专题12 一次函数与动点几何 专项练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题12 一次函数与动点几何 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 三角形相关动点几何】 1 【类型2 平行四边形相关动点几何】 16 【类型3 矩形相关动点几何】 37 【类型4 菱形相关动点几何】 54 【类型5 正方形相关动点几何】 71 【类型1 三角形相关动点几何】 1．如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，当时，的面积取得最大值 (3)或 【详解】（1）解：当时，， 如图，当时， ，，， ，， 设在中，边上的高为， ，， ， ，即， ； （2）解：函数图象如图， 性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小； （3）解：或，理由如下： 直线与的图象只有一个交点，如图， 当时，，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 把代入直线得，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 若直线与的图象只有一个交点，或． 2．如图，在中，，，，是中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动．设运动时间为秒，点到直线的距离与点到点的距离之和记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与函数的图象有两个公共点时的取值范围． 【答案】(1)； (2) 如图，函数的图象如图所示； 性质：当时随的增大而减小（答案不唯一）． (3)． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 当时，， ∴， 如图，过作于，过作于， ∴， ∴， ∵，于， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴． 综上所述， ． （2）略 （3）解：如图， 当直线与经过点时，， 当直线与经过点时，，则， 结合图象可知，直线的图象与函数的图象有两个公共点时的取值范围是． 3．在中，，，，点沿以每秒个单位长度速度运动．点运动时间为秒，的面积记为，回答下列问题： (1)请直接写出与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与函数图象有2个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)性质：当时，随的增大而增大； (3) 【分析】（1）分两种情况讨论：在上和在上，根据勾股定理和面积法即可求解； （2）根据题意画出图象即可解答； （3）结合函数图象即可求解． 【详解】（1）如图，当时，点在上， 在中利用勾股定理，得， ∵， ∴， 如图，当时，点在上， 过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，； （2） 由图象可知，当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，有最大值； （3）如图： 若直线与函数图象有个交点，则直线在直线与之间， 直线过点，则； 直线过点，则； ∴的取值范围为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了直角三角形的性质、勾股定理、一次函数的图象和性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位，动点Q以每秒个单位长度的速度同时从点C出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q距离大于5个单位长度时x的取值范围． 【答案】(1) (2) 如图，函数图象如下： 性质：当时，函数最大值为； (3)点P，Q距离大于5个单位长度时，． 【分析】（1）根据勾股定理先求解，由运动速度可得时间界点为时，分两种情况：当时，当时，再进一步解答即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的图象即可得出其性质； （3）利用分别求解时间，再结合图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当时，点P在上，点Q在上，，， ∴， 即（） 当点P与点Q在上相遇时， ，解得：， 当时，， ∴； （2）略 （3）解：当时， ∴，解得：， 当时，解得：， 当点P，Q距离大于5个单位长度时，． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，勾股定理的应用，正确理解动点问题是解题的关键． 5．如图，在中，，，，点为的中点，连结，动点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿折线运动，当点在点时停止运动，设运动的时间为秒，记点到线段的距离为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的值． 【答案】(1) (2) 描出这两点，连接这两点 该函数图象过原点的一条直线 (3) 【分析】（1）过点作于点，表示出，求出的长度，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，进而得到，进而得到的取值范围，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式． （2）描出两个点，连接这两个点即可画出函数图形，根据图象写出一条函数的性质； （3）把代入函数解析式求解． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图 由题意得， 在中，，，， ． 点为的中点， ， ， ． ，， ， ， ， ． （2）解：取时，，时，， 它是过原点的一条直线． （3）解：当时， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，函数解析式的求法，画函数图象，求函数的自变量的取值范围，求自变量的值．求出函数解析式是解答关键． 6．如图，中，，，，点D为上一点，且，动点E从D点出发，E沿折线运动，当E点到达B点时停止运动，设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积大于4的x的取值范围． 【答案】(1) (2)如图， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 (3) 【分析】本题考查用描点法作函数图象、勾股定理、一次函数的应用，（1）利用勾股定理求得，分类讨论：当时，点E在上运动，当时，点E在上运动，利用三角形面积公式求解即可； （2）利用描点法作图，再根据图象求解即可； （3）观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当时，点E在上运动， 则， ∴； 当时，点E在上运动， 则， ∴， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：由图可得，当时，的面积大于4． 7．如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值． 【答案】(1) (2) 函数的图象为， 性质：当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一） (3)1或4 【分析】（1）分类讨论，表示出底和高，直接求解即可； （2）画出正比例函数和一次函数的图像，找出两点，连接即可，注意端点是空心，性质可以写正比例函数和一次函数的性质即可； （3）从图像直接观察即可求解． 【详解】（1）解：如图：当， 如图：当时， ∴， 综上所述：； （2）略 （3）解：观察图象可得时或． 【点睛】本题考查了求函数解析式的求解，画函数图像，已知函数值求自变量的值，正比例函数和一次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．如图，设是边长为6个单位长度的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E在边上运动到B后折返，点F在边上运动到C后折返，折返时间忽略．已知动点E、F在折返前都是每秒1个单位长度运动，折返后都是每秒2个单位长度运动，当返回到点A时运动停止．设运动时间为x秒，点E、F之间的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E、F的距离超过4个单位长度时x的取值范围． 【答案】(1) (2) 图象如图所示： 当时，该函数有最大值，最大值为； (3) 【分析】本题考查了函数在几何中的应用，涉及了等边三角形的性质，抓住是等边三角形是解题关键． （1）由题意得是等边三角形，分类讨论、两种情况即可求解； （2）根据函数解析式即可描点作图； （3）确定点E、F的距离为4个单位长度时x的取值即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： ∵ ∴是等边三角形 当时，； 当时，； ∴ （2）略 （3）解：由图可知：当或时，点E、F的距离为4个单位长度 故：当时，点E、F的距离超过4个单位长度 【类型2 平行四边形相关动点几何】 9．如图1，在平行四边形中，，，，动点从点出发，沿折线运动，设的运动路程为，运动时间为（），的面积为（）． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若函数与函数有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)如图： 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．（答案不唯一） (3) 【分析】（1）过点作交延长线于点，分两种情况：当点在上，和点在上时，根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据题意列表描点画图即可，根据图象写出一条性质即可； （3）根据图象，找到临界位置即可作答． 【详解】（1）解：①当点在上时，即， 在中，， 根据题意得：，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∴． 当点在上时， 即， 如图，过点作交延长线于点， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，与的函数关系式为：． （2）解：列表如下： 0 2 5 9 6 3 6 图象如图， 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．（答案不唯一） （3）解：如图，当函数经过点时，恰好与函数有两个交点，当函数经过点时，与函数没有交点， 将点代入，得，解得， 将点代入，得，解得， ∴的取值范围为． 10．如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．    (1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； (2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 【答案】(1) (2) 解：根据（1）的函数关系式描点如下， 0 1 2 3 4 5 …… 4 2 0 - - - - - 0 1 2 3 作图如下，    性质，当0≤ x<2时，y随x的增大而减小；当2＜x≤8时，y随x的增大而增大； (3)自变量的取值范围为： 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，作图的方法，根据一次函数图象求不等式解集，掌握以上方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解； （2）运用描点，连线的方法即可求解； （3）根据图示即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴是直角三角形，且， 设，， ①当点在线段上时，即， ∵， ∴， ∴； ②当点与点重合时，即，如图所示，    ∴，即； ③当点在线段上时，即，如图所示， ∵，， ∴，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，与的函数表达式以及对应的的取值范围为：； （2）略 （3）解：如图所示，    根据图示，交点坐标为，， ∴当时，， ∴自变量的取值范围为：． 11．如图，平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线B→A→D运动，在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线BC的距离与点P到点A的距离之和记为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有两个公共点时m的取值范围． 【答案】(1) (2) 解：画图，如下： 当时，有最小值为2 (3) 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了平行四边形的性质，含的直角三角形的性质、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （1）分点P在和上讨论即可； （2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形中，，，， ∴，，， 当时，，， ∴， ∴； 当时， 过点A作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， 把代入，得， 如图所示， 观察函数图形可得当时，的图象与的图象有两个公共点. 12．如图1，在平行四边形ABCD中，，，，点E为AD中点，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向运动，当动点P返回到A点时停止运动．动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿方向运动，到达点B时停止运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为x秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出、关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围为______． 【答案】(1)， (2) 函数图象如图    ①函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线； ②当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； ③函数在自变量取值范围内，有最大值，当时函数取最大值4，无最小值（任意写出一条性质即可）； (3) 【分析】（1）过点作交于点，过点作交延长线于点， 点P分两种情况：点P从运动和点P从运动，分别确定三角形的底和高求解即可；点Q从运动，直接确定三角形的底和高求解即可； （2），都是一次函数，只需描两个点即可画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）先联立函数表达式建立方程组，确定交点的横坐标，再利用确定在上面的范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点，   点E为中点，，， ，， 是平行四边形， ，，， ， 当点P从运动时，， 此时，，， ； 当点P从运动时，， 此时，， ； ∴； 当点Q从运动时，， 此时，， ， ∴； （2）略 （3）解：， 解得：， 由（2）中函数图象知： 当时， x的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键． 13．如图，在平行四边形中，，，，若点从点出发，沿着方向运动，已知点的运动路程为，将的面积记为完成下列问题：         (1)直接写出与之间的函数表达式以及对应的的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出与的函数的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，函数图像的性质，三角形面积等知识点，利用分类讨论解决问题是解题的关键． （1）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解； （2）直接作图即可，按性质写出一条合理即可； （3）由图像可直接求出． 【详解】（1）解：①点运动到上时，过作垂足是， 在中，，， ， ∴， ∴当时，， ②点运动到上时，过作垂足为， 在中，，， ， ∴， ∴当时，． 综上：， 故答案为：． （2）略 （3） 由图可知，时，如图中的红线， ∴的取值范围是：． 14．如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围． 【答案】(1) (2) 画图，如下： 当时，有最小值为3； (3)或 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了平行四边形的性质，含的直角三角形的性质、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （1）分点P在和上讨论即可； （2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形中，，，， 如图，过点A作交的延长线于点M， ∵，， ∴， ∵，， 当时，，， ∴； 当时，如图，， ∵，， ∴ ∴， ∴； （2）略 （3）解：把代入，得， 把代入，得， 把代入，得， 如图所示， 观察函数图形可得当或时，的图象与的图象有1个公共点． 15．如图，在平行四边形中，，，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动到点停止，点沿折线方向运动到点停止（点可以与线段端点重合），设运动时间是（秒），点的距离是． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数图象如图，    性质：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，得出总的运动时间为7秒，分两种情况：当时，当，当时，根据等边三角形的性质解答即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质； （3）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，，， ∴，，，， ∴， ∴总的运动时间为：秒， 当点P在，点Q在上运动时，即时， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当点Q在，点P在上运动时，即时， 如图，过点B作于E，过点P作于点F，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， 根据题意，得，， ∴， ∴， 即； 当点Q在，点P在上运动时，即时， 如图所示：    ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上可得：； （2）略 （3）解：当时，， 当时，，解得， 由图象可知，当时，． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的性质及等边三角形的判定和性质等知识，正确理解动点问题是解题的关键． 16．在平行四边形中，，，，点P从A点出发，沿着做匀速运动，到达点D时，停止运动，过点P作，交直线于点Q，设点P的运动路程为x，线段的长为y（点P与点A，D重合时，的长为0）．    (1)请直接写y与x的间的函数表达式，注明自变量x的取值范围，并在给出的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合图象，在点P的运动过程中，当线段的长时，自变量x的取值范围为______． 【答案】(1)， 图象如图，      (2)当时，y随x增大而增大，当时，，当时，y随x增大而减小 (3) 【分析】（1）当时，根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半即可得出与之间的关系式；当时，过点作于点，先利用直角三角形的性质求出的长，再证四边形是平行四边形，即可得出；当时，根据平行四边形的性质得出，然后求出的长，从而利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半即可得出与之间的关系式；根据与之间的关系式画出图象即可； （2）根据图象写出一条性质即可； （3）根据函数图象直接得出答案即可． 【详解】（1）解：如图1，当时，   ， ， ， ， 由题意得，，， ； 如图2，当时，过点作于点，   ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 即； 如图3，当时，   四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 由题意得，， ； 综上，， （2）当时，随的增大而增大，当时，，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）当时，由图象可知当时，； 当时，由图象可知当时，； 当线段的长时，自变量的取值范围为， 故答案为：． 【类型3 矩形相关动点几何】 17．如图，矩形 中，，连接 ，，点从点出发沿着（不含、两点）运动，当点到达点时停止运动，连接，设点的运动路程为，记． (1)直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数的图象，当函数的图象与有2个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)；当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理可求出，再分两种情况：当时，点P在线段上，当时，点P在线段上，分别求出的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应函数的增减性即可； （3）求出函数的图象恰好经过点和点时k的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上， ∴； 综上所述，； （2）解：函数图象见解析， 由函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； （3）解：当函数的图象恰好经过点时，则，解得， 当函数的图象恰好经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时，函数的图象与有2个交点． 18．如图1，在矩形中，，．点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当到达点时速度变为每秒个单位长度；点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时速度变为每秒个单位长度，它们同时从点出发后，首次相遇时都停止运动整个运动过程中不考虑的情形．设点、点运动时间为秒，线段的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数表达式并注明对应的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) 函数的图象如图， 性质：关于直线 对称； 当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； (3) 【分析】（1）分类讨论，利用勾股定理求解，当时，根据在上，用的长减去，即可； （2）依据题意画出图象即可得解； （3）找出临界值，结合函数图象，进而求解即可． 【详解】（1）解：在中， ， 点从到需要：秒，点从点到需要：秒， 相遇时为秒， 当时， ， 即； 当时，， 即； 综上，； （2）略 （3）如图， 当经过时，两个函数有一个交点， ∴ 解得：， 直线向下平移，此时与的函数图象开始有两个交点， 当经过时，两个函数有一个交点， 解得：， 综上，当的函数图象与直线有两个交点时，． 故答案为： 19．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动．当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒（），记的面积为，的长度为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2) 解：函数，图象如下： 由函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；（答案不唯一） (3) 【分析】（）分和求出关于的函数表达式，再根据题意求出关于的函数表达式即可； （）利用两点法画出函数图象，再根据函数图象写出函数的一条性质即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了求一次函数解析式，画一次函数的图象，一次函数与不等式，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； ∴， ∵点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动， ∴； （2）略 （3）解：由函数图象可知，当时，的取值范围为． 20．如图1，在矩形中，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，设点的运动时间为的面积为． (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围： (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 如图，即为所求， 当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小 (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识． （1）分两段分别写出函数关系式及其自变量取值范围即可； （2）用两点法画出函数图象，写出性质即可； （3）根据图象进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴函数图象过点， 当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小； （3）解：如图，当直线过点时，； 当直线过点时，； ∴当，直线与（2）中的函数图象有两个交点． 21．如图，在矩形中，，，点P是边上的动点，点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿方向运动到C点停止．连接，，设点运动的时间为x秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 下图即为所求： 一次函数图象中，随x的增大而增大，一次函数图象中，随x的增大而减小 (3) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、列一次函数解析式、一次函数与不等式， （1）由题意得，，，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）利用描点法作函数图象，再根据图象确定函数的增减性； （3）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴，； （2）解：当时，，； 当时，，； 如图，一次函数图象中，随x的增大而增大，一次函数图象中，随x的增大而减小； （3）解：由图象可得，时，． 22．如图，矩形中，，，点E是中点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿折线方向运动，到达点C时停止运动（点M不与点A、点C重合），设点M的运动时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2) 画出的图象如下： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3) 【分析】本题主要考查了四边形的综合运用，涉及一次函数的图象与性质，矩形的性质，解题的关键是分类讨论，数形结合． （1）当时，点在上，根据题意得，根据求解；当时，点在上，，，根据求解； （2）当时，；当时，；当时，；描点即可画出图象，根据图象即可写出函数的性质； （3）分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴， 当时，点在上，如图： 根据题意得，点到的距离为的长为， ∴； 当时，点在上，如图： 根据题意得，， ∴ ； 综上，； （2）解：当时，；当时，；当时，； 由图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：令， 解得：； 令， 解得：， ∴时x的取值范围为． 23．如图1，在矩形中，．动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止，过点P作交矩形一边于点Q．设点P运动时间为x秒，线段的长度为，请回答下列问题： (1)请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) 绘制函数图象如下： 当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； (3)当时，与x的函数图象与直线有两个交点． 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质等知识，掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质得出比例，进而得出一次函数的解析式即可； （2）根据一次函数的解析式画出图象，然后根据图像分析性质即可； （3）先根据函数图象确定临界点，最后根据临界点即可解答．． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：当点P在之间，即时， 设点P运动时间为x秒，线段的长度为，则； ∵， ∴， ∴， 当点P在之间，即时， 设点P运动时间为x秒，线段的长度为，则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，； （2）解：函数y的性质有：当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； （3）解：如图：当直线过点时， ∴，解得：， 当直线过点时， ∴，解得：， ∴当时，与x的函数图象与直线有两个交点． 故答案为：． 24．如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出x关于y的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数图象如图所示， 当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； (3)当时， 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）根据（2）中图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 点E为边的中点，点F为边的三等分点， ，，， 当点P在上时，如图， 则，，解得， ， 的面积 ； 当点P在上时，，如图， 则，， 的面积 ， ； （2）略 （3）解：由（2）中图形可知，当时，． 【类型4 菱形相关动点几何】 25．如图1，已知菱形的面积为20，过点作，点以每秒钟1个单位的速度沿折线方向运动，运动时间为，连接的面积为，点运动的一半路程与线段长度之和为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)；； (2) 函数图象如下所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3) 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴点A到的距离等于点A到的距离，点C到的距离等于点A到的距离； 当点F在线段上，即时，，则， ∴； 当点F在线段上，即时，，则， ∴； 综上所述，； （2）解：由函数图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：当时，解得， 当时，解得， 由函数图象可得，当时，的取值范围为． 26．如图，在菱形中，对角线交于点，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与之间的函数解析式以及对应的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合函数图象，直接写出的面积为3时的值． 【答案】(1) (2) 由此可作图象为： 由图象可得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质、菱形的性质等知识点，利用三角形面积公式列出函数表达式是解题的关键． （1）利用菱形的性质表达出各边的长度，再利用三角形面积公式列出函数表达式即可； （2）根据函数表达式作图，再由图象分析出性质即可； （3）令，分别代入解析式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，． ∴，，， ∴在中，， ∴在中，边上的高， ∵点的运动速度为每秒1个单位长度， 当在上移动时，则 ∴； 当在上移动时，则， ∴， 综上． （2）解：把代入可得：， ∴函数过点； 把代入可得：， ∴函数过点； （3）解：当在上移动时，令，可得，解得：； 当在上移动时，令，可得，解得：． 综上，或． 27．如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2) 如图所示； 当 时，随的增大而增大； (3) 【分析】本题属于一次函数 综合题，考查了菱形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题. （1）分两种情形：当时，当时，分别求解即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）利用图象法判断即可. 【详解】（1）∵四边形是菱形， ， ， ①当点在线段上时，过作于， ， ， ； ②当点在线段上时， 如图， ， ， 综上所述，； （2）略 （3）∵与的图象与的函数图象有两个交点， ∴当经过时， 与的图象与的函数图象有两个交点， 把代入得， ， 当与的图象经过时，即 ， ， ∴一次函数 的图象与的函数图象有两个交点，的取值范围为 28．如图，在菱形中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线运动（含端点），到达点停止运动，过点作交的一边于点，并过点作交直线于点，设点的运动时间为秒，，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合所画函数图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)； (2) 解：画图如下，由图象可得，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (3)或． 【分析】（）由菱形的性质可得到，进而得到，，再分两种情况解答即可求解； （）根据函数解析式利用两点法画出函数图象，并根据图象写出的一条性质即可； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数与不等式，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，即时，， ∴； 当点在上运动时，即时，， ∴； 综上，； （2）略 （3）解：由函数图象可得，当或时，． 29．如图，菱形中，、交于，，，动点从菱形的点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为（），的长为，的长为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出关于的函数图象，并写出它的一条性质； (3)直接写出当时的值． 【答案】(1)； (2)解：①令，则；令，则；将这两点在坐标轴中找出，并连线．　 ， 在点处取空心点，如图左侧线段所示． ②当，时，令，则；令，则；将这两点在坐标轴中找出，并连线， ， 在处取空心点，如图右侧线段所示． 性质：时，随的增大而减小；时，随的增大而增大． (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质推出和长度以及二者的位置关系，根据勾股定理即可求出的长度，结合已知条件分情况讨论，①当点在上运动时②点在上运动时，即可求出关于的函数表达式． （2）根据第（1）问的函数表达式，找出满足条件的点，在直角坐标系上描点并连线，即可画出函数图像，再根据图像的增减性即可写出其中一条性质． （3）利用菱形的性质和面积法求出中以为底对应的高，然后根据证明等腰，利用其性质求出长度，用勾股定理求出用表示的长度，最后利用面积相等，列关于的方程，解出即是长度，分情况讨论①当点在上运动时，利用即可求出的值，②点在上运动时，利用即可求出的值． 【详解】（1）解：为菱形，，， ，，，， 在中，， ． ①当点在上运动时，点的运动路程为， ， 的长为， ②点在上运动时，点的运动路程为， ， 的长为， ． （2）解：略 （3）解：①当点在线段上时，过点作，过点作，如图所示， 为菱形， ， ， ，，， ． ， ， 为等腰三角形， ， ， 在中，． ， ， ， ， 或（舍去） ， ． ②当点在线段上时，过点作，过点作，如图所示， 为菱形， ， ， ，，， ． 按照①的方法同理可证即， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，函数的图像，勾股定理，面积法，等腰三角形的判定和性质，解题的关键就是在画图和求值时要分情况讨论． 30．如图，在菱形中，，动点M，N均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点M沿折线A→D→C方向运动，点N沿折线A→B→C方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M，N的距离为y．           (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点M，N相距超过3个单位长度时x的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数图象如图：    当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，得出总的运动时间为秒，分两种情况：当时，当时，根据等边三角形的性质解答即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质； （3）结合图象利用分别求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形，， ∴，， ∴总的运动时间为：秒， 当点M在，点N在上运动时，即时， 连接，    由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当点M在，点N在上运动时，即时，如图所示：是等边三角形， ∴， ∴；    综上可得：； （2）对于，当时，， 对于，当时，， 当时，y随x的增大而增大； （3）当时，即； 当时，即，解得， ∴由图象得：点M，N相距超过3个单位长度时，． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质，正确理解动点问题是解题的关键． 31．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿着折线A→O→B运动，速度为每秒1个单位长度，到达B点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y．    (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时t的取值范围． 【答案】(1) (2) 画图如下：    性质：当时，y随t的增大而增大（或函数在自变量的取值范围内，有最大值．当t=5时，最大值为6）； (3) 【分析】（1）由四边形是菱形，得到，，分别求出和时的函数解析式即可； （2）根据画出的y与t的函数图象，写出它的一条性质即可； （3）求出当时，，根据图象即可得当时t的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，， 当时，， 当时，， ∴； （2）略 （3）当时，，解得， 根据图象可得当时，t的取值范围是． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、函数解析式、菱形的性质等知识，正确列出函数解析式是解题的关键． 32．如图，四边形是边长为6的菱形，，动点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C→B方向运动，点Q沿折线A→B→C→D方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点P，Q两点间的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q相距3个单位长度时t的值．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 函数图象如图所示：    根据图象可得：当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； (3)1.5或3.5 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，求出点运动时间为6秒，分和两种情况，根据等边三角形的判定和性质解答即可； （2）根据函数的解析式即可画出函数图象，根据增减性即可得到函数的性质； （3）结合图象或当时，代入关系式求解即可． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴，， 根据题意可得：运动的总时间为秒，、 则当时，有， ∴是等边三角形， ∴， 当时，如图，有， ∴是等边三角形， ∴， ∴；    （2）略 （3）当时，或， 解得：或； 所以P，Q相距3个单位长度时t的值为1.5或4.5． 【类型5 正方形相关动点几何】 33．如图，正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点．动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．设点P运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式． ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围： ． 【答案】(1) (2)当时，y随着x的增大而增大 (3) 【分析】（1）理解题意，分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）根据（2）中图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：在正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点． ∴，，， 当点P在上时，如图， 则，， ∴， ∴的面积 ； 当点P在上时，，如图， 则， ∴的面积 ； 综上所述： （2）解：由（1）得， 当时； 当时； 即经过点； 当时，； 当时； 即经过点； 如图： 观察函数图象，得当时，y随着x的增大而增大， （3）解：令，则， ∴， 解得； ∴经过， 令，则， ∴经过， 如图， 由图象知，当时，x的取值范围为， 34．如图1，正方形的边长为，对角线，交于点O，点P从点A出发，沿线段运动，点P到达点B时停止运动，若点P运动的路程为，的面积为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2中画出函数图象，并写出一条性质； (3)若直线与此函数图象有且只有一个公共点，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2) 如图所示，当时，函数值y随着x的增大而减小. 当时，函数值y随着x的增大而减小 (3)或 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，且， 根据勾股定理，得， 即. 根据题意，得，则， 当时，； 当时，. 综上所述：； （2）解：列表如下： x 0 2 4 y 4 2 4 如图所示，当时，函数值y随着x的增大而减小. （3）解：或时. 当直线经过点时，； 当直线经过点时，； 当直线经过点时，. 所以当或时，直线与此函数图像有一个公共点. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，求一次函数关系式，两条直线的交点问题，画一次函数图像，找到临界点是解决（3）的关键. 35．如图，四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线方向运动，到达C点停止，在上和边上的运动速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒， 的面积为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为3时t的值． 【答案】(1) (2) 解：如图所示：      当时，y随t的增大而减小； (3)或 【详解】（1）解：①当时，动点P在上运动， 作，如图所示： ∵， ∴ ∵O是正方形的中心， ∴ ∴； ②当时，动点P在上运动， 作，如图所示： 此时， ∵O是正方形的中心， ∴ ∴； 综上所述： （2）略 （3）解：作出直线，如图所示：；    可知直线与函数的图象的交点横坐标为和 ∴的面积为3时，或． 36．如图1，在边长为的正方形中，为中点，动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点以每秒个单位的速度，从点出发，按的方向运动至点停止，当动点停止运动时动点也停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为．    (1)求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图像，并根据图像写出函数的一条性质； (3)当时，求的值． 【答案】(1)， (2)由（1）可知，，， 如图所示，   的函数图像，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；的函数图像，当时，随的增大而增大． (3)当时，或 【详解】（1）解：边长为的正方形中，为中点，点以每秒个单位的速度运动，点以每秒个单位的速度运动，运动时间为， ∴，，，，， ∴点从的时间为：，点从的时间为：， 点运动的过程， ①当在上运动时，，， ②当在上运动时，，如图所示，   ， ∴点在运动过程中； 点运动的过程，， 综上所述：，． （2）略 （3）解：由（2）的图像可知， 当时，， ∴，解得，； 当时，， ∴，解得，； 综上所述，当时，或． 37．在正方形中，，动点从点A出发，沿着匀速运动到点时停止运动，速度是每秒1个单位，设点的运动时间是，线段的长度为．    (1)请直接写出与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象； (2)请写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，在点的运动过程中，当时，自变量的取值范围为__________． 【答案】(1)， 画函数图象如下： (2)函数图象关于直线对称；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (3)或 【详解】（1）解：当点P在上时，即时，，即； 当点P在上时，即时，，即， 综上，； 在中，令，则；令，则， 在中，令，则；令，则， （2）解：由图象可知：此函数图象关于直线对称；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； （3）解：在中，当时，解得，此时， 在中，当时，解得，此时， 综上，当时，自变量的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了求动点问题的表达式，画函数图象及函数图象的性质，求不等式的解集，分段讨论是解决本题的关键． 38．如图，四边形是边长为6的正方形，是正方形的中心，动点从点出发沿折线方向运动，到达点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2) 如图，即为所画的函数图象， 性质：当时，y随t的增大而减小； (3) 【详解】（1）解：①当时，如图，动点P在上运动，作于H， ∵， ∴， ∵是正方形的中心， ∴， ∴； ②当时，如图，动点P在上运动，作， ∵， ∵是正方形的中心， ∴， ∴； ∴； （2）略 （3）解：∵一次函数是平行于的直线， ∴当经过时，解得：； 当经过时，解得：； ∴当时，一次函数的图象与y的图象有两个交点， 故答案为：． 39．如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，当点P运动到点D时停止运动，连接、，记点P运动的路程为x，的面积为y． (1)分别写出y与x之间的关系式，注明自变量x的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出这个给函数的图像； (2)观察函数图像，写出该函数的一条性质； (3)结合所画图像直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)，图像见解析 (2)函数图像关于直线对称（答案不唯一） (3)或 【详解】（1）解：当点P在上时，即时， ； 当点P在上时，即时， ； 当点P在上时，即时， ； 综上：y与x之间的关系式为：； 画图如下： （2）由图可知：函数图像关于直线对称（答案不唯一）； （3）由图可知：当，时，， ∴当时，x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，函数的图像和性质，解题的关键是根据运动情况准确列出函数表达式． 40．如图1，正方形中，，动点E、F分别从点B、A出发，点E沿着运动，到达D点停止运动，点F沿着运动，到达C点停止运动，连接，已知点E、点F的运动速度均为每秒1个单位，设，运动时间为x秒，请回答下列问题： (1)直接写出与x之间的函数关系以及对应自变量x的取值范围； (2)已知的函数图象已画出（如图2），在同一直角坐标系中画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图象写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)的图象关于对称，在时，随的增大而减小，在随增大而增大(答案不唯一) (3)或 【详解】（1）解：∵点、点的运动速度均为每秒1个单位， ， ， ， ， ； （2）解：根据图象可得， 图象如图所示： 函数的一条性质有：的图象关于对称，在时，随的增大而减小，在随增大而增大(答案不唯一)； （3）解：根据图象可得：当或时，． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 一次函数与动点几何 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 三角形相关动点几何】 1 【类型2 平行四边形相关动点几何】 5 【类型3 矩形相关动点几何】 9 【类型4 菱形相关动点几何】 13 【类型5 正方形相关动点几何】 17 【类型1 三角形相关动点几何】 1．如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 2．如图，在中，，，，是中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动．设运动时间为秒，点到直线的距离与点到点的距离之和记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与函数的图象有两个公共点时的取值范围． 3．在中，，，，点沿以每秒个单位长度速度运动．点运动时间为秒，的面积记为，回答下列问题： (1)请直接写出与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与函数图象有2个交点，请直接写出t的取值范围． 4．如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位，动点Q以每秒个单位长度的速度同时从点C出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q距离大于5个单位长度时x的取值范围． 5．如图，在中，，，，点为的中点，连结，动点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿折线运动，当点在点时停止运动，设运动的时间为秒，记点到线段的距离为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的值． 6．如图，中，，，，点D为上一点，且，动点E从D点出发，E沿折线运动，当E点到达B点时停止运动，设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积大于4的x的取值范围． 7．如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值． 8．如图，设是边长为6个单位长度的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E在边上运动到B后折返，点F在边上运动到C后折返，折返时间忽略．已知动点E、F在折返前都是每秒1个单位长度运动，折返后都是每秒2个单位长度运动，当返回到点A时运动停止．设运动时间为x秒，点E、F之间的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E、F的距离超过4个单位长度时x的取值范围． 【类型2 平行四边形相关动点几何】 9．如图1，在平行四边形中，，，，动点从点出发，沿折线运动，设的运动路程为，运动时间为（），的面积为（）． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若函数与函数有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 0 2 5 9 6 3 6 图象如图， 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 10．如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．    (1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； (2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 0 1 2 3 4 5 …… 4 2 0 - - - - - 0 1 2 3 11．如图，平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线B→A→D运动，在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线BC的距离与点P到点A的距离之和记为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有两个公共点时m的取值范围． 12．如图1，在平行四边形ABCD中，，，，点E为AD中点，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向运动，当动点P返回到A点时停止运动．动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿方向运动，到达点B时停止运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为x秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出、关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围为______． 13．如图，在平行四边形中，，，，若点从点出发，沿着方向运动，已知点的运动路程为，将的面积记为完成下列问题：         (1)直接写出与之间的函数表达式以及对应的的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出与的函数的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 14．如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围． 15．如图，在平行四边形中，，，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动到点停止，点沿折线方向运动到点停止（点可以与线段端点重合），设运动时间是（秒），点的距离是． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出当时的取值范围． 16．在平行四边形中，，，，点P从A点出发，沿着做匀速运动，到达点D时，停止运动，过点P作，交直线于点Q，设点P的运动路程为x，线段的长为y（点P与点A，D重合时，的长为0）．    (1)请直接写y与x的间的函数表达式，注明自变量x的取值范围，并在给出的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合图象，在点P的运动过程中，当线段的长时，自变量x的取值范围为______． 【类型3 矩形相关动点几何】 17．如图，矩形 中，，连接 ，，点从点出发沿着（不含、两点）运动，当点到达点时停止运动，连接，设点的运动路程为，记． (1)直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数的图象，当函数的图象与有2个交点时，直接写出的取值范围． 18．如图1，在矩形中，，．点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当到达点时速度变为每秒个单位长度；点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时速度变为每秒个单位长度，它们同时从点出发后，首次相遇时都停止运动整个运动过程中不考虑的情形．设点、点运动时间为秒，线段的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数表达式并注明对应的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 ． 19．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动．当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒（），记的面积为，的长度为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 20．如图1，在矩形中，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，设点的运动时间为的面积为． (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围： (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 21．如图，在矩形中，，，点P是边上的动点，点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿方向运动到C点停止．连接，，设点运动的时间为x秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围． 22．如图，矩形中，，，点E是中点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿折线方向运动，到达点C时停止运动（点M不与点A、点C重合），设点M的运动时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 23．如图1，在矩形中，．动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止，过点P作交矩形一边于点Q．设点P运动时间为x秒，线段的长度为，请回答下列问题： (1)请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是 ． 24．如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出x关于y的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，自变量x的取值范围． 【类型4 菱形相关动点几何】 25．如图1，已知菱形的面积为20，过点作，点以每秒钟1个单位的速度沿折线方向运动，运动时间为，连接的面积为，点运动的一半路程与线段长度之和为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 26．如图，在菱形中，对角线交于点，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与之间的函数解析式以及对应的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合函数图象，直接写出的面积为3时的值． 27．如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 28．如图，在菱形中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线运动（含端点），到达点停止运动，过点作交的一边于点，并过点作交直线于点，设点的运动时间为秒，，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合所画函数图象，直接写出时，的取值范围． 29．如图，菱形中，、交于，，，动点从菱形的点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为（），的长为，的长为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出关于的函数图象，并写出它的一条性质； (3)直接写出当时的值． 30．如图，在菱形中，，动点M，N均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点M沿折线A→D→C方向运动，点N沿折线A→B→C方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M，N的距离为y．           (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点M，N相距超过3个单位长度时x的取值范围． 31．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿着折线A→O→B运动，速度为每秒1个单位长度，到达B点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y．    (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时t的取值范围． 32．如图，四边形是边长为6的菱形，，动点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C→B方向运动，点Q沿折线A→B→C→D方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点P，Q两点间的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q相距3个单位长度时t的值．（结果保留一位小数） 【类型5 正方形相关动点几何】 33．如图，正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点．动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．设点P运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式． ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围： ． 34．如图1，正方形的边长为，对角线，交于点O，点P从点A出发，沿线段运动，点P到达点B时停止运动，若点P运动的路程为，的面积为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2中画出函数图象，并写出一条性质； (3)若直线与此函数图象有且只有一个公共点，请直接写出b的取值范围． x 0 2 4 y 4 2 4 35．如图，四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线方向运动，到达C点停止，在上和边上的运动速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒， 的面积为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为3时t的值． 36．如图1，在边长为的正方形中，为中点，动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点以每秒个单位的速度，从点出发，按的方向运动至点停止，当动点停止运动时动点也停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为．    (1)求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图像，并根据图像写出函数的一条性质； (3)当时，求的值． 37．在正方形中，，动点从点A出发，沿着匀速运动到点时停止运动，速度是每秒1个单位，设点的运动时间是，线段的长度为．    (1)请直接写出与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象； (2)请写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，在点的运动过程中，当时，自变量的取值范围为__________． 38．如图，四边形是边长为6的正方形，是正方形的中心，动点从点出发沿折线方向运动，到达点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围________． 39．如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，当点P运动到点D时停止运动，连接、，记点P运动的路程为x，的面积为y． (1)分别写出y与x之间的关系式，注明自变量x的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出这个给函数的图像； (2)观察函数图像，写出该函数的一条性质； (3)结合所画图像直接写出当时，x的取值范围． 40．如图1，正方形中，，动点E、F分别从点B、A出发，点E沿着运动，到达D点停止运动，点F沿着运动，到达C点停止运动，连接，已知点E、点F的运动速度均为每秒1个单位，设，运动时间为x秒，请回答下列问题： (1)直接写出与x之间的函数关系以及对应自变量x的取值范围； (2)已知的函数图象已画出（如图2），在同一直角坐标系中画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图象写出当时x的取值范围． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $