专题4.4 数据的离散程度（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题4.4 数据的离散程度 1.了解极差、离差平方和、方差、标准差的概念；理解方差公式，会计算简单一组数据的离差平方和、方差、标准差；会用计算器计算方差；知道标准差单位与原数据一致。能结合前面 4.3 箱线图，从不同角度感知数据波动。 2.过程与方法 经历 “只看平均数不够→极差有局限→探究偏差和为什么不能直接用→引入离差平方和→得到方差” 的完整探究过程；体会为什么用平方、再求平均；学会对比极差、方差、箱线图各自刻画离散程度的特点，发展数据观念。 3.能在真实情境（射击、测试、产品检测等）中，综合平均数、中位数、方差等统计量进行说理、决策；会解释方差大小的实际意义；感受统计是用来做推断、做选择的工具，发展模型观念、推理意识。 4.了解组内离差平方和最小是数据合理分组的依据，能识别这个结论的含义（不要求复杂计算）。 1.离差平方和：在统计学中，将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和（sum of squares deviation）。 （新教材新增内容） 设n个数据的平均数， 那么这组数据的离差平方和公式为：。 离差平方和是统计学中衡量数据离散程度的核心指标，核心作用：作为方差与标准差的计算基础；数值越大表示数据波动越大；在方差分析中可分解为组间和组内两部分，用于检验组间差异是否显著。 2.方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差（variance）。.通常用“”表示，即。 方差实际上反映了各个数据与平均数之间的偏离情况；方差是刻画数据的离散程度的常用统计量。一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大（即波动越大，越不稳定）。 重要结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2， 则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2。 3.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示， 即 标准差的价值：标准差和原数据单位一致，在实际解释时比方差更方便。 4.极差：一组数据中最大值与最小值的差。 极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。 5.极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。 6.分组的合理性 一般地，有n个数据如果把这些数据分为两组，前m个数据为第一组，后 (n-m) 个数据为第二组，记为的平均数， 为的平均数，那么这些数据分组后各组的离差平方和为： 第一组的离差平方和：； 第二组的离差平方和：； 称为组内离差平方和。（新教材新增内容） 研究表明，当达到最小时，分组较合理，可以将 “组内离差平方和达到最小” 作为数据的分组标准。 题型01 求离差平方和 【典例】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某兴趣小组名成员的年龄（单位：岁）分别为，，，，则这组数据的离差平方和是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：这组数据的平均数为， 离差平方和为． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是_______________． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，共有个数据， ∵方差公式为，， ∴这组数据的方差． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）数据2，2，3，3，5的离差平方和是________． 【答案】6 【详解】解：这组数据为，，，，，这组数据的平均数为， 离差平方和为：． 【变式3】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）数据，，，，的离差平方和是__________． 【答案】10 【详解】解：， 离差平方和． 题型02 求方差 【典例】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 【答案】 【详解】解：平均数， 各数与平均数的差的平方和为，方差． 【变式1】（2026·四川宜宾·模拟预测）欢欢的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为．关于这组数据，欢欢得出如下结果，其中错误的是（     ） A．众数是 B．平均数是 C．中位数是 D．方差是 【答案】D 【详解】解：将数据从小到大排列为， 、出现次数最多，众数是，该选项结果正确，不符合题意； 、平均数为，该选项结果正确，不符合题意； 、共个数据，中位数为第个数据，即，该选项结果正确，不符合题意； 、方差为，选项结果错误，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【详解】解：∵乙的苗高为，∴乙的平均数， ∴乙的方差． 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不满足，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，满足条件． 【变式3】（2026·浙江宁波·模拟预测）为了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（     ） 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．方差是2 【答案】D 【详解】解：共15个数据，中位数为从小到大排列后第8个数据， ∵前个数据为0和1，第6至第11个数据为2，∴第8个数据是2，中位数为2，A正确； 加权平均数为，B正确； ∵阅读量为2的人数最多，共6人，∴众数为2，C正确； 方差为，D错误． 题型03 利用方差求未知数据的值 【典例】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 【答案】D 【详解】根据方差公式，可得原数据为11，9，8，6，6，据此判断： ∵方差算式中共有5个平方项，∴，A选项正确，不符合题意； ∵所有平方项中减去的数都是8，∴这组数据的平均数为8，B选项正确，不符合题意； ∵原数据中6出现次数最多，∴众数是6，C选项正确，不符合题意； 添加一个数8后，新数据共6个，平均数仍为8， 新方差为： ， 原方差，可得，∴添加一个数8后方差改变，D选项错误，符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为________． 【答案】 【详解】解： 这组数据的平均数，数据个数；这组数据的总和为． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）在某项数据分析过程中，需要计算数据的方差，在如下这个计算方差的式子中，数据和分别表示（     ） A．该组数据的方差和个数 B．该组数据的个数和方差 C．该组数据的平均数和个数 D．该组数据的个数和平均数 【答案】D 【详解】解：方差公式为，其中是数据个数，是数据平均数， 对比题中式子：对应，即数据个数；对应，即数据平均数． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：方差公式中，分子各数据与的差的平方项的系数为对应数据的频数， 样本容量等于所有频数之和， 又本题中各平方项的系数分别为，，3，． 【变式4】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知一组数据3，a，4，6，7的方差是5，则这组数据的离差平方和是________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，这组数据共有5个数据，方差是5，∴离差平方和． 题型04 方差的综合问题 【典例】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为，由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵，∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）设数据，，，的平均数为，方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，∴，故选：． 【变式2】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）已知一组数据，，，，的平均数是3，方差为5，另一组数据，，，，的平均数是7，方差是45，则_______． 【答案】或 【详解】解：原数据，，，，的平均数，方差， 对于新数据，，，，， 根据平均数的计算性质，可知新平均数为：，即①， 根据方差的计算性质，可知新方差为：，所以，解得或， 当时，代入①得，解得，此时， 当时，代入①得，解得，此时，因此的值为或． 题型05 根据方差判断稳定性 【典例】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）技术人员分别从甲、乙两块地块中随机抽取500株麦苗，统计每一株麦苗的高度，下列关于两地块麦苗高度的平均数和方差的描述中，能说明甲地块的麦苗高度较整齐的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据波动越小，长势越整齐． 即时能说明甲地块的麦苗高度较整齐． 【变式1】（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）甲、乙、丙三名射击运动员参加训练测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定 【答案】A 【详解】解：∵三人测试成绩的平均数相同，，，， ∴，∴ 甲的成绩最稳定． 【变式2】（2026·吉林·模拟预测）甲、乙两名学生进行实心球测试，每人投掷5次，他们各自成绩（单位：米）的平均数和方差如表： 学生 平均数 方差 甲 9.5 0.02 乙 9.5 0.05 则测试成绩更稳定的学生是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【详解】解：∵ ，即甲的方差小于乙的方差， ∴ 甲的成绩波动更小，测试成绩更稳定，因此测试成绩更稳定的学生是甲． 【变式3】（25-26八年级下·青海玉树·期末）射箭运动项目中，新手成绩通常发挥不稳定．甲、乙同时进行次射箭练习，经过统计得到甲、乙两人成绩的平均数分别为环，环，方差分别为，，则你估计新手可能是__________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【详解】解：∵，，， ∴甲的成绩波动更大，更不稳定，符合新手的特征，∴估计新手是甲． 题型06 根据方差做决策 【典例】（26-27九年级上·广东·期中）自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量-标准含量）．甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：）如表所示． 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 (1)如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？(2)哪条灌装线的灌装质量更好？ 【答案】(1)甲、乙两条灌装线的灌装质量均合格(2)甲灌装线的灌装质量更好 【详解】（1）解：甲组各瓶饮料含量的误差的绝对值分别为： ，，，，，，，，，； 乙组各瓶饮料含量的误差的绝对值分别为： ，，，，，，，，，， 可得，甲、乙组各瓶饮料含量的误差的绝对值均不超过， ∴甲、乙两条灌装线的灌装质量均合格； （2）解：以为基准，计算两组数据的平均数： 甲线各瓶误差为，误差和为， 甲的平均含量为 乙线各瓶误差为，误差和为， 乙的平均含量为 计算两组数据的方差： 甲的方差 ， 乙的方差 ∵甲、乙的平均含量相等，甲的方差小于乙的方差， ∴甲灌装线的灌装含量更稳定，灌装质量更好． 【变式1】（26-27九年级上·江苏·课后作业）为了缓解上班高峰时道路交通的压力，某市政府采取了错时上下班的措施．从6：30到9：00，分成5个时间段，每段．在一条主干道上，分别观测了采取措施前后各时间段通过的汽车数量X和Y（单位：千辆），如下表： 时间段 X 1.8 2.5 3.5 2.0 1.6 Y 1.4 2.0 2.5 3.0 2.5 (1)采取措施前后，汽车的平均流量有变化吗？ (2)分别计算两组数据的方差，你认为采取的措施是否有效？ 【答案】(1)采取措施前后汽车的平均流量没有变化，均为千辆 (2)采取措施前的方差为，采取措施后的方差为；采取的措施有效 【详解】（1）采取措施前的平均流量为（千辆）， 采取措施后的平均流量为（千辆）， 答：采取措施前、后汽车的平均流量没有变化； （2）解：采取措施前的方差为， 采取措施后的方差为， 由于采取措施后的方差小于采取措施前的方差，说明流量平稳，所以采取的措施有一定的效果． 【变式2】（26-27九年级上·湖北·课后作业）学校为了选拔4名播音员，对20名学生进行了两次普通话水平测试（满分10分），测试结果如下表： 第一次测试结果 第二次测试结果 成绩/分 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 人数 2 3 7 6 2 5 6 5 3 1 (1)利用计算器分别计算两次测试成绩的方差．(2)哪次测试结果对选拔播音员更有参考意义？ 【答案】(1)第一次测试成绩的方差为，第二次测试成绩的方差为． (2)第二次测试结果对选拔播音员更有参考意义． 【详解】（1）解：设第一次测试成绩的平均数为，方差为；第二次测试成绩的平均数为，方差为，参与测试的总人数为20． ， ， ， ； （2）解：∵，∴第二次测试成绩的离散程度更大，学生间的水平差异更明显，更易区分出普通话水平较高的学生，对选拔播音员更有参考意义． 【变式3】（2026·辽宁·中考真题）某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三：每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 【详解】（1）解：； （2）解：将乙按从小到大的顺序排列为：45，45，46，48，49，49， 49，54，56，59， 其中第五位与第六位数是49，49，中位数； (3)解：工厂的质检部门会推荐甲品牌，理由如下： 甲、乙的平均数都为，而甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定，故工厂的质检部门会推荐甲品牌． 题型07 极差及其相关运用 【典例】（25-26八年级下·河南商丘·期末）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，结果如下表所示 月用水量/t 7 8 12 14 户数 3 5 5 7 下列关于“月用水量”的说法错误的是（     ） A．平均数是10.95 B．极差是8 C．众数是14 D．中位数是12 【答案】B 【详解】解：平均数，故A正确； ∵最大值为，最小值为，极差为，故B错误； ∵月用水量对应的户数最多，为户，∴众数是，故C正确； ∵个数据排序后，前个数据不超过，第到个数据都是， 因此第、个数据都是，中位数为，故D正确． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 【答案】 【详解】解：这组数据的最大值为，最小值为，因此极差为. 【变式2】（25-26八年级下·重庆南岸·开学考试）去年的“植树节”时，文德中学八（1）班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5棵，则该组数据的极差是（     ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵这组数据的众数是5，∴，∴极差为：． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）一个容量为50的样本的最大值为24.8，最小值为1.5，取组距为3.5，则可以分成（     ） A．9组 B．8组 C．7组 D．6组 【答案】C 【详解】解： 极差 最大值 最小值 ， 该样本的极差为 ， 组距为 ，计算得 ，分组时需对结果向上取整，因此可以分成 组 . 题型08 标准差及其相关运用 【典例】（2026·上海松江·模拟预测）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 【变式1】（25-26九年级下·上海长宁·期中）数据90、91、92、93、94的标准差是________． 【答案】 【详解】解：首先计算这组数据的平均数，得， 再根据方差的计算公式计算方差，得， 标准差是方差的算术平方根，因此该组数据的标准差为． 【变式2】（25-26八年级下·湖南株洲·期中）标准差公式是一种数学公式．标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差．标准差和方差一样，描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大．样本标准差是这样计算的：若某样本数据的方差是，则其标准差为，例如：某样本数据的方差是9，则其标准差为3． 已知：一组数据的方差计算公式为：．现给定一组数据：，，，，，则这组数据的标准差为______． 【答案】 【详解】解：一组数据：，，，，，平均数为：， ∴∴标准差为故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·期末）一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是__________． 【答案】12 【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16，即， ， 则平均数， 另一组数据的方差 ， ∴标准差．故答案为：12． 题型09 已知极差求未知数据 【典例】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）数据0，，x，3，4的极差是8，则________． 【答案】或7 【详解】解：①当x为这组数据的最小值时，这组数据的最大值为4， 可得，解得，符合题意； ②当x为这组数据的最大值时，这组数据的最小值为， 可得，解得，符合题意．综上，x的值为或7． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若一组数据，，，，，的极差为，则的值为___________ 【答案】或 【详解】解：一组数据，，，，，的极差为， 当为最大值时，，； 当是最小值时，，解得：．故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·期末）下列命题中，真命题是（    ） ①若，则 ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则的值是6 ④已知点，在一次函数的图象上，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【详解】解：∵要有意义， ∴，∴，∴，∴，故①错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确； ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则或 则的值是6或-3，说法错误； ④一次函数中，则随增大而减小，而，则故④正确；故选D． 题型10 求组内离差平方和 【典例】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某围棋社团小组成员在一次比赛中的成绩（单位：分）分别为84，86，87，87，88，90，将成绩分成84，86，87，87和88，90两组，这样分组的组内离差平方和为（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：第一组数据84，86，87，87的平均数为， 其组内离差平方和为． 第二组数据88，90的平均数为，其组内离差平方和为． ∴组内离差平方和为． 【变式1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 【答案】③ 【详解】解：首先将5名同学的成绩从小到大排序得：， 对比四个分组的组内离差平方和可得：， 分组③的组内离差平方和最小，组内成绩最接近，因此最合理的分组是③． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 【答案】和 【详解】解：将个数据从小到大排列，得到． 比较三个间隔的组内离差平方和，可得．可知第个间隔的组内离差平方和最小， 因此在第个间隔处分组，得到两组分别为和．即这两组是和． 【变式3】（26-27九年级上·江苏南通·开学考试）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 【答案】 【详解】解：第一组数据为，，，，计算第一组平均值：， 第一组离差平方和：； 第二组数据为，，，，，计算第二组平均值：， 第二组离差平方和：； 总组内离差平方和为：． 题型11 方差（标准差）与箱线图综合运用 【典例】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）在“书韵传声”经典故事品读赛中，八（1）班要从甲、乙两名同学中选择一位代表班级参赛．甲、乙两名同学在之前的12次备赛环节的测试成绩（单位：分）如下： 甲：； 乙：． 甲、乙两名同学测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 85 90 151.17 乙 88 92 100.67 请根据以上信息解答下列问题：(1)表格中，______，______； (2)计算乙同学测试成绩的第一四分位数和第三四分位数，并绘制乙同学测试成绩的箱线图； (3)根据以上信息，你认为应选派谁代表班级参加比赛？请说明理由． 【答案】(1)73，92 (2)第一四分位数是80，第三四分位数是96，绘制乙同学测试成绩的箱线图如下： (3)解：选乙． 理由：甲的成绩平均数：，乙的成绩的平均数： 乙的成绩的平均数高，乙的成绩更稳定． 甲的中位数90，乙的中位数92，甲的众数是73，乙的众数是92， 乙的中位数和众数都是90以上，说明乙的成绩更稳定． 观察图可知，乙的箱线图更窄一些，说明四分位距更小， 乙的成绩波动更小，发挥更稳定．综上所述，应选派乙同学参加比赛． 【详解】（1）解：甲的成绩按照从小到大的顺序排列如下， ，出现次数最多的是73，即． 乙的成绩按照从小到大的顺序排列如下，， 中位数． （2）解：解法一：乙同学的中位数是， 乙同学测试成绩的第一四分位数是前部分的中位数：，第三四分位数是后半部分的中位数：. 解法二：乙同学的成绩为， 由可知，第一四分位数是第三个数据和第四个数据的平均值，即， 由可知，第三四分位数是第9个数据和第10个数据的平均值，即． 图略． （3）略． 【变式1】（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：，，，，，，，，，，， 八年级：，，，，，，，，，，， 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 和 八年级 根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：________，________；________； (2)八年级成绩箱线图的下四分位是________； (3)该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为多少人？ 【答案】(1)6.5，4.5，7(2)5.5(3)80人 【详解】（1）解：七年级的中位数：， 方差：； 八年级的众数为：；故答案为：6.5，4.5，7． （2）解：解法一：八年级学生成绩数据中位数是7，选取中位数前的6个得分数据：，，，，，，再求出前6个数据的中位数，即为下四分位数， 所以下四分位数； 解法二：样本一共选取了12名八年级学生的成绩： ，，，，，，，，，，，， 由可知，下四分位数的值为第3个数据与第4个数据的平均数， 所以，故答案为：5.5． （3）解：（人），所以估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人． 【变式2】（26-27九年级上·山东德州·开学考试）为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩百分制进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩单位：分 甲：，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数分 众数分 中位数分 方差分 甲 乙 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图单位：分 根据以上信息，回答下列问题： (1)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图；(2)根据【信息】和【信息】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】(1)；； (2)解：乙组竞赛成绩较好．理由如下： 因为乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差，说明乙组平均分更高，成绩更稳定．所以乙组竞赛成绩较好． 【详解】（1）解：把甲组学生竞赛成绩按照从低到高的顺序排列为：，，，，，，，，，， ∵一共有10个数据，∴中位数为第5个数和第6个数的平均数，即中位数为； 方法一：前5个数据为，，，，，它们的中位数为，则， 后5个数据为，，，，，它们的中位数为，则； 方法二：，那么第3个数据即为下四分位数，即， ，那么第8个数据即为上四分位数，即； 甲组的最大数据100，中位数为，最小数为，补全甲组竞赛成绩的箱线图见答案； （2）略 【变式3】（26-27九年级上·北京·阶段检测）为提高学生身体素质，学校利用智慧体育系统对八年级学生进行“立定跳远”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取次测试成绩（单位：厘米），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲同学的次测试成绩： ，，，，，，，，， ．四位同学次测试成绩的箱线图（不完整）： ．四位同学次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 乙 丙 丁 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________，甲的第一四分位数为________；(2)同学乙和丙中，稳定性更好的是________； (3)现需要从四位同学中选择一位代表参加秋季运动会．体育老师按照如下原则进行实力强弱的评估：先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距＝第三四分位数－第一四分位数），四分位距较小者实力更强．则根据实力强弱，代表班级进行比赛的同学是________． 【答案】(1)，(2)乙(3)乙 【详解】（1）解：甲的平均数， 方法一：将甲的成绩按照从小到大的顺序排列为：， 甲的中位数是175，前五个数中最中间的数是甲的第一四分位数，即． 方法二：将甲的成绩按照从小到大的顺序排列为：， ，不是整数，取第3个数170，甲的第一四分位数是． （2）解：,乙和丙的平均数、中位数都是175，乙和丙中，稳定性更好的是乙． （3）解：由表平均数可知，，乙和丙的平均数较高，为175． 观察箱线图可知，乙的第三四分位数大于丙的第三四分位数，乙的第一四分位数大于丙的第一四分位数，乙箱线图的箱体长度小于丙的箱线图的箱体长度， 乙的四分位距小于丙的四分位距，代表班级进行比赛的同学是乙． 【巩固训练】 1．（25-26八年级下·天津和平·期末）甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察图象可知，甲的成绩波动较小，乙的成绩波动较大， ∵方差是衡量一组数据波动大小的量，波动越小方差越小，∴． 2．（25-26八年级上·成都·期末）已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法错误的是（   ） A．平均数是3 B．中位数和众数都是3 C．方差是 D．标准差是 【答案】D 【详解】解：A、这组数据的平均数为，所以A选项说法正确，不符合题意； B、因为数据从小到大排列，第3，4个数都是3，所以中位数是3．因为这组数据中出现次数最多的是3，所以众数是3，所以B选项说法正确，不符合题意； C、因为方差，所以C选项说法正确，不符合题意； D、标准差，所以D选项说法错误，符合题意．故选：D． 3．（25-26八年级下·广东惠州·期末）一组数据的方差为，则该组数据的总和是（    ） A． B．9 C．14 D．45 【答案】D 【详解】解：方差的计算公式为：，其中为数据的个数，为这组数据的平均数．对比题目给出的方差表达式可得，平均数， 该组数据的总和为． 4．（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）衡南向阳桥香瓜（又称梨瓜）是湘南地区的特色农产品，种植历史超百年．衡南某香瓜种植基地有甲、乙两块试验田，近6年的亩产量（单位：）如下： 甲：4800，5000，5200，5000，4900，5100． 乙：4700，5300，5000，4900，5100，5000． 若要判断哪块田的产量更稳定，应比较两组数据的（     ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【答案】B 【详解】解：若要判断哪块田的产量更稳定，即需要比较数据的波动大小， ∴应比较两组数据的方差． 5．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 【答案】B 【详解】解：由方差算式可知，这组数据为1，2，3，4，5，样本容量，故A正确；，故C正确；，故B错误； 添加数据3后，新数据的平均数为．新的离差平方和为，与原离差平方和相等，故D正确． 6．（26-27九年级上·江苏·单元复习）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（     ） A．组内离差平方和最小 B．组内离差平方和最大 C．组间的平均数差最大 D．组间的平均数差最小 【答案】A 【详解】解：∵ 分组要求为组内同学引体向上个数相差较小，∴ 需组内数据差异程度最小， ∵ 组内离差平方和越小，组内数据差异越小，∴ A正确，B错误， ∵ 组间平均数差反映两组平均水平的差异，与组内数据差异程度无直接关联，∴ C、D错误． 7.（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知样本，，，的极差是6．则样本的平均数为______． 【答案】3或1 【详解】解：∵样本，，，的极差是6，∴或，∴或 ∴样本的平均数为或，故答案为：3或1． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）体育老师打算在甲、乙、丙、丁四名同学里挑选一人，代表班级参加学校跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，离差平方和分别是，，，，你认为_______同学的成绩最稳定． 【答案】乙 【详解】解：∵四名同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中为测试次数， ∴相同，方差大小与离差平方和的大小一致． ∵，，，，∴，∴乙的方差最小，∴乙的成绩最稳定． 9．（25-26八年级下·北京丰台·期末）某班要从甲、乙、丙、丁四名学生中选取一名学生代表班级参加年级一分钟跳绳“班超”联赛、每人测试10次，对这四名学生的10次测试成绩的数据进行了整理、描述和分析，给出了部分信息． a．甲、乙两名学生10次测试成绩的折线图： b．学生丙10次测试成绩：180  182  184  188  188  188  190  192  194  194 c．学生丁10次测试成绩的第三四分位数是189； d．四名学生10次测试成绩的平均数、中位数．方差如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 188 188 188 中位数 188 188 188 方差 4.8 20.8 4.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_________，的值为_________；(2)表中的_________4.8（填“>”“=”或“<”）； (3)根据这10次测试成绩，按如下方式评估这四名学生的实力强弱：首先比较平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较发挥的稳定性、成绩越稳定者实力更强；若平均数、稳定性分别相同，则比较第三四分位数，第三四分位数越大者实力更强．最终当选正式参赛队员的是_________．其10次测试成绩的第三四分位数是_________． 【答案】(1)188，188；(2)>；(3)甲，190 【详解】（1）解：学生甲10次测试成绩按从小到大顺序排列：184，186，186，188，188，188，188，190，190，192；则学生甲10次测试成绩的中位数是； 学生丙10次测试成绩的平均数； （2）解：由甲、乙两名学生10次测试成绩的折线图可知，学生乙成绩明显比学生甲成绩波动大， ∴学生乙成绩的方差大于学生甲成绩的方差，即表中的； （3）解：甲、乙、丙、丁四名学生成绩的平均数、中位数都相同，且甲、丁两名学生成绩的方差较小，都为，需要比较这两位同学10次测试成绩的第三四分位数， 解法一：学生甲10次测试成绩按从小到大顺序排列：184，186，186，188，188，188，188，190，190，192；第三四分位数为后5个数据的中位数，∴第三四分位数为； 解法二：学生甲10次测试成绩按从小到大顺序排列：184，186，186，188，188，188，188，190，190，192；∵，∴第三四分位数为第8个数：； ∵学生丁10次测试成绩的第三四分位数是； ∴最终当选正式参赛队员的是甲，其10次测试成绩的第三四分位数是190． 10．（25-26八年级下·陕西安康·期末）为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题．竞赛结束后，学校随机抽取了20名同学的答卷，他们答对的题数（单位：道）统计如下：2，4，6，7，8，9，10，10，10，11，12，13，13，14，15，15，16，17，18，20． 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组2人，乙组3人 m 方式二 Ⅰ组3人，Ⅱ组2人 (1)这20名同学答对题数的众数为_________道，中位数为_________道； (2)这20名同学中答对题数最少的5名同学打算一起分组学习航天知识，若按照答对的题数将他们分为2人组和3人组，现有以下两种分组方式，根据组内离差平方和最小的原则，应该采用哪种分组方式？ 【答案】(1)10，(2)应该采用方式一分组 【详解】（1）解：∵答对10道的人数最多，∴这20名同学答对题数的众数为10道； 把这20名同学答对题数按照从小到大的顺序排列，第10个数为11，第11个数为12， ∴这20名同学答对题数的中位数为； （2）解：方式一中甲组的平均数为（道），    乙组的平均数为（道），                   甲组的离差平方和为，乙组的离差平方和为，  方式一的组内离差平方和， ，根据组内离差平方和最小的原则，应该采用方式一分组． 【强化训练】 1．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）校运动队统计男、女队员各5名的一周训练达标次数，数据整理如图，分析两组队员的达标情况，下面说法正确的是（     ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．女生达标情况更稳定 【答案】D 【详解】解：由图可知， 男生数据为：， 女生数据为：， A、男生训练达标次数的平均数为，女生训练达标次数的平均数为， ∴男、女生训练达标次数的平均数相等，故选项说法错误，不符合题意； B、男生离差平方和为， 女生离差平方和为， ∴男、女生训练达标次数的离差平方和不相等，故选项说法错误，不符合题意； C、将男生数据从小到大排列为：，中位数为5； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为5， ∴男、女生训练达标次数的中位数均为5，故选项说法错误，不符合题意； D、男生数据的方差为， 女生数据的方差为， ∵，∴女生达标情况更稳定，故选项说法正确，符合题意． 2．（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）若，以下正确的是（） A．、、、的平均数小于、、、、、、、的平均数 B．、、、的极差小于、、、、、、、的极差 C．、、、的方差不大于、、、、、、、的方差 D．、的标准差小于、、、、、、、的标准差 【答案】C 【详解】解：已知，逐一分析选项： 选项A．设，总平均数， 当时，，故A错误 选项B．的极差，8个数的极差 ，即，极差小于等于8个数的极差，因此B不正确． 选项C．方差反映数据的离散程度，8个数包含了更小的和更大的， 数据的离散程度一定不小于中间4个数的离散程度，因此8个数的方差不小于的方差， 即的方差不大于等于8个数的方差，因此C正确． 选项D．给所有数据同时加上同一个常数，数据的波动程度不变，方差不变，标准差也不变，因此新数据的标准差等于原数据的标准差，D错误． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位℃)：，，，2，，1．若这组数据的中位数是，则下列结论正确的是（     ） A．方差是8 B．极差是9 C．众数是或 D．平均数是 【答案】C 【详解】解：原始数据：，共6个数据，中位数为排序后第3项、第4项数值的平均值． 将不含的数据从小到大排列：．由中位数是，可得：第3项与第4项之和． 若，则x排在第3项之后，，则，即中位数大于，与题设中位数等于矛盾； 若，中位数，符合题意； 若，则x排在第3项之前，中位数仍然是，符合题意．∴． 选项C：当时，出现次数是三次，其它数据出现的次数都是1次，出现的次数最多；且时，出现次数是二次，也是最多；且时，出现次数是二次，出现的次数也是二次，所以众数为或，此选项正确； 选项B：∵．∴x可取小于等于的任意数， ∵极差最大值最小值，∴极差并不确定，此选项错误； 选项A与选项D：与判断选项B一样，由于x可取小于等于的任意数，因此平均数与方差并不是固定值，故此两选项错误． 4．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是反映某场女排决赛中，A、B两队队员拦网高度情况的箱线图，下列说法一定正确的是（     ） A．A队的中位数小于B队的中位数 B．A队的方差小于B队的方差 C．A队的平均数小于B队的平均数 D．A队拦网高度第一四分位数大于B队拦网高度第三四分位数 【答案】B 【详解】解：A．中位数箱子中间线的高度，从图中可见： A队中位数大于B队中位数，故A错误； B．方差反映数据离散程度，箱须越长，方差越大，从图可知A队箱须更短，数据更集中；A队方差小于B队方差，故B正确； C．箱线图只能展示中位数、四分位数、最值，无法直接判断平均数，仅从图中无法确定A队平均数一定比B队小，故C错误； D．A队第一四分位数队箱子下边的高度，B队第三四分位数队箱子上边的高度，从图中可见： A队第一四分位数小于B队第三四分位数，故D错误． 5．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 【答案】方差 【详解】设原数据的众数为，中位数为，平均数为，方差为，第三四分位数为，数据个数为， ∵将一组数据中的每一个数都加上，∴新数据的众数为，发生改变； 新数据的中位数为，发生改变；新数据的平均数为，发生改变； 新数据的第三四分位数为，发生改变；新数据的方差为， ∴值保持不变的统计量是方差. 6．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）甲、乙两名同学进行次模拟测试，已知两人测试成绩的平均分完全相同，甲成绩的离差平方和为，乙成绩的离差平方和为．若甲的成绩波动比乙更小，则整数的最大值为______． 【答案】 【详解】解：∵两人都进行次测试，平均分相同，甲的成绩波动比乙更小，且方差越小数据波动越小，方差等于离差平方和除以测试次数，∴甲的离差平方和小于乙的离差平方和， ∴，解得， ∵离差平方和为非负数，∴，解得， ∴的取值范围是 ，∴整数的最大值为． 7.（26-27九年级上·河北衡水·阶段检测）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是_____． 【答案】8.5 【详解】解：第一组的平均数为，组内离差平方和为； 第二组的平均数为，组内离差平方和为； ∴总组内离差平方和为． 8．（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）已知一组数据的方差是5，则数据的方差是_________． 【答案】 【详解】解：设原数据的平均数为， ∵ 原数据的方差， 设新数据的平均数为，可得， 新数据的方差， 将代入上式，得． 9．（25-26八年级下·山东临沂·期末）艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，组织八年级同学进行艺术测评与分析．已知八年级共有学生300人，现从中随机抽取了其中某个班的10名学生的测评成绩（单位：分）进行统计，下面是对抽取到的10位同学的测评成绩的数据分析过程： 【收集与整理】10位同学的测评成绩分组统计如下： 分组方式 组别 测评分值 方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 【描述与分析】分组数据统计量分析表 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 85 46 360 Ⅱ组 90 90 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 16 (1)____________，____________，____________； (2)A同学说：“这次测试我得了86分，位于组内中等偏上水平”，由此可判断按分数段分组时他是____________组的学生； (3)学校规定测评分值不低于90分为优秀，估计该校八年级测评成绩达到优秀的学生人数； (4)【判断与决策】为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，应尽可能保证同组成员之间的水平接近，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 【答案】(1)，，(2)甲(3)人 (4)解：选择方式二，理由如下： 要保证同组成员水平接近，需要组内离差平方和更小，由表格可知，方式二的组内离差平方和为，小于方式一的，说明方式二同组成员的分数差异更小，水平更接近，更利于推进小组学习，促进同学互帮互助共同进步，因此选择方式二． 【详解】（1）解：I组成绩从小到大排列为∶，共5个数据，中位数为第3个数据，因此； 乙组成绩为，其中出现次数最多，因此众数； 方式一组内离差平方和为，I组方差为，I组共5个数据，因此I组离差平方和为，Ⅱ组离差平方和为，Ⅱ组共5个数据，因此方差； （2）解：按分数段分组，甲组中位数为，乙组中位数为， A同学得分，位于组内中等偏上，说明得分大于该组中位数， 且，因此A同学是甲组的学生； （3）解：抽取的10名学生中，不低于90分的成绩共有5人， 因此估计八年级300人中优秀总人数为∶（人）， 答：估计该校八年级测评成绩达到优秀的学生人数为150人； （4）略． 10．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在学校举办的 “劳动与科技” 实践周中，九年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用 “智能水肥一体化” 技术种植，乙组地块采用 “传统土壤” 方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，15，13，16，13，12 【数据整理】 同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表． 表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 a 13 乙 13 13 b 图：甲组数据的箱线图 （已知甲组数据的五数概括为：最小值11，下四分位数12，中位数13，上四分位数14，最大值15） 【问题解答】(1)填空：请直接写出表格中a和b的值：_________， ； (2)绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图，并在图的旁边标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数的数值； (3)决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是 “甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)推荐甲组种植方式． 理由： 甲、乙两组草莓甜度的平均数均为13，说明两种种植方式下草莓的平均甜度相当． 甲组的方差为1.2，乙组的方差为3.4．甲组的方差明显小于乙组，说明甲组草莓的甜度数据波动更小，更稳定． 从箱线图也可以看出，甲组数据的分布更集中，而乙组数据分布较分散． 因此，甲组“智能水肥一体化”种植方式下的草莓甜度更稳定、品质更均匀，更符合高端超市的收购标准． 【详解】（1）解：由题意可知， 在甲组数据中：11出现1次，12出现2次，13出现4次，14出现2次，15出现1次．所以甲组的众数 ． 将乙组数据从小到大排列：10， 11， 12， 12， 13， 13， 14， 15， 16， 16所以乙组的中位数． （2）解：将乙组数据从小到大排列：10， 11， 12， 12， 13， 13， 14， 15， 16， 16 由题意可知，乙组数据的最小值为10；最大值为16；中位数为13； 解法一：下四分位数（第一四分位）： ，下四分位数（第一四分位）取第3个数，即12． 上四分位数（第三四分位）：， 上四分位数（第三四分位）取第8个数，即15． 解法二：下四分位数（第一四分位）为前个数据的中位数，下四分位数（第一四分位）为； 上四分位数（第三四分位）为后个数据的中位数， 上四分位数（第三四分位）为． 乙组数据的箱线图：略 （3）略 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 数据的离散程度 1.了解极差、离差平方和、方差、标准差的概念；理解方差公式，会计算简单一组数据的离差平方和、方差、标准差；会用计算器计算方差；知道标准差单位与原数据一致。能结合前面 4.3 箱线图，从不同角度感知数据波动。 2.过程与方法 经历 “只看平均数不够→极差有局限→探究偏差和为什么不能直接用→引入离差平方和→得到方差” 的完整探究过程；体会为什么用平方、再求平均；学会对比极差、方差、箱线图各自刻画离散程度的特点，发展数据观念。 3.能在真实情境（射击、测试、产品检测等）中，综合平均数、中位数、方差等统计量进行说理、决策；会解释方差大小的实际意义；感受统计是用来做推断、做选择的工具，发展模型观念、推理意识。 4.了解组内离差平方和最小是数据合理分组的依据，能识别这个结论的含义（不要求复杂计算）。 1.离差平方和：在统计学中，将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和（sum of squares deviation）。 （新教材新增内容） 设n个数据的平均数， 那么这组数据的离差平方和公式为：。 离差平方和是统计学中衡量数据离散程度的核心指标，核心作用：作为方差与标准差的计算基础；数值越大表示数据波动越大；在方差分析中可分解为组间和组内两部分，用于检验组间差异是否显著。 2.方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差（variance）。.通常用“”表示，即。 方差实际上反映了各个数据与平均数之间的偏离情况；方差是刻画数据的离散程度的常用统计量。一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大（即波动越大，越不稳定）。 重要结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2， 则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2。 3.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示， 即 标准差的价值：标准差和原数据单位一致，在实际解释时比方差更方便。 4.极差：一组数据中最大值与最小值的差。 极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。 5.极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。 6.分组的合理性 一般地，有n个数据如果把这些数据分为两组，前m个数据为第一组，后 (n-m) 个数据为第二组，记为的平均数， 为的平均数，那么这些数据分组后各组的离差平方和为： 第一组的离差平方和：； 第二组的离差平方和：； 称为组内离差平方和。（新教材新增内容） 研究表明，当达到最小时，分组较合理，可以将 “组内离差平方和达到最小” 作为数据的分组标准。 题型01 求离差平方和 【典例】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某兴趣小组名成员的年龄（单位：岁）分别为，，，，则这组数据的离差平方和是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是_______________． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）数据2，2，3，3，5的离差平方和是________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）数据，，，，的离差平方和是__________． 题型02 求方差 【典例】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 【变式1】（2026·四川宜宾·模拟预测）欢欢的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为．关于这组数据，欢欢得出如下结果，其中错误的是（     ） A．众数是 B．平均数是 C．中位数是 D．方差是 【变式2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【变式3】（2026·浙江宁波·模拟预测）为了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（     ） 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．方差是2 题型03 利用方差求未知数据的值 【典例】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 【变式1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为________． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）在某项数据分析过程中，需要计算数据的方差，在如下这个计算方差的式子中，数据和分别表示（     ） A．该组数据的方差和个数 B．该组数据的个数和方差 C．该组数据的平均数和个数 D．该组数据的个数和平均数 【变式3】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式4】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知一组数据3，a，4，6，7的方差是5，则这组数据的离差平方和是________． 题型04 方差的综合问题 【典例】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）设数据，，，的平均数为，方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）已知一组数据，，，，的平均数是3，方差为5，另一组数据，，，，的平均数是7，方差是45，则_______． 题型05 根据方差判断稳定性 【典例】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）技术人员分别从甲、乙两块地块中随机抽取500株麦苗，统计每一株麦苗的高度，下列关于两地块麦苗高度的平均数和方差的描述中，能说明甲地块的麦苗高度较整齐的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）甲、乙、丙三名射击运动员参加训练测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定 【变式2】（2026·吉林·模拟预测）甲、乙两名学生进行实心球测试，每人投掷5次，他们各自成绩（单位：米）的平均数和方差如表： 学生 平均数 方差 甲 9.5 0.02 乙 9.5 0.05 则测试成绩更稳定的学生是________．（填“甲”或“乙”） 【变式3】（25-26八年级下·青海玉树·期末）射箭运动项目中，新手成绩通常发挥不稳定．甲、乙同时进行次射箭练习，经过统计得到甲、乙两人成绩的平均数分别为环，环，方差分别为，，则你估计新手可能是__________（填“甲”或“乙”）． 题型06 根据方差做决策 【典例】（26-27九年级上·广东·期中）自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量-标准含量）．甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：）如表所示． 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 (1)如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？(2)哪条灌装线的灌装质量更好？ 【变式1】（26-27九年级上·江苏·课后作业）为了缓解上班高峰时道路交通的压力，某市政府采取了错时上下班的措施．从6：30到9：00，分成5个时间段，每段．在一条主干道上，分别观测了采取措施前后各时间段通过的汽车数量X和Y（单位：千辆），如下表： 时间段 X 1.8 2.5 3.5 2.0 1.6 Y 1.4 2.0 2.5 3.0 2.5 (1)采取措施前后，汽车的平均流量有变化吗？(2)分别计算两组数据的方差，你认为采取的措施是否有效？ 【变式2】（26-27九年级上·湖北·课后作业）学校为了选拔4名播音员，对20名学生进行了两次普通话水平测试（满分10分），测试结果如下表： 第一次测试结果 第二次测试结果 成绩/分 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 人数 2 3 7 6 2 5 6 5 3 1 (1)利用计算器分别计算两次测试成绩的方差．(2)哪次测试结果对选拔播音员更有参考意义？ 【变式3】（2026·辽宁·中考真题）某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三：每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 题型07 极差及其相关运用 【典例】（25-26八年级下·河南商丘·期末）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，结果如下表所示 月用水量/t 7 8 12 14 户数 3 5 5 7 下列关于“月用水量”的说法错误的是（     ） A．平均数是10.95 B．极差是8 C．众数是14 D．中位数是12 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 【变式2】（25-26八年级下·重庆南岸·开学考试）去年的“植树节”时，文德中学八（1）班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5棵，则该组数据的极差是（     ） A．5 B．4 C．3 D． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）一个容量为50的样本的最大值为24.8，最小值为1.5，取组距为3.5，则可以分成（     ） A．9组 B．8组 C．7组 D．6组 题型08 标准差及其相关运用 【典例】（2026·上海松江·模拟预测）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【变式1】（25-26九年级下·上海长宁·期中）数据90、91、92、93、94的标准差是________． 【变式2】（25-26八年级下·湖南株洲·期中）标准差公式是一种数学公式．标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差．标准差和方差一样，描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大．样本标准差是这样计算的：若某样本数据的方差是，则其标准差为，例如：某样本数据的方差是9，则其标准差为3． 已知：一组数据的方差计算公式为：．现给定一组数据：，，，，，则这组数据的标准差为______． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·期末）一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是__________． 题型09 已知极差求未知数据 【典例】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）数据0，，x，3，4的极差是8，则________． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若一组数据，，，，，的极差为，则的值为___________ 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·期末）下列命题中，真命题是（    ） ①若，则 ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则的值是6 ④已知点，在一次函数的图象上，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 题型10 求组内离差平方和 【典例】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某围棋社团小组成员在一次比赛中的成绩（单位：分）分别为84，86，87，87，88，90，将成绩分成84，86，87，87和88，90两组，这样分组的组内离差平方和为（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 【变式2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 【变式3】（26-27九年级上·江苏南通·开学考试）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 题型11 方差（标准差）与箱线图综合运用 【典例】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）在“书韵传声”经典故事品读赛中，八（1）班要从甲、乙两名同学中选择一位代表班级参赛．甲、乙两名同学在之前的12次备赛环节的测试成绩（单位：分）如下： 甲：； 乙：． 甲、乙两名同学测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 85 90 151.17 乙 88 92 100.67 请根据以上信息解答下列问题：(1)表格中，______，______； (2)计算乙同学测试成绩的第一四分位数和第三四分位数，并绘制乙同学测试成绩的箱线图； (3)根据以上信息，你认为应选派谁代表班级参加比赛？请说明理由． 【变式1】（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：，，，，，，，，，，， 八年级：，，，，，，，，，，， 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 和 八年级 根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：________，________；________； (2)八年级成绩箱线图的下四分位是________； (3)该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为多少人？ 【变式2】（26-27九年级上·山东德州·开学考试）为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩百分制进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩单位：分 甲：，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数分 众数分 中位数分 方差分 甲 乙 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图单位：分 根据以上信息，回答下列问题： (1)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图；(2)根据【信息】和【信息】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【变式3】（26-27九年级上·北京·阶段检测）为提高学生身体素质，学校利用智慧体育系统对八年级学生进行“立定跳远”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取次测试成绩（单位：厘米），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲同学的次测试成绩： ，，，，，，，，， ．四位同学次测试成绩的箱线图（不完整）： ．四位同学次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 乙 丙 丁 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________，甲的第一四分位数为________；(2)同学乙和丙中，稳定性更好的是________； (3)现需要从四位同学中选择一位代表参加秋季运动会．体育老师按照如下原则进行实力强弱的评估：先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距＝第三四分位数－第一四分位数），四分位距较小者实力更强．则根据实力强弱，代表班级进行比赛的同学是________． 【巩固训练】 1．（25-26八年级下·天津和平·期末）甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·成都·期末）已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法错误的是（   ） A．平均数是3 B．中位数和众数都是3 C．方差是 D．标准差是 3．（25-26八年级下·广东惠州·期末）一组数据的方差为，则该组数据的总和是（    ） A． B．9 C．14 D．45 4．（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）衡南向阳桥香瓜（又称梨瓜）是湘南地区的特色农产品，种植历史超百年．衡南某香瓜种植基地有甲、乙两块试验田，近6年的亩产量（单位：）如下： 甲：4800，5000，5200，5000，4900，5100． 乙：4700，5300，5000，4900，5100，5000． 若要判断哪块田的产量更稳定，应比较两组数据的（     ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 5．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 6．（26-27九年级上·江苏·单元复习）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（     ） A．组内离差平方和最小 B．组内离差平方和最大 C．组间的平均数差最大 D．组间的平均数差最小 7.（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知样本，，，的极差是6．则样本的平均数为______． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）体育老师打算在甲、乙、丙、丁四名同学里挑选一人，代表班级参加学校跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，离差平方和分别是，，，，你认为_______同学的成绩最稳定． 9．（25-26八年级下·北京丰台·期末）某班要从甲、乙、丙、丁四名学生中选取一名学生代表班级参加年级一分钟跳绳“班超”联赛、每人测试10次，对这四名学生的10次测试成绩的数据进行了整理、描述和分析，给出了部分信息． a．甲、乙两名学生10次测试成绩的折线图： b．学生丙10次测试成绩：180  182  184  188  188  188  190  192  194  194 c．学生丁10次测试成绩的第三四分位数是189； d．四名学生10次测试成绩的平均数、中位数．方差如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 188 188 188 中位数 188 188 188 方差 4.8 20.8 4.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_________，的值为_________；(2)表中的_________4.8（填“>”“=”或“<”）； (3)根据这10次测试成绩，按如下方式评估这四名学生的实力强弱：首先比较平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较发挥的稳定性、成绩越稳定者实力更强；若平均数、稳定性分别相同，则比较第三四分位数，第三四分位数越大者实力更强．最终当选正式参赛队员的是_________．其10次测试成绩的第三四分位数是_________． 10．（25-26八年级下·陕西安康·期末）为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题．竞赛结束后，学校随机抽取了20名同学的答卷，他们答对的题数（单位：道）统计如下：2，4，6，7，8，9，10，10，10，11，12，13，13，14，15，15，16，17，18，20． 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组2人，乙组3人 m 方式二 Ⅰ组3人，Ⅱ组2人 (1)这20名同学答对题数的众数为_________道，中位数为_________道； (2)这20名同学中答对题数最少的5名同学打算一起分组学习航天知识，若按照答对的题数将他们分为2人组和3人组，现有以下两种分组方式，根据组内离差平方和最小的原则，应该采用哪种分组方式？ 【强化训练】 1．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）校运动队统计男、女队员各5名的一周训练达标次数，数据整理如图，分析两组队员的达标情况，下面说法正确的是（     ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．女生达标情况更稳定 2．（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）若，以下正确的是（） A．、、、的平均数小于、、、、、、、的平均数 B．、、、的极差小于、、、、、、、的极差 C．、、、的方差不大于、、、、、、、的方差 D．、的标准差小于、、、、、、、的标准差 3．（2026·陕西西安·模拟预测）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位℃)：，，，2，，1．若这组数据的中位数是，则下列结论正确的是（     ） A．方差是8 B．极差是9 C．众数是或 D．平均数是 4．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是反映某场女排决赛中，A、B两队队员拦网高度情况的箱线图，下列说法一定正确的是（     ） A．A队的中位数小于B队的中位数 B．A队的方差小于B队的方差 C．A队的平均数小于B队的平均数 D．A队拦网高度第一四分位数大于B队拦网高度第三四分位数 5．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 6．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）甲、乙两名同学进行次模拟测试，已知两人测试成绩的平均分完全相同，甲成绩的离差平方和为，乙成绩的离差平方和为．若甲的成绩波动比乙更小，则整数的最大值为______． 7.（26-27九年级上·河北衡水·阶段检测）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是_____． 8．（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）已知一组数据的方差是5，则数据的方差是_________． 9．（25-26八年级下·山东临沂·期末）艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，组织八年级同学进行艺术测评与分析．已知八年级共有学生300人，现从中随机抽取了其中某个班的10名学生的测评成绩（单位：分）进行统计，下面是对抽取到的10位同学的测评成绩的数据分析过程： 【收集与整理】10位同学的测评成绩分组统计如下： 分组方式 组别 测评分值 方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 【描述与分析】分组数据统计量分析表 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 85 46 360 Ⅱ组 90 90 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 16 (1)____________，____________，____________； (2)A同学说：“这次测试我得了86分，位于组内中等偏上水平”，由此可判断按分数段分组时他是____________组的学生； (3)学校规定测评分值不低于90分为优秀，估计该校八年级测评成绩达到优秀的学生人数； (4)【判断与决策】为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，应尽可能保证同组成员之间的水平接近，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 10．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在学校举办的 “劳动与科技” 实践周中，九年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用 “智能水肥一体化” 技术种植，乙组地块采用 “传统土壤” 方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，15，13，16，13，12 【数据整理】 同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表． 表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 a 13 乙 13 13 b 图：甲组数据的箱线图 （已知甲组数据的五数概括为：最小值11，下四分位数12，中位数13，上四分位数14，最大值15） 【问题解答】(1)填空：请直接写出表格中a和b的值：_________， ； (2)绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图，并在图的旁边标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数的数值； (3)决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是 “甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $