精品解析：内蒙古首都师范大学呼和浩特附属中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

首都师范大学呼和浩特附属中学 2026-2027-1第一次月考 高一数学试卷 （卷面分值：150，考试时长：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 一元二次不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 8 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得“的否定是“，均有“ B. ， C. ““是“”的必要不充分条件 D. ““是“关于的方程有一正根、一负根”的充要条件 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的取值范围是 D. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则“”是“”的__________条件．填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分又不必要” 13. 设集合.若，则______. 14. 若时，的最大值是____________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）求； （2）求. 16. 已知集合，． （1）求集合； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数． （1）该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少? （2）若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元? 18. 已知不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）为何值时，的解集为． （3）解不等式． 19. 若正数a，b，c满足. （1）求的最大值； （2）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师范大学呼和浩特附属中学 2026-2027-1第一次月考 高一数学试卷 （卷面分值：150，考试时长：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D. 【详解】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 2. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由题得，，，，只有选项D正确. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定是“，”. 故选：C 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】或，又， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，． 5. 设，则“是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】若，则；若，则，即“”是“”的既不充分也不必要条件、 故选：D. 6. 一元二次不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】一元二次不等式，即， 即，解得， 所以原不等式的解集为． 7. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意求出，，，将原不等式化为，进而求出解集即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和是一元二次方程的解，且， 则由韦达定理得，，解得，， 即不等式可化为， 可得，解得或， 则不等式的解集为或，故C正确. 故选：C 8. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，， 所以，当且仅当，即时取等号，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为2. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得“的否定是“，均有“ B. ， C. ““是“”的必要不充分条件 D. ““是“关于的方程有一正根、一负根”的充要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，结合命题否定的定义，即可求解，对于B，结合配方法，即可求解，对于C，解出方程的解，即可求解，对于D，结合韦达定理，以及二次函数的判别式，即可求解． 【详解】对于A，“，使得“的否定是“，均有“，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，解得或， 故““是“”的必要不充分条件，故C正确， 对于D，，的判别式为正数，两根积为，， 故方程为一正，一负两根， 关于的方程有一正根、一负根， 则，解得， 故““是“关于的方程有一正根、一负根”的充要条件，故D正确． 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的取值范围是 D. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作差法分析不等式判断A；利用同向不等式可加性判断B；利用同向正数不等式可乘性判断C；利用一元一次不等式的解集得到系数关系，再解一元二次不等式即可． 【详解】由，可得或，而无法确定恒正或恒负，故A错误； 由可得，根据同向不等式可加性有，故B正确； 由可得，根据同向正数不等式可乘性有，故C正确； 已知关于的不等式的解集为，可得，即， 则关于的不等式可化简为，解得，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则“”是“”的__________条件．填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分又不必要” 【答案】充分不必要 【解析】 【详解】因为是的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件． 13. 设集合.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由得，求出并验证. 【详解】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 14. 若时，的最大值是____________. 【答案】-7 【解析】 【分析】变换，直接利用均值不等式得到答案. 【详解】. 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，根据交集、并集定义直接计算即可； （2）先求出两集合的补集，再由并集运算可得结果. 【小问1详解】 易知，又， 所以； 【小问2详解】 易知或，； 因此或. 16. 已知集合，． （1）求集合； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法化简求解集合即可. （2）根据是成立的充分不必要条件，由求解. 【详解】（1）由，得．故集合 由，得，． 当时，，由得， 故集合． （2）∵是成立的充分不必要条件， 所以， 则，即， 解得， 又当时，，不合题意， 所以实数的取值范围为． 17. 据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数． （1）该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少? （2）若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元? 【答案】（1）每月产量万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为万元 （2）该企业每月生产不小于万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为，再利用基本不等式即可求出结果； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式即可求出结果. 【小问1详解】 设平均每套的成本为元， 由题有， 当且仅当，即时，取等号， 所以企业每月产量万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为万元. 【小问2详解】 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得到，解得， 所以，该企业每月生产不小于万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元. 18. 已知不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）为何值时，的解集为． （3）解不等式． 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系列方程组求解可得； （2）将一元二次不等式的解集为转化为对应方程的判别式小于或等于，解不等式求解即可； （3）将不等式左边分解因式后结合对应方程两根的大小分类讨论即可求解． 【小问1详解】 由题意知，和是方程的两根， 则解得 【小问2详解】 由（1）得的解集为， 方程的判别式， 所以当时，的解集为； 【小问3详解】 不等式， 即为，即． 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式无解． 综上知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 19. 若正数a，b，c满足. （1）求的最大值； （2）求证：. 【答案】（1） （2） 由，仅当，即时等号成立， 由，仅当，即时等号成立， 由，仅当，即时等号成立， 综上，，仅当时等号成立. 【解析】 【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件； （2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件. 【小问1详解】 由， 所以，即，仅当时等号成立， 综上，的最大值为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $