4.7 数学建模活动：生长规律的描述 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦数学建模完整流程及指数函数等模型描述生长规律，通过呈现玉米和儿童身高数据引导观察增长趋势，搭建从数据描点作图到模型选择的学习支架，衔接函数知识与实际应用。 以案例分析与动手操作为核心特色，学生经历建模全流程，如用玉米数据选指数模型、求解参数并检验改进，体现用数学眼光观察规律、用数学思维推理优化，提升建模素养和数据处理能力，为教师提供可操作的实践教学方案。

数学 人教B版 必修第二册 高一 4.7 数学建模活动：生长规律的描述 教学设计-2026-2027学年 1. 教学设计 授课内容 数学建模活动：生长规律的描述 课型 新授课 教学目标 1.经历数学建模的完整过程（发现问题、提出问题→建立模型→求解→检验），能借助指数函数等模型描述生物生长规律；2.掌握列表、描点作图、观察变化趋势、选择模型类型、确定参数、检验误差等数据处理方法；3.体会数学建模的实际价值，提升数学建模核心素养。 教学重点 经历数学建模的完整过程，用指数函数等模型描述生长规律。 教学难点 根据数据的变化趋势选择合适的函数模型；模型参数确定与检验改进。 教学准备 多媒体课件、坐标纸、科学计算器 课时安排 1课时 2. 教学方法 本节以数学建模论文示例《生长规律的描述》为载体，采用案例分析与实践操作相结合的教学方式。教师引导学生经历从实际问题出发、建立函数模型、求解并检验改进的完整建模流程。教学中安排学生动手列表、描点、作图、计算参数，在操作中体会模型选择与误差分析的思路。对于生长后期增长速度变慢的现象，引导学生对比指数模型的预测值与实际数据，发现模型局限并讨论改进方案，培养批判性思维与合作探究能力。 3. 板书设计 4.7 数学建模活动：生长规律的描述 一、建模流程：发现问题→建立模型→求解→检验改进 二、数据与图象 玉米生长数据（天数—高度） 描点作图 → 观察增长趋势 三、模型选择 前期：y = 2·（指数型增长） 后期：增长趋缓 → 需改进模型 四、参数确定 取两点代入方程 → 解出 k 五、模型检验 计算模型值 → 与实际值比较 误差较大 → 分段建模或换模型 六、建模论文撰写要点 4. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 时间 1.发现与建模 → 2.求解与检验 → 3.总结交流 呈现玉米生长数据，引导观察趋势；指导选择模型、确定参数；组织交流汇报 阅读数据，描点作图；分组讨论，代入求解参数；展示成果，互评补充 经历完整建模流程，体会模型选择与检验改进 45分钟 1. 发现问题、提出问题 教师呈现农业专家研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度数据：生长天数 x（天）依次为0、5、10、15、20、25、30，对应植株高度 y 依次为2、4、8、15、26、38、46。教师引导学生观察数据变化规律，指出玉米的植株高度随生长天数增加而增大，但增长速度先快后慢。教师进一步说明，原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》中我国7岁以下女童身高（长）的中位数数据也呈现类似规律——增长速度越来越慢。教师由此提出核心问题，引导学生思考如何用函数模型描述这种生长规律。学生意识到需要先画出散点图，观察数据分布趋势，再选择合适的函数类型。 2. 分析问题、建立模型 教师指导学生在坐标纸上描出各数据点，观察散点图的分布趋势。学生描点后发现：前期数据点近似分布在一条指数曲线上，后期增长速度明显趋缓，数据点逐渐偏离指数曲线。教师引导学生分析：生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度。生长前期增长较快，可用指数型函数近似描述；后期增长速度变慢，需要更换模型。教师引导学生选择模型：设前期模型为 y = 2·（由 x = 0 时 y = 2 确定 a = 2），其中 k 为待定参数。 3. 求解模型 教师指导学生选取 x = 10、y = 8 这组数据确定参数 k。将数据代入模型：2· = 8，两边除以2得 = 4，两边取自然对数得 10k = ln4，因此 k = ≈ 0.1386。前期模型为 y = 2·。教师进一步引导学生验证其他数据点：当 x = 5 时，y = 2· ≈ 2×2 = 4，与实际值4一致；当 x = 15 时，y = 2· ≈ 2×8 = 16，与实际值15接近，误差为1。 4. 检验与改进 教师引导学生计算 x = 20 时的模型值：y = 2· = 2· ≈ 2×16 = 32。实际值为26，误差为32 − 26 = 6，模型值明显偏大。教师指出这说明随着生长天数增加，植株高度的增长速度逐渐变慢，单一的指数增长模型不再适用于描述后期生长规律。教师组织学生分组讨论改进方案，学生讨论后提出：可将数据分为前后两段，前期（0~15天）用指数型函数 y = 2· 描述，后期（15~30天）改用增长趋缓的模型进行描述。教师补充说明，后期可尝试对数型函数或饱和增长模型 y = a − b·，其中 a 为生长的极限高度。教师强调，数学建模是一个反复检验与改进的过程，没有完美的模型，只有更合适的模型。 课堂形成性练习 例1 下表是某地区玉米在不同生长阶段的植株高度数据：生长天数 x（天）取值为0、5、10、15、20时，植株高度 y 分别为2、4、8、15、26。 （1）在坐标系中描出各数据点，描述变化趋势； （2）用指数型函数 y = 2· 拟合前期数据，求参数 k； （3）计算 x = 20 时的模型值，与实际值比较，判断模型是否需要改进。 参考答案： （1）数据点呈快速增长趋势，增长速度先快后慢。 （2）取 x = 10、y = 8，代入得 2· = 8， = 4，k = ≈ 0.1386。 （3）x = 20 时，y = 2· ≈ 32，实际值为26，误差为6，模型值偏大，说明后期增长趋缓，需要改进模型。 5. 课堂小结 教师引导学生回顾本节课的建模流程：从玉米生长数据出发，经历发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解模型、检验与改进等环节，体会到生长前期可用指数型函数近似描述，后期增长趋缓需要改进模型。教师强调数学建模的核心思想是从实际数据出发，选择合适的函数模型，通过参数确定和误差检验不断改进模型，使其更好地描述现实规律。 5. 教学反思 课堂形成性练习反馈 多数学生能正确描点作图并观察增长趋势，在参数求解中能正确代入数据得到 k ≈ 0.1386。部分学生对指数运算不熟练，计算 时出现困难，需加强指数与对数运算的训练。 教学反思 教师应根据本班学生的实际情况，调整数据处理的难度与节奏。若学生计算能力较弱，可适当简化参数求解过程或提供半成品计算；若学生基础较好，可引导其尝试分段建模或探索对数型、幂函数型等其他增长模型。教学中应注重让学生经历完整的建模流程——从发现问题到检验改进，而非仅关注计算结果。此外，应鼓励学生撰写简短的建模报告，提升数学表达能力。 学科网（北京）股份有限公司 $