27.4 二次函数与一元二次方程（分层作业练题型）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 该同步练习以“分层递进+素养导向”为特色，通过A组基础巩固、B组能力进阶、C组思维拔高及中考链接，构建从单一知识点到综合应用的完整巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|求交点坐标、判断交点个数、图像法解不等式等基础知识点|以基础题型为主，如直接考查坐标计算，强化运算能力与概念理解| |B组|函数与方程综合应用、图像信息提取|结合应用题（如铅球运动轨迹），发展几何直观与模型意识| |C组|分类讨论、代几综合|通过含参数问题，培养推理能力与创新意识| |拓展|中考真题|对接中考题型，提升应用意识与应试能力|

分层作业 27.4 二次函数与一元二次方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 求二次函数图像与y轴交点坐标 题型02 求二次函数图像与x轴交点坐标 题型03 二次函数图像与x轴交点个数 题型04 二次函数的值都大于0或小于0 题型05 二次函数与一次函数图像交点问题 题型06 二次函数图像与直线的截线长 题型07 图像法求一元二次方程的近似根 题型08 图像法解一元二次不等式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 求二次函数图像与y轴交点坐标 题型01 1．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 2．（25-26九年级上·上海·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．则S∆ABC=_______ 求二次函数图像与x轴交点坐标 题型02 3．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 4．（25-26九年级上·上海·一模）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 二次函数图像与x轴交点个数 题型03 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 6．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 二次函数的值都大于0或小于0 题型04 7.二次函数的图象总是在轴的上方，则的取值范围为______． 8.如果二次函数的值恒大于，那么必有（ ） A．，取任意实数 B．， C．， D．，均可取任意实数 9．（2026·江苏连云港·一模）定义：如果二次函数的最小值大于或者等于0，我们就说这个二次函数的值恒大于等于0． (1)如果二次函数的值恒大于等于0，那么a________0，且________0；（填“”“”“”“”或者“”） (2)试判断二次函数的值是否恒大于0； 10. 如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C． (1)直接写出a，m的值； (2)嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．淇淇说：无论x为何值，恒小于0．请选择其中一人的说法进行说理； 二次函数与一次函数图像交点问题题型05 11. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点．    (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 12. 如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)填空：______，______； (2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点； 二次函数图像与直线的截线长 题型06 13. 二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 14. 已知，如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过点O作直线l与此二次函数的图像在第一象限相交于D、E两点（点E在点D的右边）．    (1)若点，求二次函数的解析式及其顶点的坐标； (2)求线段的长； (3)在（1）的条件下，若，求直线l的解析式； 图像法求一元二次方程的近似根 题型07 15. 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 16. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是(   ) A． B． C． D． 图像法解一元二次不等式 题型08 17. 如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______． 18. 如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 19. 关于的二次函数以及一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是_______． 20. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是___________． 1．抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 2．根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 -2 -0.75 1 3.75 6 A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．28 4．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是______，它与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______． 5．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________ 6．如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为________．    7．如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 8．已知二次函数经过点，，且最大值为4． (1)求二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． x 0 1 2 3 4 y 0 3 4 3 0 9．已知抛物线的解析式是y＝x2﹣（k+2）x+2k﹣2． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，求该二次函数的顶点坐标． 10．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为． (1)填空：b=________；（用含a的代数式表示） (2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值； (3)若抛物线过点（−2，−2），当时，二次函数的最值是−2，求k的取值范围； (4)当a=−1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围． 1．【分类讨论】如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 2．【数形结合】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点B． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)若，求抛物线所对应的函数解析式； (3)已知点，，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 3．【数形结合】对函数问题来说，数形结合不仅是方法，更是思维习惯．已知二次函数 【积累巩固】 （1）若二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． ①求二次函数的表达式； ②设该二次函数的图象与轴交于点，（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【拓展创新】 （2）当，时，二次函数（为常数）． ①点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，的取值范围为________； ②点，，连接．若该二次函数的图象与直线没有公共点；则的取值范围为________． 4．【代几综合】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 1. （2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 2．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 27.4 二次函数与一元二次方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 求二次函数图像与y轴交点坐标 题型02 求二次函数图像与x轴交点坐标 题型03 二次函数图像与x轴交点个数 题型04 二次函数的值都大于0或小于0 题型05 二次函数与一次函数图像交点问题 题型06 二次函数图像与直线的截线长 题型07 图像法求一元二次方程的近似根 题型08 图像法解一元二次不等式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 求二次函数图像与y轴交点坐标 题型01 1．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 2．（25-26九年级上·上海·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．则S∆ABC=_______ 【答案】3 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得y=-3， ∴ S∆ABC= 求二次函数图像与x轴交点坐标 题型02 3．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 4．（25-26九年级上·上海·一模）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 二次函数图像与x轴交点个数 题型03 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 6．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【答案】证明：对于二次函数， 当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式为 ， ∴无论为何实数值，这个方程总有实数根， ∴无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【分析】利用这个二次函数对应的一元二次方程根的判别式可得无论为何实数值，这个方程总有实数根，由此即可得证． 【详解】略． 二次函数的值都大于0或小于0 题型04 7.二次函数的图象总是在轴的上方，则的取值范围为______． 【详解】解：∵二次函数的图象总是在轴的上方， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 8.如果二次函数的值恒大于，那么必有（ ） A．，取任意实数 B．， C．， D．，均可取任意实数 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的值恒大于， ∴二次函数开口向上，顶点在x轴上方， ∴，． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 9．（2026·江苏连云港·一模）定义：如果二次函数的最小值大于或者等于0，我们就说这个二次函数的值恒大于等于0． (1)如果二次函数的值恒大于等于0，那么a________0，且________0；（填“”“”“”“”或者“”） (2)试判断二次函数的值是否恒大于0； 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据二次函数的开口方向以及抛物线与x轴交点的个数问题进行判断即可； （2）根据a的值和进行判断即可； 【详解】（1）解：∵二次函数的值恒大于等于0， ∴该抛物线的开口向上，且与x轴的交点个数为0或1个， ∴，； （2）解：二次函数， ，， ∴二次函数的值恒大于0； 10. 如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C． (1)直接写出a，m的值； (2)嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．淇淇说：无论x为何值，恒小于0．请选择其中一人的说法进行说理； 【答案】(1)， (2) 解：选择嘉嘉． 由（1）可知，的表达式为，顶点坐标为． 的表达式为，顶点坐标为， 两个表达式的二次项系数相同，说明抛物线形状相同，而是由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， 所以可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到； ∴嘉嘉的说法正确； 选择淇淇． 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴无论x取何值，恒小于0， ∴琪琪的说法正确； 【详解】（1）解：∵抛物线与交于点， 把点B的坐标代入抛物线得： ， 解得：； 把点B的坐标代入得： ， 解得：； （2）略 二次函数与一次函数图像交点问题题型05 11. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点．    (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）把代入，求出自变量的值，即可得出点B的坐标； （2）根据点A和点B的坐标，求出，再用待定系数法求出一次函数的表达式，进而求出点C的坐标，最后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∵A在B的左侧， ∴，； （2）解：∵，， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数表达式为， 联立一次函数和二次函数表达式得： ，解得：或， ∴， ∴． 12. 如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)填空：______，______； (2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一次函数的解析式转化为：，得到直线恒过点，根据抛物线也过点，即可得证； 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：． 故答案为：； （2）解法一：由（1）知：， ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 又∵当时，， ∴抛物线也过点； ∴二次函数与一次函数的图像总有交点； 解法二：由题意得 所以， 整理得，0 因为无论m为何值，都大于等于零。 ∴二次函数与一次函数的图像总有交点； 二次函数图像与直线的截线长 题型06 13. 二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：解法一：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 解法二：根据题意，得 则AB= 故， 故选：C． 14. 已知，如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过点O作直线l与此二次函数的图像在第一象限相交于D、E两点（点E在点D的右边）．    (1)若点，求二次函数的解析式及其顶点的坐标； (2)求线段的长； (3)在（1）的条件下，若，求直线l的解析式； 【分析】（1）将点代入得到，求出a的值，即可求出二次函数解析式，然后将解析式配方成顶点式即可求出顶点坐标； （2）令，得到，求得，得到点A和点B的坐标，即可求出线段的长； （3）作轴于点N，作轴于点M，设直线l的解析式为，将直线与抛物线联立整理得，，，因为进而得到，然后代入求出，然后代入即可求解． 【详解】（1）将代入得，， ∴解得， ∴二次函数， ∴， ∴顶点坐标为； （2）当时，， ∴解得， ∴，， ∴； （3）如图所示，作轴于点N，作轴于点M，    设直线l的解析式为， ∴联立直线与抛物线得，，即， ∴整理得， ∴，， ∵，， 易知，即， ∴将代入得，， ∴解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴解得， ∴直线l的解析式． 图像法求一元二次方程的近似根 题型07 15. 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 16. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：C． 图像法解一元二次不等式 题型08 17. 如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______． 【详解】解：∵开口向上的抛物线与轴交于点和， ∴方程的根为，， ∴当时，，即， ∴不等式解集为， 故答案为：． 18. 如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 19. 关于的二次函数以及一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是_______． 【答案】 【详解】解：根据题意得出当时，则， 则从图象看，关于的不等式的解集为， 故答案为：． 20. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是___________． 【答案】 【详解】解∶由图形可得，当时，二次函数图象在一次函数图象下方，，所以， 使成立的的取值范围是． 故答案为∶． 1．抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】∵与x轴有交点， ∴且， 解得：且， 故选D 2．根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 -2 -0.75 1 3.75 6 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据表格的： 当时，， 当时，， 则关于x的一元一次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 3．已知二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．28 【答案】A 【详解】解：当时，解得，， 二次函数与x轴的两个交点横坐标为，， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为6， 二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 每相邻两点间的距离为； ∴平移后的抛物线与x轴有两个交点其横坐标分别为，， ∴平移后的抛物线解析式为 ∵平移后的解析式为， ∴， 解得， 故选：A． 4．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是______，它与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______． 【答案】 (－1，4) (－3，0),(1，0) (0，3)． 【详解】试题分析：将抛物线y＝3－2x－x2变为顶点式为y=+4,所以顶点坐标为(－1，4)；当y=0时可解得与x轴交点坐标为(－3，0),(1，0)；当x=0时与y轴交点坐标为（0，3）. 5．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________ 【答案】， 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为， ∴关于直线的对称点为， 一元二次方程的根为与； 即，． 故答案为：，． 6．如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为________．    【答案】， 【详解】解：抛物线与直线的两个交点为，， 关于的方程的解为，， 故答案为：，． 7．如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)或 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 8．已知二次函数经过点，，且最大值为4． (1)求二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 描点并连线，得到的函数图象如下： (3) 【详解】（1）解：设， 则， 二次函数最大值为4， ，即， 二次函数解析式，化为一般式为：； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 0 3 4 3 0 （3）解：观察图象知，当时，． 9．已知抛物线的解析式是y＝x2﹣（k+2）x+2k﹣2． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，求该二次函数的顶点坐标． 【答案】（1）此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）（，﹣）． 【详解】（1）∵△＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣2） ＝k2﹣4k+12 ＝（k﹣2）2+8＞0， ∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）∵抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上， ∴2k﹣2＝k2﹣1， 解得k＝1， 则抛物线解析式为y＝x2﹣3x＝（x﹣）2﹣， 所以该二次函数的顶点坐标为（，﹣）． 【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系及熟练求二次函数的顶点式． 10．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为． (1)填空：b=________；（用含a的代数式表示） (2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值； (3)若抛物线过点（−2，−2），当时，二次函数的最值是−2，求k的取值范围； (4)当a=−1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围． 【答案】(1)4a (2)0 (3)−6≤k≤0 (4)−4≤c＜5 【分析】（1）根据题意可得，即可求解； （2）根据抛物线的顶点在x轴上，可得抛物线与x轴只有一个交点，从而得到16a2−4ac=0，进而得到c=4a，即可求解； （3）根据题意可得抛物线的顶点是（−2，−2），再由当k−2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是−2，可得，即可求解； （4）根据题意可得关于x的方程−x2−4x+c=0在−3＜x＜1的范围内有解，根据题意画出图象，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的，解得b=4a， 故答案为：4a； （2）解∶∵抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴只有一个交点， ∴Δ=b2−4ac=0， ∴16a2−4ac=0， ∵a≠0， ∴4a−c=0，即c=4a， ∴c−b=4a−4a=0； （3）解：∵抛物线过点（−2，−2），且对称轴为直线x=−2， ∴抛物线的顶点是（−2，−2）， ∵当k−2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是−2， ∴，解得：−6≤k≤0； （4）解：当a=−1时，b=−4， ∴抛物线y=−x2−4x+c， ∵关于x的方程式ax2+bx+c=0在−3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程−x2−4x+c=0在−3＜x＜1的范围内有解， c=x2+4x， 可以看作是抛物线y=x2+4x=（x+2）2−4与直线y=c在−3＜x＜1的范围内有交点， 当x=−2时，y=4−8=−4，x=1时，y=1+4=5， 如图所示，由图象得：c的取值范围：−4≤c＜5． 1．【分类讨论】如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 2．【数形结合】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点B． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)若，求抛物线所对应的函数解析式； (3)已知点，，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线； (2)或； (3)或 【详解】（1）解：在抛物线中， 对称轴为直线． （2）解：令，则， ． 过点作轴的平行线，与抛物线交于点，则点的纵坐标为1， ，解得或， ． ，解得或． 当时，抛物线解析式为； 当时，抛物线解析式为． 综上，抛物线所对应的函数解析式为或． （3）解：分两种情况讨论： ∵，，， ∴点、、在一条直线上， 点在轴上，分两种情况讨论： ①当时，，点在点右侧，，点在点上方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴结合函数图象可知，当点在点右侧或与点重合时满足条件， 即， 解得； ②当时，，点在点左侧，，点在点下方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴结合函数图象可知，当点在点右侧或与点重合时满足条件， 即，解得； 综上所述，的取值范围为或. 3．【数形结合】对函数问题来说，数形结合不仅是方法，更是思维习惯．已知二次函数 【积累巩固】 （1）若二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． ①求二次函数的表达式； ②设该二次函数的图象与轴交于点，（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【拓展创新】 （2）当，时，二次函数（为常数）． ①点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，的取值范围为________； ②点，，连接．若该二次函数的图象与直线没有公共点；则的取值范围为________． 【答案】（1）①， ②解：是等腰三角形，理由： ∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴当时，，整理得， 解得，，， ∵在的左侧， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①，② 【详解】解：（1）①∵它的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得，， ∴二次函数的表达式为； ②略 （2）①当二次函数经过点时，，解得， 当二次函数经过点时，，解得， ∴时，二次函数图象与线段有2个公共点， 故答案为：； ②设直线的解析式为， ∴将点，代入得， ，解得， ∴， 当有一个根时，， 解得，， ∴时，二次函数的图象与直线没有公共点， 故答案为：． 4．【代几综合】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴点的坐标为， 将点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为． 将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：过点作轴，交于点，如下图所示： 由（2）知， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 1.（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 2．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵由抛物线的对称性可知当AM=BO，OC=MQ，∠QAM=∠OBC ∴OM=2,MQ=3 ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 27.4 二次函数与一元二次方程 参考答案 求二次函数图像与y轴交点坐标 题型01 1．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 2．（25-26九年级上·上海·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．则S∆ABC=_______ 【答案】3 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得y=-3， ∴ S∆ABC= 求二次函数图像与x轴交点坐标 题型02 3．． 4．C 二次函数图像与x轴交点个数 题型03 5．D 6．【答案】证明：对于二次函数， 当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式为 ， ∴无论为何实数值，这个方程总有实数根， ∴无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 二次函数的值都大于0或小于0 题型04 7. ． 8. B． 9.【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据二次函数的开口方向以及抛物线与x轴交点的个数问题进行判断即可； （2）根据a的值和进行判断即可； 【详解】（1）解：∵二次函数的值恒大于等于0， ∴该抛物线的开口向上，且与x轴的交点个数为0或1个， ∴，； （2）解：二次函数， ，， ∴二次函数的值恒大于0； 10.【答案】(1)， (2) 解：选择嘉嘉． 由（1）可知，的表达式为，顶点坐标为． 的表达式为，顶点坐标为， 两个表达式的二次项系数相同，说明抛物线形状相同，而是由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， 所以可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到； ∴嘉嘉的说法正确； 选择淇淇． 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴无论x取何值，恒小于0， ∴琪琪的说法正确； 【详解】（1）解：∵抛物线与交于点， 把点B的坐标代入抛物线得： ， 解得：； 把点B的坐标代入得： ， 解得：； （2）略 二次函数与一次函数图像交点问题题型05 11. 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∵A在B的左侧， ∴，； （2）解：∵，， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数表达式为， 联立一次函数和二次函数表达式得： ，解得：或， ∴， ∴． 12. 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：． 故答案为：； （2）解法一：由（1）知：， ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 又∵当时，， ∴抛物线也过点； ∴二次函数与一次函数的图像总有交点； 解法二：由题意得 所以， 整理得，0 因为无论m为何值，都大于等于零。 ∴二次函数与一次函数的图像总有交点； 二次函数图像与直线的截线长 题型06 13. 【答案】C 14. 【详解】（1）将代入得，， ∴解得， ∴二次函数， ∴， ∴顶点坐标为； （2）当时，， ∴解得， ∴，， ∴； （3）如图所示，作轴于点N，作轴于点M，    设直线l的解析式为， ∴联立直线与抛物线得，，即， ∴整理得， ∴，， ∵，， 易知，即， ∴将代入得，， ∴解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴解得， ∴直线l的解析式． 图像法求一元二次方程的近似根 题型07 15.【答案】， 16. C． 图像法解一元二次不等式 题型08 17. ． 18. B 19. ． 20. ． 1．D 2．B． 3．A． 4． (－1，4) (－3，0),(1，0) (0，3)． 5．，． 6．，． 7．【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)或 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 8．【答案】(1) (2) 描点并连线，得到的函数图象如下： (3) 【详解】（1）解：设， 则， 二次函数最大值为4， ，即， 二次函数解析式，化为一般式为：； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 0 3 4 3 0 （3）解：观察图象知，当时，． 9．【答案】（1）此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）（，﹣）． 【详解】（1）∵△＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣2） ＝k2﹣4k+12 ＝（k﹣2）2+8＞0， ∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）∵抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上， ∴2k﹣2＝k2﹣1， 解得k＝1， 则抛物线解析式为y＝x2﹣3x＝（x﹣）2﹣， 所以该二次函数的顶点坐标为（，﹣）． 10．【答案】(1)4a (2)0 (3)−6≤k≤0 (4)−4≤c＜5 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的，解得b=4a， 故答案为：4a； （2）解∶∵抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴只有一个交点， ∴Δ=b2−4ac=0， ∴16a2−4ac=0， ∵a≠0， ∴4a−c=0，即c=4a， ∴c−b=4a−4a=0； （3）解：∵抛物线过点（−2，−2），且对称轴为直线x=−2， ∴抛物线的顶点是（−2，−2）， ∵当k−2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是−2， ∴，解得：−6≤k≤0； （4）解：当a=−1时，b=−4， ∴抛物线y=−x2−4x+c， ∵关于x的方程式ax2+bx+c=0在−3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程−x2−4x+c=0在−3＜x＜1的范围内有解， c=x2+4x， 可以看作是抛物线y=x2+4x=（x+2）2−4与直线y=c在−3＜x＜1的范围内有交点， 当x=−2时，y=4−8=−4，x=1时，y=1+4=5， 如图所示，由图象得：c的取值范围：−4≤c＜5． 1．D 2．【答案】(1)直线； (2)或； (3)或 【详解】（1）解：在抛物线中， 对称轴为直线． （2）解：令，则， ． 过点作轴的平行线，与抛物线交于点，则点的纵坐标为1， ，解得或， ． ，解得或． 当时，抛物线解析式为； 当时，抛物线解析式为． 综上，抛物线所对应的函数解析式为或． （3）解：分两种情况讨论： ∵，，， ∴点、、在一条直线上， 点在轴上，分两种情况讨论： ①当时，，点在点右侧，，点在点上方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴结合函数图象可知，当点在点右侧或与点重合时满足条件， 即， 解得； ②当时，，点在点左侧，，点在点下方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴结合函数图象可知，当点在点右侧或与点重合时满足条件， 即，解得； 综上所述，的取值范围为或. 3．【答案】（1）①， ②解：是等腰三角形，理由： ∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴当时，，整理得， 解得，，， ∵在的左侧， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①，② 【详解】解：（1）①∵它的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得，， ∴二次函数的表达式为； ②略 （2）①当二次函数经过点时，，解得， 当二次函数经过点时，，解得， ∴时，二次函数图象与线段有2个公共点， 故答案为：； ②设直线的解析式为， ∴将点，代入得， ，解得， ∴， 当有一个根时，， 解得，， ∴时，二次函数的图象与直线没有公共点， 故答案为：． 4．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴点的坐标为， 将点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为． 将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：过点作轴，交于点，如下图所示： 由（2）知， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 1.【答案】C 2．【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵由抛物线的对称性可知当AM=BO，OC=MQ，∠QAM=∠OBC ∴OM=2,MQ=3 ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $