4.4 数据的离散程度 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦“数据的离散程度”核心知识点，系统梳理方差、标准差的定义与计算方法，结合计算器操作及离差平方和概念，通过“概念-公式-应用”递进式学习支架，构建从基础原理到实际问题分析的完整知识脉络。 资料特色在于融入藤球比赛、树苗选购等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，典例与变式题设计注重对比分析，培养数学思维中的推理意识，数据表格与问题结合强化数据观念。课中便于教师系统授课，课后多样练习助力学生查漏补缺，巩固知识。

4.4 数据的离散程度 内 容 导 航 题型1 方差 题型2 标准差 题型3 计算器-标准差与方差 题型4 离差平方和 考 点 演 练 题型1 方差 解｜题｜知｜识 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例1】藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”．如表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择（　　） 甲 乙 丙 丁 /分 96 98 96 98 s2 3 3 0.4 0.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 9.2 9.0 9.1 0.7 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式2】甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差s2（单位：环2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 s2 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3】有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（　　） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 题型2 标准差 解｜题｜知｜识 （1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度． 公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2] （2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例1】一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 标准差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.6 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购（　　） A．甲苗圃的树苗 B．乙苗圃的树苗 C．丙苗圃的树苗 D．丁苗圃的树苗 【变式1】已知数据x1，x2，x3…x10的方差计算公式为s2＝[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（x10﹣4）2]÷10，则数据的（　　） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 【变式2】已知数据x1，x2…，x10的方差计算公式为，则这组数据的（　　） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 【变式3】小明同学对数据12，22，36，4■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（　　） A．平均数 B．标准差 C．方差 D．中位数 题型3 计算器-标准差与方差 解｜题｜知｜识 由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 以如图的计算器为例说明： 首先，按2ndf键，再按on/c（清零）键，即进入统计状态，右上角有stat显示． 接着，进入数据输入存 储状态，输入一个数据后按M+键，即对数据进行储存，可显示1，表示输入了第一个数据，依次再输入， 显示2，为第二个数据．数据输入完成后，就可进行计算，按2ndf，再按RM，即显示为平均值，其他同此． 先按2ndf键再按其他键，表示选择的是该键上方的功能． 【典例1】某工厂为了选拔1名车工参加加工直径为10mm的精密零件的技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较S2甲、S2乙的大小（　　） 甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10 乙 10 10.01 10.02 9.97 10 A．S2甲＞S2乙 B．S2甲＝S2乙 C．S2甲＜S2乙 D．S2甲≤S2 题型4 离差平方和 解｜题｜知｜识 离差平方和，简单说就是：一组数据里，每个数据与平均值的差，先平方，再全部加起来的总和． 设一组数据为x1，x2，…，xn，平均值为，则SS=； xi-：离差（每个数据偏离平均值的程度）； 平方：避免正负抵消； 求和：整体离散程度的一个度量． 过 关 验 收 1．某校举行健美操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都是1.65米，身高数据的方差分别是s2甲＝2.9，s2乙＝2.4，s2丙＝1.2，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级是（　　） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐 2．某速度滑冰队从甲、乙、丙、丁四位选手中选派一名参加省冰雪运动会，对他们进行了十次测试，结果他们的平均成绩均相同，方差如下表：若决定发挥最稳定的丁参加省运会，则a的值可以是（　　） 选手 甲 乙 丙 丁 方差（秒2） 0.095 0.085 0.079 a A．0.10 B．0.09 C．0.08 D．0.07 3．某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是（　　） A．平均数比16大 B．中位数比众数小 C．若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大 D．若年龄最大的选手离队，则方差将变小 4．某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 8 12 x 10﹣x A．平均数，中位数 B．众数，中位数 C．众数，方差 D．平均数，方差 5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 9.2 9.5 9.5 9.2 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 5 23 ■ ■ 由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（　　） A．平均数、众数 B．众数、中位数 C．平均数、中位数 D．中位数、方差 7．某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲，乙，丙，丁4名同学三次数学成绩的平均分都是102分，方差分别是，，，，则这4名同学三次数学成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．已知数据x1，x2…，xn的方差是3，则一组新数据x1+4，x2+4，…，xn+4的方差是　 　 ． 9．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是　 　 （填“甲”或“乙”）． 10．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是　 　 ． 11．小丽计算数据方差时，使用公式s2[（5）2+（8）2+（13）2）2+（15）2]，则公式中　 　 ． 12．如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 　　 　　 （填“＞”“＝”或“＜”）． 13．为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，两组样本数据的平均数、中位数、众数及方差如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（精确到0.01） 七年级 14.4 16 b 15.04 八年级 a 12 12 16.64 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； （3）若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 14．在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：9.6 8.8 8.8 8.9 8.6 8.7对打分数据有以下两种处理方式： 方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计： 平均分 中位数 方差 8 9 a 0.107 方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计： 平均分 中位数 方差 b 8.8 c （1）a＝　　 　 ，b＝　 　 ；c＝　　 　 ； （2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由． 15．射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下： 甲，乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 甲 a 8 c 乙 8 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　　 ，c＝ 　 　 ； （2）你认为谁的射击成绩更好？为什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将 　 　 （填“变大”，“变小”或“不变”）． 16．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10．高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 0.8 高中 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）求m的值． （3）综合表中数据，从离散程度（方差）看，　 　　 （填“初中”或“高中”）学生打分更稳定；从集中趋势（平均数、中位数、众数）看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 17．某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c s乙2 （1）以上成绩统计分析表中a＝　 　 ，b＝　 　，c＝　 　 ； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 　 　 组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 18．点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 19．小虎同学对数据28，36，36，46，5■，52进行统计分析．发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 20．测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（　　） A．方差 B．标准差 C．中位数 D．平均数 21．已知一组数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，另有一组数据y1，y2，…，yn，其中yk＝6xk+5（k＝1，2，…，n），其标准差是S2，则正确的是（　　） A．S2＝6S1+5 B．S2＝6S1 C．S2S1 D．S2S1+5 22．数据﹣1，0，1，2，3的标准差为　 　 ． 23．已知数据x1，x2，x3的平均数为a，方差为b，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3的标准差是　　 　． 24．已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则这五个数据的标准差是　 　 ． 25．我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的环保知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表（不完整）如下所示： 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 m 3.41 90% 20% 八年级 7.1 n 80% 10% （1）观察条形统计图，可以发现：八年级成绩的标准差　 　 七年级成绩的标准差（填“＞”、“＜”或“＝”），表格中m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）计算七年级的平均分； （3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 数据的离散程度 内 容 导 航 题型1 方差 题型2 标准差 题型3 计算器-标准差与方差 题型4 离差平方和 考 点 演 练 题型1 方差 解｜题｜知｜识 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例1】藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”．如表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择（　　） 甲 乙 丙 丁 /分 96 98 96 98 s2 3 3 0.4 0.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解答】解：根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．可得： ∵乙、丁两同学的平均数相等，且比甲、丙两同学的高， ∴乙和丁两同学成绩较好，应从乙和丁两同学中选， 又∵丁同学的方差比乙同学的小， ∴丁同学的状态更稳定，应选丁同学， 故选：D． 【变式1】某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 9.2 9.0 9.1 0.7 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数， 故选：B． 【变式2】甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差s2（单位：环2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 s2 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解答】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵甲、丙、丁三人中，丁的方差较小， ∴丁发挥最稳定， ∴选择丁参加比赛． 故选：D． 【变式3】有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（　　） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】A 【解答】解：有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a则： 这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故B、D不符合题意； 若a＝1，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若a≤3，则新数据中间数为第四个数，为3，若a＞3，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故A符合题意， 故选：A． 题型2 标准差 解｜题｜知｜识 （1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度． 公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2] （2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例1】一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 标准差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.6 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购（　　） A．甲苗圃的树苗 B．乙苗圃的树苗 C．丙苗圃的树苗 D．丁苗圃的树苗 【答案】D 【解答】解：∵丁苗圃的树苗平均高度是2.0米，标准差是0.2，标准差最小， ∴采购小组应选购丁苗圃的树苗． 故选：D． 【变式1】已知数据x1，x2，x3…x10的方差计算公式为s2＝[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（x10﹣4）2]÷10，则数据的（　　） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 【答案】C 【解答】解：由方差的计算公式：s2＝[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（x10﹣4）2]÷10可知：数据的平均数为4， 而数据的方差、中位数、标准差不确定， 故选：C． 【变式2】已知数据x1，x2…，x10的方差计算公式为，则这组数据的（　　） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 【答案】C 【解答】解：由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10， 故选：C． 【变式3】小明同学对数据12，22，36，4■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（　　） A．平均数 B．标准差 C．方差 D．中位数 【答案】D 【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36，与被涂污数字无关． 故选：D． 题型3 计算器-标准差与方差 解｜题｜知｜识 由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 以如图的计算器为例说明： 首先，按2ndf键，再按on/c（清零）键，即进入统计状态，右上角有stat显示． 接着，进入数据输入存 储状态，输入一个数据后按M+键，即对数据进行储存，可显示1，表示输入了第一个数据，依次再输入， 显示2，为第二个数据．数据输入完成后，就可进行计算，按2ndf，再按RM，即显示为平均值，其他同此． 先按2ndf键再按其他键，表示选择的是该键上方的功能． 【典例1】某工厂为了选拔1名车工参加加工直径为10mm的精密零件的技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较S2甲、S2乙的大小（　　） 甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10 乙 10 10.01 10.02 9.97 10 A．S2甲＞S2乙 B．S2甲＝S2乙 C．S2甲＜S2乙 D．S2甲≤S2 【答案】A 【解答】解：甲的平均数＝（10.05+10.02+9.97+9.96+10）÷5＝10， 乙的平均数＝（10+10.01+10.02+9.97+10）÷5＝10； S2甲[（10.05﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（9.96﹣10）2+（10﹣10）2]， S2乙[（10﹣10）2+（10.01﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（10﹣10）2]； 故有S2甲＞S2乙． 故选：A． 题型4 离差平方和 解｜题｜知｜识 离差平方和，简单说就是：一组数据里，每个数据与平均值的差，先平方，再全部加起来的总和． 设一组数据为x1，x2，…，xn，平均值为，则SS=； xi-：离差（每个数据偏离平均值的程度）； 平方：避免正负抵消； 求和：整体离散程度的一个度量． 过 关 验 收 1．某校举行健美操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都是1.65米，身高数据的方差分别是s2甲＝2.9，s2乙＝2.4，s2丙＝1.2，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级是（　　） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐 【答案】C 【解答】解：∵s2甲＝2.9，s2乙＝2.4，s2丙＝1.2， ∴s2甲＞s2乙＞s2丙， ∴参赛学生身高比较整齐的班级是丙班． 故选：C． 2．某速度滑冰队从甲、乙、丙、丁四位选手中选派一名参加省冰雪运动会，对他们进行了十次测试，结果他们的平均成绩均相同，方差如下表：若决定发挥最稳定的丁参加省运会，则a的值可以是（　　） 选手 甲 乙 丙 丁 方差（秒2） 0.095 0.085 0.079 a A．0.10 B．0.09 C．0.08 D．0.07 【答案】D 【解答】解：结果他们的平均成绩均相同，方差如下表：若决定发挥最稳定的丁参加省运会， 在平均成绩相同的情况下，方差越小说明成绩越稳定， ∵选手甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别为：0.095，0.085，0.079，a，选派选手丁去参加比赛， ∴a＜0.079＜0.085＜0.095 ∴a的值应小于0.079， ∴a的值可能是0.07． 故选：D． 3．某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是（　　） A．平均数比16大 B．中位数比众数小 C．若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大 D．若年龄最大的选手离队，则方差将变小 【答案】D 【解答】解：足球队队员年龄按由小到大的顺序排列为：13、13、14、14、14、14、14、14、15、15、15、15、15、15、15、15，16、16、16、17、17、18， A、平均数为：（2×13+6×14+8×15+3×16+2×17+18）＝15＜16，故选项表述错误，不符合题意； B、中位数为：15，众数为15，项表述错误，不符合题意； C、若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差与去年相等，故选项表述错误，不符合题意； D、若年龄最大的选手离队，则方差将变小，故选项表述正确，符合题意； 故选：D． 4．某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 8 12 x 10﹣x A．平均数，中位数 B．众数，中位数 C．众数，方差 D．平均数，方差 【答案】B 【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10， 则总人数为：5+15+10＝30， 故该组数据的众数为14岁，中位数为：岁， 即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数； 故选：B． 5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 9.2 9.5 9.5 9.2 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解答】解：成绩好的选手是乙、丙， 成绩发挥稳定的选手是甲、乙， ∴成绩好且发挥稳定的选手是乙， ∴应该选择乙参加射箭比赛， 故选：B． 6．某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 5 23 ■ ■ 由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（　　） A．平均数、众数 B．众数、中位数 C．平均数、中位数 D．中位数、方差 【答案】B 【解答】解：一共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位两个数的平均数，而12岁的有5人，13岁的有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位两个数都是13岁，因此中位数是13岁，不会受14岁，15岁人数的影响； 因为13岁有23人，而12岁的有5人，14岁、15岁共有22人，因此众数是13岁； 故选：B． 7．某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲，乙，丙，丁4名同学三次数学成绩的平均分都是102分，方差分别是，，，，则这4名同学三次数学成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：∵， ∴这4名同学三次数学成绩最稳定的是甲； 故选：A． 8．已知数据x1，x2…，xn的方差是3，则一组新数据x1+4，x2+4，…，xn+4的方差是　 　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵数据x1，x2…，xn的方差是3， ∴数据x1+4，x2+4，…，xn+4的方差为3． 故答案为：3． 9．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是　 　 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲． 【解答】解：∵两种小麦苗方差分别为，高的平均数相同， ∴， ∴两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 10．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是　 　 ． 【答案】7.6． 【解答】解：由题意可知，这组数据为3，5，8，8，11， 平均数为， 则方差 ＝7.6． 故答案为：7.6． 11．小丽计算数据方差时，使用公式s2[（5）2+（8）2+（13）2）2+（15）2]，则公式中　 　 ． 【答案】11 【解答】解：∵s2[（5）2+（8）2+（13）2）2+（15）2]， ∴11， 故答案为：11． 12．如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 　　 　　 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【解答】解：由统计图可知： 甲的成绩为：6，5，6，4，7； 乙的成绩为：5，2，5，7，3， ∴5.6， 1.04； 4.4， 3.04， ∵1.04＜3.04， ∴， 故答案为：＜． 13．为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，两组样本数据的平均数、中位数、众数及方差如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（精确到0.01） 七年级 14.4 16 b 15.04 八年级 a 12 12 16.64 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； （3）若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 【答案】（1）14.4，16； （2）可以推断出七年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由： 因为两班平均数相同，而七年级的中位数以及众数均高于八年级，七年级的方差小于八年级的方差， 所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好； （3）231． 【解答】解：（1）由扇形统计图可得a＝8×10%+12×50%+16×10%+20×30%＝14.4（分）， 由条形统计图知16分出现的次数最多， ∴b＝16； 故答案为：14.4，16； （2）可以推断出七年级学生的安全知识竞赛成绩更好， 理由：因为两班平均数相同，而七年级的中位数以及众数均高于八年级，七年级的方差小于八年级的方差， 所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好； （3）七年级不低于16分的人数所占的百分比乘总人数可得： （人）， 答：估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数为231人． 14．在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：9.6 8.8 8.8 8.9 8.6 8.7对打分数据有以下两种处理方式： 方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计： 平均分 中位数 方差 8 9 a 0.107 方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计： 平均分 中位数 方差 b 8.8 c （1）a＝　　 　 ，b＝　 　 ；c＝　　 　 ； （2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方式一：不去掉任何数据，这组数据的中位数为：a8.8； 方式二：去掉一个最高分和一个最低分， 平均数为b（8.8+8.8+8.9+8.7）＝8.8， 方差为：c[（8.8﹣8.8）2+（8.8﹣8.8）2+（8.9﹣8.8）2+（8.7﹣8.8）2]＝0.005， 故答案为：8.8，8.8，0.005； （3）去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据的平均分进行统计更合理， 理由：这样可以减少极端值对数据的影响． 15．射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下： 甲，乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 甲 a 8 c 乙 8 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　　 ，c＝ 　 　 ； （2）你认为谁的射击成绩更好？为什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将 　 　 （填“变大”，“变小”或“不变”）． 【答案】（1）8，7.5，0.8； （2）甲的射击成绩更好．理由见解析； （3）变小． 【解答】解：（1）甲的平均数（7×3+8×5+9+10）＝8， 乙的中位数为7.5， 甲的方差[3×（7﹣8）2+5×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝0.8， 故答案为：8，7.5，0.8； （2）甲的射击成绩更好．理由如下： 因为甲、乙两人的平均数相等，而甲的中位数大于乙的中位数，甲的方差较小，发挥比较稳定， 所以甲的射击成绩更好； （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差为[1.8×10+（8﹣8）2]≈1.6， ∴乙射击成绩的方差变小． 故答案为：变小． 16．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10．高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 0.8 高中 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）求m的值． （3）综合表中数据，从离散程度（方差）看，　 　　 （填“初中”或“高中”）学生打分更稳定；从集中趋势（平均数、中位数、众数）看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 【答案】（1）8，8； （2）9； （3）初中，高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高． 【解答】解：（1）初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数a＝8， 打分出现次数最多的是8，则众数b＝8， 故答案为：8，8； （2）高中部打分的平均分为8分， 则（9+7+9+6+10+6+8+m+9+7）＝8×10， 即71+m＝80， ∴m＝9； （3）∵初中部打分的方差为0.8，高中部打分的方差为1.8， ∴从离散程度（方差）看，初中部学生打分更稳定； 高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由如下： ∵初中部和高中部打分的平均数都是8，但高中部的打分的中位数和众数均高于初中部， ∴高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高． 故答案为：初中． 17．某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c s乙2 （1）以上成绩统计分析表中a＝　 　 ，b＝　 　，c＝　 　 ； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 　 　 组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6，7，7；（2）甲组，因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上；（3）乙组参加决赛． 【解答】解：（1）把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是6，则中位数a＝6； b（5+6+6+6+7+7+7+7+9+10）＝7， 乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数c＝7． 故答案为：6，7，7； （2）小明可能是甲组的学生，理由如下： 因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上， 故答案为：甲； （3）选乙组参加决赛．理由如下： s乙2， ∵甲乙组学生平均数差不多，而s甲2＝2.6＞s乙2＝2， ∴乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 18．点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关． 故选：B． 19．小虎同学对数据28，36，36，46，5■，52进行统计分析．发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与被涂污数字无关． 故选：B． 20．测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（　　） A．方差 B．标准差 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响， 所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数， 故选：C． 21．已知一组数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，另有一组数据y1，y2，…，yn，其中yk＝6xk+5（k＝1，2，…，n），其标准差是S2，则正确的是（　　） A．S2＝6S1+5 B．S2＝6S1 C．S2S1 D．S2S1+5 【答案】B 【解答】解：∵数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，数据y1，y2，…，yn，其中yk＝6xk+5（k＝1，2，…，n），其标准差是S2， ∴第二组数据的标准差是第一组数据的6倍， ∴S2＝6S1， 故选：B． 22．数据﹣1，0，1，2，3的标准差为　 　 ． 【答案】 【解答】解：数据﹣1，0，1，2，3的平均数为 [﹣1+0+1+2+3]＝1 方差为S2[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]＝2 ∴标准差为 ． 故答案为． 23．已知数据x1，x2，x3的平均数为a，方差为b，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3的标准差是　　 　． 【答案】2 【解答】解：∵数据x1，x2，x3的方差为b， ∴数据2x1+3，2x2+3，2x3+3的方差是：22•b＝4b， ∴数据2x1+3，2x2+3，2x3+3的标准差是2； 故答案为：2． 24．已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则这五个数据的标准差是　 　 ． 【答案】 【解答】解：由方程x2﹣3x+2＝0 解方程的两个根是1，2，即a＝1，b＝2 故这组数据是3，1，4，2，5 其平均数（3+1+4+2+5）＝3 方差S2[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]＝2 故五个数据的标准差是S 故本题答案为：． 25．我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的环保知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表（不完整）如下所示： 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 m 3.41 90% 20% 八年级 7.1 n 80% 10% （1）观察条形统计图，可以发现：八年级成绩的标准差　 　 七年级成绩的标准差（填“＞”、“＜”或“＝”），表格中m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）计算七年级的平均分； （3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵八年级成绩的方差[2（5﹣7.1）2+（6﹣7.1）2+2（7﹣7.1）2+4（8﹣7.1）2+（9﹣7.1）2]＝1.69＜3.41， ∴八年级成绩的标准差＜年级成绩的标准差； 七年级成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10， ∴中位数为6，即m＝6； 八年级成绩为5，5，6，7，7，8，8，8，8，9， ∴中位数为7.5，即n＝7.5； 故答案为：＜，6，7.5； （2）七年级成绩的平均分＝（3×1+5×6+7×1+8×1+9×1+10×1）÷10＝6.7； （3）①八年级队平均分高于七年级队；②八年级队的成绩比七年级队稳定；③八年级队的成绩集中在中上游； 所以支持八年级队成绩好． 学科网（北京）股份有限公司 $