精品解析：山东省济南市商河县实验中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

九年级数学第二次月考数学试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 40 D. 80 3. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. D. 5. 设，，是抛物线（m为常数）上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为(　　) A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 7. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题4分，共20分） 11. 关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为________． 12. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 13. 如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．若，则点的坐标是 ____________________． 14. 如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，铅球出手位置的高度为，当铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值．铅球的行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，该二次函数的解析式为．若以过出手点且与地面垂直的直线为y轴，y轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则该二次函数的解析式为________． 15. 京剧是中国的一门传统文化艺术．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似的看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心M的坐标为．关于图形G给出下列五个结论，其中正确的是______（填序号）． ①图形G关于直线对称； ②线段的长为； ③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④当时，直线与图形G有两个公共点； ⑤图形G的面积小于． 三．解答题（本题共9道大题，共85分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2） 18. 如图，在菱形中，点M、N分别在、上，且，求证：． 19. 已知是坐标原点，A、的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； （2）的面积为_________． （3）若点在线段上，点对应点的坐标为_________． 20. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； （2）补全条形统计图； （3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 21. 祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点． （1）求点A位于最低点时与地面的垂直距离； （2）求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，） 22. 春节前，某厂家准备将一件工艺品投放市场，其成本价为60元/件，在试销过程中发现每天的销量y（件）与售价x（元）满足如图所示的函数关系． （1）写出y与x的函数关系式． （2）春节期间，该商品将正式上市销售，同时厂家规定每天的销售量不低于150件，请你制定一种销售策略：当售价定为多少时商家获得最大利润，并求出最大利润？ 23. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 24. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P的坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求三角形面积的最大值和此时点D的坐标． 25. 在矩形中，，，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转，交延长线于点G，以线段为邻边作矩形． （1）如图1，若E在线段上，连接，则______，______； （2）如图2，若E在线段延长线上，当点共线时，求线段的长； （3）如图3，若E在线段上，当时，在平面内有一动点P，满足，连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第二次月考数学试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 2. 已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：， ∴的周长的周长， 的周长为20， 的周长为40． 故选：C． 3. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，用列表法求出概率即可． 【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下： 小华\小丽 总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种， 则她们恰好选到同一个宣传队的概率是． 故选C 【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质与勾股定理可求出菱形的边长，再根据菱形的面积为对角线乘积的一半，或底乘以高可求出高． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ ∴在中， ∵或 ∴，即 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 5. 设，，是抛物线（m为常数）上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可知抛物线开口向上，且对称轴为．根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数线， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：． ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴点关于直线的对称点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为(　　) A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；根据题意得出，代入数据，即可求解． 【详解】如图可知：，， ，， ， ， ∴， 米，米，米， ∴， 解得：， 答：树高为米． 故选：A． 7. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、平行线的性质及相似三角形得判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线得性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：B． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点，判断出、、的正负，然后根据、、的正负去判断一次函数和二次函数在坐标系中的位置即可． 【详解】解：由图可知， ，， ∴ 即 ∵二次函数与轴有两个不同的交点 ∴ ∴一次函数经过一、二、三象限 当时， ∴ ∴反比例函数经过一、三象限 故选：A． 【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数的关系．根据二次函数图象求出、、的正负是解决本题的关键． 9. 如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，黄金分割比，相似三角形的判定和性质等知识，掌握黄金三角形的概念是解题关键．利用等腰三角形的判定和性质以及垂直平分线的性质，即可判断A 、B选项；利用黄金分割比，即可判断C选项；利用相似三角形的判定和性质，即可判断D选项． 【详解】解：， ， 由作法可知，平分， ，， ， ，A选项结论正确； ， ， ， ，B选项结论正确； 是顶角为的等腰三角形， 是黄金三角形， ， ，C选项结论错误； ，， ， ， ，D选项结论正确， 故选：C． 10. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得， 则，解得 把代入得，代入得 ∴ 解得； 把代入得，代入得 ∴，解得， 综上，c的取值范围为：． 故选：D． 二．填空题（每题4分，共20分） 11. 关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为________． 【答案】x2=-2 【解析】 【分析】设方程的另一根为x2，根据根与系数的关系可得x2=-2，解答出即可． 【详解】解：设方程的另一根为x2， ∵关于x的方程2x2+mx-4=0的一根为x=1， 则1×x2= =-2， 解得x2=-2． 故答案为：x2=-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=． 12. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是， ∴， 又， ∴ 在中，， 故答案为：16． 13. 如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．若，则点的坐标是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出是等边三角形，从而表示点的坐标为，根据菱形的对称性表示出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长，把代入解析式即可求得点的横坐标． 【详解】解：设菱形的边长为， ， 是等边三角形， 点的坐标为， ， 反比例函数的图象经过菱形的顶点， ， （负数舍去）， 菱形的边长为2， 点的纵坐标为2， 把代入得，， 解得， 点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的性质，正确表示出点A的坐标是解题的关键． 14. 如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，铅球出手位置的高度为，当铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值．铅球的行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，该二次函数的解析式为．若以过出手点且与地面垂直的直线为y轴，y轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则该二次函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，解题的关键是掌握a的确定方法和抛物线顶点式的求法． 【详解】解：图2二次函数的解析式为，铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值， 图3二次函数的解析式为，即， 故答案为：． 15. 京剧是中国的一门传统文化艺术．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似的看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心M的坐标为．关于图形G给出下列五个结论，其中正确的是______（填序号）． ①图形G关于直线对称； ②线段的长为； ③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④当时，直线与图形G有两个公共点； ⑤图形G的面积小于． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景、曲线的对称性、整点问题、构造直角三角形、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意很明显可以得到图形G的对称轴为，故①正确；构造直角三角形、利用勾股定理求得的长，进而求得的长，故②正确；从图中可以很直观的得到③错误；根据图形可得当、，直线与图形G有一个公共点，即不能得出结论④，故④错误；如图：连接,可求得，从而判定⑤错误． 【详解】解：如图：由圆M可知且点A，B在抛物线上， ∴图形G关于对称，即①正确； 如图：连接， 在中， ∵， ， ， 又， ， ，故②正确； 根据题意得，由图形G围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③错误； 由图形可得：当、，直线与图形G有一个公共点，故④错误； 如图：连接, ， ∴，故⑤错误． 故答案为①②． 三．解答题（本题共9道大题，共85分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） 5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，实数的混合计算，化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先化简二次根式，负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解；原式 ； 【小问2详解】 解；原式 ． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）先移项，然后用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：，  ，  ，  ，  ，  或  ， 解得，； 【小问2详解】 解： ，  ， ∴或， 解得，. 18. 如图，在菱形中，点M、N分别在、上，且，求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ，， ， ， 即， ， ． 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，根据已知条件可得，证明，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握菱形的性质是解题的关键． 19. 已知是坐标原点，A、的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； （2）的面积为_________． （3）若点在线段上，点对应点的坐标为_________． 【答案】（1） 如图所示： （2）10 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、坐标与图形等知识点，掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出，然后再顺次连接即可； （2）根据坐标系，用长方形的面积减去三个三角形的面积即可解答； （3）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为：． 【小问3详解】 解：点在线段上，点D对应点的坐标为． 故答案为：． 20. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； （2）补全条形统计图； （3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值； （2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人）， 表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°； C级所占的百分比为×100%=40%，故m=40， 故答案为20，72，40． （2）故等级B的人数为20﹣（3+8+4）=5（人）， 补全统计图，如图所示； （3）列表如下： 男 女 女 男 （女，男） （女，男） 女 （男，女） （女，女） 女 （男，女） （女，女） 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P（恰好是一名男生和一名女生）==． 考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图． 21. 祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点． （1）求点A位于最低点时与地面的垂直距离； （2）求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，） 【答案】（1）点A距离地面2尺 （2）点到地面之间的垂直距离约为尺 【解析】 【分析】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D；根据30度角所对的边是斜边的一半，可得，，即可求得； （2）根据，，求得，根据三角函数的定义，可得，即可求得． 【小问1详解】 分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D． ∵， 由题意，碓杆长16尺，． ∴ ∴， ∴点A距离地面2尺； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ ∴ 故点到地面之间的垂直距离约为0.28尺． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 春节前，某厂家准备将一件工艺品投放市场，其成本价为60元/件，在试销过程中发现每天的销量y（件）与售价x（元）满足如图所示的函数关系． （1）写出y与x的函数关系式． （2）春节期间，该商品将正式上市销售，同时厂家规定每天的销售量不低于150件，请你制定一种销售策略：当售价定为多少时商家获得最大利润，并求出最大利润？ 【答案】（1）； （2）当售价定为125时，利润最大，最大利润为9750元． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质求最大值． （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合的取值范围，利用二次函数的性质求解可得． 【小问1详解】 解：设函数解析式为：， 代入，，得： 解得： ∴函数解析式为； 【小问2详解】 设销售利润为元： 根据图意：，解得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵ ∴当时，利润最大，最大利润为9750元． 23. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ； ②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①略 ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 24. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P的坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求三角形面积的最大值和此时点D的坐标． 【答案】（1） （2）①点的坐标为或；②的最大值为，点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，求出点的坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与点在抛物线上， 则 解得∶， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 令， 解得， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为， ∵， ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标为或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 25. 在矩形中，，，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转，交延长线于点G，以线段为邻边作矩形． （1）如图1，若E在线段上，连接，则______，______； （2）如图2，若E在线段延长线上，当点共线时，求线段的长； （3）如图3，若E在线段上，当时，在平面内有一动点P，满足，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得； （2）由（1）可知：，得到，同理可证，可求的长，由锐角三角函数可列出方程，即可求解； （3）由勾股定理可求的长，进而可得点在以为圆心为半径的圆上运动，当当在上时，最小，根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∵将射线绕点逆时针旋转， 又 ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 过作交延长线于， 由（1）可知：， ， 四边形是矩形，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴在中，， ， 解得， ； 【小问3详解】 设， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ， ， 由（1）可知：， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又为定值， ∴点在以为圆心为半径的圆上运动， 当在上时，最小，最小值为． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $