4.6 函数的应用（二）（高效培优讲义）（4大题型）高一数学人教B版必修第二册

4.6 函数的应用（二） 教学目标 1.掌握指数函数、对数函数、幂函数的增长差异与适用场景，能运用常见函数模型解决实际应用问题； 2.经历从实际情境中抽象数学关系、构建函数模型的过程，提升数据分析与数学建模能力，落实数学核心素养； 3.体会函数的现实应用价值，培养用数学思维解决生活问题的意识。 教学重难点 1.重点 几类函数的增长特征对比，利用已知函数模型分析求解实际问题。 2.难点 结合实际问题的背景与数据变化规律，自主选择并建立适配的函数模型。 知识点01 函数模型 1、指数函数模型：（为常数，，且） 2、对数函数模型：（为常数，，且） 3、幂函数模型：（为常数，） 【即学即练】 1．（2026·高三·福建南平·阶段检测）深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【解析】设发光强度为级对应的光能为，发光强度为级对应的光能为， 由，得： 当时： ， 当时： 由对数减法运算性质，，即， 将对数式转化为指数形式得. 所以，因此发光强度级的生物释放的光能约是级的倍. 2．若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数(其中).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为（    ）. A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】由题意，，∴， 又， 即， ∴， ∴. 题型一：指数函数模型 【典例1-1】为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放完毕后，求每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式； (2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【解析】（1）从图中可以看出：当时，，则方程中的， 所以从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式． （2）由题设，则，即， 因为，则函数单调递减， 故，所以， 因此从药物释放开始至少需要经过小时后，学生才能回到教室． 【典例1-2】大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务.某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少，那么要让有害气体减少到原来的，求至少要经过几次处理(参考数据：). 【解析】设工业废气在未处理前为a，经过x次处理后变为y，则.由题意得， 即，两边同时取以10为底的对数得，即. 因而至少需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的. 【变式1-1】为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为，2026年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据：） 【解析】（1）若选择模型， 则，故函数模型为； 若选择模型， 则，故函数模型为. （2）把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择函数模型更合适． 设至少个月后蒲草覆盖面积能达到，. 令，两边取常用对数可得， 即， 则至少14个月后，即至少到2027年2月底蒲草覆盖面积能达到. 【变式1-2】某城市现有人口总数为万人，如果年自然增长率为，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式； (2)计算年后该城市人口总数（精确到万人）； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到万人（精确到年）． （取，） 【解析】（1）年后该城市人口总数为： 年后该城市人口总数为： 年后该城市人口总数为： 年后该城市人口总数为：. （2）年后该城市人口数为： （万） （3）设年后该城市人口将达到万， 即，所以，所以（年）. 即大约年后，该城市的人口将达到万人. 【变式1-3】（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）由于某种寄生菌的大面积繁殖，某个池塘遭到了严重污染．塘主购买了杀菌剂，由于顾及池塘内鱼类的生存，杀菌剂一次只能投放一定的剂量．已知每投放1次杀菌剂能使池塘内的寄生菌减少． (1)投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的百分之多少？ (2)要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的，则至少要投放多少次？ 参考数据：． 【解析】（1）投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的． （2）设投放次，可使池塘内剩余的寄生菌少于最初的， 则，即．     ， ∴要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的，至少要投放5次． 题型二：对数函数模型 【典例2-1】分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声级来描述声音的大小：把一个小的声压(帕)作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是(分贝)．分贝值在60以下为无害区，为过渡区，110以上为有害区． (1)试列出分贝值与声压的函数关系式； (2)某地声压，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ (3)2008年奥运会开幕式上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了，试求此时鸟巢内的声压是多少． 【解析】（1）由已知得 (其中)． （2）当时， 由已知条件知小于，环境优良． （3）由题意，得，则， 所以. 【典例2-2】（2026·高一·山西吕梁·期末）某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求的函数关系式； (2)当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为多少？ (3)一道数学难题，讲解需要20分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 【解析】（1）当时，设，而， 则，解得，当时，； 又，解得，当时，， 所以. （2）当时，， 所以当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为80. （3）能，理由： 当时， ，解得，则； 当时，，解得，则， 因此当时学生听课效果最佳，此时， 所以老师能经过合理安排时间在学生听课效果最佳时段讲完. 【变式2-1】（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为火箭发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比. (1)已知某型号单级火箭发动机的喷射速度为2千米/秒，当该型号单级火箭的质量比为4时，求该单级火箭的最大理想速度； (2)在（1）的条件下，该型号单级火箭经过材料更新和技术改进后，其火箭发动机的喷射速度变为原来的2倍，若使该型号火箭的最大理想速度增加2千米/秒，求改进后该火箭的质量比； (3)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10，如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.（参考数据：，无理数） 【解析】（1）因为某型号单级火箭发动机的喷射速度为2千米/秒，该型号单级火箭的质量比为4， 所以该单级火箭的最大理想速度千米/秒； （2）在（1）的条件下，该型号单级火箭经过材料更新和技术改进后， 其火箭发动机的喷射速度变为原来的2倍，该型号火箭的最大理想速度增加2千米/秒， 所以 ， 因此改进后该火箭的质量比为； （3）不能超过，理由如下： 设该单级火箭的最大理想速度为千米/秒，该单级火箭的质量比为， 该单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒， 所以该单级火箭的最大理想速度， 由题意可知，所以， 因为第一宇宙速度7.9千米/秒， 所以有，所以，即， 所以该单级火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒. 【变式2-2】（2026·高一·河北·期末）甲醛是许多住房建材会释放的一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛的浓度不能超过0.08毫克每立方米，否则，该新房达不到安全入住标准．已知某住房自装修完成后，通风时长（，单位：天）与室内甲醛浓度（单位：毫克每立方米）满足关系式，且当时，． (1)求的值； (2)求至少通风多少天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 【解析】（1）因为当时，，所以， 整理得，即，解得． （2）由（1）可知，． 要使该新房空气中甲醛的浓度达到安全入住标准， 须满足， 整理可得. 因为函数在上单调递减， 所以． 因为函数在上单调递增， 且． 所以至少通风32天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 【变式2-3】（2026·高一·贵州铜仁·期末）在有声的世界中，声强级是表示声强度相对大小的指标，其单位为（分贝），声强级由公式给出，其中，为声强，其单位为（瓦／平方米）（参考数据：，）． (1)一般人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，求人听觉的声强级范围； (2)某企业对其生产车间进行升级降噪，噪声从87分贝降低到77分贝，求升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的多少倍？ (3)已知点声源发出的声音在空气中传播的声强与距离的平方成反比．若在距离声源10米处的声强级为70分贝，求在距离声源50米处的声强级． 【解析】（1）当时，代入公式可得：， 当时，代入公式可得：， 所以人听觉的声强级范围为， （2）已知升级降噪前声强级，代入公式可得：， 解得：； 已知升级降噪后声强级，代入公式可得：， 解得：； 所以， 所以升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的10倍； （3）设声强为，距离为， 因为声强与距离的平方成反比，所以设（为常数）， 已知在距离声源10米处的声强级为70分贝，即时，， 代入声强级公式可得：，解得， 将，代入得：，解得， 所以， 当时，， 此时 ， 所以在距离声源50米处的声强级约为 题型三：幂函数模型 【典例3-1】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 【解析】（1）设投入资金千万元，则生产A芯片的毛收入， 将代入，得，解得， 所以生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得， 所以当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16千万元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）依题意，投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产A芯片， 公司所获净利润，当且仅当，即时取等号， 所以千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元. 【典例3-2】（2026·高一·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【解析】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 【变式3-1】（4.1 幂函数）在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到） 【解析】由题意可知，，，则， 即，当时，. 所以气体通过半径为的管道时的速率为. 【变式3-2】（2026·高一·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【解析】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 【变式3-3】（2026·高一·湖南衡阳·开学考试）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【解析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需(x+50)元， 依题意，得：，解得：x＝100，经检验x＝100是原方程的解，且符合题意， ∴x+50＝150． 答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元． （2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买(50m)个A品牌垃圾桶， 依题意，得：100×0.9(50m)+150×(1+20%)m6000，解得：m． 因为m是正整数，所以m最大值是16． 答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶． 题型四：函数拟合问题 【典例4-1】（2026·高一·四川泸州·阶段检测）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②且 (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【解析】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，且函数增长的速度越来越快， 选择②（且） 代入表格中的三个点可得：，解得： ，. （2）由（1）可知：，，故不等式对恒成立， 对恒成立， 令，则，，， 在上单调递增，，，. 【典例4-2】（2026·高一·福建漳州·期末）近年来，漳州文旅直播平台以“闽南文化推广”为主题，聚焦漳州土楼，闽南古厝，漳州小吃等内容.从2025年初上线后会员人数逐月增加，下表是平台上线第个月的会员人数统计： 平台上线第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请恰当选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，若平台会员人数至少达到12万才能开启“漳州非遗专场直播”，请问至少第几个月才能开启该专场直播. 【解析】(1)①，理由如下： 由给定数表知，函数定义域为，会员人数增长速度随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数的增长速度随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，当时，会员人数的增长速度随增大而减缓，符合题意. 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将数据组代入，得，解得. 因此. 函数在定义域上单调递增. 令，则，所以. 因为，且，所以. 所以所求函数模型的解析式为，预测至少第11个月会员人数达到12万. 【变式4-1】（2026·高一·安徽安庆·期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【解析】（1）由题可知，图象经过点和，代入解析式得，解得， 所以函数解析式为； （2）由题意可得，即， 因为是增函数，所以， 所以，解得， 即小张每天课外锻炼时间不少于分钟. 【变式4-2】（2026·高一·四川成都·期末）某商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示： x（万元） 2 3 5 y（万元） 1 2 3 (1)根据表中数据，你认为函数模型与哪个更合理？请说明理由，求出该函数模型的解析式并写出该函数恒过的定点； (2)若要使该店的纯利润不低于5万元，根据（1）中所选函数模型计算销售收入至少要达到多少万元． 【解析】（1）更合理，理由如下，恒过定点； 对于， 将、代入得，可得， 所以，显然时，满足， 对于， 将、代入得，可得， 所以，显然时，不满足， 故函数模型更合理，且函数恒过定点； （2）∵要使该店的纯利润不低于5万元， ∴， ∴，则， ∴，故销售收入至少要达到17万元. 【变式4-3】（2026·高一·广东广州·阶段检测）某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为元． 15 20 25 30 105 110 105 100 (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④． 请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用问题（2）中的函数，求的最小值． 【解析】（1）由题可知，， 整理得，解得； （2）由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减， 而函数模型：①；③；④，均为单调函数， 故选择模型②：. 由，可得，可得， 解得，则. 由，解得， 则. （3），， ，. 当时，， ，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最小值为； 当时，， 易知与在上单调递减， 故在上单调递减， 故时，的最小值为. 综上，因为，故的最小值为元. 1．某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过，则至少应过滤的次数为（已知：）（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【解析】设至少需要过滤n次，则， 所以，即， 又，所以，至少应过滤11次. 2．（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【解析】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 3．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．“进步”的是“落后”的10倍只需要大约经过（     ）天．（参考数据：， A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【解析】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍， 依题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为， 因此，两边取常用对数，得， 则， 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. 4．（2026·高二·安徽合肥·期末）我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则我市全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（     ）（参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 【答案】C 【解析】设经过年，全年投入的研发资金超过2000万元， 根据题意得：，化简得：. 因为在上单调递增，不等式两边同时取常用对数得： ， 代入参考数据得： ，解得. 因为为正整数，故的最小值为4，所以对应年份为年. 5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（   ） 1.992 3 4 5.15 6.126 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题中表格可知函数在上是增函数，且的变化随的增大而增大得越来越快，故排除AC，对比BD选项，D选项的预测值远大于实际数据，因此排除D，故选B. 6．三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 【答案】C 【解析】在同一坐标系内画出，，的图象，如图所示， 当时，，，，且时，指数型函数增长速度最快， 对于A，D，当时，总走在最前面，A，D正确； 对于B，当时，由图象可知总走在最前面，B正确； 对于C，当时，，，此时走在最后面，故C错误． 故选：C. 7．（2026·高一·河南·期末）某生态修复项目计划对一片沙化土地进行植被恢复.已知到2025年底植被恢复面积为10万亩，即初始值．经过年后该地区植被恢复面积为万亩，且，满足关系式，其中为增长系数．若增长系数为0.2，则到2030年底植被恢复面积为（    ） A．20万亩 B．16万亩 C．15万亩 D．12万亩 【答案】B 【解析】  由题可知，到2030年底时，， 此时，所以， 所以，所以， 解得． 故到2030年底植被恢复面积为万亩. 故选：B. 8．（2026·高一·云南红河·期末）某城市污水处理厂配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物含量与时间（单位：小时）的关系满足（为最初污染物数量，是正常数）．如果前4个小时消除了的污染物，则至少需再经过多少小时可消除污染物的（精确到个位）．参考数据：，．（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意知，当时，消除了的污染物，剩余的污染物， 所以，得， 当污染物消除时，剩余， 得，即，， ， 即，又因为已经过了4小时， 所以至少还需经过的时间为：， 所以至少需再经过2小时． 故选：B． 9．（2026·高一·安徽阜阳·期末）地震发生时会释放大量能量，这些能量是造成地震灾害的元凶．研究表明地震释放的能量E(单位:焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系．若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则5.5级地震所释放的能量约为（   ）(参考数据:) A． 焦耳 B． 焦耳 C． 焦耳 D． 焦耳 【答案】B 【解析】设， 则，解得， 所以，则， 当时，． 故选：B． 10．（2026·高一·安徽芜湖·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过小时才能驾驶. 故选：C. 11．（2026·高一·河南焦作·期末）伯努利原理是流体力学中的基本定律之一，其数学表达式为，其中为压强（单位：帕斯卡），为密度（单位：千克每立方米），为重力加速度（取米每二次方秒），为常数（单位：帕斯卡），为速度（单位：米每秒），为高度（单位：米）.现对某液体增压，使其在空中匀速下降，此时，，为运动时间（单位：秒）.若当运动时间为秒时，在时，函数有且仅有个零点，则该液体密度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件知此时，且， 注意到， 易知函数在时单调递减， 由零点存在定理知，可得. 故选：C. 12．（2026·高一·山东青岛·期末）英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下人口增长模型：（其中表示经过的时间，表示当时的人口数，表示人口的增长率），2025年5月联合国经济和社会事务部下属的人口司宣布，全球人口总数将于2025年底达到80亿，2100年底达到100亿．则2025年底到2100年底这段时间内的人口增长率约为（    ）（，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记2025年底全球人口总数为，则， 由题意得当时，， 代入得， 则， 即2025年底到2100年底这段时间内的人口增长率约为. 故选：B. 13．（2026·高一·四川南充·阶段检测）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系： ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则实数的值为________，的最小值是________万元． 【答案】 40 【解析】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得 . 当且仅当，即时取等号. 14．（2026·高一·浙江衢州·期末）碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 【答案】 【解析】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒）， 则，，又 则 （米／秒）， 所以开赛1分钟后，甲队比乙队多划行（米）. 故答案为： 15．（2026·高一·浙江嘉兴·期中）某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. (1)求的函数关系式； (2)求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 【解析】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得， 则可得，； 又当时，曲线是函数，（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，又，所以， 则可得，； 综上可得. （2）由题意知，当药物浓度大于等于4时治疗有效， 当时，令， 解得：， 当时，令， 解得：， 综上可得，， ∵， ∴该药物的有效治疗时长约为小时. 16．（2026·高一·安徽淮北·阶段检测）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？ 【解析】（1）由题意得，， ， 当时，， 则（秒） 当且仅当时等号成立． 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒； （2）要求对任意，恒成立， 即对任意，，即恒成立． 由，得， ，即，． ． 即汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下． 17．（2026·高一·广东·阶段检测）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化珠江上游水域的水质．省环保局于2024年年底在珠江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，经过2个月测得蒲草覆盖面积为，经过3个月测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积与经过个月的关系式有两个函数模型与可供选择． (1)根据以上测量数据，分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2024年年底投入蒲草之前测得原来蒲草覆盖的面积初始值为，从上述两个函数模型中选择更符合实际情况的一个模型，说明理由，并估算从2024年年底开始至少经过几个月蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，，）． 【解析】（1）由已知，所以； 由已知，所以 ； （2）若用模型，则当时，， 若用模型，则当时，， 更接近，使用模型更为合适. 由，所以，所以， 故取，所以至少经过14个月蒲草覆盖面积能达到. 1．（2026·高一·四川泸州·期末）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（    ）（取：） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，的物块经过后的温度， 的物块经过后的温度. 要使得两块物体的温度之差不超过，则， 即，解得. 2．某企业年全年投入研发资金亿元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是（　　） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设经过年全年投入的研发资金开始超过亿元，则，那么 ，取最小正整数,对应年份为. 即该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是. 3．荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】C 【解析】设初始覆盖面积为，天后的覆盖面积为，荷叶天可以完全长满荷塘水面， 设天后荷叶刚好覆盖水面面积的，可得，，解得. 故当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了天. 4．为了预防流感病毒，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式为______； （2）据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过______小时后，学生才能回到教室． 【答案】 0.6 【解析】（1）从图中可以看出：当时，， 代入即可得方程中的，所以． （2）由题设，则，即， 故，所以， 因此从药物释放开始至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 5．（2026·高一·贵州黔东南·开学考试）经科学研究，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏级M之间有关系为，2011年某海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的___________倍. 【答案】 【解析】， 当时，， ，， 当时，， ，， . 故答案为：. 6．已知某观光海域段的长度为3万米，一游艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：万米/小时）的以下数据： 0 1 2 3 0 0.7 1.6 3.3 为描述该游艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：． (1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式． (2)该游艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少？并求出最少航行费用． 【解析】（1）若选择函数模型，则该函数在上单调递减，这与试验数据相矛盾， 所以不选择该函数模型． 从而只能选择函数模型， 由试验数据可得，，解得， 故所求函数解析式为． （2）设游艇在段的航行费用为万元， 由题意知游艇在段航行所需时间为时，其中， 结合（1）知， 所以当时，取得最小值2.1， 所以该游艇应以1万米／小时的速度航行才能使段的航行费用最少，最少航行费用为2.1万元． 7．（2026·高一·北京顺义·期末）某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 【解析】（1）选择模型①，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型③，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型②，由函数过点，得，解得， 此时函数的解析式为，当时，，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，由每位学生每天得分不少于5分， 得，即，则， 解得， 所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少篅要锻炼47分钟. 8．（2026·高一·江西赣州·期末）近年来，中国新能源汽车持续领跑全球，引领着全球汽车产业的转型发展浪潮，年中国新能源汽车产销突破万辆.现有某种型号的新能源汽车经多次实验得到每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示. 为了描述该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择，，. (1)当时，选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，请说明理由;并求出相应的函数解析式； (2)当时，该型号新能源汽车应以多少速度行驶时百公里耗电量（单位：）最小?并计算出该最小值. 【解析】（1）对于 ，当 时，它无意义，所以不符合题意； 对于 ，它显然是个减函数，所以不符合题意， 故选 ． 根据提供的数据，则有 ，解得 ， 当 时， ． （2）设车速为 ，行驶时百公里所用时间为 ， 所耗电量， 要使耗电量达到最小，即 ． 该电动汽车的电池所需的最小容量为. 9．（2026·高一·重庆·阶段检测）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 (1)给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: (2)设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 【解析】（1）由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减， 由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适， 把，，代入， 得，所以，所以， 显然，也满足函数的解析式， 所以； （2）， 当，时， ， 当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为， 当，时， ， 此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为， 综上所述：函数的最小值为元. 10．（2026·高一·四川成都·期末）科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 【解析】（1）因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢， 根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即， 由题意可得：，解得：， 所以该模型的解析式为：， （2）由（1）知：， 由题意知：，也即，则有， ∴，∴， ∴至少需要4秒． 11．（2026·高一·内蒙古赤峰·期中）甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题： (1)写出两城市的人口总数y(万人)与经过年数x(年)的函数关系式； (2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)； (3)对两城市人口增长情况作出分析. 参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430. 【答案】(1)甲城市人口总数，乙城市人口总数； (2) 10年后 20年后 30年后 甲 112.7 126.9 143.0 乙 113 126 139 (3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异. 【分析】 （1）根据题意求出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式，一个是指数型，一个是线性；（2）列出表格，分别求出10年、20年、30年后两城市的人口总数；（3）指数型增长与线性增长速度的差异性比较. 【详解】 （1）1年后甲城市人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后甲城市人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2； 3年后甲城市人口总数为100×(1＋1.2%)3； …； x年后甲城市人口总数为＝100×(1＋1.2%)x. x年后乙城市人口总数为＝100＋1.3x. （2）10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示. 10年后 20年后 30年后 甲 112.7 126.9 143.0 乙 113 126 139 （3）甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异. 12．（2026·高一·辽宁·期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域 (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【解析】（1）由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数 所以选择模型②， 由，可得，解得 由，解得 所以日销售量与时间的变化的关系式为. （2）由（1）知： 所以 即 当时， 由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上，当时，函数取得最小值441元. 13．（2026·高三·上海黄浦·期中）研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【解析】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则， 即，可得， 所以且； （2）令， 则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为； （3）由，即，所以进行实验时的室温约为 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.6 函数的应用（二） 教学目标 1.掌握指数函数、对数函数、幂函数的增长差异与适用场景，能运用常见函数模型解决实际应用问题； 2.经历从实际情境中抽象数学关系、构建函数模型的过程，提升数据分析与数学建模能力，落实数学核心素养； 3.体会函数的现实应用价值，培养用数学思维解决生活问题的意识。 教学重难点 1.重点 几类函数的增长特征对比，利用已知函数模型分析求解实际问题。 2.难点 结合实际问题的背景与数据变化规律，自主选择并建立适配的函数模型。 知识点01 函数模型 1、指数函数模型：（为常数，，且） 2、对数函数模型：（为常数，，且） 3、幂函数模型：（为常数，） 【即学即练】 1．（2026·高三·福建南平·阶段检测）深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数(其中).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为（    ）. A．5 B．8 C．9 D．10 题型一：指数函数模型 【典例1-1】为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放完毕后，求每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式； (2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【典例1-2】大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务.某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少，那么要让有害气体减少到原来的，求至少要经过几次处理(参考数据：). 【变式1-1】为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为，2026年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据：） 【变式1-2】某城市现有人口总数为万人，如果年自然增长率为，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式； (2)计算年后该城市人口总数（精确到万人）； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到万人（精确到年）． （取，） 【变式1-3】（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）由于某种寄生菌的大面积繁殖，某个池塘遭到了严重污染．塘主购买了杀菌剂，由于顾及池塘内鱼类的生存，杀菌剂一次只能投放一定的剂量．已知每投放1次杀菌剂能使池塘内的寄生菌减少． (1)投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的百分之多少？ (2)要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的，则至少要投放多少次？ 参考数据：． 题型二：对数函数模型 【典例2-1】分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声级来描述声音的大小：把一个小的声压(帕)作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是(分贝)．分贝值在60以下为无害区，为过渡区，110以上为有害区． (1)试列出分贝值与声压的函数关系式； (2)某地声压，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ (3)2008年奥运会开幕式上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了，试求此时鸟巢内的声压是多少． 【典例2-2】（2026·高一·山西吕梁·期末）某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求的函数关系式； (2)当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为多少？ (3)一道数学难题，讲解需要20分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 【变式2-1】（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为火箭发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比. (1)已知某型号单级火箭发动机的喷射速度为2千米/秒，当该型号单级火箭的质量比为4时，求该单级火箭的最大理想速度； (2)在（1）的条件下，该型号单级火箭经过材料更新和技术改进后，其火箭发动机的喷射速度变为原来的2倍，若使该型号火箭的最大理想速度增加2千米/秒，求改进后该火箭的质量比； (3)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10，如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.（参考数据：，无理数） 【变式2-2】（2026·高一·河北·期末）甲醛是许多住房建材会释放的一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛的浓度不能超过0.08毫克每立方米，否则，该新房达不到安全入住标准．已知某住房自装修完成后，通风时长（，单位：天）与室内甲醛浓度（单位：毫克每立方米）满足关系式，且当时，． (1)求的值； (2)求至少通风多少天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 【变式2-3】（2026·高一·贵州铜仁·期末）在有声的世界中，声强级是表示声强度相对大小的指标，其单位为（分贝），声强级由公式给出，其中，为声强，其单位为（瓦／平方米）（参考数据：，）． (1)一般人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，求人听觉的声强级范围； (2)某企业对其生产车间进行升级降噪，噪声从87分贝降低到77分贝，求升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的多少倍？ (3)已知点声源发出的声音在空气中传播的声强与距离的平方成反比．若在距离声源10米处的声强级为70分贝，求在距离声源50米处的声强级． 题型三：幂函数模型 【典例3-1】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 【典例3-2】（2026·高一·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式3-1】（4.1 幂函数）在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到） 【变式3-2】（2026·高一·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【变式3-3】（2026·高一·湖南衡阳·开学考试）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 题型四：函数拟合问题 【典例4-1】（2026·高一·四川泸州·阶段检测）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②且 (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【典例4-2】（2026·高一·福建漳州·期末）近年来，漳州文旅直播平台以“闽南文化推广”为主题，聚焦漳州土楼，闽南古厝，漳州小吃等内容.从2025年初上线后会员人数逐月增加，下表是平台上线第个月的会员人数统计： 平台上线第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请恰当选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，若平台会员人数至少达到12万才能开启“漳州非遗专场直播”，请问至少第几个月才能开启该专场直播. 【变式4-1】（2026·高一·安徽安庆·期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【变式4-2】（2026·高一·四川成都·期末）某商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示： x（万元） 2 3 5 y（万元） 1 2 3 (1)根据表中数据，你认为函数模型与哪个更合理？请说明理由，求出该函数模型的解析式并写出该函数恒过的定点； (2)若要使该店的纯利润不低于5万元，根据（1）中所选函数模型计算销售收入至少要达到多少万元． 【变式4-3】（2026·高一·广东广州·阶段检测）某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为元． 15 20 25 30 105 110 105 100 (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④． 请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用问题（2）中的函数，求的最小值． 1．某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过，则至少应过滤的次数为（已知：）（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 3．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．“进步”的是“落后”的10倍只需要大约经过（     ）天．（参考数据：， A．110 B．115 C．120 D．125 4．（2026·高二·安徽合肥·期末）我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则我市全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（     ）（参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（   ） 1.992 3 4 5.15 6.126 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A． B． C． D． 6．三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 7．（2026·高一·河南·期末）某生态修复项目计划对一片沙化土地进行植被恢复.已知到2025年底植被恢复面积为10万亩，即初始值．经过年后该地区植被恢复面积为万亩，且，满足关系式，其中为增长系数．若增长系数为0.2，则到2030年底植被恢复面积为（    ） A．20万亩 B．16万亩 C．15万亩 D．12万亩 8．（2026·高一·云南红河·期末）某城市污水处理厂配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物含量与时间（单位：小时）的关系满足（为最初污染物数量，是正常数）．如果前4个小时消除了的污染物，则至少需再经过多少小时可消除污染物的（精确到个位）．参考数据：，．（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026·高一·安徽阜阳·期末）地震发生时会释放大量能量，这些能量是造成地震灾害的元凶．研究表明地震释放的能量E(单位:焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系．若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则5.5级地震所释放的能量约为（   ）(参考数据:) A． 焦耳 B． 焦耳 C． 焦耳 D． 焦耳 10．（2026·高一·安徽芜湖·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 11．（2026·高一·河南焦作·期末）伯努利原理是流体力学中的基本定律之一，其数学表达式为，其中为压强（单位：帕斯卡），为密度（单位：千克每立方米），为重力加速度（取米每二次方秒），为常数（单位：帕斯卡），为速度（单位：米每秒），为高度（单位：米）.现对某液体增压，使其在空中匀速下降，此时，，为运动时间（单位：秒）.若当运动时间为秒时，在时，函数有且仅有个零点，则该液体密度的最小值是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·高一·山东青岛·期末）英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下人口增长模型：（其中表示经过的时间，表示当时的人口数，表示人口的增长率），2025年5月联合国经济和社会事务部下属的人口司宣布，全球人口总数将于2025年底达到80亿，2100年底达到100亿．则2025年底到2100年底这段时间内的人口增长率约为（    ）（，） A． B． C． D． 13．（2026·高一·四川南充·阶段检测）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系： ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则实数的值为________，的最小值是________万元． 14．（2026·高一·浙江衢州·期末）碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 15．（2026·高一·浙江嘉兴·期中）某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. (1)求的函数关系式； (2)求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 16．（2026·高一·安徽淮北·阶段检测）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？ 17．（2026·高一·广东·阶段检测）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化珠江上游水域的水质．省环保局于2024年年底在珠江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，经过2个月测得蒲草覆盖面积为，经过3个月测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积与经过个月的关系式有两个函数模型与可供选择． (1)根据以上测量数据，分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2024年年底投入蒲草之前测得原来蒲草覆盖的面积初始值为，从上述两个函数模型中选择更符合实际情况的一个模型，说明理由，并估算从2024年年底开始至少经过几个月蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，，）． 1．（2026·高一·四川泸州·期末）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（    ）（取：） A． B． C． D． 2．某企业年全年投入研发资金亿元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是（　　） （参考数据：） A． B． C． D． 3．荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 4．为了预防流感病毒，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式为______； （2）据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过______小时后，学生才能回到教室． 5．（2026·高一·贵州黔东南·开学考试）经科学研究，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏级M之间有关系为，2011年某海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的___________倍. 6．已知某观光海域段的长度为3万米，一游艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：万米/小时）的以下数据： 0 1 2 3 0 0.7 1.6 3.3 为描述该游艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：． (1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式． (2)该游艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少？并求出最少航行费用． 7．（2026·高一·北京顺义·期末）某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 8．（2026·高一·江西赣州·期末）近年来，中国新能源汽车持续领跑全球，引领着全球汽车产业的转型发展浪潮，年中国新能源汽车产销突破万辆.现有某种型号的新能源汽车经多次实验得到每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示. 为了描述该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择，，. (1)当时，选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，请说明理由;并求出相应的函数解析式； (2)当时，该型号新能源汽车应以多少速度行驶时百公里耗电量（单位：）最小?并计算出该最小值. 9．（2026·高一·重庆·阶段检测）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 (1)给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: (2)设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 10．（2026·高一·四川成都·期末）科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 11．（2026·高一·内蒙古赤峰·期中）甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题： (1)写出两城市的人口总数y(万人)与经过年数x(年)的函数关系式； (2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)； (3)对两城市人口增长情况作出分析. 参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430. 12．（2026·高一·辽宁·期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域 (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 13．（2026·高三·上海黄浦·期中）研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $