期中讲义01 一元二次方程 （9大考点专练）2026-2027学年苏科版九年级数学上册秋期复习讲义+重难点专题训练

期中讲义01 一元二次方程 （9大考点专练） 【考点一】一元二次方程的识别与概念 【考点六】与图形有关的问题 【考点二】一元二次方程的解法（4大解法） 【考点七】销售利润问题 【考点三】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【考点八】数字与握手问题 【考点四】一元二次方程的根与系数的关系 【考点九】综合应用（几何动点·压轴） 【考点五】增长率问题(一元二次方程的应用) 考点 1 一元二次方程的概念与一般形式 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。 一般形式：ax² + bx + c = 0（a≠0），其中 a 为二次项系数、b 为一次项系数、c 为常数项。 判断一个方程是否为一元二次方程，先把它化成一般形式，再看是否同时满足“一元、二次、整式方程”三个条件。 ① 二次项系数 a 必须满足 a≠0；若 a=0 则退化为一次方程，不再是二次方程； ② 必须“整理化简后再判断”，如 x(x+1)=x²+1 化简后为 x=1，是一元一次方程； ③ 分式方程、根式方程不是整式方程，不能判定为一元二次方程。 考点 2 一元二次方程的解法 四大解法及适用场景： ① 直接开平方法：适合形如 (x+m)²=n（n≥0）的方程，两边直接开平方得 x+m=±√n。 ② 配方法：将方程化为 (x+m)²=n 的形式。配方时，方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”。 ③ 公式法：把方程化为一般形式后，先算判别式 Δ，再套求根公式。 ④ 因式分解法：将左边分解为两个一次因式的乘积、右边化为 0，再令每个因式等于 0。 解法选择口诀：能直接开平方先开方；能因式分解先分解；否则配方或套公式，公式法保底。 考点 3 根的判别式 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的判别式为 Δ=b²−4ac，它决定方程根的情况： ① Δ>0：方程有两个不相等的实数根； ② Δ=0：方程有两个相等的实数根； ③ Δ<0：方程没有实数根。 易错：判别式仅对“化为一般形式后”的方程适用；含参数时，若二次项系数含参，须先讨论 a≠0。 考点 4 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为 x₁、x₂，则两根之和与两根之积满足： 应用前提：a≠0 且 Δ≥0。常见应用：①求对称式的值（如 x₁²+x₂²、(x₁−x₂)²）；②由根构造方程；③已知一根求另一根及参数。 考点 5 一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题的基本步骤：审题 → 设未知数 → 列方程 → 解方程 → 检验 → 作答。检验时必须结合实际问题舍去不合理的根（如边长不能为负）。常见模型： ① 增长率问题：设初始量为 a、增长（下降）率为 x，经过 n 期后为 a(1±x)ⁿ； ② 面积、几何问题：利用矩形面积、勾股定理等列方程，注意图形分割与篱笆长度； ③ 传播、握手问题：两人握手次数 = n(n−1)/2，n 人相互握手总次数； ④ 营销利润问题：利润 = (售价−进价)×销量，售价变化会影响销量。 【考点一】一元二次方程的识别与概念 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项是否符合定义． 【详解】解：选项A：中含有分式，不是整式方程，∴ 不是一元二次方程． 选项B：中，未明确（若，则不是二次方程），∴ 不一定是一元二次方程． 选项C：可化为，即，是整式方程且最高次项为2，∴ 是一元二次方程． 选项D：中最高次项为3，∴ 不是一元二次方程． ∴ 正确答案是C． 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若方程的一个根为a，则代数式的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，掌握其相关知识点是解题的关键．利用方程根的定义，将根代入方程后得到等式，再整体代入代数式求值． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， 即． 代数式， 代入， 得． 故答案为． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入方程得： 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 【答案】2026 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为______． 【答案】2025 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把代入，得，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 则． 故答案为：2025． 7．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）若a是关于x的一元二次方程的一个根，是关于x的一元二次方程的一个根，且，则n的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的定义．由题意，a 是方程 的根，代入得关系式；是方程 的根，代入得另一关系式；结合已知 ，通过代数变换得到关于 a 和 b 的方程，利用非负性确定 a 和 b 的值，进而求出n． 【详解】解：∵ a 是方程 的根， ∴ ， 即 . ∵是方程 的根， ∴ ， 展开得 ， 简化得 ， 即 . 又已知 . ， 整理得 . 即 . ∵ ，， ∴ ，， 即 ，. ∴. 故答案为： 【考点二】一元二次方程的解法（4大解法） 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（    ） A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令，则，得出，即可解答． 【详解】解：令， 则方程可改写为：， ∵一元二次方程的解是，， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：C． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为______． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程的两根满足关系式是解答的关键．由方程的两根为，得出方程的两根满足关系式，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)无实数根 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法即可求解； （2）整理方程，求出其判别式即可判断方程无实数根． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 则 ， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ， ∴ 则 ∴方程无实数根． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 开平方得：， ∴，； （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 12．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解答即可． （2）根据配方法解答即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 13．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)， (2)， (3)，； (4)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）用直接开平方法，即可求解； （2）可求，，，，由求根公式，进行求解即可． （3）将方程右边的项移到左边进行因式分解，即可求解； （4）整理后，利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：， 开方得， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，； （3）解：， 整理得，即， 因式分解得，即， 或， ，； （4）解：， 整理得，即， 配方得，即， 开方得， ，． 【考点三】根据判别式判断一元二次方程根的情况 15．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）九年级一同学在解关于的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，将常数项写成了，解出误方程的两个根分别是和．现有以下两种说法：甲：原方程必定有一个根是；乙：原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（     ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用误方程的根得到、与的数量关系，再分别判断甲、乙说法的正误． 【详解】解：由题意得，误方程为 ∵，是误方程的根， ∴将代入得， 将代入得， 两式相减得，即， 将代入，得 甲：将代入原方程左边，得 将，代入，得 ∵， ∴，即不是原方程的根，甲错误； 乙：原方程的判别式 将，代入，得 ∵， ∴，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙正确． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的存在情况是_________． 【答案】没有实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一次函数增减性求参数 【分析】根据一次函数可得的范围，然后计算一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：根据一次函数经过二、四象限，则， 在一元二次方程中， ， ∴， ∴原方程没有实数根， 故答案为：没有实数根. 【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，一元二次方程根的判别式，根据一次函数解析式求得的范围是解题的关键． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：一元二次方程中， ，，， ， 一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根的判别式是，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根．一元二次方程的根的判别式为，所以一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【详解】略 18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根大于3，求的取值范围． 【答案】(1) 解：∵， ∴ ， 即不论为何值，方程总有两个实数根； (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则，即可作答． （2）先根据因式分解整理方程，得，即，结合方程有一个根大于3，且，得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程有一个根大于3，且， ∴， ∴． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，是方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 【答案】(1) 证明： 无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)，， 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的判别式与韦达定理，运用代数推理思想，关键是通过判别式证明根的存在性，利用韦达定理列方程求参数，易错点为判别式计算或韦达定理应用时的符号错误； （1）计算判别式并证明其非负；（2）利用韦达定理列方程求，再解方程求根． 【详解】（1）略 （2），即， ， 此时方程为：， ， ， 解得：，. 20．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：此方程必有实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 【答案】(1) 证明：∵是关于的一元二次方程， ∴， ， 方程必有的实数根； (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：当时，方程有两个相等的非零实数根， ， 方程即， 解得． 【考点四】一元二次方程的根与系数的关系 21．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】根据一元二次方程的两根为，，得，，得到方程为，于是得到的两个根均为正数，建立不等式组，求不等式组的解集，判断即可． 本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，根的判别式，不等式组的解法，熟练掌握定理，根的判别式，正确解不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴方程为， ∵的两个根均为正数，设两个根为： ∴， 解不等式组，得， 故选：C． 22．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）设是方程的两个实数根，则__． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系．根据一元二次方程根与系数关系得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个实数根，、 ∴， ∴ 故答案为： 23．（25-26九年级上·江苏南京·期中）关于的方程的两个实数根分别是，若，则_______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再代入已知条件求解． 【详解】解：对于方程 ，由根与系数的关系，得 代入已知条件 ，得 解得 此时判别式 ，方程有两个实数根，符合题意， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 【答案】(1) 证明：因为， 所以不论取何值，方程总有两个实数根； (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解法． （1）对于方程，其根的判别式为，因为恒成立，所以恒成立，即证； （2）设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得，，根据该方程的两个实数根的差为，可得，即，由完全平方公式可得，，再将，代入计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得， ，， 两根之差为，则， 又， ， 即， ， ． 25．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）关于的方程． (1)若此方程有实数根，求的取值范围； (2)若此方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理），掌握利用判别式确定参数取值范围，再结合韦达定理和代数式变形求解参数，且最终筛选符合条件的解是解题的关键． （1）根据一元二次方程有实数根，利用判别式求出k的取值范围． （2）依据韦达定理得出两根之和与两根之积的表达式，代入所给的式子得到方程，求解后结合k的取值范围，确定k的值即可解答． 【详解】（1）解：方程有实数根， ，解得． （2）方程有两个实数根、， ，， ， ，即，解得或， 又， ． 26．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知：关于x的方程，其中k是常数． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别是某矩形的两条邻边的长，试求这个矩形面积的最大值． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，二次函数的性质； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，结合矩形面积公式列式二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）略； （2）解：设方程有两个实数根，， ∴， 又∵方程的两个实数根分别是某矩形的两条邻边的长， ∴， ∵， ∴当，矩形面积有最大值，最大值为． 27．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______； (2)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的变换（换根法）、一元二次方程根与系数的关系的应用、解一元二次方程，熟练掌握换根法的思想（通过根的关系代入原方程化简）是解题的关键． （1）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的相反数”得到与原根的关系，代入原方程化简． （2）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的倒数”得到与原根的关系，代入原方程化简． （3）先由原方程的根求出、、的关系，再代入新方程，求解新方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即． 把代入已知方程，得， 化简得； （2）解：设所求方程的根为，则（），即． 把代入已知方程，得， 化简得； （3）解：原方程的根为、，根据根与系数的关系得 ， ∴，． 将，代入新方程，得 ， 化简得， ， ∴新方程的根为，． 【考点五】增长率问题(一元二次方程的应用) 28．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，第一天为2亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为，根据第三天为5亿元，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：B． 29．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】已知第一个月进馆人次和第三个月进馆人次，设月平均增长率为，根据逐月增长的规律表示出第三个月进馆人次，即可列出方程． 【详解】解：∵第一个月进馆400人次，进馆人次的月平均增长率为， ∴第二个月进馆人次为， ∴第三个月进馆人次为， ∵第三个月进馆1456人次， ∴可列方程为． 30．（25-26九年级上·江苏南京·期中）“燃情苏超”火爆出圈，“欢乐经济”席卷南京．某烧烤店六月份的营业额为1万元，七、八月份的营业额持续上涨，且八月份营业额的增长率是七月份的2倍．若该烧烤店八月份的营业额为3万元，求八月份营业额的增长率． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设七月份营业额的增长率为x，则八月份营业额的增长率为，利用该烧烤店八月份的营业额该烧烤店六月份的营业额（七月份营业额的增长率）（八月份营业额的增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【详解】解：设七月份营业额的增长率为x，则八月份营业额的增长率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：八月份营业额的增长率为． 31．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润是3600元． (1)求1月份到3月份平均每月利润增长的百分率是多少？ (2)若保持增长率不变，该商店4月份的利润是多少？ 【答案】(1) (2)元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．可直接套公式：原有量增长率现有量，n表示增长的次数． （1）如果设平均每月增长的百分率是，那么2月份的利润是元，3月份的利润是元，而此时利润是3600元，列出方程求解； （2）该商店4月份的利润是，代入求值即可． 【详解】（1）解：设平均每月增长的百分率是， 依题意可得：， 解这个方程得：（不合题意，应舍去）． 故这个百分率为． （2）解：该商店4月份的利润是元． 32．（24-25九年级上·江苏常州·期中）9月份某商品销量为128件，若10、11、12月每个月销售量的增长率不变，11月的销量达到200件． (1)求每个月销售量的增长率 (2)请你预测12月商品的销量． 【答案】(1) (2)件 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． （1）设每个月销售量的增长率x，列出方程求解即可． （2）根据12月商品的销量为，求解即可． 【详解】（1）设每个月销售量的增长率x，根据题意，得， 解得（舍去）， 故每个月销售量的增长率为． （2）根据题意得，12月商品的销量为（件）． 33．（24-25九年级上·江苏常州·期中）某楼盘准备以每平方米12000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米7680元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的住房，开发商给子以下两种优惠方案以供选择：①打98折销售：②不打折，一次性送装修费每平方米150元．试问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）平均每次下调的百分率为20%；（2）打折后更合算． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，利用准备每平方米销售价格×（1﹣下调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格列方程解答即可得答案； （2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后即可得答案． 【详解】（1）设平均每次下调的百分率为x， ∵准备以每平方米12000元对外销售，两次下调后，以每平方米7680元的均价开盘销售， ∴12000（1-x）2=7680， 解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去）， 答：平均每次下调的百分率为20%． （2）方案①购房优惠：7680×100×（1-98%）＝15360（元）， 方案②购房优惠：150×100＝15000（元）， ∵15360＞15000， ∴选择方案①更优惠． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题． 【考点六】与图形有关的问题 34．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解∶方程，即的拼图如图所示 中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形的面积∶， 其边长为7因此，D选项所表示的图形符合题意， 故选∶D． 35．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，公园原有一块长为、宽为的矩形空地，现要在空地内的四周修建等宽的道路，余下空地栽种鲜花．要使鲜花栽种面积为，道路的宽应为多少？ 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽应为，列出方程，求解即可，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽应为， 根据题意得， 即， 解这个方程得，（不合题意，舍去）， 答：道路的宽应为5m． 36．（25-26九年级上·江苏溧阳·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为，则列方程为：________． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得，， 故答案为：． 37．（25-26九年级上·江苏南京·期中）数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为，宽为的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． (1)如图（1），小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． (2)如图（2）①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为的有盖的长方体盒子（如图（2）②）．设裁去的矩形的宽为，根据题意可得方程： ． 【答案】(1) (2) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形，根据题意列出方程求解即可； （2）根据矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为，即可列出方程． 【详解】（1）解：设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴盒子的体积； （2）解：∵矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为， ∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形． 根据题意得：． 故答案为：． 38．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 某农场打算将长的篱笆全部用来围成一个长方形的生物园饲养小兔，现有一面长的墙可利用． 【解决问题】按图1的围法，若长方形的面积为，求长方形的两边长； 【设计方案】若围成长方形的面积恰好为，请在图2中画出满足要求的一种方案，并标出每段篱笆的长度． 【答案】解决问题：垂直于墙面的一边长13米，平行于墙面的一边为6米； 设计方案：设垂直于墙面的一边长p米，平行于墙面的一边为q米， 根据题意得， 解得：或， ∴垂直于墙面的一边长9米，平行于墙面的一边为11米或垂直于墙面的一边长11米，平行于墙面的一边为9米； 画出一种方案如图： 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 解决问题：设垂直于墙面的一边长x米，根据题意得，即可解得答案； 设计方案：设垂直于墙面的一边长p米，平行于墙面的一边为q米，根据题意可得关于p、q的二元一次方程组，解方程组求出长方形的长，宽，再作图即可． 【详解】解：解决问题：设垂直于墙面的一边长x米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得或； ∴（大于8，舍去）或， ∴垂直于墙面的一边长13米，平行于墙面的一边为6米； 设计方案：略 39．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，若准备利用一处墙角和长度为的篱笆围建一个矩形花圃，花圃的一边由墙和篱笆构成，另一边由墙和篱笆构成，其他两边由剩下的篱笆围成．若，，矩形花车圃的面积为，求花圃边的长度． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程解应用题，准确将线段用代数式表示出来是解题的关键．设边的长度为，则，由此可表示出，利用面积建立方程即可求解． 【详解】解：设边的长度为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵矩形周长为， ∴； 由题意知：， 整理，得：， 解得：； 当时，，无意义， ∴， 答：花圃边的长度为． 40．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）数学活动：矩形绿地中的花圃设计 活动背景：学校准备在一块矩形绿地（记为矩形，，）内建造一个花圃，有如下两种方案设计． 方案一：如图1，已知绿地的长米，宽米，在绿地中间开辟一个矩形花圃，使四周绿地等宽，设宽度为米； 问题1．花圃的面积可表示为___________（用含的代数式表示）； 问题2．若花圃的面积刚好是绿地面积的一半，则___________米； 方案二：如图2，是矩形的中心（即矩形对角线的交点），以为圆心在绿地上开辟一个圆形花圃，分别过四点按图中方式铺四条小路（小路的宽度忽略不计），四条小路所在的直线均为的切线，切点分别为、； 问题3．请在图中作出小路，尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法； 问题4．学校打算用18000元改建绿地，经测量，米，米，圆的半径为7米，若建设圆形花圃花需80元/平方米，铺设小路需50元/米，那么按方案二设计，预算是否够用？请说明理由．（取3.14） 【答案】问题1：平方米；问题2：； 问题3：如图，即为所求作； 问题4： 按方案二设计，预算够用，理由如下： 如图，连接，， 由题意可知，， 圆的半径为7米， 圆心花圃的面积为平方米， 设米， 米，米， 米，米， ， 是矩形的中心（即矩形对角线的交点）， ， ， 是的切线， ， ， ， 整理得：， 解得（舍）或， 即小路的总长度为米， 总费用为元， 元元， 按方案二设计，预算够用． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】问题1：由图形可知，花圃的宽为米，长为米，根据长方形的面积公式列式展开即可； 问题2：根据“花圃的面积刚好是绿地面积的一半”，列一元二次方程求解即可； 问题3：连接，作的垂直平分线，再作以为直径的圆交于点，连接，由直径所对的圆周角是直角可知，为的切线； 问题4：连接，，由题意可知，，先求出圆心花圃的面积，设米，则米，米，利用勾股定理得出，，再结合矩形的对角线互相平分列方程，从而得出小路的总长度，计算总费用与预算相比较即可． 【详解】解：问题1：由图形可知，花圃的宽为米，长为米， 则花圃的面积可表示为平方米， 故答案为：平方米； 问题2：若花圃的面积刚好是绿地面积的一半， 则， 解得或（舍）， 故答案为：； 问题3：略 问题4：略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，过圆外一点作圆的切线，圆周角，勾股定理，矩形的性质，掌握相关知识点是解题关键． 【考点七】销售利润问题 41．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)每千克元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式，代入，可求出y的值，再利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，即可求出结论； （2）利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要让顾客获得更大实惠，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设这种饼干销售量千克与每千克降价元之间满足的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足的函数关系式为：， 当时，， （元）， 即若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利元． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要让顾客获得更大实惠， ， （元）． 答：这种饼干的销售价应定为每千克元． 42．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件． (1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】(1)降价后商场销售这一批衬衫每天盈利1250元 (2)衬衫的单价降了25元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据平均每天可售出20件，每件盈利40元，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件，列式计算即可； （2）设衬衫的单价降了x元，根据降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：当单价降了15元时，每天盈利为元， 答：降价后商场销售这一批衬衫每天盈利1250元； （2）解：设衬衫的单价降了x元， 由题意得：， 整理得：， ，， ∵尽快减少库存． ， 答：衬衫的单价降了25元． 43．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (1)以下是小明和小亮的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程：______． 小亮：设每件服装定价为元，由题意，可列方程：______． (2)请写出一种完整的解答过程． 【答案】(1)小明：；小亮： (2) 每件应降价4元， 完整的解答过程：小明：解方程， ， 得，． 因为每件降价幅度不超过10元， 所以舍去， 即每件应降价4元． 小亮：， ， ， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：每件应降价4元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）根据题意列一元二次方程即可； （2）对一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程： 小亮：设每件服装定价为元，由题意， 可列方程：， 整理：， 故答案为：小明：；小亮：； （2）略 44．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）无锡某新能源科技公司旗下门店，主营本地研发生产的家用充电桩适配数据线，该数据线进货价为每条16元．若按每条25元的零售价售出，每天可稳定销售180条．为响应绿色能源推广政策，同时考虑尽可能减少进货量，提高经营利润，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现：该款数据线每涨价1.5元，由于部分消费者选择等待促销或更换替代品，日销售量就会减少15条．请解决以下问题： (1)设每条数据线涨价元，则每条数据线的利润为 元，实际销售的数量为 条；（用含x的代数式表示） (2)该门店希望每天通过销售该款数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元? 【答案】(1)每条利润为元，实际销售数量为条 (2)零售价应定为31元 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“进货价为每条16元．若按每条25元的零售价售出，每天可稳定销售180条，该款数据线每涨价1.5元，日销售量就会减少15条”，以及“设每条数据线涨价元”进行分析，得出每条利润为元，实际销售数量为条，即可作答． （2）结合总利润等于一条数据线的利润乘销售数量，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设每条数据线涨价元， 则， 即每条数据线的利润为元； ∵每天可稳定销售180条，该款数据线每涨价1.5元，日销售量就会减少15条， ∴实际销售数量为条； （2）解：设每条数据线涨价元， ∵销售该款数据线赚取1800元利润， ∴， ∴， ∴整理得， 解得， ∵尽可能减少进货量，提高经营利润， ∴（舍去） ∴当时，则（元）， ∴零售价应定为31元． 45．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）某零食商店以20元/千克的价格购进一种饼干，计划以30元/千克的价格销售，遇国庆促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)求销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足的函数关系； (2)若商店要想获利480元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)24元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，求一次函数解析式，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据总利润等于每千克的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足的函数关系为， 由题意得，， ∴， ∴销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足的函数关系为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵让顾客获得更大实惠， ∴， ∴， 答：这种饼干的销售价应定为每千克24元． 46．（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】(1)， (2)每件T恤衫应降价15元 (3)每件应降价10元 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程或函数表达式是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． （3）设利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可多售出件； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． （3）解：设利润为元，由题意得，， ∵， ∴当时，使每天获得的利润最大， ∴每件应降价10元． 47．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某网店销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价10元，则每天销售T恤衫的利润为______元； (2)小超希望每天获得的利润达到1152元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小超每天能否获得1250元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由（利润率）． 【答案】(1)1200 (2)78元 (3)每天能获得1250元的利润，定价为85元 【知识点】有理数乘法的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，理解题意、正确列出方程和不等式是解此题的关键， （1）根据题意求出每天能多卖20件，从而计算可以得解； （2）设每件恤衫降价元，根据“每天获得的利润达到1152元”列出一元二次方程求解即可解答； （3）当降价元时，由题意可得，解得，再根据保证每件恤衫的利润率不低于列不等式求得的取值范围，再判断即可解答． 【详解】（1）解：降价10元， 每天多卖20件， 每天的销售量为40件， 每天销售恤衫的利润为（元）， 故答案为：1200； （2）解：设每件恤衫降价元， 由题意可得：， 或， 又尽可能让利于顾客，优惠最大， ， 每件恤衫的销售价应该定为：元（元）， 每件恤衫的销售价应该定为78元； （3）解：根据题意得，当降价元时，每天利润为， 由题意可得：， 化简得 ， 每件恤衫的利润率不低于， ， ， ，符合题意， 每件恤衫应降价15元，则定价为（元）， 答：小超每天能获得1250元的利润，定价为85元． 【考点八】数字与握手问题 48．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设有个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球队需与其他个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得， 故选：D． 49．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．根据题意列出方程，解方程后根据正数条件确定解． 【详解】解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 50．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为______ 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据每两队之间只进行一场比赛，共进行15场比赛，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为； 故答案为：． 51．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 52．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6； (2) (3)8 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场； （2）直接根据题意列出函数关系式即可； （3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 【考点九】综合应用（几何动点·压轴） 53．（2025·江苏连云港·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 54．（25-26九年级上·江苏溧阳·期中）如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 【答案】 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可． 【详解】解：，， 当运动时间为时，， ，， 根据题意可得， 即， 整理得：， 解得（舍去）， 所以经过，的面积是． 故答案为：1． 55．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) 可以平分的周长说法错误．理由如下： ∵，，， ∴； ∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，，， 根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动， 根据题意，平分的周长， ∴， ∴， 解得， 大于了3秒． 故平分的周长的说法是错误的． (2) 平分的面积说法正确．理由如下： 根据题意，得，， 若平分的面积，得， 解得（舍去）． 故当时，平分的面积． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ，则，，，，根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动，根据题意，平分的周长，得到，构造方程，若方程有正数解且小于3秒即可判定说法正确，反之错误． （2）根据题意，，，若平分的面积，得，解方程解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练解方程是解题的关键． 56．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)存在， 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题借助动点问题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形的定义计算． （1）首先运用勾股定理求出边的长度，然后根据路程速度时间，分别表示出、的长度，由于，如果为等腰三角形，那么只有一种情况，即，可列出方程，从而求出x的值； （2）根据四边形的面积的面积的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴当时，为等腰三角形； （2）解：假设存在x的值，使得四边形的面积等于， 则， 解得． 假设成立，所以当时，四边形面积的面积等于． 57．（2024九年级上·江苏连云港·期中）如图1，在中，，，厘米，点从点开始沿边向点以每秒2厘米的速度移动，同时点从点开始沿边向点以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求： (1)点从点出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？ (2)是否存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由； (3)如图2，点是内的一个动点，且满足，求线段的最小值． 【答案】(1)经过1秒的面积等于平方厘米； (2)经过秒相切； (3)线段的最小值 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】（1）首先设经过x秒的面积等于平方厘米，然后利用面积列出方程，求解即可； （2）首先假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，然后根据相切的性质和勾股定理，列出方程，求解即可； （3）首先由得出，将其转化为点M在以为直径的圆在内的弧上，则当B，M，O三点共线时最小，即可得解. 【详解】（1）设经过x秒的面积等于平方厘米，则，，, 由题意，得 ∴ 化简得： ∴． 答：经过1秒的面积等于平方厘米； （2）假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，如图设其切点为H， ∵与圆P相切， ∴ ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得： 由于点P的运动时间最大为2秒，故x2舍去 所以经过秒相切； （3）∵ ∵， ∴ ∴点M在以为直径的圆在内的弧上，如图所示： ∴当B，M，O三点共线时最小 ， ∴ 即线段的最小值． 【点睛】此题主要考查勾股定理、切线的性质、一元二次方程的应用和圆的综合问题，解题关键是利用动点构建方程，求解即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中讲义01 一元二次方程 （9大考点专练） 【考点一】一元二次方程的识别与概念 【考点六】与图形有关的问题 【考点二】一元二次方程的解法（4大解法） 【考点七】销售利润问题 【考点三】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【考点八】数字与握手问题 【考点四】一元二次方程的根与系数的关系 【考点九】综合应用（几何动点·压轴） 【考点五】增长率问题(一元二次方程的应用) 考点 1 一元二次方程的概念与一般形式 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。 一般形式：ax² + bx + c = 0（a≠0），其中 a 为二次项系数、b 为一次项系数、c 为常数项。 判断一个方程是否为一元二次方程，先把它化成一般形式，再看是否同时满足“一元、二次、整式方程”三个条件。 ① 二次项系数 a 必须满足 a≠0；若 a=0 则退化为一次方程，不再是二次方程； ② 必须“整理化简后再判断”，如 x(x+1)=x²+1 化简后为 x=1，是一元一次方程； ③ 分式方程、根式方程不是整式方程，不能判定为一元二次方程。 考点 2 一元二次方程的解法 四大解法及适用场景： ① 直接开平方法：适合形如 (x+m)²=n（n≥0）的方程，两边直接开平方得 x+m=±√n。 ② 配方法：将方程化为 (x+m)²=n 的形式。配方时，方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”。 ③ 公式法：把方程化为一般形式后，先算判别式 Δ，再套求根公式。 ④ 因式分解法：将左边分解为两个一次因式的乘积、右边化为 0，再令每个因式等于 0。 解法选择口诀：能直接开平方先开方；能因式分解先分解；否则配方或套公式，公式法保底。 考点 3 根的判别式 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的判别式为 Δ=b²−4ac，它决定方程根的情况： ① Δ>0：方程有两个不相等的实数根； ② Δ=0：方程有两个相等的实数根； ③ Δ<0：方程没有实数根。 易错：判别式仅对“化为一般形式后”的方程适用；含参数时，若二次项系数含参，须先讨论 a≠0。 考点 4 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为 x₁、x₂，则两根之和与两根之积满足： 应用前提：a≠0 且 Δ≥0。常见应用：①求对称式的值（如 x₁²+x₂²、(x₁−x₂)²）；②由根构造方程；③已知一根求另一根及参数。 考点 5 一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题的基本步骤：审题 → 设未知数 → 列方程 → 解方程 → 检验 → 作答。检验时必须结合实际问题舍去不合理的根（如边长不能为负）。常见模型： ① 增长率问题：设初始量为 a、增长（下降）率为 x，经过 n 期后为 a(1±x)ⁿ； ② 面积、几何问题：利用矩形面积、勾股定理等列方程，注意图形分割与篱笆长度； ③ 传播、握手问题：两人握手次数 = n(n−1)/2，n 人相互握手总次数； ④ 营销利润问题：利润 = (售价−进价)×销量，售价变化会影响销量。 【考点一】一元二次方程的识别与概念 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若方程的一个根为a，则代数式的值为______． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知是方程的一个根，则的值为_____． 5．（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为______． 7．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）若a是关于x的一元二次方程的一个根，是关于x的一元二次方程的一个根，且，则n的值为______． 【考点二】一元二次方程的解法（4大解法） 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（    ） A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为______． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）解方程 (1)； (2)． 12．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 13．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）解方程 (1)； (2) 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【考点三】根据判别式判断一元二次方程根的情况 15．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）九年级一同学在解关于的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，将常数项写成了，解出误方程的两个根分别是和．现有以下两种说法：甲：原方程必定有一个根是；乙：原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（     ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的存在情况是_________． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根大于3，求的取值范围． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，是方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：此方程必有实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 【考点四】一元二次方程的根与系数的关系 21．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）设是方程的两个实数根，则__． 23．（25-26九年级上·江苏南京·期中）关于的方程的两个实数根分别是，若，则_______． 24．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 25．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）关于的方程． (1)若此方程有实数根，求的取值范围； (2)若此方程的两个实数根、满足，求的值． 26．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知：关于x的方程，其中k是常数． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别是某矩形的两条邻边的长，试求这个矩形面积的最大值． 27．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______； (2)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根． 【考点五】增长率问题(一元二次方程的应用) 28．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（    ） A． B． C． D． 29．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______________． 30．（25-26九年级上·江苏南京·期中）“燃情苏超”火爆出圈，“欢乐经济”席卷南京．某烧烤店六月份的营业额为1万元，七、八月份的营业额持续上涨，且八月份营业额的增长率是七月份的2倍．若该烧烤店八月份的营业额为3万元，求八月份营业额的增长率． 31．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润是3600元． (1)求1月份到3月份平均每月利润增长的百分率是多少？ (2)若保持增长率不变，该商店4月份的利润是多少？ 32．（24-25九年级上·江苏常州·期中）9月份某商品销量为128件，若10、11、12月每个月销售量的增长率不变，11月的销量达到200件． (1)求每个月销售量的增长率 (2)请你预测12月商品的销量． 33．（24-25九年级上·江苏常州·期中）某楼盘准备以每平方米12000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米7680元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的住房，开发商给子以下两种优惠方案以供选择：①打98折销售：②不打折，一次性送装修费每平方米150元．试问哪种方案更优惠？ 【考点六】与图形有关的问题 34．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，公园原有一块长为、宽为的矩形空地，现要在空地内的四周修建等宽的道路，余下空地栽种鲜花．要使鲜花栽种面积为，道路的宽应为多少？ 36．（25-26九年级上·江苏溧阳·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为，则列方程为：________． 37．（25-26九年级上·江苏南京·期中）数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为，宽为的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． (1)如图（1），小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． (2)如图（2）①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为的有盖的长方体盒子（如图（2）②）．设裁去的矩形的宽为，根据题意可得方程： ． 38．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 某农场打算将长的篱笆全部用来围成一个长方形的生物园饲养小兔，现有一面长的墙可利用． 【解决问题】按图1的围法，若长方形的面积为，求长方形的两边长； 【设计方案】若围成长方形的面积恰好为，请在图2中画出满足要求的一种方案，并标出每段篱笆的长度． 39．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，若准备利用一处墙角和长度为的篱笆围建一个矩形花圃，花圃的一边由墙和篱笆构成，另一边由墙和篱笆构成，其他两边由剩下的篱笆围成．若，，矩形花车圃的面积为，求花圃边的长度． 40．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）数学活动：矩形绿地中的花圃设计 活动背景：学校准备在一块矩形绿地（记为矩形，，）内建造一个花圃，有如下两种方案设计． 方案一：如图1，已知绿地的长米，宽米，在绿地中间开辟一个矩形花圃，使四周绿地等宽，设宽度为米； 问题1．花圃的面积可表示为___________（用含的代数式表示）； 问题2．若花圃的面积刚好是绿地面积的一半，则___________米； 方案二：如图2，是矩形的中心（即矩形对角线的交点），以为圆心在绿地上开辟一个圆形花圃，分别过四点按图中方式铺四条小路（小路的宽度忽略不计），四条小路所在的直线均为的切线，切点分别为、； 问题3．请在图中作出小路，尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法； 问题4．学校打算用18000元改建绿地，经测量，米，米，圆的半径为7米，若建设圆形花圃花需80元/平方米，铺设小路需50元/米，那么按方案二设计，预算是否够用？请说明理由．（取3.14） 【考点七】销售利润问题 41．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 42．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件． (1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ 43．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (1)以下是小明和小亮的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程：______． 小亮：设每件服装定价为元，由题意，可列方程：______． (2)请写出一种完整的解答过程． 44．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）无锡某新能源科技公司旗下门店，主营本地研发生产的家用充电桩适配数据线，该数据线进货价为每条16元．若按每条25元的零售价售出，每天可稳定销售180条．为响应绿色能源推广政策，同时考虑尽可能减少进货量，提高经营利润，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现：该款数据线每涨价1.5元，由于部分消费者选择等待促销或更换替代品，日销售量就会减少15条．请解决以下问题： (1)设每条数据线涨价元，则每条数据线的利润为 元，实际销售的数量为 条；（用含x的代数式表示） (2)该门店希望每天通过销售该款数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元? 45．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）某零食商店以20元/千克的价格购进一种饼干，计划以30元/千克的价格销售，遇国庆促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)求销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足的函数关系； (2)若商店要想获利480元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 46．（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 47．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某网店销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价10元，则每天销售T恤衫的利润为______元； (2)小超希望每天获得的利润达到1152元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小超每天能否获得1250元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由（利润率）． 【考点八】数字与握手问题 48．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 49．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 50．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为______ 51．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 52．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【考点九】综合应用（几何动点·压轴） 53．（2025·江苏连云港·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 54．（25-26九年级上·江苏溧阳·期中）如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 55．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 56．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 57．（2024九年级上·江苏连云港·期中）如图1，在中，，，厘米，点从点开始沿边向点以每秒2厘米的速度移动，同时点从点开始沿边向点以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求： (1)点从点出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？ (2)是否存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由； (3)如图2，点是内的一个动点，且满足，求线段的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $