专题06 一次函数几何压轴九大题型突破2026-2027学年北师大版八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题06 一次函数几何压轴九大题型突破 【题型1一次函数与面积有关计算】 【题型2一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 【题型 3一次函数存在直角三角形求动点坐标】 【题型 4一次函数存在全等三角形求动点坐标】 【题型5一次函数存在 45°求动点坐标】 【题型6一次函数存在等角求动点坐标】 【题型7一次函数存在线段和最小值求动点坐标 【题型8一次函数存在平行四边形求动点坐标】 【题型9一次函数存在菱形求动点坐标】 【题型1一次函数与面积有关计算】 1．平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、A．直线与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)求的面积； (2)如图1，直线与直线交于D点，点E为x轴上一点，当是以为底边的等腰三角形时，求E点坐标； (3)如图2，点P在点A下方的y轴上一点，，直线与直线交于点M，求M点的坐标． 2．已知，一次函数，完成下列题目． (1)画出该函数的图象． (2)若点A坐标为，函数图象与x轴、y轴交点分别为B，C，求的面积． 3．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)求出的面积； (2)在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点，直线：与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线与交于点． (1)求m的值和直线的表达式； (2)点G是x轴上的一个动点，连接，求的最小值和此时点G的坐标； (3)在直线上是否存在一点P，使得的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 6．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点B，与直线交于点．             (1)求的值和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 7．如图，平面直角坐标系中，点和，点为坐标平面内一动点． (1)求斜边上的高； (2)若为等腰三角形，求点的坐标． 8．如图，直线经过，两点．    (1)若点C是线段上的一个动点，当的面积为2时，求点C的坐标； (2)在（1）的条件下，在y轴上求一点P使得是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 9．如图，直线交x、y轴分别为、两点，点与点关于y轴对称．动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足． (1)点坐标是_______，______． (2)当点在什么位置时，，说明理由． (3)当为等腰三角形时，求点的坐标． 【题型 3一次函数存在直角三角形求动点坐标】 10．如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 11．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 【题型 4一次函数存在全等三角形求动点坐标】 12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点、点，且a、b满足 ． (1)a＝ ；b＝ ． (2)点P在直线的右侧，且； ①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ； ②若为直角三角形，求点P的坐标． 13．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．    (1)点A坐标为________，点B坐标为________，线段的长为________； (2)当的面积是4时，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由． 14．如图，直线与轴、轴分别交于两点，点的坐标为连结过点作于点点为线段上一个动点． (1)求的长； (2)在线段上是否存在一点使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点关于的对称点恰好落在的边上，请直接写出点的坐标． 15．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点. (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 16．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为，连接，过点作于点，点为线段上一个动点．    (1)的长为_____________，的长为_____________； (2)上是否存在一点，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作且，连接． (1)求点C的坐标； (2)如图2，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型5一次函数存在 45°求动点坐标】 18．【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 19．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点的坐标：___________；___________． (2)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的解析式． ①小明的做法是：如图，过点作交于点，可求出点的坐标为___________． ②在①的基础上从而求得直线的解析式（写出求解过程） 21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 【题型6一次函数存在等角求动点坐标】 22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，且，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一点，设，连接交于点． ①若点坐标为，求的面积； ②连接，若，求点的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，y轴于点A，C，取y轴上一点，作直线． (1)求直线的函数表达式： (2)P为直线上一动点，连接． ①当 时，求点P的坐标； ②当时，求线段的长 24．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【题型7一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 25．如图所示，已知点C(1，0)，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点， (1)求点C关于y轴对称点M坐标，点C关于直线AB对称点N坐标． (2)求△CDE的周长的最小值． 26．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 27．在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴，y轴于A，B两点，． (1)如图1，点C在线段AB上，点D在线段AO上，于点E，于点F，若，，求证：； (2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式； (3)如图2，若，点M，N分别是（2）中直线l和线段OB上的动点，求周长最小值的平方． 【题型8一次函数存在平行四边形求动点坐标】 28． 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 29．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于两点，同C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E． (1)求直线AB的函数表达式； (2)求证：； (3)点D的坐标为__________，的面积为_______； (4)在平面内是否存在点Q，使以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由﹒ 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．    (1)求直线的解析式； (2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 31．如图1，经过点的直线与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为，P是直线上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)当时，求t的值； (3)作//轴，交直线于点F，在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【题型9一次函数存在菱形求动点坐标】 32．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应），直线交直线于点G．    (1)求直线的解析式； (2)点P为y轴上一动点，若，求点P的坐标； (3)如图2，直线，交x轴，y轴于F，E两点，点N为平面直角坐标系内一点．若以A，E，F、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 33．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，且．点是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）设点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出的坐标． 34．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴点B，C且与直线交于点A， (1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________； (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，直线与直线相交于轴上一点，点是直线上的一个动点（不与点C重合），过点P作轴交直线于点M．设点P的横坐标为m． （1）直接写出点P，M的坐标P ，M （用含m的式子表示）； （2）若的面积为，求的值； （3）试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形？若存在，求出m的值，并直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 36．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于A． (1)分别求出A、B、C的坐标； (2)若D是线段上的点，且的面积为3，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数几何压轴九大题型突破 【题型1一次函数与面积有关计算】 【题型2一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 【题型 3一次函数存在直角三角形求动点坐标】 【题型 4一次函数存在全等三角形求动点坐标】 【题型5一次函数存在 45°求动点坐标】 【题型6一次函数存在等角求动点坐标】 【题型7一次函数存在线段和最小值求动点坐标 【题型8一次函数存在平行四边形求动点坐标】 【题型9一次函数存在菱形求动点坐标】 【题型1一次函数与面积有关计算】 1．平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、A．直线与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)求的面积； (2)如图1，直线与直线交于D点，点E为x轴上一点，当是以为底边的等腰三角形时，求E点坐标； (3)如图2，点P在点A下方的y轴上一点，，直线与直线交于点M，求M点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出A、B、C的坐标，进而得到的长，再根据三角形面积计算公式求解即可； （2）求出D点的坐标是，设点E的坐标为，根据题意可得，据此利用勾股定理建立方程求解即可； （3）当点P在点A的下方，由得到，过点B作交直线于点N，过点N作于点Q，过点E作于点H，证明，进一步求出，求出直线的解析式为，联立直线解析式求出交点M的坐标即可 ． 【详解】（1）解；在中，当时，， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：联立，解得 ∴D点的坐标是， 设点E的坐标为，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，当点P在点A的下方， ∵， ∴轴， ∴， ， ； 如图所示，过点B作交直线于点N，过点N作于点Q，过点D作于点H， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 又， ， ，， ∴， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 联立直线和解析式得到， 解得：即，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．已知，一次函数，完成下列题目． (1)画出该函数的图象． (2)若点A坐标为，函数图象与x轴、y轴交点分别为B，C，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先画出函数图象上的两个点，再画出直线即可解答； （2）求得的坐标，再计算的面积即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 函数图象见解析； （2）解：令，可得， 解得， ， 根据（1）可得， ∵点A坐标为， ， ∴的面积为． 3．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)求出的面积； (2)在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质等知识． （1）求出点B坐标为，根据三角形面积公式即可求解； （2）设点M坐标为，当点M位于射线上时，根据即可得到，求出，得到点M坐标为；当点M位于射线上时，根据即可得到，求出，得到点M坐标为． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B坐标为． ∴； （2）解：∵点M在直线上， ∴设点M坐标为， 如图1，当点M位于射线上时， ∵， ∴， 即， 解得， 此时点M坐标为； 如图2，当点M位于射线上时， ∵ ∴， 即， 解得， 此时点M坐标为． 综上所述，满足条件的点M有两个，坐标为或． 4．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点C作轴，根据等腰直角三角形的性质证明，推出，进而求出，即可得到点C的坐标； （2）由（1）知点C的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）利用勾股定理求出，即可求出的面积为，由题意可得，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 设直线的函数表达式为：， 则，解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：∵为等腰直角三角形，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵与面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查图形与坐标、一次函数与几何综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点，直线：与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线与交于点． (1)求m的值和直线的表达式； (2)点G是x轴上的一个动点，连接，求的最小值和此时点G的坐标； (3)在直线上是否存在一点P，使得的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）把点代入求得点E（2，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，解方程组即可得到结论； （2）作点B关于x轴的对称点F，连接交x轴于G，则此时的值最小，求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，于是得到，根据勾股定理即可求解； （3）当点P在y轴的左侧时，如图，当点P在y轴的右侧时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴； （2）解：作点B关于x轴的对称点F，连接交x轴于G， 则此时的值最小， ∵， ∴， 同理，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故的最小值为； （3）解：存在， 当点P在y轴的左侧时，如图， ∴， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， 当点P在y轴的右侧时，同理可得， 综上所述，存在，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理轴对称-最短路径问题，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． 【题型2一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 6．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点B，与直线交于点．             (1)求的值和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)14； (3)或． 【分析】（1）将点代入直线，可求出的值；再把点C的坐标代入，求出b的值，进而求出B的坐标； （2）先求出直线与轴交点的坐标，计算出线段的长度，再以为底，点的纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算面积； （3）设点的坐标为，先根据两点间距离公式计算的长度，由以为底的等腰三角形可知，据此列出关于的绝对值方程，求解得到的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵过点． ∴，解得：， ∴， ∵直线经过点， ∴代入得，解得， ∴， 令，则，解得：, ∴； （2）解：∵函数的图象与轴交于点，令，则，解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵点的纵坐标为，即中边上的高为， ∴； （3）解：设点的坐标为， ∵点，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 7．如图，平面直角坐标系中，点和，点为坐标平面内一动点． (1)求斜边上的高； (2)若为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的定义，一次函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）根据勾股定理得出，再由，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可分三种情况讨论，利用两边相等建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点和， ∴， 设斜边上的高为h， ∵， ∴， 解得：， 即斜边上的高为； （2）解：∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，不成立； 当时， 此时， 解得：或3， ∴点M的坐标为或， 设直线的解析式为，则 ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上，不符合题意，舍去； 当时， 此时， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 8．如图，直线经过，两点．    (1)若点C是线段上的一个动点，当的面积为2时，求点C的坐标； (2)在（1）的条件下，在y轴上求一点P使得是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或或． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）设直线的解析式为，把，代入解方程组得到直线的解析式为，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，当时，是等腰三角形，当时，是等腰三角形，过作轴于，求得；根据勾股定理得到． 【详解】（1）设直线的解析式为， 直线经过，两点， ， 解得， 直线的解析式为， 点是线段上的一个动点， 设， 的面积为2， ， ， 点的坐标为； （2）点的坐标为； ， 当时，是等腰三角形， 或， 当时，是等腰三角形， 过作轴于，   ， ； 当时，是等腰三角形， 在中， ， ， ， ， 综上所述，或或或． 9．如图，直线交x、y轴分别为、两点，点与点关于y轴对称．动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足． (1)点坐标是_______，______． (2)当点在什么位置时，，说明理由． (3)当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)；10 (2)当的坐标是时，，理由见解析 (3)或 【分析】（1）把和分别代入一次函数的解析式，求出、两点坐标，根据已知条件，求出点坐标，最后运用勾股定理求出即可； （2）求出，，根据点的坐标求出，根据全等三角形的判定推出即可； （3）分三种情况进行讨论：①，②，③，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质可判断②，设的坐标是，根据勾股定理得出方程，即可求出③． 【详解】（1）解：∵直线交x、y轴分别为、两点， ∴当时，， 即点坐标是， 同理，当时，， ∴点坐标是， ∵点与点关于y轴对称， ∴点坐标是， ∴，， 由勾股定理可得，， 故答案是：，； （2）解：当的坐标是时，， 理由如下：∵，， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵点与点关于y轴对称， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴当的坐标是时，． （3）解：分三种情况进行讨论： ①当时， 由（2）知， ∴， 此时的坐标是； ②当时，则， ∵， ∴， 而根据三角形的外角性质得： ， ∴此种情况不存在； ③当时， 则， 即， 设此时的坐标是， ∵在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， 即此时的坐标是； ∴当为等腰三角形时，点的坐标是或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大． 【题型 3一次函数存在直角三角形求动点坐标】 10．如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可； （2）先确定，根据两点间的距离得，，，继而得到，推出，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴的值为； （2）∵直线与轴交于点， 当时，得：，解得：， ∴， 由（1）知：， ∴，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）①当时， 由（2）知：， 此时点与点重合， ∴点的坐标为， ②当时，即，此时点的横坐标为，如图， ∵直线， 当时，得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查函数图象点的坐标特征，勾股定理的逆定理，两点间的距离，直角三角形的定义等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 11．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或6 【分析】（1）利用待定系数法即可求出线段所在直线的解析式． （2）过A点作轴于F点，先证明，则可得，，进而可得．然后分两种情况：①当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式．②当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式． （3）若为直角三角形，则P点只能在线段上．然后分两种情况：①当时，②当时，分别求出的长，即可求出t的值． 【详解】（1）解：设线段所在直线解析式为， 则， 解得， ∴线段所在直线解析式为． （2）解：过A点作轴于F点． ∵， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴． ①当时，P点在线段上，，，    则 ． ②当时，P点在线段上，    ． 综上，． （3）解：若为直角三角形，则P点只能在线段上． ①当时，P点与F点重合，    ∵， ∴． ②当时，    ∵平分， ∴， 则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当或6时为直角三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合运用，用待定系数法求一次函数解析式，列一次函数关系式以及动点问题．正确的画出图形，并且分类讨论是解题的关键． 【题型 4一次函数存在全等三角形求动点坐标】 12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点、点，且a、b满足 ． (1)a＝ ；b＝ ． (2)点P在直线的右侧，且； ①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ； ②若为直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①点P在x轴上，则即可求解； ②由（1）知 ，则，而是直角三角形，且，故只有 或，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：， 即：， 故答案为：； （2）解：①由（1）知， ∵点P在直线的右侧，P在x轴上， ， 故答案为：； ②由（1）知 ， ， ， 当时，过点P作轴于H， ， 又 ， ， 故点P的坐标为； 当时， 同理可得：点P的坐标为， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，其中（2）②要 注意分类讨论求解． 13．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．    (1)点A坐标为________，点B坐标为________，线段的长为________； (2)当的面积是4时，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)存在，P点坐标为，或，或，或， 【分析】（1）令，求出，令，求出，再利用等积法求的长即可； （2）设点，由，可求点坐标为或； （3）当时，，则，或，；当时，，则，或，． 【详解】（1）解：令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）设点， ， ， 点的横坐标为2或， 点坐标为或； （3）存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，理由如下： ①如图1，图2，当时，        ， 或， ，或，； ②如图3，图4，当时，   ， ，或，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． 14．如图，直线与轴、轴分别交于两点，点的坐标为连结过点作于点点为线段上一个动点． (1)求的长； (2)在线段上是否存在一点使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点关于的对称点恰好落在的边上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【分析】（1）先求出点点坐标，由勾股定理和面积法可求解； （2）分两种情况讨论，先求出解析式，由全等三角形的性质可求解； （3）分两种情况讨论，利用折叠的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 点，点， 点的坐标为， ， ， ； （2）解：存在，理由如下： 设直线的解析式为 ， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 当时，， ， ， 点在第二象限， 点 ， 当时， ， ， 点在第二象限， 点 ， 综上所述：点坐标为：或； （3）解：如图，当点关于的对称点落在上时，作于点于点 又 ， ， 点的坐标为， 点关于的对称点落在上时， 点是的中点， 点 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 15．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点. (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． （1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ， ∴， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积为， 当时，如图： 此时， ， 即， 解得：， 在中，令，则 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 当时，如图： 此时， ， 即， ， 在中，令， 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或； （3）在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图： ，， ，， 设，则，，， 而， ， 整理得， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时，， ∴， ∴点B为的中点， ∴，， ∴； ②若时，如图： ，， ， 在中，令，则 解得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 16．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为，连接，过点作于点，点为线段上一个动点．    (1)的长为_____________，的长为_____________； (2)上是否存在一点，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点 或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先求出点点坐标，由勾股定理和面积法可求解； （2）分两种情况讨论，先求出解析式，由全等三角形的性质可求解； 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，，当时，， 点，点， ， ∴， 点的坐标为， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 设直线的解析式为则：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 当时，， ， ， 点在第二象限， 点 ， 当时， ， ， 点在第二象限， 点 ， 综上所述：点坐标为：或． 17．如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作且，连接． (1)求点C的坐标； (2)如图2，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（-4，1） (2)①；②（-1，2）或（，0）或（，2） 【分析】（1）证明△BCH≌△ABO（AAS），则CH=BO=1，BH=AO=3，OH=BH+BO=4，即可求解； （2）①由（1）知点C的坐标为（-4，1），CDx轴交AB于点D，则点D的纵坐标为1，将y=1代入y=3x+3得1=3x+3，即可求解； ②存在，理由：以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况，即可求解； 【详解】（1）解：在y=3x+3中，当x=0时，y=3， ∴点A的坐标为（0，3）， ∴AO=3， 在y=3x+3中，当y=0时，0=3x+3，x=-1， ∵点B的坐标为（-1，0）， ∴BO=1， 如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，则∠BHC=90°， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴∠CBH+∠ABO=180°-∠ABC=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠CBH=∠BAO， ∵∠BHC=∠ABO=90°，BC=AB， ∴△BCH≌△ABO（AAS）， ∴CH=BO=1，BH=AO=3， ∴OH=BH+BO=4， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为（-4，1）； （2）解：①由（1）知点C的坐标为（-4，1）， ∵CDx轴交AB于点D，∴点D的纵坐标为1， 将y=1代入y=3x+3得1=3x+3， ∴x＝， ∴点D的坐标为（，1）， ∴CD＝； ②存在，理由： 以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况： 当△≌△BDC时， 则点和点B关于直线CE对称， ∴点的坐标为：（-1，2）； 当△≌△BDC时， 则点和点B关于CD的中垂线对称， ∴点（，0）即（，0）； 当△≌△BDC时， 则点和点关于直线CE对称， ∴点的坐标为：（，2）； 综上：M坐标为（-1，2）或（，0）或（，2）时，以点M，C，D为顶点的三角形与全等． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏． 【题型5一次函数存在 45°求动点坐标】 18．【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，根据旋转的性质得到，，证明，得到，，即可求解点C的坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，证明，得到，，根据一次函数的性质得到，，进而求出点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图2，过点作轴于点， 则， ∴， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图3，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴，， 对于， 当时，则；当，则，解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴点D的坐标为． 19．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）对于直线，令x=0，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解； （2）证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 故点； 对于，令，则，令，即， 解得：， 故点、， 则，， 所以，的面积； （2）解：由题意，，观察图象可知，点E只能在直线的右侧，过点E作的垂线交于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图2， 设点，点， ∵，故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，， 解得，， 故点． 20．在平面直角坐标系中，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点的坐标：___________；___________． (2)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的解析式． ①小明的做法是：如图，过点作交于点，可求出点的坐标为___________． ②在①的基础上从而求得直线的解析式（写出求解过程） 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）分别令直线解析式中和，求出对应的、值，即可得到点、的坐标． （2）①通过构造全等三角形，求出点的坐标；②已知点、的坐标，利用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴． 令，则， ∴． （2）解：①过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴． ∵直线绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在和中， ， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ②设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)、 (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）对于，令，解得：，令，则，即可求解； （2）设点M的纵坐标为，根据列出方程求解可得或，然后代入求出点M的坐标即可； （3）如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P为所求点，然后求得其坐标即可解答； （4）当点Q在上方时，证明得到M的坐标为，进而求解即可；当点在下方时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，令，解得：；令，则． ∴点A、的坐标分别为、． （2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得： ，即∶，解得：或， 把代入得：，解得：； ∴此时点M的坐标为； 把代入得：，解得：， ∴此时点M的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）解：∵点为线段中点， ∴点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P为所求点， 设直线的表达式为：，则∶ ，解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点P的坐标为． （4）解：存在，理由如下： 如图2，当点Q在上方时，过点A作交于点M，过点M作轴于点H，则， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，． ∴点Q的坐标为； 当点在下方时，过点A作交于点N，则， ∴， ∴N、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴A为的中点， 由中点坐标公式得，点，即， 由点B、N的坐标同理运用待定系数法可得直线的表达式为：， 当时，． ∴点的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 【题型6一次函数存在等角求动点坐标】 22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，且，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一点，设，连接交于点． ①若点坐标为，求的面积； ②连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）先求得直线的解析式，再联立成方程组即可求解； （2）①先求得点的坐标为，由与直线交于点，可得，即点的纵坐标，代入直线，即可求得，可得点，的坐标，即可求解； ②分点在点的上方，点在点的下方两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 由，解得， ∴点的坐标为． （2）解：①把代入，得， ∴点的坐标为， ∵与直线交于点， ∴点的横坐标， ∴点的纵坐标， 如图， ∵点在直线上， 当时，， 解得， ∴点坐标为，点坐标为， ∵，， ∴． ②（Ⅰ）：点在点的上方， 如图，由题意可得，点，关于直线对称，设与直线交于点， ∴与关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ， 在中，， ∴， 解得， ∴点C坐标为； （Ⅱ）：点在点的下方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点， 同理可得， 设，则， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线与轴交于点，与轴交于点， ∵与关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，， ∴； 当时，， ∴，与点重合，舍去； 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴点C的坐标为 综上所述，点C坐标为或． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，y轴于点A，C，取y轴上一点，作直线． (1)求直线的函数表达式： (2)P为直线上一动点，连接． ①当 时，求点P的坐标； ②当时，求线段的长 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题综合考查一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，通过条件找到点坐标之间的关系是解题关键． （1）先根据直线的解析式，求出点A的坐标，再用待定系数法代入求解即可； （2）①先求出和的值，设出点P的坐标，表示出和，根据面积关系列方程求解即可； ② 可先在x轴上取一点，构造与全等的三角形，从而得到相等角，再通过延长线段得到在直线上对应的点P． 【详解】（1）解：令，得，解得， ∴， 设直线：， 代入点，得， 解得 ∴； （2）解：①令，得， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴在线段上，存在点P，使得， 分两种情况讨论： 如图，过点P作轴，交y轴于点M，设，则，， 第一种：当点P在线段上，对应点记为，， 由图可知，，即， ∴， ∴， ， ∴； 第二种：当点P在的延长线上，对应点记为，， 由图可知，，即， ∴， ∴， ， ∴； 综上，点P的坐标为或； ②如图，连接，交x轴于点N， 由（2）可知，， 又， 又，即， ∴， ∴， 分两种情况： 第一种：当点P在线段上，对应点记为，， ∵， 由图，得， 设直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴， 令， 解得， ， ∴， ∴， 第二种：当点P在延长线上，对应点记为，， ∵， 由图，得， 设直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴， 令， 解得， ， ∴， ∴， 综上，的长为或． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点，直线的表达式为：． (2)点E的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图象及性质，勾股定理，直角三角形的性质，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）分时，时两种情况，分别求出点E的坐标； （3）设点的坐标为，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）当中时，，解得 ∴， 当中时，，解得 ∴， 当时，为直角三角形， 此时，则， 故； 当时，为直角三角形，过作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，得， ∴， 综上，点E的坐标为或； （3）存在，理由： 当点P在y轴左侧时， ∵，则， 即， 设， 由点A，P，C的坐标得，，， 得，即点； 当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时 综上，存在，点的坐标为或 【题型7一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 25．如图所示，已知点C(1，0)，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点， (1)求点C关于y轴对称点M坐标，点C关于直线AB对称点N坐标． (2)求△CDE的周长的最小值． 【答案】(1)M(-1，0)，N(7，6) (2)10 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可知M(-1，0)．根据直线AB的解析式可求出B(7，0)，即可求出OB=7．由C(1，0)，可求出OC=1，从而可求出BC=6．连接CN，BN，由轴对称的性质可知BC=BN=6，，从而得出，即得出N点坐标； （2）连接ME，DN，MN．由轴对称的性质可知ME=CE，DC=DN．从而可知，且当M，E，D，N四点共线时取等号，即的最小值即为MN的长．根据题意利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】（1）点C关于y轴对称点M坐标为(-1，0)． ∵直线与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴． 令，则， 解得：， ∴B(7，0)， ∴OB=7． ∵C(1，0)， ∴OC=1， ∴BC=OB-OC=6． 如图，连接CN，BN， ∵点C与点N关于直线AB对称， ∴BC=BN=6，， ∴， ∴，，即N(7，6)； （2）如图，连接ME，DN，MN． 由轴对称的性质可知ME=CE，DC=DN， ∴． ∵，且当M，E，D，N四点共线时取等号， ∴的最小值即为MN的长． ∵(-1，0)， ∴OM=1， ∴BM=OM+OB=8， ∴． ∴的最小值为10． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 26．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)11 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质及勾股定理，用平移的思想解决问题是就本题的关键． （1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论； （2）将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， 令时，， ， ； （2）解：如图，将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小， 由作图可得 点O关于直线的对称点， ， ， 四边形的周长最小值 27．在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴，y轴于A，B两点，． (1)如图1，点C在线段AB上，点D在线段AO上，于点E，于点F，若，，求证：； (2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式； (3)如图2，若，点M，N分别是（2）中直线l和线段OB上的动点，求周长最小值的平方． 【答案】(1) 证明：如图1， ∵，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)； (3)． 【分析】（1）证明，，即可求解； （2）设，得到，，，利用，求解a值，进而求解； （3）分别作点P关于直线l和y轴的对称点、，连接分别交直线l和y轴于点M、N，则此时周长最小，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设， 在等腰中，由得：， 在等腰中，由得：， 则，， 在等腰中，，即， 解得：，则， 则直线的表达式为：； （3）解：如图2，分别作点P关于直线l和y轴的对称点、，连接分别交直线l和y轴于点M、N，则此时周长最小，理由： 由对称性知，，，则周长为最小， ∵在直线l和x轴的夹角为，，则， ∴为等腰直角三角形，则轴， 由（2）知，，则，， 则， 即周长最小值的平方为：． 【点睛】本题是一次函数的综合题，涉及到待定系数法求直线解析式，点的对称性、三角形全等等，其中（1），证明三角形全等是本题解题的关键． 【题型8一次函数存在平行四边形求动点坐标】 28． 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2) 或 【分析】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）根据点的横坐标为，得，根据轴，得，求出，得出，再分当与当分别进行求解即可. 【详解】（1）解∶ 将点代入 中， 得∶， 解得∶， 直线为， 将点代入中， 得∶， 解得：， 直线为； （2）横坐标为， 则， 轴， 点在直线上， ， 直线 与轴交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 或 ． 29．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于两点，同C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E． (1)求直线AB的函数表达式； (2)求证：； (3)点D的坐标为__________，的面积为_______； (4)在平面内是否存在点Q，使以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由﹒ 【答案】(1) (2)见解析 (3)，，； (4)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据可证明； （3）设，则，代入直线的解析式可求出的值，则求出点坐标，由三角形面积公式可得出答案； （4）分两种情形：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为，把，代入上式得： ， 解得， 故直线的解析式为； （2）证明：， ，， ， 在与中， ， ； （3）解：， ， 设， 又， ， 点在直线上， 把代入上式得， ， 解得， ，， ，，， 的面积； 故答案为：，，； （4）解：，，，，， 存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，可得，，． 当为对角线时，可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．    (1)求直线的解析式； (2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用三角形面积分割，，从而转化为方程，然后解方程即可求解； （3）利用平行四边形的性质①当为对角线时，，②当为对角线时， ，③当为对角线时，即可求解． 【详解】（1）∵直线交轴于点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， （2）∵直线交轴于点， ∴当时，，即点， ∴， ∴， 设， ∵，点到直线的距离为， 即：， 解得：，， ∴点， （3）由(1)(2)可知：，，， 如图，设， ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴点，    ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴点， ②当为对角线时， ，， 解得：，， ∴点， ③当为对角线时，，， 解得：，， ∴点， 综上可知： 【点睛】此题考查了一次函数的应用和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和平行四边形性质的应用． 31．如图1，经过点的直线与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为，P是直线上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)当时，求t的值； (3)作//轴，交直线于点F，在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)当时，或 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点的坐标，将点 、的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）点、点，当时，则，即可求解； （3）设点，则点，当A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形，则，即，即可求解． 【详解】（1）解：将点C的横坐标代入， 当时，，故点， 设直线的表达式为：， 将点A、C的坐标代入上式得：， 解得， 故直线的表达式为：； （2）解：对于，令，则，故点，则， 设动点P的横坐标为t，则点， ∵点D在直线上，PD∥y轴， 故点， 当时，， 解得：或； （3）解：存在，理由： 设点，而点， ∵轴，交直线于点F， ∴点P、F的纵坐标相同，故点， ∵A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形， 则， 即， 解得：或， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质、坐标与图形、解绝对值方程等，其中坐标与图形和绝对值的运用，是本题解题的关键． 【题型9一次函数存在菱形求动点坐标】 32．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应），直线交直线于点G．    (1)求直线的解析式； (2)点P为y轴上一动点，若，求点P的坐标； (3)如图2，直线，交x轴，y轴于F，E两点，点N为平面直角坐标系内一点．若以A，E，F、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据旋转及全等三角形的性质确定点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式； （2）联立方程组求点G坐标，然后利用三角形面积公式列方程求解； （3）结合菱形的性质分情况讨论求解． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入函数解析式可得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立方程组，解得， ∴ 设，则， 解得， ∴或 （3）解：由，设直线的函数解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴，， 当为对角线时，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 当为菱形的对角线时，此时， ∴， 解得，， 当时，，， ∴， ∴， 同理，当时，， 当为菱形的对角线时， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 综上，符合条件的N点坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质，菱形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． 33．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，且．点是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）设点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出的坐标． 【答案】（1）b＝2；（2）（，）或（-，）；（3）（−2，1）或(，)或(，)或(，)． 【分析】（1）利用矩形的性质，用b表示点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）首先求出四边形OAED的面积，再分两种情况求出△ODM的面积，即可解决问题； （3）由以、、、为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论：①当OD为菱形对角线时，当OM为菱形对角线时，③当DM为菱形对角线时，分别求出M的坐标，进而即可求解． 【详解】解：（1）中，令x＝0，解得y＝b，则点D的坐标是（0，b），OD＝b， ∵OD＝BE， ∴BE＝b， 则点E的坐标为（2，3−b）， 把E点坐标代入，得：3−b＝−1＋b， 解得b＝2； （2）∵S四边形OAED＝（OD＋AE）•OA＝×（2＋1）×2＝3， ∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3， ∴当点M在线段DE上时，S△ODM＝，当点M在线段ED的延长线上时，S△ODM＝， 设点M的横坐标是a，则•2a＝或•2×(-a)＝ 解得a＝或-， 把x＝a＝或-代入，得：y＝或， ∴点M的坐标是（，）或（-，）； （3）①当OD为菱形对角线时，如图，点M的纵坐标是1． 把y＝1代入直线，得，解得x＝2， 则点M的坐标是（2，1）， ∵四边形OMDN是菱形， ∴M、N关于y轴对称， ∴点N的坐标是（−2，1）； ②当OM为菱形对角线时，如图，则DM=DO=2 设M(m，)， ∴，解得：或， ∴M(，)或M(，)， 设N(x，y)， ∴x=，y=-2=或x=，y=-2=， ∴N(，)或N(，)； ③当DM为菱形对角线时，如图，则MO=DO=2， 同理：，解得：或m=0（舍去）， ∴M(，)， 设N(x，y)， ∴x=，y=+2=， ∴N(，)． 综上所述：点N的坐标是（−2，1）或(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、菱形的性质、四边形的面积等知识，解题的关键是掌握菱形的性质进行分类讨论，掌握一次函数图像上点的坐标特征，用点的坐标表示线段长，属于中考压轴题． 34．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴点B，C且与直线交于点A， (1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________； (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线的解析式为 (3)存在，点Q的坐标为或或（2，- 2） 【分析】（1）根据的表达式即可求出B、C两点的坐标. （2）设点D的坐标为由，先求出D点的横坐标，再代入中求出纵坐标即可. 设直线的解析式为将D点坐标代入求出k的值，即可得到直线的函数表达式. （3）设点，分情况讨论：①若以为边时，四边形是菱形，列出关于a的方程求出a的值，即可求出点Q的坐标.②当四边形 是菱形时，画出图形，先写出P点的坐标，则易得Q点的坐标.③当与互相垂直平分时四边形是菱形，画出图形，先写出P点的坐标，则易得Q点的坐标. 【详解】（1）由得， 时， 时，         ∴点B的坐标为，点C的坐标为. （2）设点D的坐标为 ∵的面积为6， ∵D是线段上的点， ∴点 设直线的解析式为 ∴直线的解析式为 （3）若以为边，设点 ①如图1， 当时，四边形是菱形， ∴点 ②如图2，当 四边形 是菱形时， ∴点 ∴点 ③若为对角线，如图3 当与互相垂直平分时以为顶点的四边形是菱形， ∴点P的纵坐标为2 ∴点P的坐标 ∴点 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何图形的相关问题.利用图形的面积求点的坐标，以及用分类讨论法求特殊四边形中点的坐标.解题的关键是要学会分类讨论及数形结合法，正确的画出图形，不要漏解. 35．如图，直线与直线相交于轴上一点，点是直线上的一个动点（不与点C重合），过点P作轴交直线于点M．设点P的横坐标为m． （1）直接写出点P，M的坐标P ，M （用含m的式子表示）； （2）若的面积为，求的值； （3）试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形？若存在，求出m的值，并直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，或或，N的坐标为或或 【分析】（1）根据点P，M所在的直线函数解析式，即可得到答案； （2）过点作于点，用含m的表达式表示CE，PM的长，列出方程即可求解； （3）分两种情况：①当以OC为对角线时；②当以为对角线时，分别列出方程求解，即可． 【详解】解：（1）∵点P的横坐标为m， ∴，， 故答案是：，； （2）过点作于点．则，，依题意得，， ∴； （3）存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形． ①当以OC为对角线时，则MN垂直平分OC， ∴， ∴，，． ②当以为对角线时，则，过点作轴上于点， 在中，由勾股定理得，，即， ∴， ∴或， 综上所述，当或或时，以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形．点N的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与平面几何的综合，掌握函数图像上点的坐标特征，菱形的性质，是解题的关键． 36．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于A． (1)分别求出A、B、C的坐标； (2)若D是线段上的点，且的面积为3，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A（－3，），B（－6，0），C（0，3）； (2)y＝x＋3； (3)点Q的坐标为（，）或（，）或（－3，3）． 【分析】（1）在中，分别令x＝0，y＝0可求出点C、B的坐标，联立两函数解析式可求出点A的坐标； （2）由△COD的面积为3，列出式子求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线CD的函数解析式； （3）分情况讨论：①当OC是对角线时，可得点P、Q在OC的垂直平分线上，求出P点坐标可得Q点坐标；②当OC是边，OP是对角线时，根据CP＝CO列式求出P点坐标，进而可得Q点坐标；③当OC是边，OP也是边时，此时菱形OPQC是正方形，进而可得Q点坐标． 【详解】（1）解：在中， 当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，x＝－6， ∴B（－6，0），C（0，3）， 联立，解得：， ∴A（－3，）； （2）设D（x，）， ∵△COD的面积为3， ∴， 解得：x＝－2， ∴D（－2，1）， 设直线CD的函数表达式为：y＝kx＋b（k≠0）， 把C（0，3），D（－2，1）代入得：， 解得：， ∴直线CD的函数表达式为：y＝x＋3； （3）分情况讨论： ①当OC是对角线时，如图，点P、Q在OC的垂直平分线上， 则点P、Q的纵坐标为， 把代入y＝x＋3得：， ∴P（，）， ∴Q（，）； ②当OC是边，OP是对角线时，如图， 设P（a，a＋3）， 由CP＝CO得：， 解得：或（舍去）， ∴P（，）， 设Q（x，y）， 则，解得：， ∴Q（，）； ③当OC是边，OP也是边时，如图， ∵∠POC＝90°， ∴此时菱形OPQC是正方形， ∵OP＝OC＝3， ∴Q（－3，3）， 综上所述，点Q的坐标为（，）或（，）或（－3，3）． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解一元二次方程，正方形的判定和性质等知识点，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $