3.7 二元一次方程组的应用 题型专练 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

湘教版（2024）七年级上册 3.7 二元一次方程组的应用 题型专练 【题型1】由实际问题抽象出二元一次方程 【典例】哥哥和弟弟今年的年龄和是16岁，哥哥对弟弟说：“4年后，我的年龄是你的年龄的2倍．”求弟弟、哥哥今年的年龄，设弟弟，哥哥今年的年龄分别为x岁，y岁，根据题意可列的一个方程为x+y＝16，则另一个方程为（　　） A.2（x+4）＝y+4 B.2（x﹣4）＝y﹣4 C.x+4＝2（y+4） D.x﹣4＝2（y﹣4） 【举一反三1】某次数学竞赛共有25道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（　　） A.x﹣y＝20 B.x+y＝20 C.5x﹣2y＝60 D.5x+2y＝60 【举一反三2】《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要大圈舍y间，小圈舍x间，则x与y的方程可列为（　　） A.4y+6x＝50 B.50+4x＝6y C.= D.= 【举一反三3】甲、乙两人各工作5天，共生产零件80件．设甲每天生产零件x件，乙天生产零件y件，可列二元一次方程           ． 【举一反三4】根据题意列出方程： （1）长方形的周长是34cm，求长方形的长与宽．设长方形的长为a（cm），宽为b（cm）． （2）一场篮球赛门票的收入为4700元．已知门票价格为成人每人30元，学生每人10元，有多少观众观看了这场篮球赛？其中学生有多少人？设有x名观众，其中y名学生观看了这场篮球赛． 【题型2】应用二元一次方程解决方案问题 【典例】某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了8间客房，则居住方案有（　　） A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 【举一反三1】暑假到了，19名男同学去外地参加研学，住宿时有2人间和3人间可供住宿，每个房间都要住满，共有几种住宿方案（　　） A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 【举一反三2】小强到文具店购买钢笔和橡皮共用42元（两种物品都要买），已知钢笔每支12元，橡皮每块3元，则小强的购买方案共有（　　） A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 【举一反三3】学校准备购买篮球和排球（两种球都购买），其中篮球每个120元，排球每个90元，共花费资金1200元，则可供选择的购买方案有   种． 【举一反三4】将一张面值为100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有   种． 【举一反三5】某网站在一段两分钟的视频广告内，计划播放长度为15秒和30秒的两种广告，要求每种广告播放不少于两次，两种广告的播放次数有几种安排方式？ 【举一反三6】某城市计划修建一段公路，现有甲乙两个工程队，如果甲乙合作，每天可以修140米；如果先由甲单独做5天，再由乙单独做3天，可以修540米． （1）甲，乙工程队每天分别可以修路多少米？ （2）甲乙工程队都需要租A，B，C三种车（各队每种车至少租1辆）来运输修路产生的建筑垃圾．每辆A车，B车，C车每天运输的建筑垃圾重量分别为1吨，2吨，3吨．甲和乙工程队都分别租了7辆车，其中两队租用B车的数量一样，两队租用A车，C车的数量刚好互换，甲队每天运输的垃圾总重量是乙队每天运输的垃圾总重量的．已知每辆A车，B车，C车每天的租金分别为120元，200元，240元．请问甲工程队有哪几种租车方案？其中哪种方案甲队每天的租车费用最低，最低费用为多少？ 【题型3】应用二元一次方程解决其他问题 【典例】袋里有若干个大小相同红球和白球，如果摸一红球得5分，摸一白球得2分，那么总得分为20分摸法有多少种？（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三1】把1﹣9这9个数填入3×3方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中x+y的值为（　　） A.11 B.10 C.9 D.8 【举一反三2】已知一个两位数的个位数字为x，十位数字为y，现将此两位数的个位数字与十位数字调换位置后，所得的新两位数比原两位数大36，则x﹣y＝   ． 【举一反三3】某影院第1排有x个座位，后面每一排都比前一排多一个座位，则： （1）第10排有        个座位（用含x的整式表示）； （2）如果用b表示第a排的座位，当x＝18，a＝16时，b的值为     ． 【举一反三4】盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得2分，摸到1个白球得3分．某人摸到x个红球、y个白球，共得12分．列出关于x、y的方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解． 【题型4】由实际问题抽象出二元一次方程组 【典例】某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有x名学生，分成y个学习小组．若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，设1块巧克力的质量为x克，1个果冻的质量为y克，则可列方程组（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．利群商厦从5月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，则可列方程组            ． 【举一反三3】某班的一个综合实践活动小组去A、B两超市调查去年和今年“五一”期间的销售额．如图所示为调查后小敏与其他两名同学进行交流的情景．根据他们的对话回答问题． （1）若设A、B两超市去年“五一”期间的销售额分别为x万元、y万元，请你列出符合题意的方程组； （2）若设A、B两超市今年“五一”期间的销售额分别为x万元、y万元，请你列出符合题意的方程组． 【题型5】应用二元一次方程组解分配问题 【典例】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（　） A.50人，40人 B.30人，60人 C.40人，50人 D.60人，30人 【举一反三1】某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（　　） A.6 B.8 C.12 D.16 【举一反三2】用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用     张铁皮制作盒身，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 【举一反三3】在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生44人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【题型6】应用二元一次方程组解行程问题 【典例】甲、乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流航行用4小时，逆流航行用5小时，那么这艘轮船在静水中速度是（　　）千米/时． A.2.5 B.22.5 C.4.5 D.20.5 【举一反三1】甲，乙两人相距42千米，若相向而行，2小时相遇；若同向而行，乙要14小时才能追上甲．则甲，乙二人每小时各走（　　）千米． A.12，9 B.11，10 C.10，11 D.9，12 【举一反三2】小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．已知每辆8路公交车的行驶速度相同，且每相邻的两辆8路公交车相距1200米，则8路公交车的行驶速度为（　　） A.100米/分钟 B.200米/分钟 C.300米/分钟 D.400米/分钟 【举一反三3】A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，则这艘轮船在静水中的速度是每小时    千米． 【举一反三4】列方程组解应用题 （1）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（600g）和小瓶装（200g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为3：5．某厂每天生产这种消毒液28t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ （2）A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机无风时的平均速度与风速． 【举一反三5】小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，请根据题意写出关于x，y的方程组，并求解． 【题型7】应用二元一次方程组解工程及配套问题 【典例】一个存有一些水的水池，有一个进水口和若干个口径相同的出水口，进水口每分钟进水3立方米，若同时打开进水口和三个出水口，池中水16分钟放完，若同时打开进水口和五个出水口，池中水9分钟放完，池中原有水（　　）立方米． A.288 B.296 C.302 D.316 【举一反三1】我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　） A.4000千米 B.3750千米 C.4250千米 D.3250千米 【举一反三2】22名工人按定额共完成1400件产品，三级工每人定额200件，二级工每人定额50件，若22名工人中只有二、三级工，则（　　） A.三级工有3人，二级工有19人 B.三级工有2人，二级工有20人 C.三级工有5人，二级工有17人 D.三级工有4人，二级工有18人 【举一反三3】某家具生产厂生产桌椅，已知每块板材可做桌子1张或椅子3把，现计划用100块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，使得恰好配套（一张桌子两把椅子），则可列方程组              ． 【举一反三4】某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则安排     名工人加工大齿轮，才能刚好配套． 【举一反三5】某地为了打造一条丽的风光带，将一段长为360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用20天，已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治16米，求甲、乙两个工程队分别整治了多少天河道． 【举一反三6】一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【题型8】应用二元一次方程组解购物问题 【典例】为改善办学条件，北海中学计划购买部分A品牌电脑和B品牌课桌．第一次，用9万元购买了A品牌电脑10台和B品牌课桌200张．第二次，用9万元购买了A品牌电脑12台和B品牌课桌120张．每台A品牌电脑与每张B品牌课桌的价格各是（　　） A.5000元，200元 B.4500元，250元 C.6000元，150元 D.12000元，100元 【举一反三1】小丽买了35张贺年卡，共用去50元钱．大贺年卡每张2元，小贺年卡每张1元．则小丽买大、小贺年卡的张数分别为（　　） A.20张、15张 B.15张、20张 C.30张、5张 D.5张、30张 【举一反三2】2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱．已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元．该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各100个，其总费用为（　　） A.11000元 B.10200元 C.10000元 D.9900元 【举一反三3】教师节来临之际，同学们给每位辛勤工作的老师准备了一束鲜花．同一种鲜花每枝的价格相同，从如图所示的信息可知第三束鲜花共计     元． 【举一反三4】2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城一哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买1个A种吉祥物和2个B种吉祥物共需290元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元．求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元？ 【举一反三5】2025年，个人消费者购买单件销售价格不超过6000元的手机、平板电脑、智能手表（手环）三类数码产品，可享受政府的购新补贴．小路打算购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑，一部B品牌平板电脑比一部A品牌手机便宜600元，已知该地区对A品牌手机每部补贴15%，对B品牌平板电脑每部补贴10%，若购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑一共补贴740元，那么一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑的销售价各是多少？ 【题型9】应用二元一次方程组解打折销售、利润、利息问题 【典例】某商场2020年的总利润为100万元，2021年的总收入比2020年增加10%，总支出比2020年减少5%，2021年的总利润为140万元，则2020年的总收入和总支出分别是（　　） A.300万元，210万元 B.300万元，200万元 C.400万元，300万元 D.410万元，310万元 【举一反三1】某储户存入银行甲、乙两种利息的存款共5万元，甲种存款的年利率为2.8%，乙种存款的年利率为1.6%，该储户一年得利息1040元，则甲、乙两种利息的存款分别为（　　） A.3万元，2万元 B.2.5万元，2.5万元 C.2万元，3万元 D.1.5万元，3.5万元 【举一反三2】某牛奶加工场现有鲜奶9t，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3t；制成奶片，每天可加工1t，受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，牛奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了两种方案． 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶． 方案二：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在四天内完成． 你认为方案        获利最多. 【举一反三3】长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点．活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行DIY手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元． 已知每种文化衫的成本和售价如表： （1）他们购进两种文化衫各多少件？ （2）由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖完．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？ 【题型10】应用二元一次方程组解和差倍分问题 【典例】五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（　　） A.30 B.26 C.24 D.22 【举一反三1】我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为5尺，那么索长（　　）尺． A.25 B.20 C.15 D.10 【举一反三2】已知甲、乙两数的和为13，乙数比甲数少5，则甲数是   ，乙数是   ． 【举一反三3】青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书3000册，由于学生积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书       册，高中部原计划赠书       册． 【举一反三4】顺风旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数是到云水洞的人数的2倍少1人，到两地旅游的人数各是多少？ 【题型11】应用二元一次方程组解几何图表问题 【典例】已知梯形的面积是42cm2，高是6cm，它的下底比上底的2倍少1cm，求梯形的上下底（　　） A.上底和下底分别为6cm和10cm B.上底和下底分别为5cm和9cm C.上底和下底分别为4cm和11cm D.上底和下底分别为7cm和14cm 【举一反三1】如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（　　） A.143 B.99 C.44 D.53 【举一反三2】如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为（　　） A.120cm B.130cm C.140cm D.150cm 【举一反三3】根据如图中给出的信息，如果放入大、小球共10个，水面上升到50cm，那么应放入    个大球． 【举一反三4】工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．则记录有误的是第几次． 【题型12】应用二元一次方程组解古代问题 【典例】《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差45钱；若每人出七钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？此问题合伙人数为（　　） A.18 B.19 C.20 D.21 【举一反三1】《孙子算经》卷中著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”根据所学知识，计算出鸡兔的只数分别是（　　） A.鸡23只，兔12只 B.鸡12只，兔23只 C.鸡20只，兔15只 D.鸡15只，兔20只 【举一反三2】我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多．”请问甲乙各有多少只羊呢？两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半响，也没算出来．设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则2辆车是空的；2人坐一辆车，则9人需要步行．一共有     人． 【举一反三4】古代有个数学问题，意思是“假设有5头牛，2只羊，值金12两；2头牛，5只羊，值金9两．问每头牛，每只羊各值金多少两？”则每头牛值金    两． 【举一反三5】古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦，则共有多少只乌鸦． 【举一反三6】我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有多少人． 【题型13】应用二元一次方程组解优惠及方案问题 【典例】一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是多少？（　　） A.5800元 B.5000元 C.5300元 D.5500元 【举一反三1】某风景区的门票价格有如下优惠：购票人数小于等于50时，票价为50元/人；购票人数大于50时，票价为45元/人．某校七年级两班共103人去该风景区，若两班都以班为单位分别购票，一共需付4860元，则两班人数分别为（　　） A.56，47 B.57，48 C.58，45 D.59，44 【举一反三2】某公园“五一”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣，张凯和李利都随他们的家人参加了本次活动，王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱，张凯说他家3个大人4个小孩，共花了56元钱，李利说他家4个大人2个小孩，共花了58元钱，王斌计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备     元钱买门票． 【举一反三3】现有A、B两种商品，买3件A商品和2件B商品用了160元，买2件A商品和3件B商品用了190元．如果准备购买A、B两种商品共10件．现给出下列四种方案：①A商品7件和B商品3件；②A商品6件和B商品4件；③A商品5件和B商品5件；④A商品4件和B商品6件，以上方案中费用最低的为    ．（填序号） 【举一反三4】我县某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用2辆A型车和1辆B型车载满萝卜，一次可运走10吨；若租用1辆A型车和2辆B型车载满萝卜，一次可运走11吨，现有萝卜31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜．根据以上信息，解答问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ （2）该物流公司的租车方案有哪几种？请你直接写出所有的租车方案． 【题型14】应用二元一次方程组解数字、年龄问题 【典例】已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是（　　） A.84 B.48 C.41 D.14 【举一反三1】甲是乙现在的年龄时，乙11岁；乙是甲现在的年龄时，甲26岁．那么（　　） A.甲比乙大5岁 B.甲比乙大10岁 C.乙比甲大5岁 D.乙比甲大10岁 【举一反三2】已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和是3，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数是    ． 【举一反三3】有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大45．设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，则用代数式表示原两位数为        ，根据题意得方程组：                 ． 【举一反三4】一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，求父亲今年的年龄． 【题型15】应用二元一次方程组解决乘车（船）及装运问题 【典例】便民物流要运送2000只玻璃瓶．这些玻璃瓶分大小箱包装，每个大箱装120只，小箱装80只，共用了21个箱子，正好装完，大箱有几个？（　　） A.8 B.13 C.5 D.16 【举一反三1】有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（　　） A.129 B.120 C.108 D.96 【举一反三2】五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（　　） A.30 B.26 C.24 D.22 【举一反三3】2023年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩．湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人．则1艘大船可以满载游客的人数为      ． 【举一反三4】某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． （1）求A，B两种车型各有多少个座位． （2）若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【题型16】应用二元一次方程组解其他问题 【典例】某城市出租公司规定了3千米内的起步费和超过3千米后每千米的收费标准．张老师一次乘车8千米，花了12元，第二次乘车11千米，花了15.60元，则出租车3千米内的起步费和超过3千米后每千米的收费标准分别是（　　） A.6元与1.2元 B.5元与1.2元 C.7元与1.5元 D.6元与1.5元 【举一反三1】某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费（不足1km的按1km计算）．甲说“我乘这种出租车走了9.3km，付了19元．”乙说：“我乘这种出租车走了15.8千米，付了31元．”问：出租车的起步价和超过3km后的每千米的收费标准分别是（　　） A.5元、3元 B.4元、3元 C.4元、2元 D.5元、2元 【举一反三2】某校150名同学参加数学竞赛，人均分为69分，其中及格学生平均分为77分，不及格学生平均分数为47分，则不及格和及格人数分别为（　　） A.16人和140人 B.20人和130人 C.40人和110人 D.以上都不对 【举一反三3】科技馆门票价格规定如表． 某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有     人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省      元． 【举一反三4】旅行团组织游客到游乐区参观，下表为两种参观方式所需的缆车费用： 已知旅行团的所有人都从两种方式中选择了一种，其中去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有     人． 【举一反三5】同学们一定玩过“石头、剪刀、布”吧？它是一种古老而简单的游戏，在各地常有其独特的称呼． 游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用不同的肢体语言分别代表“石头”“剪刀”和“布”，比如用伸出拳头表示“石头”，伸出食指和中指表示“剪刀”，伸出手掌表示“布”．两人同时念游戏口令，如“石头、剪刀、布”，念到最后一个字“布”时，同时伸出手，“布”赢“石头”，“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”． 现在我们约定，“布”赢“石头”得9分，“石头”赢“剪刀”得5分，“剪刀”赢“布”得2分．小明和某同学玩此游戏的过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪刀”赢“布”7次．问：小明“布”赢“石头”和“石头”赢“剪刀”各多少次？ （1）你能用二元一次方程组表示该问题的数量关系吗？ （2）试用所学数学知识找出问题的解． 【题型17】同解方程组 【典例】如果方程组与有相同的解，则a，b的值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如果方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组           求得这个解． 【举一反三3】已知方程组与有相同的解，求m，n的值． 【举一反三4】已知方程组和有相同的解，求a2﹣2ab+b2的值． 湘教版（2024）七年级上册 3.7 二元一次方程组的应用 题型专练（参考答案） 【题型1】由实际问题抽象出二元一次方程 【典例】哥哥和弟弟今年的年龄和是16岁，哥哥对弟弟说：“4年后，我的年龄是你的年龄的2倍．”求弟弟、哥哥今年的年龄，设弟弟，哥哥今年的年龄分别为x岁，y岁，根据题意可列的一个方程为x+y＝16，则另一个方程为（　　） A.2（x+4）＝y+4 B.2（x﹣4）＝y﹣4 C.x+4＝2（y+4） D.x﹣4＝2（y﹣4） 【答案】A 【解析】由题意可得，2（x+4）＝y+4. 故选：A． 【举一反三1】某次数学竞赛共有25道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（　　） A.x﹣y＝20 B.x+y＝20 C.5x﹣2y＝60 D.5x+2y＝60 【答案】C 【解析】设圆答对了x道题，答错了y道题， 由每答对一道题得+5分，可知答对题目得分为5x， 由每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，可知扣分为2y分， 圆圆这次竞赛得了60分，可以得到5x﹣2y＝60. 故选：C． 【举一反三2】《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要大圈舍y间，小圈舍x间，则x与y的方程可列为（　　） A.4y+6x＝50 B.50+4x＝6y C.= D.= 【答案】D 【解析】由题意可得，6y+4x＝50，即y＝． 故选：D． 【举一反三3】甲、乙两人各工作5天，共生产零件80件．设甲每天生产零件x件，乙天生产零件y件，可列二元一次方程           ． 【答案】5(x+y)=80 【解析】依题意得：5（x+y）＝80． 故答案为：5（x+y）＝80． 【举一反三4】根据题意列出方程： （1）长方形的周长是34cm，求长方形的长与宽．设长方形的长为a（cm），宽为b（cm）． （2）一场篮球赛门票的收入为4700元．已知门票价格为成人每人30元，学生每人10元，有多少观众观看了这场篮球赛？其中学生有多少人？设有x名观众，其中y名学生观看了这场篮球赛． 【答案】解：（1）由题意可得，2（a+b）＝34. （2）由题意可得，30（x﹣y）+10y＝4700． 【题型2】应用二元一次方程解决方案问题 【典例】某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了8间客房，则居住方案有（　　） A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 【答案】C 【解析】设宾馆有客房：单人间x间、二人间y间、三人间z间，根据题意可得， ， 解得：y+2z＝10， y＝10﹣2z， ∵x，y，z都是小于8的非负整数， 当z＝2时，y＝6，x＝0； 当z＝3时，y＝4，x＝1； 当z＝4时，y＝2，x＝2； 当z＝5时，y＝0，x＝3． ∴租房方案有4种． 故选：C． 【举一反三1】暑假到了，19名男同学去外地参加研学，住宿时有2人间和3人间可供住宿，每个房间都要住满，共有几种住宿方案（　　） A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 【答案】C 【解析】设住了x间两人间，y间3人间， 根据题意可列方程：2x+3y＝19， ∵2x为偶数，19为奇数， ∴3y为奇数，则y为奇数， 当y＝1时，x＝8； 当y＝3时，x＝5； 当y＝5时，x＝2； ∴共有3种住宿方案. 故选：C． 【举一反三2】小强到文具店购买钢笔和橡皮共用42元（两种物品都要买），已知钢笔每支12元，橡皮每块3元，则小强的购买方案共有（　　） A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 【答案】B 【解析】设购买x支钢笔，y块橡皮， 根据题意得：12x+3y＝42， ∴y＝14﹣4x， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴小强的购买方案共有3种． 故选：B． 【举一反三3】学校准备购买篮球和排球（两种球都购买），其中篮球每个120元，排球每个90元，共花费资金1200元，则可供选择的购买方案有   种． 【答案】3 【解析】设购买篮球x个，排球y个， 根据题意得：120x+90y＝1200， 整理得：4x+3y＝40， ∵x、y均为正整数， ∴或或， ∴可供选择的购买方案有3种. 故答案为：3． 【举一反三4】将一张面值为100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有   种． 【答案】6 【解析】设兑换成10元x张，20元的零钱y元，由题意得： 10x+20y＝100， 整理得：x+2y＝10， 方程的整数解为：，，，，，， 因此兑换方案有6种. 故答案为：6． 【举一反三5】某网站在一段两分钟的视频广告内，计划播放长度为15秒和30秒的两种广告，要求每种广告播放不少于两次，两种广告的播放次数有几种安排方式？ 【答案】解：设15秒的广告播放x次，30秒的广告播放y次， 根据题意得15x+30y＝120， 化简得x+2y＝8， ∵x，y均不小于2的整数， ∴或， ∴有两种安排方式： 方案一、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次； 方案二、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次． 【举一反三6】某城市计划修建一段公路，现有甲乙两个工程队，如果甲乙合作，每天可以修140米；如果先由甲单独做5天，再由乙单独做3天，可以修540米． （1）甲，乙工程队每天分别可以修路多少米？ （2）甲乙工程队都需要租A，B，C三种车（各队每种车至少租1辆）来运输修路产生的建筑垃圾．每辆A车，B车，C车每天运输的建筑垃圾重量分别为1吨，2吨，3吨．甲和乙工程队都分别租了7辆车，其中两队租用B车的数量一样，两队租用A车，C车的数量刚好互换，甲队每天运输的垃圾总重量是乙队每天运输的垃圾总重量的．已知每辆A车，B车，C车每天的租金分别为120元，200元，240元．请问甲工程队有哪几种租车方案？其中哪种方案甲队每天的租车费用最低，最低费用为多少？ 【答案】解：（1）设甲工程队每天可以修路x米，则乙工程队每天可以修路（140﹣x）米， 根据题意得：5x+3（140﹣x）＝540， 解得：x＝60， ∴140﹣x＝140﹣60＝80（米）． 答：甲工程队每天可以修路60米，乙工程队每天可以修路80米. （2）设甲工程队租用m辆A车，n辆C车，则租用（7﹣m﹣n）辆B车，乙工程队租用n辆A车，（7﹣m﹣n）辆B车，m辆C车， 根据题意得：m+2（7﹣m﹣n）+3n＝[n+2（7﹣m﹣n）+3m]， ∴n＝m﹣2， 又∵m，n，（7﹣m﹣n）均为正整数， ∴m可以为3，4， ∴甲工程队共有2种租车方案， 方案1：租用3辆A车，3辆B车，1辆C车； 方案2：租用4辆A车，1辆B车，2辆C车， 选择方案1时所需租车费用为120×3+200×3+240×1＝1200（元）； 选择方案2时所所需租车费用为120×4+200×1+240×2＝1160（元）， ∵1200＞1160， ∴选择方案2甲队每天的租车费用最低，最低费用为1160元． 【题型3】应用二元一次方程解决其他问题 【典例】袋里有若干个大小相同红球和白球，如果摸一红球得5分，摸一白球得2分，那么总得分为20分摸法有多少种？（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】设摸红球x个，白球y个， 依题意得：5x+2y＝20， ∴x=4-，而x，y为非负整数， 符合实际条件的解有： ，，， 共3种. 故选：A． 【举一反三1】把1﹣9这9个数填入3×3方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中x+y的值为（　　） A.11 B.10 C.9 D.8 【答案】B 【解析】由题意得：x+5+y＝3+5+7， ∴x+y＝10. 故选：B． 【举一反三2】已知一个两位数的个位数字为x，十位数字为y，现将此两位数的个位数字与十位数字调换位置后，所得的新两位数比原两位数大36，则x﹣y＝   ． 【答案】4 【解析】由题意得：10x+y﹣（10y+x）＝36， 整理得：x﹣y＝4. 故答案为：4． 【举一反三3】某影院第1排有x个座位，后面每一排都比前一排多一个座位，则： （1）第10排有        个座位（用含x的整式表示）； （2）如果用b表示第a排的座位，当x＝18，a＝16时，b的值为     ． 【答案】（x+9） 33 【解析】（1）∵第二排有x+1个座位， 第三排有x+2个座位， ∴第n排的座位个数为b＝x+n﹣1， ∴第10排的座位有x+10﹣1＝（x+9）（个）. （2）同（1）得：b＝x+a﹣1＝18+16﹣1＝33. 故答案为：（x+9） 33． 【举一反三4】盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得2分，摸到1个白球得3分．某人摸到x个红球、y个白球，共得12分．列出关于x、y的方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解． 【答案】解：由题意得，2x+3y＝12， x＝， ∵x、y都为整数， ∴x＝0时，y＝4， x＝3时，y＝2， x＝6时，y＝0， ∴x和y的值共3对． 【题型4】由实际问题抽象出二元一次方程组 【典例】某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有x名学生，分成y个学习小组．若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】每组10人时，实际人数可表示为10y﹣5；每组9人时，实际人数可表示为9y+3； 可列方程组为：. 故选：C． 【举一反三1】如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，设1块巧克力的质量为x克，1个果冻的质量为y克，则可列方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克， 由题意列方程组得：. 故选：B． 【举一反三2】端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．利群商厦从5月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，则可列方程组            ． 【答案】 【解析】由题意得：， 整理得：. 故答案为：． 【举一反三3】某班的一个综合实践活动小组去A、B两超市调查去年和今年“五一”期间的销售额．如图所示为调查后小敏与其他两名同学进行交流的情景．根据他们的对话回答问题． （1）若设A、B两超市去年“五一”期间的销售额分别为x万元、y万元，请你列出符合题意的方程组； （2）若设A、B两超市今年“五一”期间的销售额分别为x万元、y万元，请你列出符合题意的方程组． 【答案】解：（1）∵两超市去年的销售额共为150万元， ∴x+y＝150； ∵A超市今年的销售额比去年增加15%，B超市今年的销售额比去年增加10%，且两超市今年的销售额共为170万元， ∴（1+15%）x+（1+10%）y＝170， ∴根据题意可列方程组. （2）∵两超市今年的销售额共为170万元， ∴x+y＝170； ∵A超市今年的销售额比去年增加15%，B超市今年的销售额比去年增加10%，且两超市去年的销售额共为150万元， ∴+＝150， ∴根据题意可列方程组． 【题型5】应用二元一次方程组解分配问题 【典例】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（　） A.50人，40人 B.30人，60人 C.40人，50人 D.60人，30人 【答案】C 【解析】设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套， 根据题意，得：， 解得：， 即分配40人生产的螺栓，50人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套. 故选：C． 【举一反三1】某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（　　） A.6 B.8 C.12 D.16 【答案】C 【解析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面， 由题意得，， 解得 ， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故选：C． 【举一反三2】用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用     张铁皮制作盒身，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 【答案】90 【解析】设用x张铁皮制作盒身，y张铁皮制作盒底，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套， 依题意得：， 解得：， 即用90张铁皮制作盒身，60张铁皮制作盒底，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套， 故答案为：90． 【举一反三3】在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生44人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】解：设分配剪筒身的学生为x人，则剪筒底为（44﹣x）， 依题意得50x×2＝120（44﹣x）， 解得x＝24， 则44﹣x＝20， 故应该分配24名学生剪筒身，20名学生剪筒底． 【题型6】应用二元一次方程组解行程问题 【典例】甲、乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流航行用4小时，逆流航行用5小时，那么这艘轮船在静水中速度是（　　）千米/时． A.2.5 B.22.5 C.4.5 D.20.5 【答案】B 【解析】设轮船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时， 由题意得：， 解得， 即这艘轮船在静水中的速度是22.5千米/时. 故选：B． 【举一反三1】甲，乙两人相距42千米，若相向而行，2小时相遇；若同向而行，乙要14小时才能追上甲．则甲，乙二人每小时各走（　　）千米． A.12，9 B.11，10 C.10，11 D.9，12 【答案】D 【解析】设：甲每小时走x千米，乙每小时走y千米， 则， 解得. 故选：D． 【举一反三2】小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．已知每辆8路公交车的行驶速度相同，且每相邻的两辆8路公交车相距1200米，则8路公交车的行驶速度为（　　） A.100米/分钟 B.200米/分钟 C.300米/分钟 D.400米/分钟 【答案】B 【解析】设8路公交车的速度是a米/分钟，小王沿街匀速行走的速度是b米/分钟，发车间隔的时间为t分钟， 则两辆车之间的距离为at米， 由题意得：， 解得：t＝6， 即发车间隔的时间是6分钟， ∴8路公交车的行驶速度为1200÷6＝200（米/分钟）. 故选：B． 【举一反三3】A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，则这艘轮船在静水中的速度是每小时    千米． 【答案】17 【解析】设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时， 依题意得， 解得：， 这艘船在静水中的速度为17千米/小时. 故答案为：17． 【举一反三4】列方程组解应用题 （1）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（600g）和小瓶装（200g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为3：5．某厂每天生产这种消毒液28t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ （2）A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机无风时的平均速度与风速． 【答案】解：（1）设这些消毒液应该分装大瓶装x瓶，小瓶装y瓶， 根据题意得：， 解得：， 答：这些消毒液应该分装大瓶装30000瓶，小瓶装50000瓶． （2）设飞机无风时的平均速度为ax米/时，风速为y千米/时， 由题意得：， 解得：， 答：飞机无风时的平均速度为765千米/时，风速为15千米/时． 【举一反三5】小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，请根据题意写出关于x，y的方程组，并求解． 【答案】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为， 原方程化简为， 解得． 【题型7】应用二元一次方程组解工程及配套问题 【典例】一个存有一些水的水池，有一个进水口和若干个口径相同的出水口，进水口每分钟进水3立方米，若同时打开进水口和三个出水口，池中水16分钟放完，若同时打开进水口和五个出水口，池中水9分钟放完，池中原有水（　　）立方米． A.288 B.296 C.302 D.316 【答案】A 【解析】设池中原有水为a立方米，出水速度为每分钟x立方米， 则有：， 解得：a＝288，x＝7， 即池中原有水288立方米． 故选：A． 【举一反三1】我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　） A.4000千米 B.3750千米 C.4250千米 D.3250千米 【答案】B 【解析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k， 则安装在前轮的轮胎每行驶1千米磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为， 又设一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米， 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程， ， 两式相加，得， 则x+y＝3750（千米）． 故选：B． 【举一反三2】22名工人按定额共完成1400件产品，三级工每人定额200件，二级工每人定额50件，若22名工人中只有二、三级工，则（　　） A.三级工有3人，二级工有19人 B.三级工有2人，二级工有20人 C.三级工有5人，二级工有17人 D.三级工有4人，二级工有18人 【答案】B 【解析】设有二级工x人，三级工y人，根据题意得： ， 解得：， 即有二级工20人，三级工2人． 故选：B． 【举一反三3】某家具生产厂生产桌椅，已知每块板材可做桌子1张或椅子3把，现计划用100块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，使得恰好配套（一张桌子两把椅子），则可列方程组              ． 【答案】 【解析】设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子， ∵用100块这种板材生产一批桌椅， ∴x+y＝100 ①， 生产了x张桌子，3y把椅子， ∵使得恰好配套，一张桌子两把椅子， ∴2x＝3y ②， ①和②联立得：. 故答案为：． 【举一反三4】某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则安排     名工人加工大齿轮，才能刚好配套． 【答案】18 【解析】设每天加工的大齿轮的有x人，则每天加工小齿轮的有（34﹣x）人， 根据题意可得；2×20x＝3×15（34﹣x）， 解得：x＝18. 故答案为：18． 【举一反三5】某地为了打造一条丽的风光带，将一段长为360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用20天，已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治16米，求甲、乙两个工程队分别整治了多少天河道． 【答案】解：设甲工程队整治了x天河道，乙工程队整治了y天河道， 根据题意得：， 解得：． 答：甲工程队整治了10天河道，乙工程队整治了10天河道． 【举一反三6】一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】解：设应用x m3钢材做A部件，用y m3钢材做B部件， 依题意，得：， 解得：， ∴40x＝160． 答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套． 【题型8】应用二元一次方程组解购物问题 【典例】为改善办学条件，北海中学计划购买部分A品牌电脑和B品牌课桌．第一次，用9万元购买了A品牌电脑10台和B品牌课桌200张．第二次，用9万元购买了A品牌电脑12台和B品牌课桌120张．每台A品牌电脑与每张B品牌课桌的价格各是（　　） A.5000元，200元 B.4500元，250元 C.6000元，150元 D.12000元，100元 【答案】C 【解析】设每台A品牌电脑与每张B品牌课桌的价格各是x元，y元， 根据题意，得， 解得． 故选：C． 【举一反三1】小丽买了35张贺年卡，共用去50元钱．大贺年卡每张2元，小贺年卡每张1元．则小丽买大、小贺年卡的张数分别为（　　） A.20张、15张 B.15张、20张 C.30张、5张 D.5张、30张 【答案】B 【解析】设小丽买大、小贺年卡的张数分别x张，y张，由题意得： ， 解得． 故选：B． 【举一反三2】2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱．已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元．该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各100个，其总费用为（　　） A.11000元 B.10200元 C.10000元 D.9900元 【答案】A 【解析】解：设1个“滨滨”的进价为x元，1个“妮妮”的进价为y元， ， ， ∴100x+100y＝6000+5000＝11000， ∴总费用为11000元． 故选：A． 【举一反三3】教师节来临之际，同学们给每位辛勤工作的老师准备了一束鲜花．同一种鲜花每枝的价格相同，从如图所示的信息可知第三束鲜花共计     元． 【答案】18 【解析】设每枝康乃馨x元，每枝水仙花y元， 由题意得：， 解得：， 则2x+2y＝10+8＝18， 即第三束鲜花共计18元. 故答案为：18． 【举一反三4】2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城一哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买1个A种吉祥物和2个B种吉祥物共需290元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元．求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元？ 【答案】解：设A种吉祥物每件的售价是x元，B种吉祥物每件的售价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元． 【举一反三5】2025年，个人消费者购买单件销售价格不超过6000元的手机、平板电脑、智能手表（手环）三类数码产品，可享受政府的购新补贴．小路打算购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑，一部B品牌平板电脑比一部A品牌手机便宜600元，已知该地区对A品牌手机每部补贴15%，对B品牌平板电脑每部补贴10%，若购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑一共补贴740元，那么一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑的销售价各是多少？ 【答案】解：设一部A品牌手机的销售价是x元，一部B品牌平板电脑的销售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：一部A品牌手机的销售价是3200元，一部B品牌平板电脑的销售价是2600元． 【题型9】应用二元一次方程组解打折销售、利润、利息问题 【典例】某商场2020年的总利润为100万元，2021年的总收入比2020年增加10%，总支出比2020年减少5%，2021年的总利润为140万元，则2020年的总收入和总支出分别是（　　） A.300万元，210万元 B.300万元，200万元 C.400万元，300万元 D.410万元，310万元 【答案】B 【解析】设2020年的总收入和总支出分别为x，y万元， 由题意可得：， 解得. 故选：B． 【举一反三1】某储户存入银行甲、乙两种利息的存款共5万元，甲种存款的年利率为2.8%，乙种存款的年利率为1.6%，该储户一年得利息1040元，则甲、乙两种利息的存款分别为（　　） A.3万元，2万元 B.2.5万元，2.5万元 C.2万元，3万元 D.1.5万元，3.5万元 【答案】C 【解析】设甲种利息的存款为x元，乙种利息的存款为y元， 由题意得：， 解得：， 即甲种利息的存款为20000元，乙种利息的存款为30000元. 故选：C． 【举一反三2】某牛奶加工场现有鲜奶9t，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3t；制成奶片，每天可加工1t，受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，牛奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了两种方案． 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶． 方案二：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在四天内完成． 你认为方案        获利最多. 【答案】二 【解析】方案一：可加工成奶片4t，获利8000元，直接销售鲜奶获利（9﹣4）×500＝2500元， 故可得方案一获利为：8000+2500＝10500元； 方案二：设加工奶片x天，加工酸奶y元， 由题意得，， 解得：， 获利为：1.5×1×2000+2.5×3×1200＝12000（元）， ∵12000＞10500， ∴方案二获利多． 故答案为：二． 【举一反三3】长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点．活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行DIY手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元． 已知每种文化衫的成本和售价如表： （1）他们购进两种文化衫各多少件？ （2）由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖完．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？ 【答案】解：（1）设购进白色文化衫x件，黑色文化衫y件， 依题意得：， 解得：， 答：购进白色文化衫120件，黑色文化衫80件. （2）120××（26﹣10）+120×（26×0.75﹣10）+55×（30﹣12）+（80﹣55）×（30×0.8﹣12）＝1280+380+990+300＝2950（元）， 答：他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款2950元． 【题型10】应用二元一次方程组解和差倍分问题 【典例】五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（　　） A.30 B.26 C.24 D.22 【答案】B 【解析】设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人， 依题意得：， ①+②得：3x+3y＝78， ∴x+y＝26， 即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26. 故选：B． 【举一反三1】我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为5尺，那么索长（　　）尺． A.25 B.20 C.15 D.10 【答案】B 【解析】设索长x尺，竿子长y尺， 依题意，得：， 解得：． 故选：B． 【举一反三2】已知甲、乙两数的和为13，乙数比甲数少5，则甲数是   ，乙数是   ． 【答案】9 4 【解析】设甲为x，乙为y， 由题意得，， 解得：． 故答案为：9 4． 【举一反三3】青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书3000册，由于学生积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书       册，高中部原计划赠书       册． 【答案】1200 1800 【解析】设原计划初中部赠书x册，高中部赠书y册， 依题意有：， 解得：. 故答案为：1200 1800． 【举一反三4】顺风旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数是到云水洞的人数的2倍少1人，到两地旅游的人数各是多少？ 【答案】解：设到花果岭的旅游人数为x人，则到云水洞的人数为y人，根据题意得出： ， 解得：， 答：到花果岭的旅游人数为133人，则到云水洞的人数为67人． 【题型11】应用二元一次方程组解几何图表问题 【典例】已知梯形的面积是42cm2，高是6cm，它的下底比上底的2倍少1cm，求梯形的上下底（　　） A.上底和下底分别为6cm和10cm B.上底和下底分别为5cm和9cm C.上底和下底分别为4cm和11cm D.上底和下底分别为7cm和14cm 【答案】B 【解析】设梯形上底为xcm，下底为ycm，根据题意得： ， 解得：， 梯形的上底为5cm，下底为9cm． 故选：B． 【举一反三1】如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（　　） A.143 B.99 C.44 D.53 【答案】D 【解析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得： ， 解得：， 小长方形的面积为5×2＝10， 大长方形的面积为AB×BC＝（3y+x）（x+4y）＝11×13＝143， 空白部分面积为143﹣9×10＝53. 故选：D． 【举一反三2】如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为（　　） A.120cm B.130cm C.140cm D.150cm 【答案】D 【解析】设1支塑料凳子的高度为x cm，每叠放1支塑料凳子高度增加y cm， 依题意得：， 解得：， ∴x+10y＝50+10×10＝150， 即11支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为150cm. 故选：D． 【举一反三3】根据如图中给出的信息，如果放入大、小球共10个，水面上升到50cm，那么应放入    个大球． 【答案】4 【解析】放入每个小球水面上升（32﹣26）÷3＝2（cm）， 放入每个大球水面上升（32﹣26）÷2＝3（cm）， 设应放入x个大球，y个小球， 根据题意得：， 解得：， ∴应放入4个大球． 故答案为：4． 【举一反三4】工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．则记录有误的是第几次． 【答案】解：设可以做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒， 第一次：， 解得：，数据无误； 第二次：， 解得：， ∵x，y为正整数， ∴不符合题意，即数据错误； 第三次：， 解得：，数据无误； 第三次：， 解得：，数据无误． 【题型12】应用二元一次方程组解古代问题 【典例】《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差45钱；若每人出七钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？此问题合伙人数为（　　） A.18 B.19 C.20 D.21 【答案】D 【解析】设合伙人数为x人，羊价为y钱， 依题意，得：， 解得：， 即合伙人数为21人. 故选：D． 【举一反三1】《孙子算经》卷中著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”根据所学知识，计算出鸡兔的只数分别是（　　） A.鸡23只，兔12只 B.鸡12只，兔23只 C.鸡20只，兔15只 D.鸡15只，兔20只 【答案】A 【解析】设鸡、免各有x，y只，则 ，解得． 故选：A． 【举一反三2】我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多．”请问甲乙各有多少只羊呢？两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半响，也没算出来．设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵甲得到乙的九只羊，甲的羊就比乙的羊多一倍， ∴x+9＝2（y﹣9）； ∵乙得到甲的九只羊，甲、乙两家的羊一样多， ∴y+9＝x﹣9． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 【举一反三3】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则2辆车是空的；2人坐一辆车，则9人需要步行．一共有     人． 【答案】39 【解析】设共有x辆车，y个人， 依题意得：， 解得：， ∴一共有39人． 故答案为：39． 【举一反三4】古代有个数学问题，意思是“假设有5头牛，2只羊，值金12两；2头牛，5只羊，值金9两．问每头牛，每只羊各值金多少两？”则每头牛值金    两． 【答案】2 【解析】设每头牛值金x两，每只羊值金y两， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：2． 【举一反三5】古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦，则共有多少只乌鸦． 【答案】解：设乌鸦有x只，树有y棵，依题得 ， 解得， 答：乌鸦有20只，树有5棵． 【举一反三6】我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有多少人． 【答案】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 由题意得：， 解得：， 答：大和尚有25人. 【题型13】应用二元一次方程组解优惠及方案问题 【典例】一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是多少？（　　） A.5800元 B.5000元 C.5300元 D.5500元 【答案】D 【解析】设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为W元， 则， 解得， ∵x，y，z都是自然数， ∴，或，或，或，或，或， ∴w＝300x+300y+200z＝6000﹣100z， ∴z越大w越小， ∴当z＝5时，即x＝15，y＝0，z＝5时，住宿的总费用最低为6000﹣500＝5500. 故选：D． 【举一反三1】某风景区的门票价格有如下优惠：购票人数小于等于50时，票价为50元/人；购票人数大于50时，票价为45元/人．某校七年级两班共103人去该风景区，若两班都以班为单位分别购票，一共需付4860元，则两班人数分别为（　　） A.56，47 B.57，48 C.58，45 D.59，44 【答案】C 【解析】设人数较少的班级为x人，则人数较多的班级为y人， ∵4860÷45＝108（人），108＞103， ∴1＜x≤50， 依题意，得：， 解得：， 即两班人数分别为45、58. 故选：C． 【举一反三2】某公园“五一”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣，张凯和李利都随他们的家人参加了本次活动，王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱，张凯说他家3个大人4个小孩，共花了56元钱，李利说他家4个大人2个小孩，共花了58元钱，王斌计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备     元钱买门票． 【答案】46 【解析】设大人门票为x元，小孩门票为y元，由题意得 ， 解得：， 则3x+2y＝3×12+2×5＝46（元）， 需准备46元钱买门票． 故答案为：46． 【举一反三3】现有A、B两种商品，买3件A商品和2件B商品用了160元，买2件A商品和3件B商品用了190元．如果准备购买A、B两种商品共10件．现给出下列四种方案：①A商品7件和B商品3件；②A商品6件和B商品4件；③A商品5件和B商品5件；④A商品4件和B商品6件，以上方案中费用最低的为    ．（填序号） 【答案】① 【解析】设A商品的单价是x元，B商品的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴①7x+3y＝7×20+3×50＝290（元）； ②6x+4y＝6×20+4×50＝320（元）； ③5x+5y＝5×20+5×50＝350（元）； ④4x+6y＝4×20+6×50＝380（元）， ∵290＜320＜350＜380， ∴以上方案中费用最低的为①． 故答案为：①． 【举一反三4】我县某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用2辆A型车和1辆B型车载满萝卜，一次可运走10吨；若租用1辆A型车和2辆B型车载满萝卜，一次可运走11吨，现有萝卜31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜．根据以上信息，解答问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ （2）该物流公司的租车方案有哪几种？请你直接写出所有的租车方案． 【答案】解：（1）设1辆A型车载满萝卜一次可运送x吨，1辆B型车载满萝卜一次可运送y吨，依题意得： ， 解得． 答：1辆A型车载满萝卜一次可运送3吨，1辆B型车载满萝卜一次可运送4吨． （2）∵现有萝卜31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆， ∴3a+4b＝31， ∵a，b都是正整数， ∴当a＝9时，b＝1；当a＝5时，b＝4；当a＝1时，b＝7； ∴该物流公司共有3种租车方案： 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【题型14】应用二元一次方程组解数字、年龄问题 【典例】已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是（　　） A.84 B.48 C.41 D.14 【答案】A 【解析】设个位数字为x，十位数字为y， 则， 解得， ∴这首歌的歌词的字数为84． 故选：A． 【举一反三1】甲是乙现在的年龄时，乙11岁；乙是甲现在的年龄时，甲26岁．那么（　　） A.甲比乙大5岁 B.甲比乙大10岁 C.乙比甲大5岁 D.乙比甲大10岁 【答案】A 【解析】设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁， 依题意，得：， 解得：． 故选：A． 【举一反三2】已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和是3，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数是    ． 【答案】21 【解析】设这个两位数十位数字为x，个位数字为y， 由题意得，， 解得：， 则这个两位数为21． 故答案为：21． 【举一反三3】有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大45．设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，则用代数式表示原两位数为        ，根据题意得方程组：                 ． 【答案】10y+x 【解析】原两位数可表示为10y+x，新两位数表示为10x+y； 根据题意得方程组为：． 故答案为：10y+x ． 【举一反三4】一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，求父亲今年的年龄． 【答案】解：设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即父亲今年的年龄为42岁. 【题型15】应用二元一次方程组解决乘车（船）及装运问题 【典例】便民物流要运送2000只玻璃瓶．这些玻璃瓶分大小箱包装，每个大箱装120只，小箱装80只，共用了21个箱子，正好装完，大箱有几个？（　　） A.8 B.13 C.5 D.16 【答案】A 【解析】设大箱有x个，小箱有y个，由题意得：， 解得：， 故大箱有8个． 故选：A． 【举一反三1】有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（　　） A.129 B.120 C.108 D.96 【答案】D 【解析】设1艘大船的载客量为x人，一艘小船的载客量为y人， ， 解得， ∵1艘大船的载客量为18人，一艘小船的载客量为7人， ∴3x+6y＝3×18+6×7＝96， ∴3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为96人． 故选：D． 【举一反三2】五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（　　） A.30 B.26 C.24 D.22 【答案】B 【解析】设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人， 依题意得：， ①+②得：3x+3y＝78， ∴x+y＝26， 即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26. 故选：B． 【举一反三3】2023年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩．湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人．则1艘大船可以满载游客的人数为      ． 【答案】18人 【解析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为18人. 故答案为：18人． 【举一反三4】某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． （1）求A，B两种车型各有多少个座位． （2）若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【答案】解：（1）设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：45m+60n＝300， ∴n＝5﹣m， ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆． 【题型16】应用二元一次方程组解其他问题 【典例】某城市出租公司规定了3千米内的起步费和超过3千米后每千米的收费标准．张老师一次乘车8千米，花了12元，第二次乘车11千米，花了15.60元，则出租车3千米内的起步费和超过3千米后每千米的收费标准分别是（　　） A.6元与1.2元 B.5元与1.2元 C.7元与1.5元 D.6元与1.5元 【答案】A 【解析】设出租车3千米内的起步费为x元，超过3千米后每千米的收费标准为y元， 根据题意得， 解得， 出租车3千米内的起步费为6元，超过3千米后每千米的收费标准为1.2元． 故选：A． 【举一反三1】某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费（不足1km的按1km计算）．甲说“我乘这种出租车走了9.3km，付了19元．”乙说：“我乘这种出租车走了15.8千米，付了31元．”问：出租车的起步价和超过3km后的每千米的收费标准分别是（　　） A.5元、3元 B.4元、3元 C.4元、2元 D.5元、2元 【答案】D 【解析】设出租车的起步价是x元，超过3km后，每千米的车费是y元（不足1km的按1km计算）， 依题意，得：， 解得：， ∴出租车的起步价是5元，超过3km后的每千米的收费标准是2元． 故选：D． 【举一反三2】某校150名同学参加数学竞赛，人均分为69分，其中及格学生平均分为77分，不及格学生平均分数为47分，则不及格和及格人数分别为（　　） A.16人和140人 B.20人和130人 C.40人和110人 D.以上都不对 【答案】C 【解析】及格学生数为x名，不及格学生数为y名， 则， 解得. 故选：C． 【举一反三3】科技馆门票价格规定如表． 某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有     人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省      元． 【答案】56 347 【解析】设七年级②班有x人，七年级①班有y人， 由题意得：， 解得：， ∴七年级②班有56人， 1377﹣10×103＝347（元）， 即如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省347元. 故答案为：56 347． 【举一反三4】旅行团组织游客到游乐区参观，下表为两种参观方式所需的缆车费用： 已知旅行团的所有人都从两种方式中选择了一种，其中去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有     人． 【答案】16 【解析】设此旅行团有x人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y人，根据题意得： ， 解得：， 则总人数为7+9＝16（人）. 故答案为：16． 【举一反三5】同学们一定玩过“石头、剪刀、布”吧？它是一种古老而简单的游戏，在各地常有其独特的称呼． 游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用不同的肢体语言分别代表“石头”“剪刀”和“布”，比如用伸出拳头表示“石头”，伸出食指和中指表示“剪刀”，伸出手掌表示“布”．两人同时念游戏口令，如“石头、剪刀、布”，念到最后一个字“布”时，同时伸出手，“布”赢“石头”，“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”． 现在我们约定，“布”赢“石头”得9分，“石头”赢“剪刀”得5分，“剪刀”赢“布”得2分．小明和某同学玩此游戏的过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪刀”赢“布”7次．问：小明“布”赢“石头”和“石头”赢“剪刀”各多少次？ （1）你能用二元一次方程组表示该问题的数量关系吗？ （2）试用所学数学知识找出问题的解． 【答案】解：（1）设“布”赢“石头”x次，“石头”赢“剪刀”y次， 由题意可得：. （2）， ①×9﹣②，得：4y+63﹣14＝189﹣108， 解得y＝8， 将y＝8代入①，得：x＝6， ∴原方程组的解是． 【题型17】同解方程组 【典例】如果方程组与有相同的解，则a，b的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知得方程组， 解得， 代入， 得到， 解得． 故选：A． 【举一反三1】如果方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得：是的解， 故可得：，解得：． 故选：A． 【举一反三2】若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组           求得这个解． 【答案】 【解析】因为两方程组有相同的解，所以方程组的解必然适合两方程组． 故答案为：. 【举一反三3】已知方程组与有相同的解，求m，n的值． 【答案】解：∵方程组与有相同的解， ∴与原两方程组同解， 由5y﹣x＝3可得：x＝5y﹣3， 将x＝5y﹣3代入3x﹣2y＝4，则y＝1， 再将y＝1代入x＝5y﹣3，则x＝2， 将代入得： ， 将①×2﹣②得：n＝﹣1， 将n＝﹣1代入②得：m＝4， ∴m＝4，n＝﹣1． 【举一反三4】已知方程组和有相同的解，求a2﹣2ab+b2的值． 【答案】解：解方程组得， 把代入第二个方程组得， 解得， 则a2﹣2ab+b2＝22﹣2×2×1+12＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $