专题08 期中复习高频与压轴19类题型归纳（考试范围：第1章～第4章 ）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题08 期中复习高频与压轴19类题型归纳 （考试范围：第1章-第4章 ） 【新教材北师大版】 题型归纳 【选填高频】 2 【题型·1.·折叠与勾股计算】 2 【题型·2·立体表面最短路径】 5 【题型·3·勾股多解与弦图模型】 8 【题型·4·根式性质综合】 12 【题型·5·分母有理化与实数规律】 15 题型·6·坐标变换与距离 17 题型·7.坐标系点坐标规律 20 题型·8一次函数的性质综合 25 题型·9·一次函数中点坐标的规律】 31 【解答压轴】 37 【题型·10·折叠几何探究】 37 【题型·11·勾股动点存在性】 41 【题型·12·勾股逆定理与弦图探究】 52 【题型·13·根式阅读新定义】 59 【题型·14·根式综合探究】 64 【题型·15·坐标系面积计算】 68 【题型·16·坐标几何存在性】 77 【题型·17·解析式、交点与面积综合】 87 【题型·18·一次函数几何动点】 93 【题型·19·一次函数实际应用】 106 【选填高频】 【题型·1.·折叠与勾股计算】 1．如图，长方形中，点E在边上，将一边折叠，使点A恰好落在边的点F处，折痕为．若，则的长是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据折叠的性质结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 2．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，即可求解的值． 【详解】解：根据题意得，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故． 3．如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 4．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 【题型·2·立体表面最短路径】 5．如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，C为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点C的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】解：根据题意如图， ∵正方体棱长为， ，． 在中， ． 从顶点A爬行到点C的最短路程是． 6．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从点绕到正上方点共四圈，已知易拉罐底面周长是，高是，那么所需彩带最短是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的处绕易拉罐圈后到达顶端的处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵易拉罐底面周长是，高是， 所以彩带最短是 ． 7．如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为，高为．在杯内壁离杯底的点处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口的点处有一滴蜂蜜．若蚂蚁从点沿玻璃杯侧面爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆柱侧面展开，作A关于的对称点，连接，则就是最短距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱侧面展开如下图所示，作A关于的对称点，连接，则就是最短距离，过B作于， 由题意可得：，，， 由勾股定理得：， ， 答：蚂蚁爬行的最短路程为． 8．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算到的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较三种情况下的路径长度即可得出答案． 【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图1， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况二：将长方体的前面和顶面展开在同一平面内，如图2， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况三：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图3， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ， 需要爬行的最短路程是． 【题型·3·勾股多解与弦图模型】 9．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与赵爽弦图的应用，核心是利用大、小正方形的面积，结合直角三角形的边长关系，逐一验证三个推断的正确性． 【详解】解： 由勾股定理可知，①正确； ， ，②正确； ，， ，③正确． 10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用完全平方公式以及勾股定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得， 根据题意得，， 即， ∴，，且， ∴，， ∵， ∴， 综上，正确选项为②③④． 11．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 【答案】A 【分析】用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，，则， 故，，，解答即可． 本题考查了勾股定理，完全平方公式，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，， 则， 故，，， 故， 故选：A． 12．意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（   ） A．12 B．10 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质得到、、，根据全等三角形的性质证得、，设，证得四边形是菱形，，推出四边形是正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，根据六边形的面积为，列方程求解得出四边形的面积即可． 【详解】解：四边形、四边形是正方形 、、 在和中， 同理可证、、和四个三角形全等 、 设 四边形是菱形， 、 四边形是正方形 设正方形的面积为，正方形的面积为 、 六边形的面积为 四边形的面积为， 故选：B． 13．如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理；“数学风车”的周长为，利用勾股定理将、求出即可. 【详解】解：∵“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”的周长为. 故选：D. 【题型·4·根式性质综合】 14．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，则式子的值为（     ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义，将整数部分相同的项分组，结合符号交替的特点计算每组和，再累加得到结果． 【详解】解：根据题意得：当（为正整数）时，， ∴，对应2项，和为； ，共5项，符号为，和为； ，共7项，符号首项为负，和为； …… ∵，， ∴，共项， 44为偶数，首项符号为正，89为奇数，故这组和为． 从到的和为， 分组得． 又∵，符号为负，，符号为正， ∴这两项和为， ∴原式． 15．如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 16．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值．根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴； 故选：C． 17．计算：（   ） A． B． C．2026 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式与幂的运算，解题关键是通过拆分指数，结合平方差公式简化高次幂的计算． 利用同底数幂的运算法则，将指数拆分后结合平方差公式简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 18．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 【题型·5·分母有理化与实数规律】 19．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 20．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 21．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 【答案】 【详解】∵， ∴是第行， ∵第行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第行第5列，记作． 22．规律探究 设，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律以及二次根式的化简求值，解题的关键是根据已知规律得出的表达式，再利用裂项相消法进行计算． 先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算． 【详解】解：由 推知：， 可得， 则 ， 故答案为：． 题型·6·坐标变换与距离 23．在平面直角坐标系中，对点定义变换，变换后的点为．例如变换得到；继续变换得到．连续重复该变换，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对点定义变换，依次求出到，找出坐标变换的规律，再根据规律求出的坐标． 【详解】解：由题中定义变换可知，，，，，，，…… 找到坐标变换规律为：每四个点为一个循环组依次循环，故为， 故选：A． 24．点A在第二、四象限的角平分线上，且到原点的距离等于，则点A的坐标可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质和勾股定理，熟知第二、四象限的角平分线上点的坐标特征是解题的关键．根据第二、四象限的角平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点在第二、四象限的角平分线上， 所以点的横纵坐标互为相反数． 又因为点到原点的距离等于， 所以， 则时，；时，， 所以点坐标为或． 故选：． 25．点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于y轴对称点的坐标是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点到坐标轴的距离、坐标与图形变换-轴对称，熟知点关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 由已知可确定P的坐标为，再由点P关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得对称点的坐标为． 【详解】解：∵P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6， ∴，， ∵点P在第三象限内， ∴，， ∴P的坐标为， ∴点P关于y轴对称点的坐标是． 故选：C． 26．已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】平行于轴的直线上的点的横坐标相等，以及点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此即可求解点的坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于y轴的直线上， ∴， ∵点B到x轴的距离为3， ∴点B的纵坐标的绝对值为3， ∴点B的纵坐标为或3， ∴点B的坐标为或 27．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，轴，若，则点Q的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据题意得出P点坐标，根据轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：∵第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2， ∴， ∵轴， ∴设 若， 则， 解得：或， ∴点Q的坐标为或． 28．已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是（   ） A．7 B．17 C．7或3 D．17或-7 【答案】C 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离和解一元一次方程．根据到轴的距离等于到轴的距离的3倍列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题可知： ∴， ①当时，得：； ②当时，得， 即a的值是7或3． 故选：C． 题型·7.坐标系点坐标规律 29．如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形坐标规律探究，理解题意，由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为秒，点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环，根据规律即可求得第秒点位置，得到点的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点， ； ∴点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环， ∴当时间为秒时，点的横坐标为，由，则点的纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：． 30．如图，在平面直角坐标系中，动点A从点出发，先向上运动1个单位长度到达点B，再分裂为两个点，分别向左、右运动到点、点，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点、、，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2025次跳跃时，最左侧第一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移及点的坐标变化规律，根据所给跳跃方式，依次求出每次跳跃后最左侧第一个点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为， 第2次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为， 第3次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为， 第4次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为， …， 所以第n次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为． 当时，， 即第2025次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为． 故选：A． 31．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是对点坐标规律的考查，读懂题目信息，理解幸运点的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据幸运点的定义依次求出各点，每4个点为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】∵的坐标为， ∴…… 以此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为． 故选：A． 32．如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的变化规律，以及行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律就可以解决问题，解题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体同时回到原点． 与物体乙的路程比为，可得到物体甲和物体乙第一次相遇点为；第二次相遇点为；第三次相遇点为；由此得出规律，即可求解． 【详解】根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同， ∴物体甲与物体乙的路程比为，由题意知： 第一次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为 ，此时在边相遇，即第一次相遇点为； 第二次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为，在边相遇，即第二次相遇点为； 第三次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为，在A点相遇，即第三次相遇点为； 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵， 故两个物体运动后的第2025次相遇地点的是：第三次相遇地点，即点． 故选：A． 33．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点的坐标规律变换，勾股定理，首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，每偶数之间的相差个单位长度，根据这个规律即可求得的坐标，通过图形旋转，找到点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴的横坐标为，且， ∴的横坐标为，且， ， ∴点的横坐标为，且， ∴点的坐标为， 故选：D． 34．如图，把正方形纸片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形纸片上，将正方形纸片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，点第一次旋转至图①的点位置，第二次旋转至图②的点位置……，则正方形纸片连续旋转2023次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标变化规律．依次求出每次旋转后点P对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点作的垂线，垂足为N，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵点P的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴． 所以点的坐标为； 同理可得， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； …， 由此可见，每旋转四次，点P对应点的位置即循环一次， 所以点的横坐标为：，纵坐标为：2． 因为， 所以点的横坐标坐标为：，纵坐标为：2； 所以点的坐标为． 故选：B． 题型·8一次函数的性质综合 35．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，先求出，的坐标，分别为，，得到的长，可证明，得到，，则，，在中，利用勾股定理得到的方程，解方程求出即可． 【详解】 解：过作于，如图， 对于直线， 当，得； 当，， ∴， ，，即，， ∴由勾股定理得，， 又坐标平面沿直线折叠，使点刚好落在轴上， 平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，则， ， ， 在中，， ，解得， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 36．关于的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点坐标是 C．点和点都在该函数图象上，则 D．图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数图象经过的象限，比较一次函数值的大小，求一次函数与y轴的交点坐标，一次项系数和常数项都大于0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，据此可判断A；求出自变量的值为0时的函数值即可判断B；根据一次项系数大于0得到y随x增大而增大，据此可判断C；根据“上加下减”的平移规律可判断D． 【详解】解：A、∵一次函数解析式为，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故A说法错误，不符合题意； B、在中，当时，，则图象与轴的交点坐标是，故B说法错误，不符合题意； C、∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而增大， ∵点和点都在该函数图象上，且， ∴，故C说法正确，符合题意； D、图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 37．如图所示，在平面直角坐标系中有线段，其中A，B两点的坐标分别为，，若一次函数的图象与线段有交点，则系数k的取值范围是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把A点和B点坐标分别代入计算出对应的k的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围． 【详解】解：把代入得，解得； 把代入得，解得， 所以当一次函数与线段只有一个交点时，． 即k的取值范围为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数，若，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限； 的图象在一、二、四象限； 的图象在二、三、四象限． 38．如图，一次函数与的图象交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（     ） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象并结合一次函数的性质逐项分析即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：一次函数与轴交于正半轴，则，故①说法错误； 一次函数的图象经过第一、二、四象限，则；一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，故，②说法正确； 当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，即，故③说法错误； 当时，，故④说法正确； 一次函数的图象与轴交于负半轴，即，故，⑤说法正确； 综上所述，说法正确的有②④⑤． 39．已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一次函数的增减性由一次项系数的符号决定，需分情况讨论，结合x的取值范围确定最小值对应的自变量后代入求解． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得 ， ∵，不符合．∴舍去； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得 ， ∵，符合条件． 40．已知定义为：．例如，若关于x的函数，则y的最小值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据的定义，求出两个一次函数相等时的的值，再分情况得到的表达式，结合一次函数的增减性得到的取值范围，即可求出最小值． 【详解】解：由题意，令，解得， ， 当时，，即， ， 一次项系数，随增大而增大， 当时，此时， 当时，，即， ， 一次项系数，随增大而减小， 当时，此时， 综上，，因此的最小值为． 41．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，中点坐标公式，两点间距离公式，先求出A，B两点坐标，得中点F的坐标，求得点E关于x轴的对称点，求出直线的解析式，交x轴于点P，则，当三点在同一条直线上时最小，最小值为，由两点间距离公式求出即可． 【详解】解：对于直线 ， 当时，；当时，， ∴，， 由中点坐标公式得，， 则点Ｅ关于ｘ轴对称的点的坐标为， 连接交ｘ轴于点Ｐ，则， 当三点在同一条直线上时最小，最小值为， ∵ 故选：A． 题型·9·一次函数中点坐标的规律】 42．如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列、、纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案，罗列、、纵坐标得出一般规律是解决问题的关键． 【详解】解：直线与轴交于点， ，解得， 直线解析式为， 作轴，轴，轴，如图所示： ， ；的纵坐标为1， 都是等腰直角三角形， 设， ，将坐标代入直线解析式得，解得， ，的纵坐标为， 设，则， 代入直线解析式，解得， ， 的纵坐标为， 的纵坐标为， 故选：C． 43．如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过分别作垂足分别为，根据正方形的判定和性质，坐标的规律，解答即可． 本题考查了正方形的判定和性质，一次函数的性质，坐标的规律，准确发现坐标规律是解题的关键． 【详解】解：过分别作垂足分别为， 一次函数的图象分别与轴、轴交于， ， ， ， 可得四边形是正方形， 同理可得四边形，四边形也是正方形， 点，可求， 点，同理，即， …… ，即， 故选：B． 44．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；…按如此规律进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为， 设点的坐标为， ∵，解得，，（负根舍去） ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， …… ∴点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标． 45．如图，在平面直角坐标系中，，…，均为等腰直角三角形，且，点和点分别在正比例函数和的图象上，且点的横坐标分别为1，2，3，…，n，线段均与y轴平行，按照图中所反映的规律，的顶点的坐标是 _______，线段的长是 ____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的规律探究问题，旨在考查学生的抽象概括能力．先求出，，得出，根据等腰直角三角形的性质求出的坐标，再分别求出的坐标，得出规律，进而求出的坐标；分别计算线段的长度，从而得出线段的长． 【详解】解：∵时，， ∴，， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴的横坐标是，C1的纵坐标是， ∴的坐标是； ∵时，， ∴，， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴的横坐标是，的纵坐标是， ∴的坐标是； 同理，可得的坐标是；的坐标是 … ∴的顶点的坐标是； ∵ … ∴ 故答案为：①；② 46．如图，点在直线l：上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为________． 【答案】 【分析】由题意分别求出，⋯⋯即可求解． 【详解】解：∵点B1在直线l：上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1， ∴A1（1，0），B1（1，）， ∵四边形A1B1C1A2是正方形， ∴，⋯⋯ ∴点B2022的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标规律；理解题意，结合一次函数的图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解题的关键． 【解答压轴】 【题型·10·折叠几何探究】 47．如图，在中，分别为边上的点，将沿折叠，使点C与点A重合，求的长． 【答案】的长为 【详解】解：由折叠的性质知，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得， 所以的长为． 48．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 49．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 50．如图，直线，垂足为，直线分别与射线、相交于点、，且，，连接． (1)求线段的长； (2)若点为直线上的一个动点，求点到点的距离的最小值； (3)如图，将沿直线折叠，点落在点处，，垂足为点，求的长． 【答案】(1) (2)点到点的距离的最小值为 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是灵活应用相关性质定理． （1）根据勾股定理直接求解即可； （2）过点作于点，此时最小，根据等积法求出即可； （3）连接，交于点，根据对称性求出：，，设，则，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可得到的值，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ． （2）解：过点作于点，此时最小，如图所示： ， ， 即点到点的距离的最小值为． （3）解：连接交于点，如图所示： 点与点关于对称， 垂直平分， 即，， ， ， 根据折叠可知，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【题型·11·勾股动点存在性】 51．如图，在Rt中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，平分的面积； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)若点分别为上的动点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)当为等腰三角形时，的值为或或； (3)的最小值为． 【分析】（）先由勾股定理求出，又平分的面积，则是中线，所以，从而求出的值； （）分时，或时，或时，三种情况求解即可； （）作点关于的对称点，过作于点，交于点，此时为最小值，由轴对称性质可得，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵平分的面积， ∴是中线， ∴， ∴； （2）解：如图，当时， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图，当时， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可得：当为等腰三角形时，的值为或或； （3）解：如图，作点关于的对称点，过作于点，交于点， 此时，为最小值， 由轴对称性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 52．已知，如图①，在中，，，点D、E分别为线段上两动点，在点D、E运动过程中，始终是．探究线段、、三条线段之间的数量关系． (1)请猜想、、三条线段之间的数量关系，直接写出结果． (2)深入思考：当动点E在线段上，动点D运动到线段的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． (3)结论应用：若； ①在图1中，，求出和的长． ②在图2中，若，直接写出： ， ． 【答案】(1) (2) 解：关系式仍然成立． 证明：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)①，；②8，10 【分析】（1）将绕A顺时针旋转后得，根据题意证明，故，因为中，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段之间的等量关系式； （2）将绕点A顺时针旋转得到．连接，根据题意证明，进而求解即可； （3）①首先根据勾股定理求出，然后求出①，然后利用得到②，然后联立求解即可； ②同①的方法求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 将绕A顺时针旋转后得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）略 （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②， 联立①②，解得，； ②∵， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②， 联立①②，解得，． 53．如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． (1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长； (2)若是等腰三角形时，求的长； 【答案】(1) (2)当是等腰三角形时，的长为3或2或或8 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据勾股定理解答即可； （）根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别画出图形，求出的值． 【详解】（1）解四边形为长方形，长，宽，点是的中点， ， 当是以为斜边的直角三角形时，则， 四边形是长方形， ， ． （2）解：当时，； 当时，如图，过于， 则，四边形是长方形， ； 当时，如图，过作于，则四边形是长方形， ， ， ， 或 综上所述，若是等腰三角形时，的长为3或2或或8． 54．如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)当时，；当时， (3)或2 (4)或4或14 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：，分别求得的长，即可得出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧时，时，， ∴， 解得：； 当点P在点D右侧时，时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，点与点重合， ∴ 当时， ①当在点的左侧时， ∴ ②当在点的右侧时， ∴ 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，或4或14 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 55．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为． (1)若，则t的值为_____； (2)当时，求t的值； (3)当是直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)2或14 (2) (3)t的值为8或 【分析】本题考查了勾股定理、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，由题意可得，分两种情况：当点P在点C的左侧时，；当点P在点C的右侧时，；分别列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）根据勾股定理计算即可得解； （3）分两种情况：当时，点P与点C重合，当，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴， 依题意，， 当点P在点C的左侧时，， 当点P在点C的右侧时，， ∵， ∴或， 解得：或； 故答案为：2或14； （2）解：当时，如图， ，，， 在中，， ∴， 解得； （3）解：∵，，， ∴， 动点P从点A出发，沿射线以的速度运动， ∴， ①当时，如图，点P与点C重合， ， ∴； ②当，如图，，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 综上所述，t的值为8或． 【题型·12·勾股逆定理与弦图探究】 56．数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)；； (2)证明：由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (3) 【分析】（1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得，又设 ，故，又在中,由列式计算得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 57．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【答案】 （1）证明：； ， ； （2）13； （3） 【分析】本题考查勾股定理的几何应用，正方形的特征，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用正方形的面积减去两个三角形的面积即可求解； （3）根据勾股定理得出，根据正方形的性质分别求出，，，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）略 （2） ，， ， ， 故答案为：13； （3）在中，由勾股定理得： 在正方形中，，， ， 同理， 且， ． 58．在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． (1)如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 (2)连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 (3)在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； (4)如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时，的面积为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为； (4)当时，的面积为定值． 【分析】（1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （3）根据图形结合完全平方公式和（2）的结论计算即可求解； （4）由（2）的结论推出，即，再根据三角形的面积为定值列出关于x、y的式子求解即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）解：大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以， 整理得； （3）解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积； （4）解：∵，，周长为n，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴ ， ∵的面积为定值， ∴与x、y无关， ∴， ∴， ∴当时，的面积为定值． 59．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 【答案】（1）； （2）， ， ； （3）24 【分析】此题考查了勾股定理的证明和完全平方公式的应用，数形结合是关键． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）根据题意得到，整理即可得结论； （3）由（2）得到，由旋转得到，求出，由得到，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． ∴由此得到等式：； 故答案为；； （2）略 （3）是直角三角形，，，，， ， 绕点顺时针旋转得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型·13·根式阅读新定义】 60．阅读材料： 在二次根式的计算中，通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根式转化为有理数，对分母进行有理化．例如： 【解决问题】 (1)化简：① ； ② ． (2)已知则的值为 ； (3)计算． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①利用分母有理化化简即可；②结合题意，利用分母有理化、平方差公式计算即可； （2）结合题意，利用分母有理化、平方差公式化简a，b，再利用提公因式法把原式变形，代入计算即可； （3）先进行分母有理化化简，再计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：， ， ∴ ； （3）解： 61．阅读与思考 我们知道，已知三角形的一边长及这条边上的高线长，利用公式，可以求三角形的面积．由三角形全等的判定方法“边边边”可知，一个三角形只要三边确定，这个三角形的形状和大小就完全确定，这意味着，通过三角形的三边长是可以确定三角形的面积的． 古希腊数学家海伦，在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式：，其中． 根据以上阅读材料回答下列问题： 如图，在中，，，． (1)求的面积． (2)作，通过计算说明． 【答案】(1) (2)∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【分析】（1）把a、b、c的长代入求出p，再代入面积的公式计算即可得解； （2）先由的面积求出，再由勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 即面积是； （2）略 62．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 【答案】(1)①， ；② ， (2)，． (3)45 【分析】（1）对照完全平方公式，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容； （2）将等式右侧利用完全平方公式展开，对应等式左侧的有理部分和带根号部分，分别得到、的表达式； （3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形的边长；再观察图形得出正方形的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方形的面积。 【详解】（1）① ； ② ． （2）解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． （3）解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 63．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 【题型·14·根式综合探究】 64．在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或 【分析】（1）根据“齐整数组”的定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“齐整数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“齐整数组”； ∵，则不是整数， ∴不是“齐整数组”； （2）解：∵为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴或， ∴或， 解得：或， 即的值为或． 65．项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 【答案】(1) (2) (3)纸的宽约为，长约为． (4)在纸中不能裁剪出面积为的圆；理由见解析. 【分析】（1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为即可解答； （2）由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中，由此即可解答； （3）设纸的宽为，则长为，根据面积建立方程，计算即可解答． （4）先求解半径，再进一步判断即可. 【详解】（1）解： 两个边长为1的小正方形 ，拼成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为. （2）解：由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中， ，即纸的长宽之比为； （3）解：由（2）可知：纸的长与宽之比是， 设纸的宽为，则长为， 纸的面积为， ， ， ， ； 故纸的宽约为，长约为． （4）解：设圆的半径为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直径为， ∵，， ∴在纸中不能裁剪出面积为的圆. 66．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题：当，，时，求这个三角形的面积； (2)利用材料2解决下面的问题：如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出，把的值代入海伦公式计算即可求解； （2）连接，在中，利用勾股定理求得及，再利用秦九韶公式求得，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，时，， ∴ ； （2）解：连接， ∵，，， ∴，， 在中，，，， ∴ ， ∴四边形的面积为． 【题型·15·坐标系面积计算】 67．如图，在平面直角坐标系中，是轴负半轴上一点，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于，且，． (1)求点、、的坐标； (2)如图2，点从出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点从出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点、移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点的坐标； (3)如图3，改变点的位置，当点在轴正半轴上，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于点，且点在线段上运动时，作交于点，、的平分线交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不变， 【分析】（1）根据非负数的性质可得和的值，进而根据可得的长，即可求得点、、的坐标； （2）设运动时间为秒，得到用表示的的面积和面积，进而根据的面积是面积的倍列出方程求得的值，即可求得点的坐标； （3）作，可得，同理可得，进而根据角的平分线的性质可得的度数． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 由题意得：四边形为梯形， ， ， 故； （2）解：设运动时间为秒，，， ，， 的面积是面积的倍， ， 解得：或， 或 或； （3）解：大小不变，为． ， ， 作， ， 由题意得：， ， ， ， 同理：， 平分，平分， ，， ， ． 68．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，回到点停止移动． (1)点的坐标为________；当点移动4秒时，点的坐标为________． (2)在移动过程中，当点到轴的距离为2时，求点移动的时间． (3)点在路线的移动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，直接写出点移动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的图形与坐标、非负数的性质、三角形的面积、动点问题的求解等知识与方法，正确地表示点P移动的距离是解题的关键． （1）先根据非负数的性质求得，，可得，的坐标，进而可求得点的坐标，然后计算点的坐标即可； （2）由（1）可知，当移动的时间为秒时，其坐标为，满足当点到轴的距离为2；当时，也满足当点到轴的距离为2，此时点在线段上，算得移动的距离，进而算得点移动时间即可； （3）分成以下四种情况，当点在线段上，当点在线段上，当点在线段上，当点在线段上分类讨论即可． 【详解】（1）解： ， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动4秒时， 点移动了个单位长度 ，， 此时点在线段上， 故答案为：，； （2）解：①由（1）可知，当移动的时间为秒时，其坐标为，满足当点到轴的距离为2； ②当时，也满足当点到轴的距离为2，此时点在线段上， 点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动， 点移动了个单位长度 移动的时间为秒 综上，移动的时间为或； （3）解：存在，或或或，理由如下： 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 当点在线段上，如图所示： ， 点移动的时间为：秒； 综上所述，存在，点移动的时间为或或或． 69．综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点，直线经过点，且满足，连接． (1)求点的坐标． (2)试判断的形状，并说明理由． (3)若动点在直线上运动，当与的面积之比为时，直接写出点的纵坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) 解：是直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∵，即 ∴是直角三角形； (3)点的纵坐标为或． 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，勾股定理及其逆定理的应用，点到坐标轴的距离，三角形的面积公式； （1）根据实数的非负性，确定a，b的值，继而确定点的坐标； （2）根据的坐标，结合勾股定理分别计算，根据，即可求解； （3）先计算，设的纵坐标为，分点在上和的延长线上两种情况分析，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴，， （2）略 （3）∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵与的面积之比为， ∴， 设的纵坐标为， 当在上时， ∴，即 解得： 当在的延长线上时， ∴，即 解得： ∴点的纵坐标为或． 70．已知点，且．    (1)求两点坐标； (2)将线段平移至线段（点与对应，点与对应）， ①如图（1），若点坐标为，点在轴上，求点的坐标； ②如图（2），若点坐标为，点在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由非负数的性质即可得解； （2）①由点的平移性质即可求解； ②分类讨论，当点在轴上：直接可利用面积公式建立方程求解；当点在轴上时，需用割补法表示出三角形的面积，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ， ∴； （2）解：①∵，， ∴点向右平移1个单位至点， ∴， ∴， ∴点向下平移2个单位至点， ∴点向下平移2个单位至点， ∴； ②由题可知线段向右平移6个单位，向下平移3个单位， ， 当点在轴上时，设，      此时与是等高的， ∵的面积是面积的2倍， ， ， 解得或， ∴或； 当点在轴上时，设， i当点在直线左侧时，连接，如图所示：    ， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； ii当点在直线右侧时，连接，如图所示：    ， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【题型·16·坐标几何存在性】 71．如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，t的值为或 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、即可； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解： ，，， ∴， ，， 解得，； （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点在线段上时，， ∵的面积等于6， ∴， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， ∵的面积等于6， ∴， 解得， 综上所述，t的值为2或10； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ，即， 解得； 如图，当点在线段的延长线上时， 同理可得， ，即， 解得； 综上所述，存在，t的值为3或9． 72．【建立模型】如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图1，若，则_____； (2)如图2，等腰中，，点的坐标为，求点的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为或． 【分析】（1）由“”可证可得，，据此计算即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求得，，据此求解即可； （3）分两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为； （3）解：存在点Q，使得是等腰直角三角形， 如图，当点Q在第二象限内时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点； 如图，当点Q在第三象限内时，过点作轴于，过点作交的延长线于， 同理， ∵， ∴，， ∴， ∴点， 综上所述：点坐标为或． 73．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点在第一、第三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) 证明：∵于D，， ∴ 即， ∵ ∴ ∵ ∴． (2) (3)，，， 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答． （2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可作答． （3）分类讨论，如图，当，，过点B作轴于点，过点A作的延长线于点，如图，通过证明，再设点B的坐标为，，根据，进一步作答即可，当，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 即． （3）解：如图，当，，过点B作轴于点，过点A作的延长线于点，如图： ∴， ∴， ∵过点B作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 当，，过点B作轴于点，过点A作射线轴，且过点B作于，如图： ∴， ∵ ∴， ∵过点B作轴，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴， 此时方程无解， 当，，过点A作直线轴，与轴交于点D，过点B作于点E，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 当，，过点A作直线轴，过点B作于点E，过点C作于点D，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴， ， 解得， 故点C的坐标为； 当时，，过点C作直线轴，过点B作于点E，过点A作于点D，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 综上， C点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键． 【题型·17·解析式、交点与面积综合】 74．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)求出的面积； (2)在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质等知识． （1）求出点B坐标为，根据三角形面积公式即可求解； （2）设点M坐标为，当点M位于射线上时，根据即可得到，求出，得到点M坐标为；当点M位于射线上时，根据即可得到，求出，得到点M坐标为． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B坐标为． ∴； （2）解：∵点M在直线上， ∴设点M坐标为， 如图1，当点M位于射线上时， ∵， ∴， 即， 解得， 此时点M坐标为； 如图2，当点M位于射线上时， ∵ ∴， 即， 解得， 此时点M坐标为． 综上所述，满足条件的点M有两个，坐标为或． 75．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出点的坐标，是解题的关键： （1）联立两条直线解析式，进行求解即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）过点A作轴， ∵点A的坐标为， ， 当时，， ， ∴点C的坐标为， ， ． 76．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．    (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）由直线可知：令，则， ∴； （2） ， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在线段上时设， =    ， ， 的横坐标为或2(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， =，    ， ， 的横坐标为或6（舍去）， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 77．如图，直线PA：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B， (1)请写出A点的坐标是（_________，_________），Q点的坐标是（_________，_________），B点的坐标是（_________，_________），P点的坐标是（_________，_________）． (2)若△AOQ的面积为，则=_________，四边形PQOB的面积为，则=_________． (3)直线PA上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)-2，0，0，2，4，0，2，4 (2)2，10 (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法或构建方程组即可解决问题． （2）利用三角形的面积公式计算即可． （3）设M（m，m＋2），则有或，分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线PA：y＝x＋2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y＝−2x＋8与x轴交于点B， ∴Q（0，2），A（−2，0），B（4，0）， 由， 解得， ∴P（2，4）， 故答案为−2，0，0，2，4，0，2，4． （2）解：，， 故答案为2，10． （3）解：设M（m，m＋2），则有或， ∴或， 解得或， 当时，； 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【题型·18·一次函数几何动点】 78．如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)点坐标为 【分析】（1）根据解析式求出点的坐标，根据轴对称以及勾股定理求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）根据轴对称的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明点的对称点为点，最后利用轴对称的性质证明； （3）根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴； 当时，， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：，理由如下： 根据轴对称的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即点的对称点为点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图所示，    当时，，∴； 当时，此时，点与点重合，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，点坐标为． 79．已知直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，直线：与x轴、y轴分别交于点C、E，两直线交于点．    (1)求点D的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由； (3)在直线上有一点Q，使得，请直接写出满足条件的点Q坐标，不必说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为或或或或 (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理、一次函数的交点问题、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）联立解析式建立方程组，解出方程组的解即可； （2）利用两点距离公式表示出、、，再分类讨论建立方程求解即可； （3）过C作于点G，则为等腰直角三角形，利用等面积求出，进而求出，再利用两点距离公式求解即可． 【详解】（1）解：联立两直线解析式可得： ， 解得， 则点D的坐标为 ； （2）解：直线：与x轴、y轴分别交于点A、B， 则，， 设， 则、、， ①当时，则， 解得， 则点的坐标为； ②当时，则， 解得， 则点的坐标为或； ③当时，则， 解得， 则点的坐标为或； 综上，P的坐标为或或或或； （3）解：直线：与x轴交于点A， 则点的坐标为， 直线：与x轴交于点C， 则点的坐标为， 则， 由（1）知，点的坐标为， ， 过C作于点G，   ， 则， 由于， 则为等腰直角三角形， 设，则 整理得， 解得或， 因此，点的坐标为或． 80．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，4或或或8 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；①设，则，过作于，由三角形面积S与t之间的函数关系式； ②过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过作于，如图1所示： 则， ∴， ②存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 、当时，， ， ； 、当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 、当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 81．如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线．且点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)如图①，在射线上有一动点，连接，试求的面积与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； (3)如图②，过点画平行于轴的直线，将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离时（平移距离大于0），直线与轴交于点，与轴交于点、在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）求出A的坐标，再利用待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点，点分别为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ∴， ∵点，， ∴， ∵点在射线上， ∴且， 当时，点在线段上， ∴； 当时，点在线段的延长线上， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； （3）解：存在， 设直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， 当点为直角顶点时，设，如图： 过点作，设直线m交轴于点，则， ∵为等腰直角三角形，直线轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时，如图： 过点作轴，则， 同上法可得：， ∴，， ∴或（舍去）； ∴直线向上平移了2个单位， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 82．如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为或或或； (3)点坐标是或． 【分析】（）把点代入得到，求得直线的解析式为，当 时，，得到点坐标是，把点，代入，即可得到结论； （）由，，得到，，根据勾股定理得到 ，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； （）设直线的解析式为，得到直线的解析式为，求得直线与轴的交点坐标为(0， ，设，根据三角形的面积公式列方程即可求解； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积的计算，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标是， 把点，代入得， 故答案为：，； （2）解：存在，理由， ∵，， ∴，， ∴， 当时，如图， 则点是， ∴点是或 ； 当时， ∴， ∴点是， 当时， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点是， 即， 综上所述，点的坐标为或或或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 设， ∵点的坐标为，，的面积为， ∴， ∴或， ∴点坐标是或． 【题型·19·一次函数实际应用】 83．2027年第33届世界大学生冬季运动会将在长春举办，火炬传递路线从净月潭出发，终点设在长春五环体育馆．甲､乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． (2)求甲､乙两人相距最远时的距离． 【答案】(1) (2)相距最远为250米 【分析】（1）设甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系式为，把和代入求出与的值，即可确定出解析式； （2）由图可得当时，甲、乙两人相距最远．把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系式为， 把和代入得：， 解得：，， 则； （2）解：由图象可得，当时，甲、乙两人相距最远． （米）． （米）． 所以甲、乙两人相距最远时的距离为250米． 84．综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)（，且x为整数） (3)总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 【分析】（1）由题意可知，B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆，依次算出型冷柜车的数量，判断是否满足题意即可； （2）根据（1）所求结合总费用的计算公式列式求解即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵两种车型都租用，B型车辆最多不超过5辆， ∴B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆， ∵要求把40吨荔枝全部运完，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨， ∴当B型车辆为5辆时，，那么型冷柜车需要4辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为4辆时，，那么型冷柜车需要5辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为3辆时，，那么型冷柜车需要6辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为2辆时，，那么型冷柜车需要7辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 当B型车辆为1辆时，，那么型冷柜车需要8辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 综上，共需9辆货柜车； （2）解：由题意得， （，且x为整数）； （3）解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为，此时， 答：总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 85．绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围） (2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围； (3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果） 【答案】(1)10，20， (2) (3)当为或或时，甲，乙两人相距． 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）分三种情况求解即可； （3）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：A、B两地相距，甲的速度为， ， ∴乙离A地的距离与时间的关系为； （2）解：甲离A地的距离与时间的关系： 去程：，； 停留：，； 返程：； 令， ， ∵直线过点和， 设解析式为， ∴，解得， 得， 令，得， 甲离地的距离与时间的函数关系式为： ∴； （3）解：甲、乙相距时： 由A去B： ， 解得； 由B返A： ， 解得或， 答：当为或或时，甲，乙两人相距． 86．控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了下营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度（/天）是营养素用量（）的一次函数（），部分数据如下表所示： 营养素用量x（） 0.2 0.4 0.6 0.8 幼苗的生长速度（/天） (1)求出幼苗的生长速度（/天）与营养素用量（）的一次函数解析式； (2)当营养素的用量为时，求幼苗的生长速度； (3)已知不使用营养素时，幼苗在℃下的生长速度为 /天，假设该幼苗完全成熟时高度为，现要在下使用营养素将该幼苗从培育至完全成熟，且比不使用营养素早天完成，则营养素的用量应该为多少？ 【答案】(1) (2)天 (3) 【分析】（1）设幼苗的生长速度(/天)是该营养素用量()的函数关系式为：，将表中数据代入求解即可； （2）将代入计算即可； （3）先求出需要增长的幼苗高度，进而求出使用营养素后所需天数，可知使用营养素时幼苗生长速度，代入求解即可． 【详解】（1）解：设幼苗的生长速度(/天)是该营养素用量()的函数关系式为： 代入得 解得： ∴， 即； （2）解：当时， 因此幼苗的生长速度为天； （3）解：需要增长的幼苗高度为 不使用营养素时所需天数为（天） 使用营养素后所需天数为（天） 因此使用营养素时幼苗生长速度为（天） 将代入得 解得 答：营养素的用量应该为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期中复习高频与压轴19类题型归纳 （考试范围：第1章-第4章 ） 【新教材北师大版】 题型归纳 【选填高频】 2 【题型·1.·折叠与勾股计算】 2 【题型·2·立体表面最短路径】 3 【题型·3·勾股多解与弦图模型】 4 【题型·4·根式性质综合】 6 【题型·5·分母有理化与实数规律】 6 【题型·6·坐标变换与距离】 7 【题型·7.坐标系点坐标规律】 8 【题型·8一次函数的性质综合】 9 【题型·9·一次函数中点坐标的规律】 11 【解答压轴】 13 【题型·10·折叠几何探究】 13 【题型·11·勾股动点存在性】 15 【题型·12·勾股逆定理与弦图探究】 18 【题型·13·根式阅读新定义】 21 【题型·14·根式综合探究】 23 【题型·15·坐标系面积计算】 25 【题型·16·坐标几何存在性】 28 【题型·17·解析式、交点与面积综合】 29 【题型·18·一次函数几何动点】 31 【题型·19·一次函数实际应用】 34 【选填高频】 【题型·1.·折叠与勾股计算】 1．如图，长方形中，点E在边上，将一边折叠，使点A恰好落在边的点F处，折痕为．若，则的长是（ ） A． B．3 C． D． 2．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【题型·2·立体表面最短路径】 5．如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，C为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点C的最短路程是（     ） A． B． C． D． 6．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从点绕到正上方点共四圈，已知易拉罐底面周长是，高是，那么所需彩带最短是（     ）． A． B． C． D． 7．如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为，高为．在杯内壁离杯底的点处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口的点处有一滴蜂蜜．若蚂蚁从点沿玻璃杯侧面爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 8．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【题型·3·勾股多解与弦图模型】 9．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 11．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 12．意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（   ） A．12 B．10 C．5 D．4 13．如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 【题型·4·根式性质综合】 14．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，则式子的值为（     ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 15．如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 16．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 17．计算：（   ） A． B． C．2026 D．2025 18．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【题型·5·分母有理化与实数规律】 19．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 20．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 21．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 22．规律探究 设，，则的值为___________． 【题型·6·坐标变换与距离】 23．在平面直角坐标系中，对点定义变换，变换后的点为．例如变换得到；继续变换得到．连续重复该变换，则坐标为（     ） A． B． C． D． 24．点A在第二、四象限的角平分线上，且到原点的距离等于，则点A的坐标可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 25．点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于y轴对称点的坐标是（　） A． B． C． D． 26．已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C．或 D．或 27．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，轴，若，则点Q的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 28．已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是（   ） A．7 B．17 C．7或3 D．17或-7 【题型·7.坐标系点坐标规律】 29．如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，动点A从点出发，先向上运动1个单位长度到达点B，再分裂为两个点，分别向左、右运动到点、点，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点、、，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2025次跳跃时，最左侧第一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 31．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 32．如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标是（ ） A． B． C． D． 33．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．如图，把正方形纸片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形纸片上，将正方形纸片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，点第一次旋转至图①的点位置，第二次旋转至图②的点位置……，则正方形纸片连续旋转2023次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型·8一次函数的性质综合】 35．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 36．关于的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点坐标是 C．点和点都在该函数图象上，则 D．图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象 37．如图所示，在平面直角坐标系中有线段，其中A，B两点的坐标分别为，，若一次函数的图象与线段有交点，则系数k的取值范围是（   ）      A． B． C． D． 38．如图，一次函数与的图象交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（     ） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 39．已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D．或 40．已知定义为：．例如，若关于x的函数，则y的最小值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 41．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【题型·9·一次函数中点坐标的规律】 42．如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 43．如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 44．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；…按如此规律进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 45．如图，在平面直角坐标系中，，…，均为等腰直角三角形，且，点和点分别在正比例函数和的图象上，且点的横坐标分别为1，2，3，…，n，线段均与y轴平行，按照图中所反映的规律，的顶点的坐标是 _______，线段的长是 ____． 46．如图，点在直线l：上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为________． 【解答压轴】 【题型·10·折叠几何探究】 47．如图，在中，分别为边上的点，将沿折叠，使点C与点A重合，求的长． 48．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 49．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 50．如图，直线，垂足为，直线分别与射线、相交于点、，且，，连接． (1)求线段的长； (2)若点为直线上的一个动点，求点到点的距离的最小值； (3)如图，将沿直线折叠，点落在点处，，垂足为点，求的长． 【题型·11·勾股动点存在性】 51．如图，在Rt中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，平分的面积； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)若点分别为上的动点，求的最小值． 52．已知，如图①，在中，，，点D、E分别为线段上两动点，在点D、E运动过程中，始终是．探究线段、、三条线段之间的数量关系． (1)请猜想、、三条线段之间的数量关系，直接写出结果． (2)深入思考：当动点E在线段上，动点D运动到线段的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． (3)结论应用：若； ①在图1中，，求出和的长． ②在图2中，若，直接写出： ， ． 53．如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． (1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长； (2)若是等腰三角形时，求的长； 54．如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 55．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为． (1)若，则t的值为_____； (2)当时，求t的值； (3)当是直角三角形时，求t的值． 【题型·12·勾股逆定理与弦图探究】 56．数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 57．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 58．在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． (1)如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 (2)连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 (3)在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； (4)如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时，的面积为定值，并说明理由． 59．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 【题型·13·根式阅读新定义】 60．阅读材料： 在二次根式的计算中，通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根式转化为有理数，对分母进行有理化．例如： 【解决问题】 (1)化简：① ； ② ． (2)已知则的值为 ； (3)计算． 61．阅读与思考 我们知道，已知三角形的一边长及这条边上的高线长，利用公式，可以求三角形的面积．由三角形全等的判定方法“边边边”可知，一个三角形只要三边确定，这个三角形的形状和大小就完全确定，这意味着，通过三角形的三边长是可以确定三角形的面积的． 古希腊数学家海伦，在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式：，其中． 根据以上阅读材料回答下列问题： 如图，在中，，，． (1)求的面积． (2)作，通过计算说明． 62．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 63．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【题型·14·根式综合探究】 64．在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 65．项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 66．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题：当，，时，求这个三角形的面积； (2)利用材料2解决下面的问题：如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【题型·15·坐标系面积计算】 67．如图，在平面直角坐标系中，是轴负半轴上一点，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于，且，． (1)求点、、的坐标； (2)如图2，点从出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点从出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点、移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点的坐标； (3)如图3，改变点的位置，当点在轴正半轴上，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于点，且点在线段上运动时，作交于点，、的平分线交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 68．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，回到点停止移动． (1)点的坐标为________；当点移动4秒时，点的坐标为________． (2)在移动过程中，当点到轴的距离为2时，求点移动的时间． (3)点在路线的移动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，直接写出点移动的时间；若不存在，请说明理由． 69．综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点，直线经过点，且满足，连接． (1)求点的坐标． (2)试判断的形状，并说明理由． (3)若动点在直线上运动，当与的面积之比为时，直接写出点的纵坐标． 70．已知点，且．    (1)求两点坐标； (2)将线段平移至线段（点与对应，点与对应）， ①如图（1），若点坐标为，点在轴上，求点的坐标； ②如图（2），若点坐标为，点在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点坐标． 【题型·16·坐标几何存在性】 71．如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 72．【建立模型】如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图1，若，则_____； (2)如图2，等腰中，，点的坐标为，求点的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 73．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点在第一、第三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．直接写出符合条件的点的坐标． 【题型·17·解析式、交点与面积综合】 74．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)求出的面积； (2)在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 75．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)求的面积； 76．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．    (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 77．如图，直线PA：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B， (1)请写出A点的坐标是（_________，_________），Q点的坐标是（_________，_________），B点的坐标是（_________，_________），P点的坐标是（_________，_________）． (2)若△AOQ的面积为，则=_________，四边形PQOB的面积为，则=_________． (3)直线PA上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型·18·一次函数几何动点】 78．如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 79．已知直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，直线：与x轴、y轴分别交于点C、E，两直线交于点．    (1)求点D的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由； 80．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 81．如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线．且点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)如图①，在射线上有一动点，连接，试求的面积与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； (3)如图②，过点画平行于轴的直线，将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离时（平移距离大于0），直线与轴交于点，与轴交于点、在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 82．如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 【题型·19·一次函数实际应用】 83．2027年第33届世界大学生冬季运动会将在长春举办，火炬传递路线从净月潭出发，终点设在长春五环体育馆．甲､乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． (2)求甲､乙两人相距最远时的距离． 84．综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 85．绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围） (2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围； (3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果） 86．控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了下营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度（/天）是营养素用量（）的一次函数（），部分数据如下表所示： 营养素用量x（） 0.2 0.4 0.6 0.8 幼苗的生长速度（/天） (1)求出幼苗的生长速度（/天）与营养素用量（）的一次函数解析式； (2)当营养素的用量为时，求幼苗的生长速度； (3)已知不使用营养素时，幼苗在℃下的生长速度为 /天，假设该幼苗完全成熟时高度为，现要在下使用营养素将该幼苗从培育至完全成熟，且比不使用营养素早天完成，则营养素的用量应该为多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $