 重点05 等比数列性质的应用 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【典例1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 【答案】4 【解析】设等比数列的公比为q，由数列各项都为正数得. 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 【典例2】（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 【答案】C 【解析】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以.故选：C 技法点拨01 由前几项归纳数列通项 1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． 2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理． 【典例1】（25-26高三上·内蒙古通辽·阶段检测）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【答案】C 【解析】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以.故选：C 【典例2】（2025·广东广州·一模）数列1，，，，，…的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】数列1，，，，，…， 可写为，，，，…， 所以数列的一个通项公式.故选：D 技法点拨02 周期数列的解题方法 1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； （2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； （3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 【典例1】（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列满足，则_____． 【答案】 【解析】因为数列满足， 所以，，，……， 所以数列是周期为3的周期数列， 所以. 【典例2】（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知数列，则（    ） A．1 B．5 C．-4 D．4 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以数列是周期为6的周期数列， 所以.故选：B. 技法点拨03 等差数列判断与证明的方法 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 【典例1】已知数列中，，．证明：数列是等差数列； 【解析】数列中，由， 得，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 【典例2】（25-26高三下·内蒙古乌兰察布·期中）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)，(2)见解析 【解析】（1）因为， 所以， （2）因为， 所以，即， 又因为，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以，所以. 技法点拨04 等比数列判断与证明的方法 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要． 【典例1】已知数列的首项，且满足．设，求证：数列为等比数列； 【解析】证明： 因为，所以. 由题意，数列满足， 可得， 所以， 又，所以， 则为常数， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 【典例2】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 【答案】(1)证明见解析；(2)，2036 【解析】（1）因为，所以， 又，所以，， 所以，即是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）得，即， 设数列的前项和为， 所以． 技法点拨05 含绝对值的等差数列求和 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和： ①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)； ②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【典例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 【答案】B 【解析】因为，即，解得， 所以，前项和， 所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数， 所以 .故选：B． 【典例2】（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 易错点01 混淆数列与函数致错 辨析：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错． 【典例1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 【典例2】在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 【答案】 【解析】因为， 所以可知当时，数列是递增数列且； 当时，数列也是递增数列且． 当时，数列取到最大值，最大值为； 当时，数列取到最小值，最小值为． 易错点02 对等比数列“中项”理解错误致错 辨析：若成等比数列，则为和的等比中项．由定义可知只有同号的两数才有等比中项，在解题时务必要注意此点． 【典例1】（2026·广西南宁·模拟预测）若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若数列1，b，9是等比数列， 则，所以. 【典例2】（2025·山东·模拟预测）在等差数列中，公差，，下列说法正确的是（    ） A．是与的等比中项 B．是与的等比中项 C．是与的等比中项 D．是与的等比中项 【答案】A 【解析】因为，得到，所以 对于选项A，因为，，，又，所以， 则，，构成等比数列，故选项A正确， 对于选项B，因为，，，又，但，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，，所以，，不构成等比数列，故选项C错误， 对于选项D，因为，，，又，但，所以选项D错误，故选：A. 易错点03 忽视对公比q的讨论致错 辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论． 【典例1】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则公比_________． 【答案】 【解析】若，则，，， 与已知，矛盾，故. 等比数列前项和公式， 已知，，代入公式得： ① ② 由②①得：，因式分解. 代入化简得：，即，解得. 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设等差数列的首项为，公差为，. 根据等差数列通项公式得，变形为 ①； 根据等差数列前项和公式得： ，化简得 ②； 将①代入②得：，解得. 2．（2026·湖南岳阳·二模）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（    ） A． B． C．26 D．24 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则，且， 即，整理可得，解得或（舍去）， 可得， 令，解得， 所以数列的前6项和为. 3．（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为等差数列的前项和分别为，且， 所以可设，， 所以，所以. 4．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（    ） A．7 B．9 C．15 D．20 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q，依题意有，又， 当时，，故舍去， 当时，因为，则， 化简得，即且，， 故，故选：C. 5．（25-26高三上·山东日照·阶段检测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为10.故选：B 6．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对分离常数得：， 令，得， 当（为正整数）时，，因此； 当（为正整数）时，，因此， 因此的最大值一定出现在中，排除C、D， 在时，增大，（负数）增大，减小，增大， 因此随增大而增大，所以时，取到最大值， 验证：，是所有项中的最大值，故. 7．（25-26高三下·吉林·阶段检测）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为时，，而要满足， 故要单调递减，所以，解得， 时，，要满足，则，从而， 还需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 8．（2026·山东聊城·二模）数列共有项，其中，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 所以或，记，， 因为，，设， 即，整理可得，所以，解得， 所以从变化到的过程中，需要乘个，个， 由组合计数原理可知，满足这种条件的不同数列的个数为. 二、多选题 9．（2026·湖北·二模）已知数列满足，且，则的值可能是（    ） A．1 B．2026 C． D． 【答案】ACD 【解析】原式因式分解可得，故或都可成立. 数列每一项都满足时，则，A可能 ，不是的整数次幂，B不可能 第一步选择，之后所有递推都选择，则，C可能 所有递推都选择，则，D可能 10．（2026·江苏苏州·三模）数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，， 当时，， 所以 ，故A正确； 对于B，由已知，所以， 当时，，且， 所以是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C， 当时，， 所以， 所以当时开始单调递增且为负数， 且当时，为最大项， 为最小项，可得中有最大项也有最小项，故C正确D错误. 11．（2026·广东中山·一模）数列是等比数列，公比，其前项和为，则（    ） A．当时，为递增数列 B．若，，则 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，时，为递减数列，故A错误； 对于B，若，，，，成等比数列，则，故B正确； 对于C，若，，成等差数列，则，即， 即，即，即，所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，，，成等差数列，所以， 即，所以， 即，即， 所以，所以，，成等差数列，故D正确. 三、填空题 12．（2026·湖南常德·一模）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____. 【答案】40 【解析】在等差数列中，若，则， 由，可得， 根据等差数列求和公式可得：. 13．（2026·安徽淮北·二模）已知数列满足：，，则_____________. 【答案】2 【解析】由，，所以，， ，即，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 14．（2026·江西·模拟预测）设等比数列的前项和为，公比为．若，，则__________． 【答案】120 【解析】方法一：等比数列中，仍成等比数列，公比为， ，，则， 所以， ， 所以, ， 所以. 方法二：， 代入，, . 四、解答题 15．（2026·四川绵阳·二模）已知等比数列的首项为1，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等比数列的公比为，， 当时，，不符合题意，所以， 所以，，成等比数列，且公比为， ，所以，， 所以. （2）由（1）知，， 所以由可得，即， 当为正偶数时，不等式显然成立； 当为正奇数时，则， 因为为递减数列，且， 所以且为奇数， 综上， 16．（2026·河南周口·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，其中. (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， ，. ，. （2）由（1）得，， . 又的周期， ∴当时，；当时，； 当时，；当时，，其中. ∴在一个周期内， ， . ∵数列的前20项为5个完整的周期，. $专题01 等差数列与等比数列 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01数列的概念 考点02等差数列 考点03等比数列 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01数列的单调性与最值问题 难点解读02等差数列前n项和的最值问题 难点解读03等差数列与等比数列新背景问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01等差数列的通项与求和 题型02等比数列的通项与求和 ▶重点突破・考法深研 重点01求解等差数列基本量的策略 重点02等差数列通项性质的应用 重点03等差数列前n项和性质的应用 重点04求解等比数列基本量的策略 重点05等比数列性质的应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01由前几项归纳数列通项 技法点拨02周期数列的解题方法 技法点拨03等差数列判断与证明的方法 技法点拨04等比数列判断与证明的方法 技法点拨05含绝对值的等差数列求和 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01混淆数列与函数致错 易错点02对等比数列“中项”理解错误致错 易错点03忽视对公比q的讨论致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． （3）数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． （4）数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式． 2、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N* 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使 3、数列与函数的关系 数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为． 【新题对点练】（24-25高三上·广西北海·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 考点02 等差数列 1、等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式为(，为常数)． （2）等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 2、等差数列的有关公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． 3、等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 4、等差数列前项和的常用性质 （1）； （2）； （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （4）数列，，，…构成等差数列． 【新题对点练】（2026·湖南益阳·模拟预测）已知等差数列满足：，，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 考点03 等比数列 1、等比数列的有关概念 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示． （2）等比中项：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中． 注意：同号的两个数才有等比中项． 2、等比数列的有关公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：． （2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，． 3、等比数列的常用性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列． （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列． 4、等比数列前项和的常用性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为． （2）对，有． （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和． （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）． 【新题对点练】（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 难点解读01 数列的单调性与最值问题 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值 （3）利用“两边夹”求数列中的最大项，利用求数列中的最小项． 【注意】适用于单峰函数，若解不唯一时，比较各解的大小即可确定 【典例1】（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例2】（2026·山东日照·模拟预测）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 难点解读02 等差数列前n项和的最值问题 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【典例1】（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 难点解读03 等差数列与等比数列新背景问题 解决数列新背景问题的步骤 （1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意； （2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型； （3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和． 【典例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（    ） A．25台 B．24台 C．23台 D．22台 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为______，次操作后图中所有圆的面积总和为___________. 素养进阶·答题技法突破 题型01 等差数列的通项与求和 考情定位：必考基础母题，稳定出现在选择、填空或解答题第一问，属于数列板块保底得分题型．命题风格常规固定，侧重考查等差数列基本量运算、通项推导、常规求和，偶尔结合性质简化运算，难度偏低，重在公式熟练与计算规范，无复杂变形，容错率高． 核心考法：①基本量运算：已知两项、两项关系、前n项和条件，列方程求解首项与公差；②通项求解：利用通项公式、推广公式求解通项或指定项；③常规求和：套用两级求和公式求解前n项和；④性质简算：利用下标和性质、中项性质、片段和性质简化求值；⑤基础综合：结合等差单调性求解简单最值问题． 解题要点：解题坚持“先定基本量，再套公式”的核心思路．优先根据题干条件锁定首项、公差，联立方程求解参数；能使用性质整体代换的不硬算，简化运算；求和优先选择适配公式，对称结构优先利用中项求和公式；全程注意公差符号、项数统计，杜绝基础计算失误，规范步骤稳拿满分． 【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例3】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 题型02 等比数列的通项与求和 考情定位：核心主干题型，考查频率极高，是新高考解答题重点考查对象，常与等差数列交替考查，兼具基础性与灵活性．相较于等差数列，本题型易错点更多，侧重考查分类讨论思想、公式活用与性质化简，是区分基础扎实度的关键题型． 核心考法：①基本量求解：依托单项、和式条件，求解首项与公比；②通项推导：利用标准通项、跨项推广公式求通项与特定项；③分类求和：分公比q=1与q≠1两种情况完成求和运算；④性质应用：利用下标积性质、片段和性质整体化简；⑤含参运算：结合方程思想求解公比、项数等参数问题． 解题要点：等比解题核心为严控前提、分类讨论、灵活代换．解题第一步优先判断公比取值，求和必须讨论q=1特殊情况；所有项与公比默认非零，及时剔除增根；对称下标结构活用乘积性质简化运算，避免复杂指数运算；含参问题列式严谨，收尾校验参数范围，规避漏解、错解． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和.若，，则___． 【典例2】（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 重点01 求解等差数列基本量的策略 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【典例1】（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·陕西渭南·三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 重点02 等差数列通项性质的应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap． 【典例1】（2026·山东日照·模拟预测）在等差数列中，，，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【典例2】（2026·广东汕头·模拟预测）在等差数列中，且．若该数列前n项和为5070，则n为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 重点03 等差数列前n项和性质的应用 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝． 【典例1】（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 重点04 求解等比数列基本量的策略 1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． 2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 【典例1】（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．2 【典例2】（2026·陕西西安·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．24 B．30 C．36 D．48 重点05 等比数列性质的应用 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【典例1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 【典例2】（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 技法点拨01 由前几项归纳数列通项 1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． 2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理． 【典例1】（25-26高三上·内蒙古通辽·阶段检测）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【典例2】（2025·广东广州·一模）数列1，，，，，…的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 技法点拨02 周期数列的解题方法 1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； （2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； （3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 【典例1】（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列满足，则_____． 【典例2】（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知数列，则（    ） A．1 B．5 C．-4 D．4 技法点拨03 等差数列判断与证明的方法 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 【典例1】已知数列中，，．证明：数列是等差数列； 【典例2】（25-26高三下·内蒙古乌兰察布·期中）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 技法点拨04 等比数列判断与证明的方法 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要． 【典例1】已知数列的首项，且满足．设，求证：数列为等比数列； 【典例2】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 技法点拨05 含绝对值的等差数列求和 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和： ①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)； ②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【典例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 【典例2】（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 易错点01 混淆数列与函数致错 辨析：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错． 【典例1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 易错点02 对等比数列“中项”理解错误致错 辨析：若成等比数列，则为和的等比中项．由定义可知只有同号的两数才有等比中项，在解题时务必要注意此点． 【典例1】（2026·广西南宁·模拟预测）若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·山东·模拟预测）在等差数列中，公差，，下列说法正确的是（    ） A．是与的等比中项 B．是与的等比中项 C．是与的等比中项 D．是与的等比中项 易错点03 忽视对公比q的讨论致错 辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论． 【典例1】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则公比_________． 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·湖南岳阳·二模）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（    ） A． B． C．26 D．24 3．（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（    ） A．7 B．9 C．15 D．20 5．（25-26高三上·山东日照·阶段检测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·吉林·阶段检测）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·山东聊城·二模）数列共有项，其中，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·湖北·二模）已知数列满足，且，则的值可能是（    ） A．1 B．2026 C． D． 10．（2026·江苏苏州·三模）数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 11．（2026·广东中山·一模）数列是等比数列，公比，其前项和为，则（    ） A．当时，为递增数列 B．若，，则 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 三、填空题 12．（2026·湖南常德·一模）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____. 13．（2026·安徽淮北·二模）已知数列满足：，，则_____________. 14．（2026·江西·模拟预测）设等比数列的前项和为，公比为．若，，则__． 四、解答题 15．（2026·四川绵阳·二模）已知等比数列的首项为1，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的取值范围. 16．（2026·河南周口·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，其中. (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求. $