专题08 一元一次方程的应用（专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专题08 一元一次方程的应用 常考题型·精准突破 题型1 行程问题（重） 题型2 配套问题（重） 题型3 工程问题（高频） 题型4 销售问题（重） 题型5 比赛积分问题 题型6 分段计费问题（难） 题型7 古代数学问题（高频） 题型8 日历规律问题 题型9 数字年龄问题 题型10 方案选择问题（难） 题型11 和差倍分问题 题型12 几何问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 行程问题 1．【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟． （2）爸爸出发后5分钟与小明相遇． 【分析】（1）根据爸爸追小明时，两人行走路程相等的关系列一元一次方程求解即可； （2）再根据相遇时，两人行走路程和等于总路程的关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）设爸爸追上小明用了分钟. 小明提前分钟出发，被追上时行走总时长为分钟， ∵追上时两人行走路程相等， ∴， 解得：， ∴此时爸爸行走路程为（米）， ∵， ∴符合途中追上的条件，即爸爸追上小明用了分钟； （2）设爸爸出发后分钟与小明相遇， ∵两人相向而行，相遇时路程和等于家到学校的总路程， ∴， 解得：． ∴爸爸出发后分钟与小明相遇． 2．【答案】 从甲地到乙地有千米 【分析】以往返总行驶时间等于小时为等量关系，结合行程公式列方程求解． 【详解】解：设从甲地到乙地的路程为千米， 由题意得， 解得． 答：从甲地到乙地有千米． 3．【答案】甲出发后8分钟追上乙． 【分析】根据题意得出等量关系，甲的骑行速度乘以甲的骑行时间等于乙的骑行速度乘以乙的骑行时间，设甲骑行分钟，则乙骑行分钟，可列出一元一次方程． 【详解】解：甲出发后分钟追上乙． 由题意，列出一元一次方程， 解得， 答：甲出发后8分钟追上乙． 4．【答案】(1)； (2)10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和列代数式，解题的关键是： （1）甲船顺水的速度船速水流速度；乙船逆水的速度船速水流速度； （2）甲船行驶路程乙船行驶路程千米． 【详解】（1）解：根据题意知， 甲船顺水的速度千米时．乙船逆水的速度千米时． 故答案为：；； （2）根据题意，得． 解得． 答：的值是10． ◆题型2 配套问题 5．【答案】C 【详解】解：分配名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，每天生产螺栓个，生产螺母个， 根据1个螺栓配2个螺母，恰好配套可得方程． 6．【答案】加工螺栓20人，加工螺母30人，能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】设加工螺栓x人，则加工螺母人，根据螺栓的个数的2倍等于螺母的个数，列方程求解即可； 【详解】解：设加工螺栓x人，则加工螺母人， 根据题意可得， 解得：， 答：加工螺栓20人，加工螺母30人，能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 7．【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B 【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B． 根据题意，得 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 8．【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． ◆题型3 工程问题 9．【答案】完成这批任务只需天 【分析】设按照实际效率完成这批任务只需天，由生产有机肥总量不变，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：实际前天就完成了吨， 这样的效率为（吨/天）， 设按照实际效率完成这批任务只需天，则， 解得， 答：完成这批任务只需天． 10．【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 11．【答案】乙单独完成这项工程需要天 【分析】根据甲、乙工作效率比为设出两人的工作效率，再结合“甲先单独做天，再与乙合作天完成工程的一半”列出方程，进而求出乙的工作效率，最后算出乙单独完成工程的时间． 【详解】解：设全部工程量为，甲每天完成的工程量为，则乙每天完成的工程量为， 则， 即， ， 则乙每天完成的工程量为， （天）， 答：乙单独完成这项工程需要天． 12．【答案】该组工人一共有16人 【分析】设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1，先分别求得卸A、B两列火车的货物的总工作量，再根据题意得到卸完火车货物的工作量是火车的2倍，进而列方程求解即可． 【详解】解：设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1， 他们上午10点到，共2.5小时，全组人一起卸A火车的货物的工作量为， 从到14点，共1.5小时，一半人卸A火车的货物的工作量为， 则卸A火车的货物的总工作量为； 从到14点，共1.5小时，一半人卸火车的货物的工作量为， 火车的货物剩余工作量为， 故卸B火车的货物的总工作量为， 因为卸完火车所需时间是火车的2倍，每人每小时的工作效率相同， 所以卸完火车货物的工作量是火车的2倍． 所以， 解得， 答：该组工人一共有16人． ◆题型4 销售问题 13．【答案】该商品每件的进价为元． 【分析】设该商品每件的进价为x元，结合售价、进价与利润率的关系列方程求解． 【详解】解：设该商品每件的进价为x元， 根据题意得，， 解得， 答：该商品每件的进价为元． 14．【答案】这一袋化肥的进价是150元. 【分析】以打折后单袋化肥利润为30元为等量关系，设未知数列一元一次方程求解； 【详解】解：设这一袋化肥的进价是元， 根据题意可得， 解得， 答：这一袋化肥的进价是150元． 15．【答案】商品A的成本为1000元，商品B的成本为500元 【分析】设商品B的成本为x元，则商品A的成本为2x元，根据“共亏损了60元”列出方程求解即可． 【详解】解：设商品B的成本为x元，则商品A的成本为2x元． ， 解得： ， 答：商品A的成本为1000元，商品B的成本为500元． 16．【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． ◆题型5 比赛积分问题 17．【答案】这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 18．【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 19．【答案】他答对了19道题 【分析】设他答对了道题，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，由此列式求解即可． 【详解】解：设他答对了道题， 依题意得：， 解得． 答：他答对了19道题． ◆题型6 分段计费问题 20．【答案】(1)810；1170 (2) 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）先判断丙户居民2025年用水量的范围，再设丙户居民2025年的用水量为，根据收费标准列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：甲户居民的水费为（元）， 乙户居民的水费为（元）． （2）解：由（1）可知，当用水量为时，水费为810元；当用水量为时，水费为1170元． 由于810元元元， 所以丙户居民2025年的用水量超过，且不足． 设丙户居民2025年的用水量为，根据题意，得 ， 解得， 答：丙户居民2025年的用水量为． 21．【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 22．【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 23．【答案】（1）元； （2）元 【分析】（1）小超家用水量在第一阶梯范围内，可直接用总水价乘以用水量快速计算应缴水费； （2）先计算前两阶梯自来水费的总额，与小明家的自来水费比较，确定用水量进入第三阶梯，再通过方程求出总用水量，最后根据污水处理费的计费规则计算费用． 【详解】（1）解：∵小超家年月份用水，，属于第一阶梯水价范围， ∴应缴纳水费为(元)． 答：小超家应缴纳水费元． （2）解：∵，， ∴前的自来水费总额为(元)． ∵， ∴小明家月份用水量超过． 设超过的水量为， 根据题意列方程：， 解得， ∴小明家月份总用水量为()． ∴污水处理费为(元)． 答：小明家月份需缴污水处理费元． ◆题型7 古代数学问题 24．【答案】B 25．【答案】D 26．【答案】C 27．【答案】A 28．【答案】家数为126，牛价为3750钱． 【分析】设牛价为x钱，根据每7家合伙出190钱，则差330钱可知家数为，根据每9家合伙出270钱，则多了30钱可知家数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设牛价为x钱， 由题意得，， 解得， ∴， 答：家数为126，牛价为3750钱． ◆题型8 日历规律问题 29．【答案】D 30．【答案】五 31．【答案】504 ◆题型9 数字年龄问题 32．【答案】12 33．【答案】666 34．【答案】今年甲45岁，乙15岁． ◆题型10 方案选择问题 35．【答案】(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； (2)这张飞机票原价是700元． 【分析】（1）机票原价为930元，A票务中心机票按原价打七五折销售，即，再加上每张票额外加收的手续费35元即可；B票务中心机票按原价优惠，免收任何手续费，即； （2）设飞机票原价是元，根据“两家票务中心购票实付款一样多”列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 36．【答案】(1)七年级（1）班48人，七年级（2）班56人 (2)304元 (3)购买51张票划算些 【分析】（1）设七年级（1）班人，则七年级（2）班人，  根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以； （2）先求出购团体票的费用，再用1240 元团体票的费用就是节约的钱； （3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用， 比较两个费用的大小就可以得出结论． 【详解】（1）解：设七年级（1）班人，则七年级（2）班人， 由题意可得： ， 解得， 则 ． 答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人． （2）解：（元）． （3）解：七年级（1）班按照实际人数购票的费用为： 元， 购51张票的费用为：元． ， ∴购买51张票划算些． 37．【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 38．【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 39．【答案】(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可； （2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． ◆题型11 和差倍分问题 40．【答案】520 41．【答案】 42．【答案】 43．【答案】妈妈买香蕉花了12.5元 44．【答案】每张桌子元，每把椅子元 【分析】设每把椅子元，则每张桌子元，根据买张桌子和把椅子共花了元列一元一次方程求解． 【详解】解：设每把椅子元，则每张桌子元， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每张桌子元，每把椅子元． 45．【答案】参加植树的少先队员有个，一共种棵树． 【分析】以树的总棵数不变为突破口，设少先队员人数为未知数，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设参加植树的少先队员有个． ∵ 两种植树方式的树的总棵数相等 ， ∴， 即， 解得， ∴树的总棵数为（棵）， 答：有个少先队员参加植树，一共种棵树． ◆题型12 几何问题 46．【答案】A 47．【答案】(1) (2)3或4 (3) 【分析】（1）先求出，再根据建立方程，解方程即可； （2）先求出，，，进而可得，的值，再根据中恰好有两条边相等建立方程，解方程即可； （3）先求出，的值，进而可得，的值，再根据建立等式，化简即可得． 【详解】（1）解：∵在数轴上从左到右，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 解得． （2）解：∵数轴上从左到右，点分别表示整数，点分别表示数，1，且， ∴，，， ∴，即， 由折叠的性质可知，，， ∵中恰好有两条边相等， ∴或， 即或， ∴或． （3）解：∵数轴上从左到右，点分别表示整数，点分别表示数，1， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴． 48．【答案】(1)，； (2) (3)点Q运动的速度为单位/秒或单位/秒 【分析】（1）根据绝对值的性质及方程求解即可； （2）设点C对应的数为x，，然后列出方程求解即可； （3）设Q运动速度为v单位/秒，则P速度为单位/秒．得出3秒后，P表示的数为：，Q表示的数为：，确定，，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； ∴线段； （2）解：设点C对应的数为x，， ∴ ； ∴点C在数轴上所对应的数为6； （3）解：设Q运动速度为v单位/秒，则P速度为单位/秒． 3秒后，P表示的数为：，Q表示的数为：， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ， 解得 ②当时， ， 解得 答：点Q运动的速度为单位/秒或单位/秒． 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】 7．【答案】 8.【答案】 9．【答案】3 10．【答案】 11．【答案】24 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】90千米 【分析】先设A，B两城相距为千米，再列出方程求解即可． 【详解】解：设A，B两城相距为千米， 则， ， ， 答：A，B两城相距为千米． 15．【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 16．【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【分析】（1）设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元，根据已知总的销售额，列方程并解方程即可得到答案； （2）依题意可知紫精轩单价元，数量150个，瓷青单价80元，数量个，再依据五月份的总销售额，列方程并解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 17．【答案】问题1：；问题2：此时的里程数为16千米；问题3：，两地相距1或13千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 问题1：根据出租车的计费标准列代数式即可； 问题2：设里程数为千米，根据“小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同”列方程求解即可； 问题3：设，两地相距千米，根据“小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元”列方程求解即可． 【详解】解：问题1、乘坐出租车千米，费用为元． 问题2、显然，里程数不可能为3千米以内，设此时的里程数为千米， ①快车没满40元，由题意得，此方程无正解； ②快车满40元，由题意得，解得． 答：此时的里程数为16千米． 问题3：设，两地相距千米， ①当时，由题意得，解得； ②当时，由题意得，解得（舍去）； ③当时，由题意得，解得． 答：，两地相距1或13千米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元一次方程的应用 常考题型·精准突破 题型1 行程问题（重） 题型2 配套问题（重） 题型3 工程问题（高频） 题型4 销售问题（重） 题型5 比赛积分问题 题型6 分段计费问题（难） 题型7 古代数学问题（高频） 题型8 日历规律问题 题型9 数字年龄问题 题型10 方案选择问题（难） 题型11 和差倍分问题 题型12 几何问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 行程问题 1．小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 2．锂电池因其长循环寿命、轻量便携和快速充电等特点，被越来越多的人选择．农业园换用锂电池货车送货，充满电后可持续行驶小时．充满电后货车从甲地去乙地，去的时候由于对道路不熟悉，时速是千米，从乙地返回甲时，时速为千米，到甲时电池刚好没电．从甲地到乙地有多少千米？ 3．甲、乙两人从同一地点骑自行车沿同一方向出发，乙每分钟行240米，先出发2分钟；甲每分钟行300米，随后出发追赶乙．甲出发后多少分钟追上乙？ 4．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时． (1)甲船顺水的速度是 千米/时；乙船逆水的速度是 千米/时； (2)若3小时后甲船比乙船多航行60千米，求a的值． ◆题型2 配套问题 5．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 6．某车间有工人50人，每人每天可加工螺栓9个或螺母12个，一个螺栓配两个螺母，问如何分配工人，使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？(列方程/方程组求解) 7．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 8．某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ ◆题型3 工程问题 9．某县农业园养殖了许多的黄牛，黄牛品种优良，肉质鲜美．农业园中养殖牛的排泄物是制作有机肥的主要材料．农业园响应“绿色环保”号召建设了有机肥生产线．有机肥生产线原计划每天生产吨，天完成，实际前天就完成了吨．照这样的效率，完成这批任务只需多少天？ 10．2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 11．一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 12．一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ ◆题型4 销售问题 13．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为多少元？ 14．商店从农业园进化肥，一袋化肥的售价比进价多，售价减去进价就是利润．现在化肥八折优惠，一袋化肥的利润减少至30元．这一袋化肥的进价是多少元? 15．商店进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后打八折出售．商品A和商品B同时卖出后，结果共亏损了60元．若商品A的成本是商品B的2倍，则商品A、B成本分别是多少元？ 16．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ ◆题型5 比赛积分问题 17．在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 18．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 19．为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ ◆题型6 分段计费问题 20．为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）： 收费方式 年用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元； (2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量． 21．我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 22．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 23．根据以下素材，探索并完成任务． 材料1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，普洱市发展和改革委员会于2023年1月18日发布了关于调整普洱主城区居民阶梯水费标准有关事项的通知．供水管网范围内，对于完成“一表一户”改造的居民用水收费标准如下表： 材料2 用户类别阶梯水价 居民生活用水 污水处理费 （元/） 总水价 （含污水处理费） （元/） 水量基数 （/月/户） 自来水价 （元/） 第一阶水价 0~12（含12） 2.65 1.5 4.15 第二阶水价 12~16（不含12，含16） 3.98 1.5 5.48 第三阶水价 16以上（不含16） 7.95 1.5 9.45 （注：污水处理费按实际用水量计算） 材料3 例如：某用户2025年3月份用水，则各种费用如下： 自来水费（元） 污水处理费（元） 缴纳水费（元） 问题解决： 任务1确定水费 （1）若小超家2025年10月份用水，则他家应缴纳水费多少元？ 任务2确定污水处理费 （2）若小明家2025年11月份所缴纳水费中，自来水费为55.67元，求小明家11月份需缴污水处理费多少元？ ◆题型7 古代数学问题 24．《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚各几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？下列说法正确的是（   ） A．设大和尚共分个馒头，所列方程为 B．设大和尚人，所列方程为 C．大和尚有24人 D．小和尚有66人 25．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？”设物品的价格为y钱，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 26．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有x个杏，可列方程是（    ） A． B． C． D． 27．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 28．今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ ◆题型8 日历规律问题 29．如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 30．下面是某月的月历，小玉在该月每周固定周几去听数学文化讲座，若本月几次听讲座的日期之和是，则小玉是周_________去听的讲座． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 31．如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________． ◆题型9 数字年龄问题 32．138除以一个数，得到的商是9，并且除数与余数的差是2，余数是_________． 33．如果把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了6000，原来的数是_________． 34．今年甲、乙的年龄和是甲、乙的年龄差的2倍．5年前，甲的年龄是乙的4倍．今年甲、乙各多少岁？ ◆题型10 方案选择问题 35．某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 36．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 37．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 38．（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 39．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ ◆题型11 和差倍分问题 40．某超市批发辣椒、西红柿、洋葱共930千克，其中西红柿的重量是洋葱的2倍，辣椒的重量比洋葱的一半还多20千克，问西红柿批发了_____千克． 41．爱心企业发放一批慰问品，若每户分份，还多份；今年慰问品发放的对象增加到原来的倍少户，若按每户分份发放，还缺份．这批慰问品共有____________份． 42．小乐和同学们凑了一笔钱去银座采购郊游物品．已知一包火爆鸡丁7元钱，一袋香辣牛筋10元钱．如果给每人买1包火爆鸡丁和2袋香辣牛筋，还能剩下100元钱；如果给每人买2包火爆鸡丁和3袋香辣牛筋，还缺53元钱，那么一共有___________人． 43．妈妈去超市买香蕉和苹果一共花了45元，买苹果的钱数是买香蕉钱数的2.6倍，请问妈妈买香蕉花了多少元？（列方程解答） 44．学校买了张桌子和把椅子，共花了元．已知每张桌子的价钱是每把椅子的倍，每张桌子和每把椅子各多少元？ 45．少先队员去植树，如果每人种棵，还有棵没人种；如果其中人各种棵，其余的人各种棵，这些树正好种完，有多少个少先队员参加植树？一共种多少棵树？ ◆题型12 几何问题 46．如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 47．数轴上从左到右四个点位置如图所示，点分别表示整数，点分别表示数，1．将数轴沿折叠，使点重合于点，构成． 当所构成的三角形中恰好有两条边相等时 (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，则_______（用含的式子表示）． 48．已知a、b两数在数轴上所对应的点为A、B，且． (1)直接写出______；______；线段长=______； (2)数轴上在B点右边有一点C，点C到A、B两点的距离和为13，求点C在数轴上所对应的数； (3)若P、Q两点分别从A、B出发，同时沿数轴正方向运动，P点的速度是Q点速度的2倍，且3秒后，，求点Q运动的速度． 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邢台·二模）学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中有如下题：原文是“今有人共买鸡，人出八，盈十；人出六，不足十四．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出8文钱，多出10文钱；如果每人出6文钱，还差14文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人共同买鸡，根据题意，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．有一条长的纸条．迪迪将其切成9个宽度相同的较短的块，并将它们重新排列成一个大正方形，如图所示．大正方形的周长是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 7．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时，，，那么甲乙两站的路程是___________． 8.汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由个茶壶和只茶杯组成．用千克瓷泥可做个茶壶或只茶杯，现要用千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，可列方程为________． 9．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 10．伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物-------莱茵德纸草书．这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作．书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是．这个数是______． 11．如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________． 12．小创和小新各有一些碧根果，小创对小新说：“我的碧根果的数量比你的碧根果的数量的2倍多2个”．后来小创吃了28个，小新吃了2个，此时小新发现，他的碧根果的数量比小创碧根果的数量的2倍多2个．原来小创有___________个碧根果． 13．手工课上，老师让同学们将一张长方形彩纸按要求切割，得到如图所示的个长方形，其中，，．若长方形与长方形的周长相等，则的长度为________（用含的代数式表示）． 14．甲、乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的，乙车超过中点15千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A，B两城相距多少千米？ 15．（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 16．列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 17．根据以下素材，尝试解决问题 出行方式选择 素材1 随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的方式有了更多的选择．某市有出租车、快车和专车三种网约车，收费标准如图（假设网约车行驶的平均速度均为40千米/时）． 素材2 1．乘坐网约快车4千米路程收费为元； 2．网约快车和网约专车在春节期间有如下优惠方式： 快车：“满40元减10元”优惠券（一次限用一张优惠券） 专车：①免除时长费；②3千米及以内，里程费不变为3元/千米；超过3千米且不超过8千米的部分，里程费为2元/千米；超过8千米的部分，里程费为1.6元/千米． 问题1 乘坐出租车千米，费用为 元．（结果用的代数式表示） 问题2 春节期间，若小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同，求此时的里程数． 问题3 春节期间，小明、小宁分别坐出租车、专车从地前往地．小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元，求，两地相距多少千米？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元一次方程的应用 常考题型·精准突破 题型1 行程问题（重） 题型2 配套问题（重） 题型3 工程问题（高频） 题型4 销售问题（重） 题型5 比赛积分问题 题型6 分段计费问题（难） 题型7 古代数学问题（高频） 题型8 日历规律问题 题型9 数字年龄问题 题型10 方案选择问题（难） 题型11 和差倍分问题 题型12 几何问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 行程问题 1．小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟． （2）爸爸出发后5分钟与小明相遇． 【分析】（1）根据爸爸追小明时，两人行走路程相等的关系列一元一次方程求解即可； （2）再根据相遇时，两人行走路程和等于总路程的关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）设爸爸追上小明用了分钟. 小明提前分钟出发，被追上时行走总时长为分钟， ∵追上时两人行走路程相等， ∴， 解得：， ∴此时爸爸行走路程为（米）， ∵， ∴符合途中追上的条件，即爸爸追上小明用了分钟； （2）设爸爸出发后分钟与小明相遇， ∵两人相向而行，相遇时路程和等于家到学校的总路程， ∴， 解得：． ∴爸爸出发后分钟与小明相遇． 2．锂电池因其长循环寿命、轻量便携和快速充电等特点，被越来越多的人选择．农业园换用锂电池货车送货，充满电后可持续行驶小时．充满电后货车从甲地去乙地，去的时候由于对道路不熟悉，时速是千米，从乙地返回甲时，时速为千米，到甲时电池刚好没电．从甲地到乙地有多少千米？ 【答案】 从甲地到乙地有千米 【分析】以往返总行驶时间等于小时为等量关系，结合行程公式列方程求解． 【详解】解：设从甲地到乙地的路程为千米， 由题意得， 解得． 答：从甲地到乙地有千米． 3．甲、乙两人从同一地点骑自行车沿同一方向出发，乙每分钟行240米，先出发2分钟；甲每分钟行300米，随后出发追赶乙．甲出发后多少分钟追上乙？ 【答案】甲出发后8分钟追上乙． 【分析】根据题意得出等量关系，甲的骑行速度乘以甲的骑行时间等于乙的骑行速度乘以乙的骑行时间，设甲骑行分钟，则乙骑行分钟，可列出一元一次方程． 【详解】解：甲出发后分钟追上乙． 由题意，列出一元一次方程， 解得， 答：甲出发后8分钟追上乙． 4．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时． (1)甲船顺水的速度是 千米/时；乙船逆水的速度是 千米/时； (2)若3小时后甲船比乙船多航行60千米，求a的值． 【答案】(1)； (2)10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和列代数式，解题的关键是： （1）甲船顺水的速度船速水流速度；乙船逆水的速度船速水流速度； （2）甲船行驶路程乙船行驶路程千米． 【详解】（1）解：根据题意知， 甲船顺水的速度千米时．乙船逆水的速度千米时． 故答案为：；； （2）根据题意，得． 解得． 答：的值是10． ◆题型2 配套问题 5．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分配名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，每天生产螺栓个，生产螺母个， 根据1个螺栓配2个螺母，恰好配套可得方程． 6．某车间有工人50人，每人每天可加工螺栓9个或螺母12个，一个螺栓配两个螺母，问如何分配工人，使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？(列方程/方程组求解) 【答案】加工螺栓20人，加工螺母30人，能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】设加工螺栓x人，则加工螺母人，根据螺栓的个数的2倍等于螺母的个数，列方程求解即可； 【详解】解：设加工螺栓x人，则加工螺母人， 根据题意可得， 解得：， 答：加工螺栓20人，加工螺母30人，能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 7．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B 【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B． 根据题意，得 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 8．某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． ◆题型3 工程问题 9．某县农业园养殖了许多的黄牛，黄牛品种优良，肉质鲜美．农业园中养殖牛的排泄物是制作有机肥的主要材料．农业园响应“绿色环保”号召建设了有机肥生产线．有机肥生产线原计划每天生产吨，天完成，实际前天就完成了吨．照这样的效率，完成这批任务只需多少天？ 【答案】完成这批任务只需天 【分析】设按照实际效率完成这批任务只需天，由生产有机肥总量不变，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：实际前天就完成了吨， 这样的效率为（吨/天）， 设按照实际效率完成这批任务只需天，则， 解得， 答：完成这批任务只需天． 10．2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 11．一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 【答案】乙单独完成这项工程需要天 【分析】根据甲、乙工作效率比为设出两人的工作效率，再结合“甲先单独做天，再与乙合作天完成工程的一半”列出方程，进而求出乙的工作效率，最后算出乙单独完成工程的时间． 【详解】解：设全部工程量为，甲每天完成的工程量为，则乙每天完成的工程量为， 则， 即， ， 则乙每天完成的工程量为， （天）， 答：乙单独完成这项工程需要天． 12．一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 【答案】该组工人一共有16人 【分析】设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1，先分别求得卸A、B两列火车的货物的总工作量，再根据题意得到卸完火车货物的工作量是火车的2倍，进而列方程求解即可． 【详解】解：设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1， 他们上午10点到，共2.5小时，全组人一起卸A火车的货物的工作量为， 从到14点，共1.5小时，一半人卸A火车的货物的工作量为， 则卸A火车的货物的总工作量为； 从到14点，共1.5小时，一半人卸火车的货物的工作量为， 火车的货物剩余工作量为， 故卸B火车的货物的总工作量为， 因为卸完火车所需时间是火车的2倍，每人每小时的工作效率相同， 所以卸完火车货物的工作量是火车的2倍． 所以， 解得， 答：该组工人一共有16人． ◆题型4 销售问题 13．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为多少元？ 【答案】该商品每件的进价为元． 【分析】设该商品每件的进价为x元，结合售价、进价与利润率的关系列方程求解． 【详解】解：设该商品每件的进价为x元， 根据题意得，， 解得， 答：该商品每件的进价为元． 14．商店从农业园进化肥，一袋化肥的售价比进价多，售价减去进价就是利润．现在化肥八折优惠，一袋化肥的利润减少至30元．这一袋化肥的进价是多少元? 【答案】 这一袋化肥的进价是150元. 【分析】以打折后单袋化肥利润为30元为等量关系，设未知数列一元一次方程求解； 【详解】解：设这一袋化肥的进价是元， 根据题意可得， 解得， 答：这一袋化肥的进价是150元． 15．商店进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后打八折出售．商品A和商品B同时卖出后，结果共亏损了60元．若商品A的成本是商品B的2倍，则商品A、B成本分别是多少元？ 【答案】商品A的成本为1000元，商品B的成本为500元 【分析】设商品B的成本为x元，则商品A的成本为2x元，根据“共亏损了60元”列出方程求解即可． 【详解】解：设商品B的成本为x元，则商品A的成本为2x元． ， 解得： ， 答：商品A的成本为1000元，商品B的成本为500元． 16．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． ◆题型5 比赛积分问题 17．在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 18．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 19．为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【答案】 他答对了19道题 【分析】设他答对了道题，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，由此列式求解即可． 【详解】解：设他答对了道题， 依题意得：， 解得． 答：他答对了19道题． ◆题型6 分段计费问题 20．为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）： 收费方式 年用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元； (2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量． 【答案】(1)810；1170 (2) 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）先判断丙户居民2025年用水量的范围，再设丙户居民2025年的用水量为，根据收费标准列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：甲户居民的水费为（元）， 乙户居民的水费为（元）． （2）解：由（1）可知，当用水量为时，水费为810元；当用水量为时，水费为1170元． 由于810元元元， 所以丙户居民2025年的用水量超过，且不足． 设丙户居民2025年的用水量为，根据题意，得 ， 解得， 答：丙户居民2025年的用水量为． 21．我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 22．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 23．根据以下素材，探索并完成任务． 材料1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，普洱市发展和改革委员会于2023年1月18日发布了关于调整普洱主城区居民阶梯水费标准有关事项的通知．供水管网范围内，对于完成“一表一户”改造的居民用水收费标准如下表： 材料2 用户类别阶梯水价 居民生活用水 污水处理费 （元/） 总水价 （含污水处理费） （元/） 水量基数 （/月/户） 自来水价 （元/） 第一阶水价 0~12（含12） 2.65 1.5 4.15 第二阶水价 12~16（不含12，含16） 3.98 1.5 5.48 第三阶水价 16以上（不含16） 7.95 1.5 9.45 （注：污水处理费按实际用水量计算） 材料3 例如：某用户2025年3月份用水，则各种费用如下： 自来水费（元） 污水处理费（元） 缴纳水费（元） 问题解决： 任务1确定水费 （1）若小超家2025年10月份用水，则他家应缴纳水费多少元？ 任务2确定污水处理费 （2）若小明家2025年11月份所缴纳水费中，自来水费为55.67元，求小明家11月份需缴污水处理费多少元？ 【答案】（1）元； （2）元 【分析】（1）小超家用水量在第一阶梯范围内，可直接用总水价乘以用水量快速计算应缴水费； （2）先计算前两阶梯自来水费的总额，与小明家的自来水费比较，确定用水量进入第三阶梯，再通过方程求出总用水量，最后根据污水处理费的计费规则计算费用． 【详解】（1）解：∵小超家年月份用水，，属于第一阶梯水价范围， ∴应缴纳水费为(元)． 答：小超家应缴纳水费元． （2）解：∵，， ∴前的自来水费总额为(元)． ∵， ∴小明家月份用水量超过． 设超过的水量为， 根据题意列方程：， 解得， ∴小明家月份总用水量为()． ∴污水处理费为(元)． 答：小明家月份需缴污水处理费元． ◆题型7 古代数学问题 24．《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚各几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？下列说法正确的是（   ） A．设大和尚共分个馒头，所列方程为 B．设大和尚人，所列方程为 C．大和尚有24人 D．小和尚有66人 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系，对不同设未知数的方法逐一判断，求解即可得到正确结论． 【详解】解：对选项A：设大和尚共分个馒头，则大和尚人数为，小和尚分个馒头，小和尚人数为， 由总人数为100可得方程为，故A错误； 对选项B：设大和尚人，则小和尚有人，大和尚共分个馒头，小和尚共分个馒头， 由总馒头数为100可得方程，故B正确； 解方程， 两边同乘得， 整理得， 解得， 大和尚有人，小和尚有人，故选项C和D错误． 综上，正确答案为B． 25．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？”设物品的价格为y钱，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】核心等量关系是两种出钱情况下合伙人数不变，只需用物价分别表示出两种情况的人数，再根据人数相等列方程即可． 【详解】设物品价格为钱， ∵每人出钱，多出钱，总出钱数为， ∴合伙人数为； 又∵每人出钱，还差钱，总出钱数为， ∴合伙人数为； ∵合伙人数相等， ∴． 26．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有x个杏，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】牧童总人数不变，用杏的总数分别表示两种分法下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：设共有个杏，牧童总人数固定不变， ∵第一种分法中，3人分5个杏，多10个杏，分掉的杏数为，每5个杏对应3个牧童， ∴总牧童人数为， ∵第二种分法中，4人分8个杏，多2个杏，分掉的杏数为，每8个杏对应4个牧童， ∴总牧童人数为， ∵总人数相等， ∴． 27．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，将总路程设为单位1，得到甲乙的速度，理清两人行走时间，根据相遇时路程和等于总路程即可列方程． 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需日，乙走完全程需日， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∵设乙出发日后甲乙相逢， ∴乙行走时间为日，甲行走时间为日， 相遇时两人路程和等于总路程， 故可列方程：． 28．今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 【答案】家数为126，牛价为3750钱． 【分析】设牛价为x钱，根据每7家合伙出190钱，则差330钱可知家数为，根据每9家合伙出270钱，则多了30钱可知家数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设牛价为x钱， 由题意得，， 解得， ∴， 答：家数为126，牛价为3750钱． ◆题型8 日历规律问题 29．如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【分析】设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，求出5个数的和为，然后根据4个选项中5个数的和，分别列出方程，求出5个数，进行判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，则5个数的和为：， 当五个数字之和为75时，， 解得：， 即中间一个数为15，其余四个数为：7，9，21，23， ∴五个数字之和能为75，故A不符合题意； 当五个数字之和为100时，， 解得：， 即中间一个数为20，其余四个数为：12，14，26，28， ∴五个数字之和能为100，故B不符合题意； 当五个数字之和为115时，， 解得：， 即中间一个数为23，其余四个数为：15，17，29，31， ∴五个数字之和能为23，故C不符合题意； 当五个数字之和为120时，， 解得：， 即中间一个数为24，其余四个数为：16，18，30，32， ∵日历中不存在32， ∴五个数字之和不可能为120，故D符合题意． 30．下面是某月的月历，小玉在该月每周固定周几去听数学文化讲座，若本月几次听讲座的日期之和是，则小玉是周_________去听的讲座． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 【答案】五 【分析】设小玉第一次去听讲座的日期为 ，分去了次和次两种情况列方程求解，结合日历验证即可． 【详解】解：设小玉第一次去听讲座的日期为，若本月去了次讲座，则日期分别为，，，， 根据题意得：， 解得， 观察日历可知，号是周五，且 ，，， 均在该月内，符合题意； 若本月去了 次讲座，则日期分别为，，，，， 根据题意得：， 解得， ∵日期必须为正整数， ∴此种情况不成立， 综上所述，小玉是周五去听的讲座． 31．如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________． 【答案】504 【分析】观察数表，可知，，，根据，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：观察数表，可知：，，， 根据题意得：， 解得：． ◆题型9 数字年龄问题 32．138除以一个数，得到的商是9，并且除数与余数的差是2，余数是_________． 【答案】12 【分析】设除数为，由余数小于除数，结合除数与余数的差是2，可得余数为，根据被除数等于商乘除数加余数列方程求解即可． 【详解】解：设除数为，则余数为， 根据题意列方程得： 展开整理得： 移项计算得： 解得 因此余数为，满足余数除数，符合要求． 33．如果把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了6000，原来的数是_________． 【答案】666 【分析】设原来的数为，将写在原数个位后，原数整体扩大为原来的倍，新数可表示为，根据新数比原数增加建立方程求解． 【详解】解：设原来的数为， ∵把数字写在原数个位后，新数为，新数比原数增加 ∴列方程得 整理得 解得 ∴原数为666． 34．今年甲、乙的年龄和是甲、乙的年龄差的2倍．5年前，甲的年龄是乙的4倍．今年甲、乙各多少岁？ 【答案】今年甲45岁，乙15岁． 【分析】设5年前乙的年龄为岁，则5年前甲的年龄为岁，根据今年甲、乙的年龄和是甲、乙的年龄差的2倍列方程求解即可． 【详解】解：设5年前乙的年龄为岁，则5年前甲的年龄为岁，由题意，得 ， 解得， ∴岁，岁， 答：今年甲45岁，乙15岁． ◆题型10 方案选择问题 35．某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 【答案】(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； (2)这张飞机票原价是700元． 【分析】（1）机票原价为930元，A票务中心机票按原价打七五折销售，即，再加上每张票额外加收的手续费35元即可；B票务中心机票按原价优惠，免收任何手续费，即； （2）设飞机票原价是元，根据“两家票务中心购票实付款一样多”列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 36．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班48人，七年级（2）班56人 (2)304元 (3)购买51张票划算些 【分析】（1）设七年级（1）班人，则七年级（2）班人，  根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以； （2）先求出购团体票的费用，再用1240 元团体票的费用就是节约的钱； （3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用， 比较两个费用的大小就可以得出结论． 【详解】（1）解：设七年级（1）班人，则七年级（2）班人， 由题意可得： ， 解得， 则 ． 答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人． （2）解：（元）． （3）解：七年级（1）班按照实际人数购票的费用为： 元， 购51张票的费用为：元． ， ∴购买51张票划算些． 37．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 38．（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 39．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【答案】(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可； （2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． ◆题型11 和差倍分问题 40．某超市批发辣椒、西红柿、洋葱共930千克，其中西红柿的重量是洋葱的2倍，辣椒的重量比洋葱的一半还多20千克，问西红柿批发了_____千克． 【答案】520 【分析】设洋葱批发了千克，根据三种蔬菜总重量和各重量的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设洋葱批发了千克，则西红柿批发了千克，辣椒批发了千克， 根据题意，可列方程， 解得， 则， 所以西红柿批发了520千克． 41．爱心企业发放一批慰问品，若每户分份，还多份；今年慰问品发放的对象增加到原来的倍少户，若按每户分份发放，还缺份．这批慰问品共有____________份． 【答案】 【分析】设原来发放对象的户数为未知数，利用慰问品总数不变建立等量关系，列一元一次方程求解． 【详解】解：设原来发放对象共有户， 每户分份还多份， 这批慰问品总数为份， 今年发放对象为原来的倍少户，即户数为户，按每户分份发放还缺份， 慰问品总数可表示为份， 根据慰问品总数相等列方程得：， 展开整理得：， 解得 ， 将代入， 得， 即这批慰问品共有份． 42．小乐和同学们凑了一笔钱去银座采购郊游物品．已知一包火爆鸡丁7元钱，一袋香辣牛筋10元钱．如果给每人买1包火爆鸡丁和2袋香辣牛筋，还能剩下100元钱；如果给每人买2包火爆鸡丁和3袋香辣牛筋，还缺53元钱，那么一共有___________人． 【答案】 【分析】总钱数不变，根据两种购买方案分别表示出总钱数，利用总钱数相等列方程求解即可． 【详解】解：设一共有人，总钱数固定不变， 第一种方案每人花费：（元），总钱数可表示为； 第二种方案每人花费：（元），总钱数可表示为． ∵总钱数相等， ∴列方程得：， 解得：． 所以，一共有9人． 43．妈妈去超市买香蕉和苹果一共花了45元，买苹果的钱数是买香蕉钱数的2.6倍，请问妈妈买香蕉花了多少元？（列方程解答） 【答案】妈妈买香蕉花了12.5元 【分析】设买香蕉的钱数为未知数，根据总花费的等量关系列方程求解． 【详解】解:设妈妈买香蕉花了元，则买苹果花了元， 由题意得 解得: 答：妈妈买香蕉花了12.5元． 44．学校买了张桌子和把椅子，共花了元．已知每张桌子的价钱是每把椅子的倍，每张桌子和每把椅子各多少元？ 【答案】每张桌子元，每把椅子元 【分析】设每把椅子元，则每张桌子元，根据买张桌子和把椅子共花了元列一元一次方程求解． 【详解】解：设每把椅子元，则每张桌子元， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每张桌子元，每把椅子元． 45．少先队员去植树，如果每人种棵，还有棵没人种；如果其中人各种棵，其余的人各种棵，这些树正好种完，有多少个少先队员参加植树？一共种多少棵树？ 【答案】参加植树的少先队员有个，一共种棵树． 【分析】以树的总棵数不变为突破口，设少先队员人数为未知数，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设参加植树的少先队员有个． ∵ 两种植树方式的树的总棵数相等 ， ∴， 即， 解得， ∴树的总棵数为（棵）， 答：有个少先队员参加植树，一共种棵树． ◆题型12 几何问题 46．如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】根据图形剪切前后周长的变化规律列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，原正方形的周长为 ， 观察图形可知，剪掉两个小正方形后，图形的周长比原正方形的周长增加了4条长为的边， 图2中图形的周长为， 图2中图形的周长为18， ，解得 ． 47．数轴上从左到右四个点位置如图所示，点分别表示整数，点分别表示数，1．将数轴沿折叠，使点重合于点，构成． 当所构成的三角形中恰好有两条边相等时 (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，则_______（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)3或4 (3) 【分析】（1）先求出，再根据建立方程，解方程即可； （2）先求出，，，进而可得，的值，再根据中恰好有两条边相等建立方程，解方程即可； （3）先求出，的值，进而可得，的值，再根据建立等式，化简即可得． 【详解】（1）解：∵在数轴上从左到右，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 解得． （2）解：∵数轴上从左到右，点分别表示整数，点分别表示数，1，且， ∴，，， ∴，即， 由折叠的性质可知，，， ∵中恰好有两条边相等， ∴或， 即或， ∴或． （3）解：∵数轴上从左到右，点分别表示整数，点分别表示数，1， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴． 48．已知a、b两数在数轴上所对应的点为A、B，且． (1)直接写出______；______；线段长=______； (2)数轴上在B点右边有一点C，点C到A、B两点的距离和为13，求点C在数轴上所对应的数； (3)若P、Q两点分别从A、B出发，同时沿数轴正方向运动，P点的速度是Q点速度的2倍，且3秒后，，求点Q运动的速度． 【答案】(1)，； (2) (3)点Q运动的速度为单位/秒或单位/秒 【分析】（1）根据绝对值的性质及方程求解即可； （2）设点C对应的数为x，，然后列出方程求解即可； （3）设Q运动速度为v单位/秒，则P速度为单位/秒．得出3秒后，P表示的数为：，Q表示的数为：，确定，，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； ∴线段； （2）解：设点C对应的数为x，， ∴ ； ∴点C在数轴上所对应的数为6； （3）解：设Q运动速度为v单位/秒，则P速度为单位/秒． 3秒后，P表示的数为：，Q表示的数为：， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ， 解得 ②当时， ， 解得 答：点Q运动的速度为单位/秒或单位/秒． 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 2．（2026·河北邢台·二模）学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为一元一次方程的配套问题，先根据表示出检修课桌和座椅的总数量，再结合配套关系列方程即可． 【详解】∵安排名校工检修智能课桌，总共有12名校工， ∴检修座椅的校工人数为， ∵每人每小时平均检修3张智能课桌， ∴每小时检修的智能课桌总数为张， ∵每人每小时平均检修6把座椅， ∴每小时检修的座椅总数为把， ∵1张智能课桌配套4把座椅，刚好配套时满足座椅总数课桌总数， ∴列方程得． 3．《九章算术》中有如下题：原文是“今有人共买鸡，人出八，盈十；人出六，不足十四．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出8文钱，多出10文钱；如果每人出6文钱，还差14文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人共同买鸡，根据题意，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以鸡的价钱为不变量，根据两种出钱情况分别表示鸡价，列方程． 【详解】解：设有人共同买鸡． ∵每人出8文，多出10文， ∴鸡价可表示为， ∵ 每人出6文，还差14文， ∴ 鸡价可表示为， ∴ 可列方程为． 4．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设绳长为尺， ∵将绳子折成三等份，每等份井外余绳四尺， ∴井深可表示为尺， ∵将绳子折成四等份，每等份井外余绳一尺， ∴井深可表示为尺， ∵井深长度不变， ∴可得方程． 5．有一条长的纸条．迪迪将其切成9个宽度相同的较短的块，并将它们重新排列成一个大正方形，如图所示．大正方形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设纸条宽为，根据纸条总长求出，再求周长即可． 【详解】解：如图，设纸条宽为， 则9快图形的长依次为， ， 解得， 大正方形的周长为． 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 【答案】 【分析】根据服装进价不变的等量关系，设标价为元，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每件服装的标价是元，根据题意，得 ， 解得：， 即每件服装的标价是元． 7．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时，，，那么甲乙两站的路程是___________． 【答案】 【分析】设A与B相遇时间为小时，20分钟换算为小时，根据总路程不变，利用两次相遇的路程和相等列方程求解． 【详解】解：设汽车A出发小时后与汽车B相遇，20分钟小时，甲乙两站路程为， ∵ A与B相遇时，两车行驶的路程和等于甲乙两站的总路程， ∴ ； ∵ A与B相遇后再经过小时后与C相遇，此时A和C行驶的总时间为小时，路程和也等于总路程， ∴ ， 联立两式得： ， 故， 整理，得 ， 解得 ， 将代入，得； 故甲乙两站的路程为． 8.汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由个茶壶和只茶杯组成．用千克瓷泥可做个茶壶或只茶杯，现要用千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据配套时总套数相等的关系列方程即可． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则剩余千克做茶杯， 千克瓷泥做个茶壶，千克共做个茶壶， 千克瓷泥做只茶杯，千克共做只茶杯， 每套茶具需要个茶壶、只茶杯， 代入得方程：． 9．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 【答案】3 【分析】本题为工程问题，将总工作量设为单位，根据各部分工作量之和等于总工作量，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作了天．根据题意，甲一共工作天，乙一共工作天，总工作量为，列方程得： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得 答：在这个过程中，甲、乙两队合作了天． 10．伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物-------莱茵德纸草书．这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作．书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是．这个数是______． 【答案】 【分析】设所求数为，根据题目描述的总和条件列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设这个数为，根据题意列方程得 ， 方程两边同时乘以分母的最小公倍数去分母，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ． 11．如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________． 【答案】24 【分析】设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为，列出方程运算求解即可． 【详解】解：设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为， 即：， 解得：． 12．小创和小新各有一些碧根果，小创对小新说：“我的碧根果的数量比你的碧根果的数量的2倍多2个”．后来小创吃了28个，小新吃了2个，此时小新发现，他的碧根果的数量比小创碧根果的数量的2倍多2个．原来小创有___________个碧根果． 【答案】 【分析】设原来小新的碧根果数量为未知数，根据变化后的数量关系列一元一次方程求解即可； 【详解】解：设小新原来有个碧根果，则小创原来有个碧根果； 小创吃个后剩余碧根果数量为个，小新吃个后剩余碧根果数量为个， 根据题意列方程得：， 展开并整理方程得：， 解得， 因此小创原来的碧根果数量为（个）； 13．手工课上，老师让同学们将一张长方形彩纸按要求切割，得到如图所示的个长方形，其中，，．若长方形与长方形的周长相等，则的长度为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据长方形性质得出，由表示出，由表示出，利用两个长方形周长相等建立等量关系求解即可． 【详解】解：四边形是长方形，， ， ， ， 长方形与长方形的周长相等， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．甲、乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的，乙车超过中点15千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A，B两城相距多少千米？ 【答案】90千米 【分析】先设A，B两城相距为千米，再列出方程求解即可． 【详解】解：设A，B两城相距为千米， 则， ， ， 答：A，B两城相距为千米． 15．（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 16．列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【分析】（1）设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元，根据已知总的销售额，列方程并解方程即可得到答案； （2）依题意可知紫精轩单价元，数量150个，瓷青单价80元，数量个，再依据五月份的总销售额，列方程并解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 17．根据以下素材，尝试解决问题 出行方式选择 素材1 随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的方式有了更多的选择．某市有出租车、快车和专车三种网约车，收费标准如图（假设网约车行驶的平均速度均为40千米/时）． 素材2 1．乘坐网约快车4千米路程收费为元； 2．网约快车和网约专车在春节期间有如下优惠方式： 快车：“满40元减10元”优惠券（一次限用一张优惠券） 专车：①免除时长费；②3千米及以内，里程费不变为3元/千米；超过3千米且不超过8千米的部分，里程费为2元/千米；超过8千米的部分，里程费为1.6元/千米． 问题1 乘坐出租车千米，费用为 元．（结果用的代数式表示） 问题2 春节期间，若小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同，求此时的里程数． 问题3 春节期间，小明、小宁分别坐出租车、专车从地前往地．小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元，求，两地相距多少千米？ 【答案】问题1：；问题2：此时的里程数为16千米；问题3：，两地相距1或13千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 问题1：根据出租车的计费标准列代数式即可； 问题2：设里程数为千米，根据“小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同”列方程求解即可； 问题3：设，两地相距千米，根据“小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元”列方程求解即可． 【详解】解：问题1、乘坐出租车千米，费用为元． 问题2、显然，里程数不可能为3千米以内，设此时的里程数为千米， ①快车没满40元，由题意得，此方程无正解； ②快车满40元，由题意得，解得． 答：此时的里程数为16千米． 问题3：设，两地相距千米， ①当时，由题意得，解得； ②当时，由题意得，解得（舍去）； ③当时，由题意得，解得． 答：，两地相距1或13千米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $