专题09 二元一次方程组及其解法（专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专题09 二元一次方程组及其解法 常考题型·精准突破 题型1 二元一次方程组及方程的解的判断（重） 题型2 代入消元法解二元一次方程组（重） 题型3 加减消元法解二元一次方程组（高频） 题型4 整体思想巧解二元一次方程组（难） 题型5 构造二元一次方程组求解（难） 题型6 二元一次方程组的特殊解法 题型7 已知二元一次方程组的解求参数（高频） 题型8 已知二元一次方程组的解的情况求参数（高频） 题型9 同结构方程的解关联问题（高频） 题型10 二元一次方程组的错解复原问题（难） 题型11 方程组同解问题（高频） 题型12 简单实际问题列二元一次方程组（高频） 题型13 新定义背景下的二元一次方程问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二元一次方程组及方程的解的判断 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A ◆题型2 代入消元法解二元一次方程组 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】 7．【答案】 ◆题型3 加减消元法解二元一次方程组 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】(1) (2) 11．【答案】(1) (2) ◆题型4 整体思想巧解二元一次方程组 12．【答案】B 13．【答案】24 14．【答案】(1)10， (2) 【分析】（1）联立方程③和①求出y和x的值即可； （2）把方程①加上方程②，利用整体未知数再建立一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 得：， 把代入①可得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， ∴． 15．【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解即可； （2）设，，原方程组可化为，解得，再求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： 设，， ∴原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． （2）解： 设，， ∴原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 16．【答案】 【分析】根据题意，用整体代入法即可解答． 【详解】解：由①得， 所以， 将③代入②得， 解得； 把代入①，解得， 所以该方程组的解为． ◆题型5 构造二元一次方程组求解 17．【答案】B 18．【答案】A 19．【答案】，， 【分析】利用整体思想，先求出，，根据题干条件正整数、、满足，得到，，再利用列出所有可能的值，最后将所有可能的值代入验证，找出符合题意的结果． 【详解】解：， ， 又， ， ，． 正整数、、满足， ，． 、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、， 代入可得 只能是，，． ◆题型6 二元一次方程组的特殊解法 20．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得， ∴， 得， 得，解得， 把代入⑦得，解得， ∴原方程组的解为． 21．【答案】(1) (2)， 理由如下：， ①−②，得：， ∵， ∴ ③， 将③，得④， ①−④，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． 【详解】（1）解：， ①−②，得：，所以③， 将③，得④， ④−②，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． （2）略 22．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程的解的含义可得，求解即可； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得； （2）解：设，， ∴原方程组可化为， 解得， ， 解得； （3）解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ， 解得． ◆题型7 已知二元一次方程组的解求参数 23．【答案】D 24．【答案】A 25．【答案】 ◆题型8 已知二元一次方程组的解的情况求参数 26．【答案】 27．【答案】 28．【答案】 29．【答案】的值为． 【分析】先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出k即可． 【详解】解：解方程组，得， 将代入得，， 解得． ◆题型9 同结构方程的解关联问题 30．【答案】 31．【答案】 32．【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由换元法，设，，解得，进而求出． （2）由换元法，设，，则该方程组为，由题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：方程组， 设，， 则原方程组化为， 得，， ， 解得， ，解得． （2）解：方程组， 可化为， 设，， 则该方程组化为， 关于，的二元一次方程组的解为， ， ，解得． ◆题型10 二元一次方程组的错解复原问题 33．【答案】 【分析】求出的解，然后代入中求得的值；设方程中的系数为，的系数为，把原方程组的正确解与错误解代入第一个方程中求解即可求解． 【详解】解：解方程组，得， 把代入，得，， 设方程组中含有▲的方程中的系数为，的系数为， 把和代入含有▲的方程得， 解得， 原方程组为． 34．【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）取，求出对应的值即可； （2）求出方程组的解，代入即可得出结果； （3）根据题意，得到是方程的解，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 故方程的一组正整数解可以为（答案不唯一）； （2）解：由题意，方程组与方程组同解， 解，得， 把代入，得， 解得. （3）解：由题意，是方程的解 ∴， ∴. 35．【答案】 【分析】根据方程解的定义，利用看错系数的解分别求出，再代入代数式计算即可． 【详解】由题意得， 把代入得； ， 解得：， 把代入得： ， 解得：， 将，代入得， ． 36．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意代入列方程求解即可； （2）代入a、b的值再解方程组即可； 【详解】（1）解：据题意得，满足方程②，满足方程①， 分别代入得，，解得， ，解得． 综上，，． （2）解：方程组为， 得：，即， 将代入①得：， 则方程组的解为． 37．【答案】(1)， (2) 【分析】利用看错系数的解仍满足未看错的方程，代入计算即可求出和的值； 把的值代入原方程组，再利用加减法解答即可． 【详解】（1）解： 小马看错方程①中的，得到的解满足方程②， 将代入②，得 ， 解得， 小虎看错方程②中的，得到的解满足方程①， 将代入①，得 ， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得 ， ①②，得 ， ∴， 把代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的正确解为． ◆题型11 方程组同解问题 38．【答案】(1) (2) 【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据题意组成新的方程组，求解即可； （2）把（1）中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意联立得， 解得， 即两个方程组相同的解是； （2）把代入方程和中， 得， 解得， ∴． 39．【答案】， 【分析】根据同解的性质，先求出两个方程组公共的的解，再代入得到关于的方程组，用消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 将代入原方程组含参数的方程，得 ， 解得 ． 40．【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个方程组同解，联立不含参数的两个二元一次方程，加减消元求出； （2）将（1）求得的代入含的方程，得到关于的二元一次方程组，解出后代入式子计算立方值． 【详解】（1）解： 得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴这个相同的解为 （2）解：将代入， 得， 由③得， 把代入④得， 解得， 把代入得， 当，时，. ◆题型12 简单实际问题列二元一次方程组 41．【答案】A 42．【答案】D 43．【答案】B 44．【答案】C 45．【答案】B ◆题型13 新定义背景下的二元一次方程问题 46．【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）求出方程组的解，然后进行判断； （2）表示出方程组解的和，根据定义列出方程求参数即可； （3）解方程组，表示出解的和，然后根据要求确定参数的取值． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵， ∴该方程组是“美好方程组”； （2）解： ，得， ∴， ∵是“美好方程组”， ∴， ∴， 解得； （3）解： 得：， ∴， ∵方程组是“美好方程组”， ∵， ∴， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，得（符合题意）， 当或时，m不为正整数，舍去， ∴． 47．【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由共轭二元一次方程的定义直接求解即可； （2）由共轭二元一次方程组的定义列方程组求解即可； （3）由阅读材料中的方法类比求解即可． 【详解】（1）解：由共轭二元一次方程的定义可得方程的共轭二元一次方程是； （2）解：关于，的方程组为共轭方程组， 则由共轭方程组定义可得， ； （3）解：， ②①得，所以③， ③得④， ①④得，从而得， 所以原方程组的解是． 48．【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】（1）根据所给定义，写出方程即可； （2）根据所给定义，得出关于，的方程组，据此进行计算即可； （3）结合所给求解方法进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意得，方程的“对称二元一次方程”是． （2）解：∵关于、的方程组为“对称二元一次方程组”， ，解得． （3）解：①， ，得，即③， ，得，即，∴④， 将④代入③，得，解得，则． ∴方程组的解为． ②， ，得，即③， ，得，即，∴④， 将④代入③，得，解得，则． ∴方程组的解为． 49．【答案】(1)②③ (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“差一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入到，可求出，的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得，， 此时，， ①不是“差一”方程组； ②，解得，， 此时，， ②是“差一”方程组； ③，解得，， 此时，， ③是“差一”方程组． 故答案为：②③． （2）解：， ①得，， ②③得，， ． 把代入①得，， ， 所以方程组的解是． 关于，的方程组是“差一”方程组， ，即， 解得，或． （3）解：若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“差一”方程组，则， 联立得，， 解得，或． 把代入中， 得， 即． 为无理数， ，， 解得，，， ； 把代入中， 得， 即． 为无理数， ，， 解得，，， ； 综上所述，或． 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 11．．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 把代入，可得：，解得：， 把代入，可得：， ∴方程组的解为． （2）解：， 整理得， 整理得， 把，可得：，解得：， 把代入，可得：，解得：， ∴方程组的解为． 12．【答案】 【分析】甲方案先利用加减消元法求出二元一次方程组的解，再代入即可得到的值；乙方案直接结合题目所给条件得出，求解即可得到的值． 【详解】解：利用甲方案： ， 得， 得，解得， 把代入得， ， ， 化简得， 移项得， 解得； 利用乙方案： ， 得， ， ， 移项得， 解得； 以上两种方案任选一种解答即可． 13．【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组错解问题，解此类问题抓住一句话“看错谁，不用谁”，把解代入未看错方程来组建新的关于，的方程解题． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ， 解得：， 同理乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 可得：， 解得：， ． 14．【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将三个方程相加提取公因式直接得到的值； （2）对比两个方程组的结构，得到关于的新方程组，用加减消元法求解； （3）将、看作整体整理方程组，再用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 得， 解得 ； （2）解：∵关于，的二元一次方程组的解为 ，且关于，的二元一次方程组为 ， ∴， 得， 解得， 将代入，得， 解得 ， ∴方程组的解为； （3）解：原方程组整理得 ， 得 ， 解得 ， 把代入①得 ， 解得， 即，． 15．【答案】(1)②④ (2) (3) 【分析】（1）根据“合和3”方程组的定义逐一判断即可； （2）利用加减消元法解方程组得到，根据“合和”方程组的定义得到，据此建立方程求解即可； （3）根据“合和”方程组的定义得到，联立，解方程组得到；把代入中得，根据对于任意的，等式都成立，得到，则． 【详解】（1）解：①∵， ∴方程组的解不满足， ∴方程组不是“合和3”方程组； ② 得，解得， 把代入⑤得，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴方程组是“合和3”方程组； ③ 得， ∴， ∴方程组不是“合和3”方程组； ④∵， ∴方程组的解满足， ∴方程组是“合和3”方程组； 综上所述，是“合和3”方程组的是②④； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组是“合和”方程组， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组， ∴当时，， 联立 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 把代入中得， ∴， ∴， ∵对于任意的，等式都成立， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二元一次方程组及其解法 常考题型·精准突破 题型1 二元一次方程组及方程的解的判断（重） 题型2 代入消元法解二元一次方程组（重） 题型3 加减消元法解二元一次方程组（高频） 题型4 整体思想巧解二元一次方程组（难） 题型5 构造二元一次方程组求解（难） 题型6 二元一次方程组的特殊解法 题型7 已知二元一次方程组的解求参数（高频） 题型8 已知二元一次方程组的解的情况求参数（高频） 题型9 同结构方程的解关联问题（高频） 题型10 二元一次方程组的错解复原问题（难） 题型11 方程组同解问题（高频） 题型12 简单实际问题列二元一次方程组（高频） 题型13 新定义背景下的二元一次方程问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二元一次方程组及方程的解的判断 1．若是关于，的二元一次方程，则m- n的值是（     ） A．1 B． C．5 D． 2．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． ◆题型2 代入消元法解二元一次方程组 4．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 5．下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 6．解方程组 7．解方程组： ◆题型3 加减消元法解二元一次方程组 8．解二元一次方程组： 9．解方程组 10．解下列方程组： (1) (2) 11．解下列方程组： (1)； (2)． ◆题型4 整体思想巧解二元一次方程组 12．已知，则的值为（     ） A． B．8 C． D．4 13．若方程组，则的值是_____． 14．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为_________，的值为_________． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 15．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解这个方程组，得________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解方程组：． 16．阅读下面的材料解决问题． 解方程组． 解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组． ◆题型5 构造二元一次方程组求解 17．当时，，当时，，则（     ） A．9 B．1 C． D． 18．在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 19．正整数、、满足，且，，求、、的值． ◆题型6 二元一次方程组的特殊解法 20．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 21．仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法： 解：②−①，得：，所以③， 将③，得④， ①−④，得，从而可得， 所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于，的方程组的解，并说明理由． 22．阅读材料：在解方程组时，棒棒同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． ◆题型7 已知二元一次方程组的解求参数 23．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 24．若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 25．若是二元一次方程组的解，则的值是________． ◆题型8 已知二元一次方程组的解的情况求参数 26．已知，若，则的值为______． 27．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 _____． 28．已知关于、的二元一次方程组的解满足，则________． 29．已知关于x，y的方程组，若方程组的解满足，求k的值． ◆题型9 同结构方程的解关联问题 30．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是________． 31．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 32．阅读下面资料，解决问题． 解方程组，若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为__________． ◆题型10 二元一次方程组的错解复原问题 33．已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 34．已知关于，的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为________． (2)若该方程组的解满足，求的值． (3)若小宇同学在解此方程组时，看错了的符号，从而得到解为，则正确的值为________． 35．小明，小聪两人同解方程组时，小明看错了方程①中的a，解得，小聪看错了方程②中的b，解得，求的值． 36．小甲和小乙两人共同解方程组．小乙看错了方程①中的a，得到方程组的解是，小甲看错了方程②中的b，得到方程组的解是． (1)求a、b的值； (2)求此方程组的正确解． 37．小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求的值； (2)求出原方程组的正确解． ◆题型11 方程组同解问题 38．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 39．已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值． 40．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． ◆题型12 简单实际问题列二元一次方程组 41．海南盛产芒果、荔枝，某商贩购进斤芒果、斤荔枝，已知购进总重量斤，芒果重量比荔枝倍少斤，列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 42．某校举办师生茶话会．若每桌坐12人，则空出一张桌子；若每桌坐10人，还有10人没有座位．设参加茶话会的师生共人，共准备了张桌子，可列方程组（     ） A． B． C． D． 43．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走m步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了n步，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 44．在一次爱心捐助活动中，八年级（1）班40名同学共捐款275元，已知同学们捐款的面额只有5元、10元两种，求捐5元和10元的同学各有多少名？若设捐5元的同学有x名，捐10元的有y名，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 45．每年的农历五月初五是端午节，某校开展了丰富多彩的传统文化活动．初一年级举行“端午文化知识竞赛”，一共有道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣2分．小舟回答了全部道题，最终得分为72分．设小舟答对了道题，答错或不答道题，则根据题意可列出二元一次方程组（    ） A． B． C． D． ◆题型13 新定义背景下的二元一次方程问题 46．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组”． (1)试判断二元一次方程组   （填“是、否”）“美好方程组”； (2)若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，且m，n为正整数，求出m，n的值． 47．规定：形如与的两个关于，的方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是________； (2)若关于，的方程组为共轭方程组，则________________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②①得，所以③ ③得④ ①④得，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 48．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 (1)方程的“对称二元一次方程”是________； (2)若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，求，的值． (3)观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加：即 ， ③ 两式相减：即 ， ④ 代入求解：把④代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是：． 根据上述解题过程直接写出方程组的解： ①的解为____________． ②的解为____________． 49．关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“差一”方程组． 例如：关于，的二元一次方程组：，解方程组得：， ， ∴方程组是“差一”方程组． (1)下列方程组是“差一”方程组的是_____________（只填写序号）； ①；②；③； (2)若关于，的方程组是“差一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“差一”方程组，求的值． 综合攻坚·知能拔高 1．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 2．若关于、的方程是二元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D． 4．解方程组，下列解法步骤中不正确的是（     ） A．用加减消元法消去，得 B．用代入消元法消去，由得 C．用代入消元法消去，由得 D．用加减消元法消去，得 5．如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．数学书和语文书共有90本，恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本？设书架上数学书有本，语文书有本，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 7．若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 8．已知关于，的方程组和的解相同，则的值为________． 9．已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为_______． 10．解下列方程组 (1) (2) 11．解方程组： (1)； (2)． 12．已知关于，的方程组，且其解满足．在求的值时，有下面两种方案： 甲方案 按照传统思路，先对方程组进行求解，然后将含的解，代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解． 乙方案 通过观察方程组和最后一个关系式，可以利用整体法，将方程组的两个方程相加，再直接代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解． 请你任选一种方案，求出的值． 13．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 14．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 15．关于x，y的二元一次方程组，给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“合和”方程组．例如：关于x，y的二元一次方程组的解是，满足，则称方程组是“合和2”方程组． (1)下列方程组是“合和3”方程组的是__________（只填写序号）； ①；    ②；    ③；    ④． (2)若关于x，y的方程组是“合和”方程组，求的值； (3)当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组，直接写出a，b的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二元一次方程组及其解法 常考题型·精准突破 题型1 二元一次方程组及方程的解的判断（重） 题型2 代入消元法解二元一次方程组（重） 题型3 加减消元法解二元一次方程组（高频） 题型4 整体思想巧解二元一次方程组（难） 题型5 构造二元一次方程组求解（难） 题型6 二元一次方程组的特殊解法 题型7 已知二元一次方程组的解求参数（高频） 题型8 已知二元一次方程组的解的情况求参数（高频） 题型9 同结构方程的解关联问题（高频） 题型10 二元一次方程组的错解复原问题（难） 题型11 方程组同解问题（高频） 题型12 简单实际问题列二元一次方程组（高频） 题型13 新定义背景下的二元一次方程问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二元一次方程组及方程的解的判断 1．若是关于，的二元一次方程，则m- n的值是（     ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，列关于，的方程和不等式，求解后代入计算的值． 【详解】解：∵ 方程是关于，的二元一次方程， ∴且 且且， ∵， 解得 ． ∵ ， ∴ ，则． ∵ ，解得 ． ∵ ， ∴ ，则． ∴ ． 2．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项方程组共含三个未知数，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意． 3．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入各选项验证， 代入A选项的两个方程： ，与方程右边相等，成立； ，与方程右边相等，成立，符合题意； 代入B选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入C选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入D选项的，得，方程不成立，不符合题意． ◆题型2 代入消元法解二元一次方程组 4．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 【答案】C 【分析】观察方程组未知数的系数，优先选择系数为的未知数所在方程变形． 【详解】解：方程中的系数为，可变形为，代入计算简便； 方程中的系数为，可变形为，代入计算简便， ∴先把变形或先把变形均较为简便． 5．下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 【答案】D 【分析】观察方程组结构，寻找最简便的消元方式，优先利用已有整体形式代入简化计算． 【详解】解：， 方程②已经直接给出的表达式，两个方程都含， ∴直接将②整体代入①，即可消去未知数，无需额外变形得到分式形式，计算步骤最少，是最简单的解法． 6．解方程组 【答案】 【分析】使用代入消元法求解二元一次方程组，先将第一个方程变形得到x关于y的表达式，代入第二个方程求出y，再回代计算得到x即可； 【详解】解： ， 由①移项得， 把代入②得，解得， 把代入得， 因此原方程组的解为． 7．解方程组： 【答案】 【详解】解：， 由①得③， 将③代入②中得，解得， 将代入③，可得， ∴该方程组的解为． ◆题型3 加减消元法解二元一次方程组 8．解二元一次方程组： 【答案】 【详解】解： 得， 将代入①得 解得， ∴方程组的解为． 9．解方程组 【答案】 【分析】给两个方程分别乘适当的数，使得同一个未知数的系数绝对值相等，两式相加消元求出一个未知数，再回代求另一个未知数． 【详解】解：， ，得， ，得， ，得， ∴． 把代入①，得，，． ∴ 方程组的解为． 10．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）y的系数互为相反数，用加减消元法求解即可． （2）先整理方程组为一般形式，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得 ， ，得 ， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 11．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． ◆题型4 整体思想巧解二元一次方程组 12．已知，则的值为（     ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】观察目标式与方程组的系数特征，将两方程直接相加即可求得结果． 【详解】解： ，得， 整理得：． 13．若方程组，则的值是_____． 【答案】24 【详解】解：由可得， ∴ ． 14．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为_________，的值为_________． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】(1)10， (2) 【分析】（1）联立方程③和①求出y和x的值即可； （2）把方程①加上方程②，利用整体未知数再建立一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 得：， 把代入①可得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， ∴． 15．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解这个方程组，得________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解方程组：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解即可； （2）设，，原方程组可化为，解得，再求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： 设，， ∴原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． （2）解： 设，， ∴原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 16．阅读下面的材料解决问题． 解方程组． 解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组． 【答案】 【分析】根据题意，用整体代入法即可解答． 【详解】解：由①得， 所以， 将③代入②得， 解得； 把代入①，解得， 所以该方程组的解为． ◆题型5 构造二元一次方程组求解 17．当时，，当时，，则（     ） A．9 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将和分别代入原式，化简后将两式相加可消去含的项，直接求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理得 ①， ∵当时，， ∴，整理得②， ∴，得， ∴． 18．在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用代入法得到关于的二元一次方程组，用消元法解方程组即可得到结果． 【详解】解：∵当时，，当时，， 将两组值代入，可得方程组， 用②①得：， 化简得， 将代入①得：， 解得， ∴，． 19．正整数、、满足，且，，求、、的值． 【答案】，， 【分析】利用整体思想，先求出，，根据题干条件正整数、、满足，得到，，再利用列出所有可能的值，最后将所有可能的值代入验证，找出符合题意的结果． 【详解】解：， ， 又， ， ，． 正整数、、满足， ，． 、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、， 代入可得 只能是，，． ◆题型6 二元一次方程组的特殊解法 20．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得， ∴， 得， 得，解得， 把代入⑦得，解得， ∴原方程组的解为． 21．仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法： 解：②−①，得：，所以③， 将③，得④， ①−④，得，从而可得， 所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于，的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由如下：， ①−②，得：， ∵， ∴ ③， 将③，得④， ①−④，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． 【详解】（1）解：， ①−②，得：，所以③， 将③，得④， ④−②，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． （2）略 22．阅读材料：在解方程组时，棒棒同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程的解的含义可得，求解即可； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得； （2）解：设，， ∴原方程组可化为， 解得， ， 解得； （3）解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ， 解得． ◆题型7 已知二元一次方程组的解求参数 23．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 【答案】D 【分析】先将已知的代入第一个方程求出，即代表的数，再将和的值代入第二个方程求出代表的数，即可得到答案． 【详解】解： 把代入第一个方程得：， ， 即代表的数为 ， 把，代入第二个方程得： ，即代表的数为． 24．若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组的解代入方程组，可得关于，的方程组，然后解方程组求出，后，代入即可求解的值． 【详解】解：把代入，得， 解得 ． 25．若是二元一次方程组的解，则的值是________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，解出、的值，再计算． 【详解】解：把代入方程组， 可得：， ①+②得：，解得． 将代入①式： ， ， ， ． ◆题型8 已知二元一次方程组的解的情况求参数 26．已知，若，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，结合已知条件即可求出的值． 【详解】解：， 由得：， 整理得：， ， ， 解得． 27．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 _____． 【答案】 【详解】解：， 得：． 又∵， ∴， ∴， ∴m的值为． 28．已知关于、的二元一次方程组的解满足，则________． 【答案】 【分析】将方程组两个方程作差，得到关于的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解： 得 整理得 ∵ ∴ 解得． 29．已知关于x，y的方程组，若方程组的解满足，求k的值． 【答案】的值为． 【分析】先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出k即可． 【详解】解：解方程组，得， 将代入得，， 解得． ◆题型9 同结构方程的解关联问题 30．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】先对比两个方程组的结构，结合第一个方程组的解可得，再逐一解出的值即可． 【详解】解：对比两个方程组，得， 由得，则； 由解得， 即关于，的二元一次方程组的解是． 31．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 【答案】 【分析】 本题利用整体换元思想，结合二元一次方程组解的定义，将新方程组中的和看作整体，对应原方程组的解得到关于的新方程组，再解二元一次方程组即可得到结果． 【详解】 解：∵关于、的二元一次方程组的解是， ∴方程组， 由此可得 ， 将两个方程相加，得， 解得 ． 把代入， 得， 解得． ∴方程组的解为． 32．阅读下面资料，解决问题． 解方程组，若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为__________． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由换元法，设，，解得，进而求出． （2）由换元法，设，，则该方程组为，由题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：方程组， 设，， 则原方程组化为， 得，， ， 解得， ，解得． （2）解：方程组， 可化为， 设，， 则该方程组化为， 关于，的二元一次方程组的解为， ， ，解得． ◆题型10 二元一次方程组的错解复原问题 33．已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】 【分析】求出的解，然后代入中求得的值；设方程中的系数为，的系数为，把原方程组的正确解与错误解代入第一个方程中求解即可求解． 【详解】解：解方程组，得， 把代入，得，， 设方程组中含有▲的方程中的系数为，的系数为， 把和代入含有▲的方程得， 解得， 原方程组为． 34．已知关于，的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为________． (2)若该方程组的解满足，求的值． (3)若小宇同学在解此方程组时，看错了的符号，从而得到解为，则正确的值为________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）取，求出对应的值即可； （2）求出方程组的解，代入即可得出结果； （3）根据题意，得到是方程的解，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 故方程的一组正整数解可以为（答案不唯一）； （2）解：由题意，方程组与方程组同解， 解，得， 把代入，得， 解得. （3）解：由题意，是方程的解 ∴， ∴. 35．小明，小聪两人同解方程组时，小明看错了方程①中的a，解得，小聪看错了方程②中的b，解得，求的值． 【答案】 【分析】根据方程解的定义，利用看错系数的解分别求出，再代入代数式计算即可． 【详解】由题意得， 把代入得； ， 解得：， 把代入得： ， 解得：， 将，代入得， ． 36．小甲和小乙两人共同解方程组．小乙看错了方程①中的a，得到方程组的解是，小甲看错了方程②中的b，得到方程组的解是． (1)求a、b的值； (2)求此方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意代入列方程求解即可； （2）代入a、b的值再解方程组即可； 【详解】（1）解：据题意得，满足方程②，满足方程①， 分别代入得，，解得， ，解得． 综上，，． （2）解：方程组为， 得：，即， 将代入①得：， 则方程组的解为． 37．小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用看错系数的解仍满足未看错的方程，代入计算即可求出和的值； 把的值代入原方程组，再利用加减法解答即可． 【详解】（1）解： 小马看错方程①中的，得到的解满足方程②， 将代入②，得 ， 解得， 小虎看错方程②中的，得到的解满足方程①， 将代入①，得 ， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得 ， ①②，得 ， ∴， 把代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的正确解为． ◆题型11 方程组同解问题 38．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据题意组成新的方程组，求解即可； （2）把（1）中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意联立得， 解得， 即两个方程组相同的解是； （2）把代入方程和中， 得， 解得， ∴． 39．已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值． 【答案】， 【分析】根据同解的性质，先求出两个方程组公共的的解，再代入得到关于的方程组，用消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 将代入原方程组含参数的方程，得 ， 解得 ． 40．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个方程组同解，联立不含参数的两个二元一次方程，加减消元求出； （2）将（1）求得的代入含的方程，得到关于的二元一次方程组，解出后代入式子计算立方值． 【详解】（1）解： 得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴这个相同的解为 （2）解：将代入， 得， 由③得， 把代入④得， 解得， 把代入得， 当，时，. ◆题型12 简单实际问题列二元一次方程组 41．海南盛产芒果、荔枝，某商贩购进斤芒果、斤荔枝，已知购进总重量斤，芒果重量比荔枝倍少斤，列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵购进总重量为80斤， ∴， ∵芒果重量比荔枝2倍少10斤， ∴， 联立得方程组. 42．某校举办师生茶话会．若每桌坐12人，则空出一张桌子；若每桌坐10人，还有10人没有座位．设参加茶话会的师生共人，共准备了张桌子，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意分析第一种情况： ∵每桌坐12人时，空出一张桌子， ∴实际使用的桌子数为张，总人数等于每桌人数乘实际使用桌子数，可得． 第二种情况： ∵每桌坐10人时，还有10人没有座位， ∴已经就坐的人数为，总人数减去未就坐的10人等于已经就坐的人数，可得． 因此可列方程组． 43．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走m步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了n步，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据走路快的人追上走路慢的人时，快行者比慢行者多走100步，且两人运动时间相等，走路快的人走m步与走路慢的人走n步所用的时间相等，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设走路快的人走m步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了n步， 则可列方程组为． 44．在一次爱心捐助活动中，八年级（1）班40名同学共捐款275元，已知同学们捐款的面额只有5元、10元两种，求捐5元和10元的同学各有多少名？若设捐5元的同学有x名，捐10元的有y名，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意直接列方程组即可． 【详解】解：∵八年级（1）班共有40名同学， ∴； 又∵八年级（1）班共捐款275元， ∴． ∴所列方程组为． 45．每年的农历五月初五是端午节，某校开展了丰富多彩的传统文化活动．初一年级举行“端午文化知识竞赛”，一共有道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣2分．小舟回答了全部道题，最终得分为72分．设小舟答对了道题，答错或不答道题，则根据题意可列出二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共20道题， ∴． ∵答对每题得5分，答错或不答每题扣2分，最终得72分， ∴． 联立得方程组． ◆题型13 新定义背景下的二元一次方程问题 46．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组”． (1)试判断二元一次方程组   （填“是、否”）“美好方程组”； (2)若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，且m，n为正整数，求出m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）求出方程组的解，然后进行判断； （2）表示出方程组解的和，根据定义列出方程求参数即可； （3）解方程组，表示出解的和，然后根据要求确定参数的取值． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵， ∴该方程组是“美好方程组”； （2）解： ，得， ∴， ∵是“美好方程组”， ∴， ∴， 解得； （3）解： 得：， ∴， ∵方程组是“美好方程组”， ∵， ∴， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，得（符合题意）， 当或时，m不为正整数，舍去， ∴． 47．规定：形如与的两个关于，的方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是________； (2)若关于，的方程组为共轭方程组，则________________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②①得，所以③ ③得④ ①④得，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由共轭二元一次方程的定义直接求解即可； （2）由共轭二元一次方程组的定义列方程组求解即可； （3）由阅读材料中的方法类比求解即可． 【详解】（1）解：由共轭二元一次方程的定义可得方程的共轭二元一次方程是； （2）解：关于，的方程组为共轭方程组， 则由共轭方程组定义可得， ； （3）解：， ②①得，所以③， ③得④， ①④得，从而得， 所以原方程组的解是． 48．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 (1)方程的“对称二元一次方程”是________； (2)若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，求，的值． (3)观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加：即 ， ③ 两式相减：即 ， ④ 代入求解：把④代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是：． 根据上述解题过程直接写出方程组的解： ①的解为____________． ②的解为____________． 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】（1）根据所给定义，写出方程即可； （2）根据所给定义，得出关于，的方程组，据此进行计算即可； （3）结合所给求解方法进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意得，方程的“对称二元一次方程”是． （2）解：∵关于、的方程组为“对称二元一次方程组”， ，解得． （3）解：①， ，得，即③， ，得，即，∴④， 将④代入③，得，解得，则． ∴方程组的解为． ②， ，得，即③， ，得，即，∴④， 将④代入③，得，解得，则． ∴方程组的解为． 49．关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“差一”方程组． 例如：关于，的二元一次方程组：，解方程组得：， ， ∴方程组是“差一”方程组． (1)下列方程组是“差一”方程组的是_____________（只填写序号）； ①；②；③； (2)若关于，的方程组是“差一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“差一”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“差一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入到，可求出，的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得，， 此时，， ①不是“差一”方程组； ②，解得，， 此时，， ②是“差一”方程组； ③，解得，， 此时，， ③是“差一”方程组． 故答案为：②③． （2）解：， ①得，， ②③得，， ． 把代入①得，， ， 所以方程组的解是． 关于，的方程组是“差一”方程组， ，即， 解得，或． （3）解：若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“差一”方程组，则， 联立得，， 解得，或． 把代入中， 得， 即． 为无理数， ，， 解得，，， ； 把代入中， 得， 即． 为无理数， ，， 解得，，， ； 综上所述，或． 综合攻坚·知能拔高 1．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：方程组总共含有两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，方程含未知数，方程组共有3个未知数，不符合要求，错误； B选项，方程仅含两个未知数，所有未知数次数都为1，是整式方程，符合要求，正确； C选项，方程中的次数为2，不符合要求，错误； D选项，方程中项的次数为2，不符合要求，错误． 2．若关于、的方程是二元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 方程是二元一次方程， ∴ ， 即且， ∴ . 3．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴； ∴. 4．解方程组，下列解法步骤中不正确的是（     ） A．用加减消元法消去，得 B．用代入消元法消去，由得 C．用代入消元法消去，由得 D．用加减消元法消去，得 【答案】D 【分析】根据消元法的规则和等式性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：用加减消元法消去，得，整理得，步骤正确，不符合题意； 选项B：用代入消元法消去，对移项可得，步骤正确，不符合题意； 选项C：用代入消元法消去，对移项可得，步骤正确，不符合题意； 选项D：用加减消元法消去，先给两边乘得，再用减去这个式子，即，整理得，不是，步骤错误，符合题意． 5．如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．数学书和语文书共有90本，恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本？设书架上数学书有本，语文书有本，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设书架上数学书有本，语文书有本， ． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将待解方程组变形为和已知原方程组结构相同的形式，再对应已知解得到新的方程，即可求出结果． 【详解】解：将整理变形：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：． 7．若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组看作关于a、b的二元一次方程组可求得，然后代入化简即可解答． 【详解】解：将方程组看作关于a、b的二元一次方程组： 可得：，解得：， 将代入可得． 8．已知关于，的方程组和的解相同，则的值为________． 【答案】 【分析】两个方程组解相同，说明解是四个方程的公共解，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求出的值，即可计算． 【详解】解：两个方程组的解相同， 公共解满足两个不含参数的方程， 联立得， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把、代入含的方程， 得：， 解得：， ． 9．已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为_______． 【答案】 【分析】令，，可知新换元后的方程组与已知解的原方程组结构相同，由此得到关于，的二元一次方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：在方程组中 令 ∴原方程组可化为 ∵的解为 ∴ 得 解得 把代入得 解得 故原方程组的解为 ． 10．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 11．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 把代入，可得：，解得：， 把代入，可得：， ∴方程组的解为． （2）解：， 整理得， 整理得， 把，可得：，解得：， 把代入，可得：，解得：， ∴方程组的解为． 12．已知关于，的方程组，且其解满足．在求的值时，有下面两种方案： 甲方案 按照传统思路，先对方程组进行求解，然后将含的解，代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解． 乙方案 通过观察方程组和最后一个关系式，可以利用整体法，将方程组的两个方程相加，再直接代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解． 请你任选一种方案，求出的值． 【答案】 【分析】甲方案先利用加减消元法求出二元一次方程组的解，再代入即可得到的值；乙方案直接结合题目所给条件得出，求解即可得到的值． 【详解】解：利用甲方案： ， 得， 得，解得， 把代入得， ， ， 化简得， 移项得， 解得； 利用乙方案： ， 得， ， ， 移项得， 解得； 以上两种方案任选一种解答即可． 13．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组错解问题，解此类问题抓住一句话“看错谁，不用谁”，把解代入未看错方程来组建新的关于，的方程解题． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ， 解得：， 同理乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 可得：， 解得：， ． 14．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将三个方程相加提取公因式直接得到的值； （2）对比两个方程组的结构，得到关于的新方程组，用加减消元法求解； （3）将、看作整体整理方程组，再用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 得， 解得 ； （2）解：∵关于，的二元一次方程组的解为 ，且关于，的二元一次方程组为 ， ∴， 得， 解得， 将代入，得， 解得 ， ∴方程组的解为； （3）解：原方程组整理得 ， 得 ， 解得 ， 把代入①得 ， 解得， 即，． 15．关于x，y的二元一次方程组，给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“合和”方程组．例如：关于x，y的二元一次方程组的解是，满足，则称方程组是“合和2”方程组． (1)下列方程组是“合和3”方程组的是__________（只填写序号）； ①；    ②；    ③；    ④． (2)若关于x，y的方程组是“合和”方程组，求的值； (3)当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组，直接写出a，b的值． 【答案】(1)②④ (2) (3) 【分析】（1）根据“合和3”方程组的定义逐一判断即可； （2）利用加减消元法解方程组得到，根据“合和”方程组的定义得到，据此建立方程求解即可； （3）根据“合和”方程组的定义得到，联立，解方程组得到；把代入中得，根据对于任意的，等式都成立，得到，则． 【详解】（1）解：①∵， ∴方程组的解不满足， ∴方程组不是“合和3”方程组； ② 得，解得， 把代入⑤得，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴方程组是“合和3”方程组； ③ 得， ∴， ∴方程组不是“合和3”方程组； ④∵， ∴方程组的解满足， ∴方程组是“合和3”方程组； 综上所述，是“合和3”方程组的是②④； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组是“合和”方程组， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组， ∴当时，， 联立 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 把代入中得， ∴， ∴， ∵对于任意的，等式都成立， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $