考点03 二元一次方程组与实际问题（12种题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

考点03 二元一次方程组与实际问题 考点一： 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母x，y表示题目中的两个未知数 (2)找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系。 (3)根据两个相等关系，列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组. (4)解这个二元一次方程组，求出未知数的值. (5)检查所得结果的正确性及合理性. (6)写出答案. 【扩展说明】 1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 考点二：常见类型 题型一：利润问题 1．（25-26七年级下·山西太原·期末）年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 【答案】每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的两个等量关系是：购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，可设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元． 根据题意，得 解得 所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 2．（25-26七年级下·河北张家口·期末）为迎接旅游旺季的到来，某商场准备购进一批纪念品进行销售．已知3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元．请列方程组解答下列各小题． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)已知该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元．若甲种纪念品每件的售价为70元，乙种纪念品每件的售价为100元，求商场销售完这25件纪念品共盈利多少元？ 【答案】(1)每件甲种纪念品的进价是50元，每件乙种纪念品的进价是60元 (2)商场销售完这25件纪念品共盈利800元 【分析】（1）设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元，根据“3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，n件乙种纪念品，根据“该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元， 根据题意得， 解得． 答：每件甲种纪念品的进价是50元，每件乙种纪念品的进价是60元； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，n件乙种纪念品， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：商场销售完这25件纪念品共盈利800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（25-26七年级下·河北张家口·期末）小明和小丽两人同时到一家水果店买水果．小明买了苹果和梨，共花了26元；小丽买了苹果和梨，共花了28元．苹果和梨的价格各为多少？根据题意，小明列出方程组：，而小丽列出的是：，交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的． (1)他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ (2)直接写出苹果和梨的价格各为多少？ 【答案】(1)正确，他们产生分歧的原因是未知数的含义不同 (2)苹果的价格为10元，梨的价格为8元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据所列方程，找出未知数的含义是解题的关键． （1）根据可知，他们的方程组都正确，产生分歧的原因是设的未知数不同； （2）按照小明的思路，解方程组即可． 【详解】（1）解：他们列的方程组都正确，他们产生分歧的原因是未知数的含义不同， 小明设的苹果的价格为元，梨的价格为元，而小丽设的梨的价格为元，苹果的价格为元； （2）解：按照小明的思路来解决，设苹果的价格为x元，梨的价格为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：苹果的价格为10元，梨的价格为8元． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中一次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购．三次采购的物品数量及总费用如下表： 采购批次 运动毛巾（条） 瑜伽垫（个） 总费用（元） 第一次购物 5 4 300 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)健身馆以折扣价购买运动毛巾和加厚款瑜伽垫是第_________次购物； (2)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (3)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)二 (2)运动毛巾的市场单价为20元/条，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元/个 (3)打9折 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）假设三次均未打折，求出第一、二次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫的花费，若相同，则第三次购物打折，若不同，则花费少的打折； （2）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （3）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：假设三次均未打折， 第二次购物比第一次购物多买2条运动毛巾，2个瑜伽垫，多花元， 即第二次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，花元； 第一次购物比第三次购物多买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，多花元， 即第一次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，花元； 可知第二次购物的价格低， 即以折扣价购买是第二次购物． 故答案为：二； （2）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （3）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 题型二：工程问题 5．（24-25八年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 【答案】甲班需8天，乙班需12天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲每小时完成x，乙每小时完成y；根据题意列出二元一次方程组，求出两班单独完成的工作效率，即可求出单独完成的时间． 【详解】解：设甲每小时完成x，乙每小时完成y； 根据题意得：， 解方程组得：， 则甲班单独完成需要（天），乙班单独完成需要（天）； 答：甲班需8天，乙班需12天． 6．（23-24七年级下·贵州毕节·月考）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【答案】(1)工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，联系上下文得甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度；即可作答． （2）分别解出甲乙两个的方程组，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，甲：表示工程队用时的天数， 乙：表示工程队整治道路的总长度； （2）解：选第一种：， 解得， 答：工程队用时10天，工程队用时20天； 选第二种：， 解得：， 工程队用时：， 工程队用时：， 答：工程队用时10天，工程队用时20天． 7．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【答案】(1)甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米 (2)甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米．利用两组每天可共铺设地面80平方米，再建立方程求解即可； （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元．结合两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，再建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米． ， ， ∴乙组每天铺设（平方米）， 答：甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米． （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元． ， 得：， 答：甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元． 8．（20-21八年级下·重庆巴南·期末）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的、两种机器人组装某款华为手机，每小时一台种机器人比一台种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台种机器人和5台种机器人共组装3500个该款华为手机． （1）今年一月份，该工厂每小时一台种机器人、一台种机器人分别能组装多少个该款华为手机？ （2）该工厂原有、两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分种机器人并淘汰了一部分种机器人，这样种机器人的数量增加了，种机器人数量减少了．同时，该工厂对全部种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为种机器人，已知每小时一台种机器人组装该款华为手机的数量比原一台种机器人组装该款华为手机的数量增加了，每小时种机器人和种机器人组装该款华为手机的数量之和比种机器人和种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了，求的值． 【答案】（1）A种机器人每小时组装250个该款华为手机，B种机器人每小时组装200个该款华为手机；（2）m的值为． 【分析】（1）设A种机器人每小时组装a个该款华为手机，B种机器人每小时组装b个该款华为手机，列出方程组解答即可； （2）根据“每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%”题意列出方程解答即可． 【详解】解：（1）设A种机器人每小时组装a个该款华为手机，B种机器人每小时组装b个该款华为手机， 则 解得：； 答：A种机器人每小时组装250个该款华为手机，B种机器人每小时组装200个该款华为手机； （2）设该工厂原有A、B两种机器人的数量为台， 则A种机器人的数量为（），B种机器人的数量为（）， 每小时一台C种机器人组装250(1+)=300个该款华为手机， 根据题意得：， 设， 方程整理得：，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程组． 题型三：行程问题 9．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 【答案】第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 答：第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时． 10．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 11．（24-25七年级下·河南商丘·期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发匀速行驶．设行驶的时间为（时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示从两车出发至慢车到达甲地的过程中与的函数关系． (1)点表示在两车行驶时，两车相距_____千米； (2)求点的横坐标； (3)两车距离小于或等于千米的时间有多久？ 【答案】(1)； (2)； (3)两车距离小于或等于千米的时间有小时． 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，二元一次方程组以及一元一次方程的应用； （1）根据函数图象中的数据，可以直接写出两车行驶时，两车相距千米； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出两车的速度，从而可以求得点的横坐标； （3）根据题意和图象中的数据，可以求得相遇前和相遇后，何时两车相距千米，从而可以得到两车距离小于或等于千米的时间有多久，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知， 点表示在两车行驶时，两车相距千米， 故答案为：； （2）由图象可知，点表示两车出发小时时相遇，点对应时刻快车正好到达乙地，点对应时刻慢车正好到达甲地， 设快车速度为千米小时，慢车速度为千米小时， ， 解得， ∴点C的横坐标为； （3）设两车距离等于千米的时间为时， 相遇前：， 解得， 相遇后：， 解得， （小时）， 即两车距离小于或等于千米的时间有小时． 12．（22-23七年级下·重庆渝中·期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车， (1)求小车和摩托车的速度． (2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时 (2)小时或小时或小时或小时 【分析】（1）小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两车速度间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度； （2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，利用路程速度时间，结合两车相距30千米，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：1小时20分小时． 设小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时， 根据题意得：， 解得：． 答：小车的速度为135千米时，摩托车的速度为45千米时； （2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米， 根据题意得：或或或， 解得：或或或． 答：相遇后，摩托车继续行驶小时或小时或小时或小时两车相距30千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解． 题型四：分配问题 13．（25-26七年级下·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【答案】“天问”有艘，“神舟”为艘 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 设“天问”有艘，“神舟”有艘，根据题意可列方程组，求解即可． 【详解】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘， 根据题意，得， 解得， 答：“天问”有艘，“神舟”为艘． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 15．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施．一个23人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费655元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间？（请列二元一次方程组求解） 【答案】三人间普通客房5间，双人间普通客房4间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出方程组是解题关键． 设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，根据人数和住宿费列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，由题意，得： 解得：， 答：三人间普通客房5间，双人间普通客房4间． 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 【答案】(1)见解析 (2)克，克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， （1）根据题意正确列出代数式即可； （2）设每餐需甲原料x克、乙原料y克，根据题意列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解： 项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） 其中所含铁质（单位） （2）解：设每餐需甲原料x克、乙原料y克， 根据题意，得， 化简，得 解这个方程组得． 所以每餐甲、乙两种原料分别是克、克时恰好满足运动员的需要． 题型五：年龄问题 17．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 18．（21-22七年级下·甘肃酒泉·期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 19．（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 20．（24-25七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决． 题型六：数字问题 21．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解． 【答案】(1)38 (2)38 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及由实际问题抽象出二元一次方程组． （1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据原两位数两个数位上的数之和为11及原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于，的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意，得：， 解得：， ， ∴原两位数为38； （2）解：设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意，得：， 解得， ∴原两位数为38． 22．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 【答案】这个两位数为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．      依题意，得：      解得：                   答：这个两位数为． 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【答案】(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【分析】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 24．（22-23七年级下·江西抚州·期末）我们知道：如果，其中m，n为有理数，x为无理数，那么且． (1)如果，其中a，b为有理数，那么_______，________． (2)若x，y均为有理数，并且满足，求的值． 【答案】(1)3； (2)13或3 【分析】（1）直接根据题意作答即可； （2）先将转化为，再根据题意列出方程组求出x、y的值，最后代入计算即可． 【详解】（1）如果，其中a，b为有理数，为无理数，那么且， 解得，， 故答案为3；； （2） 都是有理数， 即 解得 或 或 即的值为13或3． 【点睛】本题考查了根据新定义列方程组求解的问题，正确理解题干含义是解题的关键． 题型七：古代问题 25．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【答案】绳子长16尺，木条长9尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：，绳子对折后比木条短1尺，得：．组成方程组求解即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：． 答：绳子长16尺，木条长9尺． 26．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？（用两种不同的方法解决） 【答案】大和尚有人，小和尚有人 【分析】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键； 根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程组解答即可． 【详解】（方法一） 解：设大和尚有人，小和尚有人， 根据题意得：， 解这个方程组，得． 答：大和尚有人，小和尚有人． （方法二）设大和尚有人， 根据题意得： 解得； ； 答：大和尚有人，小和尚有人； 27．（2024·海南省直辖县级单位·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有人，辆车 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据“每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 依题意得：， 解得：． 答：共有人，辆车． 28．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 【答案】甲有羊只，乙有羊只． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有羊只，乙原有羊只，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲原有羊只，乙原有羊只， 根据题意得，， 解得：， 答：甲有羊只，乙有羊只． 题型八：方案问题 29．（25-26七年级下·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 30．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 【答案】(1)种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业要购买型机器人5台，型机器人5台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元，根据买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业要购买型机器人台，型机器人台，根据该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业要购买型机器人台，型机器人台， 由题意得， 解得， 答：该企业要购买型机器人5台，型机器人5台． 31．（24-25七年级下·山东滨州·期末）某超市为满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元． (1)求、两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 【答案】(1)A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元 (2)①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据“2种A型飞船模型和3种B型飞船模型的进价共计95元；3种A飞船模型和2种B型飞船模型的进价共计105元”，即可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元； （2）解：设购进a件A种飞船模型和b件B种飞船模型， 根据题意，得， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴当时，；当时，；当时，， ∴所有购买方案如下： ①购进7件A种飞船模型和5件B种飞船模型； ②购进4件A种飞船模型和10件B种飞船模型； ③购进1件A种飞船模型和15件B种飞船模型． 32．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用7辆A型车，2辆B型车；方案2：租用2辆A型车，6辆B型车；最少租车费是9200元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设未知数，结合用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨，进行列出方程组，即可作答． （2）结合某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载，得，再根据、n均为正整数，得或，再结合A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨． 根据题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； （2）解：由（1）得1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； ∵租用m辆A型车，n辆B型车, 根据题意得：， ， 又、n均为正整数， 或， 该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用7辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用2辆A型车，6辆B型车． 选择方案1所需租车费用为（元）； 选择方案2所需租车费用为（元）． ， 最少租车费是9200元． 题型九：几何问题 33．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少?（用方程组的知识解答） 【答案】每个小长方形的是，宽是． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每个小长方形的长为，宽为，根据图形列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 答：每个小长方形的长是，宽是． 34．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【答案】(1)小长方形的长为米，宽为米； (2)要完成这块绿化工程，预计花费元． 【分析】（）设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组，然后求解即可； （）利用“平方米造价总面积”即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意可列方程组， 整理得： 解得：， 答：小长方形的长为米，宽为米； （2）解：（元）， 答：要完成这块绿化工程，预计花费元． 35．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 【答案】一个长方形纸片的长是3，宽是1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据点的坐标及长方形边长关系列出方程组求解长和宽． 设长方形的长为、宽为，根据点B的坐标和图形中边长关系，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设长方形纸片的长是，宽是， 根据题意，得解得 答：一个长方形纸片的长是3，宽是1． 36．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 题型十：和差倍分问题 37．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 38．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键． （1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，根据配套关系列二元一次方程组解答． （2）在（1）问的分配方案下，桌面和桌腿恰好配套，木材得到最充分的利用，此时生产的方桌数量即为最多，然后根据的木材可做50个桌面求解即可． 【详解】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 39．（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 40．（23-24七年级下·吉林长春·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 题型十一：图表信息问题 41．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 42．（24-25七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 43．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 44．（2025·山西·一模）小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【答案】参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验． 【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分， 由题意可得：， 解得：， 答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分． 题型十二：其它问题 45．（24-25七年级下·吉林长春·期末）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米 (2) (3)一摞碗的高度不能为，理由见解答 【分析】（1）设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米，根据“第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用高度一个碗的高度每增加一个碗增加的高度碗的数量，即可用含的代数式表示出； （3）假设一摞碗的高度能为，根据一摞碗的高度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合为正整数，可得出假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【详解】（1）解：设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米； （2）解：根据题意得：； （3）解：一摞碗的高度不能为，理由如下： 假设一摞碗的高度能为，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 46．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，现有两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本数学课本的厚度为_________，讲台的高度为_________； (2)当有本数学课本时，以同样方式叠放在讲台上，高出地面的高度为_________（用含的代数式表示）． 【答案】(1)每本数学课本厚度为，讲台高度为 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，理解题意是解此题的关键． （1）设每本课本厚度为，讲台高度为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据总高度讲台高度课本总厚度即可得解． 【详解】（1）解：设每本课本厚度为，讲台高度为， 由图可知：， 解得：， 答：每本数学课本厚度为，讲台高度为； （2）解：∵总高度讲台高度课本总厚度， ∴． 47．（24-25七年级下·海南海口·期中）根据图中给出的信息，解答下列问题：    (1)放入一个小球水面升高多少厘米？放入一个大球水面升高多少厘米？ (2)放入大球、小球共10个，如果要使水面上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)放入一个小球水面升高2厘米；放入一个大球水面升高3厘米 (2)应放入大球4个，小球6个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解图中信息是解题的关键． （1）根据放入小球、大球后液面上升情况； （2）设放入大球x个，小球y个，根据总数是10个，液面上升列二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， ． 答：放入一个小球水面升高2厘米；放入一个大球水面升高3厘米； （2）解：设放入大球x个，小球y个， 依题意，得：， 解得：． 答：应放入大球4个，小球6个． 48．（24-25七年级下·全国·期末）在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数（次分）与这个人年龄（岁满足关系式：，其中、均为常数． (1)根据图中提供的信息，求、的值； (2)若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？ 【答案】(1)， (2)他有危险．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．（1）根据年龄15岁最高心跳为164次，年龄45岁最高心跳为144次列出和的二元一次方程组，解方程求出和的值即可； （2）首先求出年龄为63岁时最高心跳，然后求出该人实际心跳，再作出对比即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 解这个方程组，得 所以，，． （2）当时，（次分）． 即63岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数为132次分． 而（次分）（次分）． 所以，他有危险． 1．（山东省菏泽市鄄城县2024－2025学年七年级下学期期末考试数学试题）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 (3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）解：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 2．（24-25七年级下·全国·期末）科学家为了探测火星上是否有智能生物人，有人建议向火星发射如下的九宫方格数据图，图中数据满足各行、各列及对角线上三个数之和都相等，如果火星上有智能生物人，那么他们就可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物人．图①是某研究员在九宫方格内设计的一个准备向火星发射的图案的一部分，格内填写了一些式子和数． (1)请你计算出x，y的值； (2)把满足图①的其他7个数填入图②相应的九宫方格内． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）通过理解题意可知本题的等量关系是：“每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等”，列出方程组求解即可． （2）由第（1）问可得出，然后可求出各行、各列及对角线上三个数之和都为，利用此即可求出其余各数． 【详解】（1）解：∵各行、各列及对角线上三个数之和都相等， ∴列出方程组， 或， 或， 解方程组得， 答：，的值分别为，1； （2）由（1）得，， ∴， 则各行、各列及对角线上三个数之和都为， 则第二行第一个数为：， 第一行第一个数为：， 第一行第二个数为：， 故九宫方格所填数字如下： ． 3．（24-25七年级下·天津·期末）如图，丝路纺织厂与、两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地．已知长绒棉的进价为万元，纺织面料的出厂价为万元，公路运价为元（），铁路运价为元（），且这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 【答案】这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共购买了x吨长绒棉，制成了y吨纺织面料，根据两次运输共支出公路运费元，铁路运费元，列出二元一次方程组，进而求得销售额和原料费用，相减，即可求解． 【详解】解：设共购买了x吨长绒棉，制成了y吨纺织面料． 根据题意得 解得， 纺织面料的销售额为（万元）， 原料费用为（万元）， （元）， 答：这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多元． 4．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为___________；将写成矩阵形式为：___________； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值． 【答案】(1)； (2)a，b的值分别是和1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据题意作答即可； （2）根据题意反向推出方程组为，将方程组的解代入计算即可． 【详解】（1）解：将写成矩阵形式为； 整理得：，即将写成矩阵形式为； 故答案为：；； （2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为， 此方程组的解为 将代入方程组得： 由①得； 由②得； 所以a，b的值分别是和1 5．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … 队 16 13 队 16 13 队 16 13 队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛队得5分，队一场未负得3分，队胜队，队胜队，则哪两队会被降级？为什么？ 【答案】(1)①甲队胜13场，平3场；②能，乙队胜13场、平1场、负13场，其负场数多于甲队 (2)B、D两队被降级，见解析 【分析】本题考查二元一次方程组解实际问题和代数推理，找等量关系并列出方程组是解题的关键． （1）①根据积分问题列出二元一次方程组，求解即可； ②根据积分问题列出三元一次方程组，求解即可； （2）根据积分问题进行推理即可； 【详解】（1）①设此时甲队胜场，平场，根据题意，得 ， 解得 答：此时甲队胜13场，平3场． ②此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，理由如下： 设此时乙队胜场、平场、负场．根据题意，得 ①-②，得：，即， 若，则，即， ，即， ， 为非负整数，． 将代入①、②可得：； 此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，即乙队胜13场、平1场、负13场． （2）B、D两队被降级，理由如下： 根据最后3场比赛队得5分可知，队的比赛结果是1胜，2平； 根据最后3场比赛队一场未负得3分可知，队的比赛结果是3平； 队胜队， 队平队，队平队， 队胜队，队平队，队负队， 队得4分， 队平队，队平队，队负队， 队得2分， 队得分队得分队得分队得分， 两队被降级． 或用列表法： 各队得分 平 胜 平 队得5分 平 平 平 队得3分 负 平 胜 队得4分 平 平 负 队得2分 队得分队得分队得分队得分， 两队被降级． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 二元一次方程组与实际问题 考点一： 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母x，y表示题目中的两个未知数 (2)找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系。 (3)根据两个相等关系，列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组. (4)解这个二元一次方程组，求出未知数的值. (5)检查所得结果的正确性及合理性. (6)写出答案. 【扩展说明】 1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 考点二：常见类型 题型一：利润问题 1．（25-26七年级下·山西太原·期末）年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 2．（25-26七年级下·河北张家口·期末）为迎接旅游旺季的到来，某商场准备购进一批纪念品进行销售．已知3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元．请列方程组解答下列各小题． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)已知该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元．若甲种纪念品每件的售价为70元，乙种纪念品每件的售价为100元，求商场销售完这25件纪念品共盈利多少元？ 3．（25-26七年级下·河北张家口·期末）小明和小丽两人同时到一家水果店买水果．小明买了苹果和梨，共花了26元；小丽买了苹果和梨，共花了28元．苹果和梨的价格各为多少？根据题意，小明列出方程组：，而小丽列出的是：，交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的． (1)他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ (2)直接写出苹果和梨的价格各为多少？ 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中一次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购．三次采购的物品数量及总费用如下表： 采购批次 运动毛巾（条） 瑜伽垫（个） 总费用（元） 第一次购物 5 4 300 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)健身馆以折扣价购买运动毛巾和加厚款瑜伽垫是第_________次购物； (2)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (3)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 题型二：工程问题 5．（24-25八年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 6．（23-24七年级下·贵州毕节·月考）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 7．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 8．（20-21八年级下·重庆巴南·期末）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的、两种机器人组装某款华为手机，每小时一台种机器人比一台种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台种机器人和5台种机器人共组装3500个该款华为手机． （1）今年一月份，该工厂每小时一台种机器人、一台种机器人分别能组装多少个该款华为手机？ （2）该工厂原有、两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分种机器人并淘汰了一部分种机器人，这样种机器人的数量增加了，种机器人数量减少了．同时，该工厂对全部种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为种机器人，已知每小时一台种机器人组装该款华为手机的数量比原一台种机器人组装该款华为手机的数量增加了，每小时种机器人和种机器人组装该款华为手机的数量之和比种机器人和种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了，求的值． 题型三：行程问题 9．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 10．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 11．（24-25七年级下·河南商丘·期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发匀速行驶．设行驶的时间为（时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示从两车出发至慢车到达甲地的过程中与的函数关系． (1)点表示在两车行驶时，两车相距_____千米； (2)求点的横坐标； (3)两车距离小于或等于千米的时间有多久？ 12．（22-23七年级下·重庆渝中·期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车， (1)求小车和摩托车的速度． (2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？ 题型四：分配问题 13．（25-26七年级下·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 15．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施．一个23人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费655元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间？（请列二元一次方程组求解） 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 题型五：年龄问题 17．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 18．（21-22七年级下·甘肃酒泉·期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 19．（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 20．（24-25七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？                               题型六：数字问题 21．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解． 22．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 24．（22-23七年级下·江西抚州·期末）我们知道：如果，其中m，n为有理数，x为无理数，那么且． (1)如果，其中a，b为有理数，那么_______，________． (2)若x，y均为有理数，并且满足，求的值． 题型七：古代问题 25．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 26．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？（用两种不同的方法解决） 27．（2024·海南省直辖县级单位·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 28．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 题型八：方案问题 29．（25-26七年级下·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 30．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 31．（24-25七年级下·山东滨州·期末）某超市为满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元． (1)求、两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 32．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 题型九：几何问题 33．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少?（用方程组的知识解答） 34．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 35．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 36．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 题型十：和差倍分问题 37．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 38．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 39．（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 40．（23-24七年级下·吉林长春·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 题型十一：图表信息问题 41．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 42．（24-25七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 43．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 44．（2025·山西·一模）小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 题型十二：其它问题 45．（24-25七年级下·吉林长春·期末）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 46．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，现有两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本数学课本的厚度为_________，讲台的高度为_________； (2)当有本数学课本时，以同样方式叠放在讲台上，高出地面的高度为_________（用含的代数式表示）． 47．（24-25七年级下·海南海口·期中）根据图中给出的信息，解答下列问题：    (1)放入一个小球水面升高多少厘米？放入一个大球水面升高多少厘米？ (2)放入大球、小球共10个，如果要使水面上升到，应放入大球、小球各多少个？ 48．（24-25七年级下·全国·期末）在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数（次分）与这个人年龄（岁满足关系式：，其中、均为常数． (1)根据图中提供的信息，求、的值； (2)若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？ 1．（山东省菏泽市鄄城县2024－2025学年七年级下学期期末考试数学试题）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 2．（24-25七年级下·全国·期末）科学家为了探测火星上是否有智能生物人，有人建议向火星发射如下的九宫方格数据图，图中数据满足各行、各列及对角线上三个数之和都相等，如果火星上有智能生物人，那么他们就可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物人．图①是某研究员在九宫方格内设计的一个准备向火星发射的图案的一部分，格内填写了一些式子和数． (1)请你计算出x，y的值； (2)把满足图①的其他7个数填入图②相应的九宫方格内． 3．（24-25七年级下·天津·期末）如图，丝路纺织厂与、两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地．已知长绒棉的进价为万元，纺织面料的出厂价为万元，公路运价为元（），铁路运价为元（），且这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 4．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为___________；将写成矩阵形式为：___________； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … 队 16 13 队 16 13 队 16 13 队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛队得5分，队一场未负得3分，队胜队，队胜队，则哪两队会被降级？为什么？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $