精品解析：内蒙古乌海市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

乌海一中 2026-2027 学年度高一年级第一学期（数学）第一次检测试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 集合 的真子集个数有（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合有个元素，其子集个数为， 除去集合本身，真子集个数为 . 2. 集合 ，集合 ， 等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 得 ，代入 得 ，即 ， 解得 ，． 所以 ． 集合 表示直线 上所有点， 而点 在直线 上， 所以 ． 3. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题 “，”的否定是“，”. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，则，所以，故A为假命题； 对于B，若，则，且，所以，故B为假命题； 对于C，若，当时，，故C为假命题； 对于D，若，则，所以，故D为真命题． 5. 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当 时，，此时 成立； 当 时，，要使 ，需 ，即 ． 综上，． 6. 若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“乘 1 法”把 化为 ，再用基本不等式求解即可． 【详解】因为 ，，且 ， 所以． 当且仅当 ，即 时取等号，即 ，，等号成立． 故 的最小值为 ． 7. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过待定系数法将目标式表示为已知两个代数式的组合，再利用不等式性质求解即可.  【详解】设，，则 ， 所以 ，解得，， 因此. 又，，则， 所以 ，即， 故的取值范围是. 8. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理得到的关系，再代入分式不等式，转化为整式不等式组求解即可. 【详解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或.  故不等式的解集为. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 9. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？（　　） （1）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 ； （4）若 ， 为无理数，则 为无理数． A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 【答案】ABC 【解析】 【详解】“ 是 的充分条件”即 成立，逐项判断，不成立时举出反例． 【解答】（1）菱形的对角线互相垂直， 成立，故 是 的充分条件； （2）由 得 且 ，所以 ， 成立，故 是 的充分条件； （3）由 知 ，两边同除以 得 ， 成立，故 是 的充分条件； （4）取 ，，二者均为无理数，但 是有理数，故 不是 的充分条件． 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应二次函数、一元二次方程的关系，先判断，再利用韦达定理得到，，代入各选项求解即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以，且，1是方程的两根，A错误. 将代入得，，B正确. 由韦达定理得，所以，. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得，C正确. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得或，D正确. 11. 设为非空实数集，且满足：（i）；（ii）若，则．下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若，则可能是元素个数有限的集合 B. 集合中可能恰好有两个元素 C. 若，则 D. 对任意，，必有 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过迭代运算与反证法，逐项判断即可. 【详解】对于，当时，，此时集合， 所以集合可能是元素个数有限的集合，正确； 对于，假设集合， 由题可知，，则；，则， 所以， 整理得，即，， 解得，，此时， 但是，矛盾， 所以集合中不可能恰好有两个元素，错误； 对于，若，则，正确； 对于，若存在某个，使得， 则， 迭代可得，，，，，， ，与题干的矛盾， 所以对任意，，必有，正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 比较下列各组中两个代数式的大小：　____　（填写不等式符号） 【答案】 【解析】 【详解】， 因为，，所以 ， 故. 13. 已知集合,则= ▲ ． 【答案】 【解析】 【分析】求出集合B的补集与集合A进行交集运算即可. 【详解】 故填 【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的混合运算，属于基础题. 14. 已知集合，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解集合，再结合交集、并集的运算性质确定集合，利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，通过韦达定理求出的值，最终计算. 【详解】解不等式，因式分解得，解得，所以. 因为，，结合可得， 即一元二次不等式的解集为. 由一元二次不等式解集的性质可知，方程的两个实根为，. 根据韦达定理： ，代入根得，解得，. 所以. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15. 设集合，，求，． 【答案】当时，所以，当时，所以，当时，所以，当且且时，所以， 【解析】 【分析】首先化简集合B，然后根据集合、分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案． 【详解】解：因为 所以 又因为， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当且且时，所以， 16. 已知关于的不等式． （1）当时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为，求实数的值； （3）当时，求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，不等式的解集为； 当时,不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）代入参数取值，根据一元二次不等式解法计算解集； （2）根据解集可知对应一元二次方程的两根，利用韦达定理计算参数的取值； （3）把因式分解为，再按两根与的大小分类讨论参数的取值，确定一元二次不等式的解集． 【小问1详解】 当时，不等式为，即，解得或， 故不等式的解集为． 【小问2详解】 由不等式的解集为知，是方程的两根． 由韦达定理，，解得 ，故实数的值为． 【小问3详解】 原不等式即，两根为与． 当，即时，解得或， 当，即时，不等式为，所以， 当，即时，解得或； 综上，时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，不等式的解集为． 17. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的解法以及集合的交集运算，即可求解； （2）根据，分类讨论，和，两种情况，利用数轴，数形结合得出不等式组并求解； （3）根据，分类讨论，和，其中，又包括集合整体落在集合的左侧或者右侧，利用数轴，数形结合，得出不等式组并求解. 【小问1详解】 ，解得，则集合， 当时, 集合， 所以， 【小问2详解】 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围为或，即. 【小问3详解】 当时，，解得； 当时，，解得， 或者，解得， 综上所述，实数的取值范围为或，即. 18. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3），不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【小问1详解】 由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； 【小问2详解】 由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． （1）判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”并说明理由； （2）证明：是一个“乘法封闭集”； （3）判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 【答案】（1）．任取：，，， 故是“乘法封闭集”． 又，，满足条件，所以和都是集合的“完美元素”． （2）任取，设，，其中， 则． 因为，所以，，故， 所以是一个“乘法封闭集”． （3）因为，其中，，所以． 又， 其中，，所以． 故是集合的“完美元素”． 【解析】 【分析】紧扣定义：乘法封闭集要求任意两个元素的积仍在集合中；“完美元素”要求且． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌海一中 2026-2027 学年度高一年级第一学期（数学）第一次检测试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 集合 的真子集个数有（　　） A. B. C. D. 2. 集合 ，集合 ， 等于（　　） A. B. C. D. 3. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 9. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？（　　） （1）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 ； （4）若 ， 为无理数，则 为无理数． A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集为 11. 设为非空实数集，且满足：（i）；（ii）若，则．下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若，则可能是元素个数有限的集合 B. 集合中可能恰好有两个元素 C. 若，则 D. 对任意，，必有 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 比较下列各组中两个代数式的大小：　____　（填写不等式符号） 13. 已知集合,则= ▲ ． 14. 已知集合，，若，，则________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15. 设集合，，求，． 16. 已知关于的不等式． （1）当时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为，求实数的值； （3）当时，求不等式的解集． 17. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3），不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． （1）判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”并说明理由； （2）证明：是一个“乘法封闭集”； （3）判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $