专题4.3 指数函数与对数函数的关系（高效培优讲义）（9大题型）高一数学人教B版必修第二册

专题4.3 指数函数与对数函数的关系 教学目标 1．理解反函数概念及指数、对数函数的反函数关系 2．掌握反函数的核心性质与求法步骤 3．能运用性质解决图像对称、定义域值域互化问题 教学重难点 1.重点 反函数的定义、指数与对数函数的反函数关系 2.难点 反函数的求解（含定义域值域转化） 知识点01 反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到． 【即学即练】 1．（2026·高一·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】函数是函数的反函数， 则，所以. 2．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知， 函数是函数的反函数，所以，即， 故选：A. 知识点02 反函数的性质 若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 【即学即练】 1．（2026·高一·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 【答案】A 【解析】的反函数满足，化简可得， 所以，因为反函数的图象关于直线对称， 即与关于直线对称， 故选：A. 2．（5.4反函数）下列各图中，存在反函数的函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域， 所以要有反函数，则的定义域与值域建立一一对应关系，结合各个选项的图形，选项C满足题意， 故选：C. 知识点03 求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 【即学即练】 1．（2026·辽宁鞍山·一模）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以函数的值域为， 由，所以，得， 所以， 所以函数的反函数为. 故选：B. 2．函数的反函数是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，可得， 互换可得函数的反函数是， 故选D. 知识点04 指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 【即学即练】 1．（2026·吉林·二模）已知 是方程的根， 是方程的根，则的值为（  ） A．2016 B．2017 C．2018 D．1009 【答案】C 【解析】由题意，是和的图像的交点， 是和的图像的交点， 又和的图像关于直线对称，且和垂直且交于， 所以和关于对称，故. 故选：C. 2．（2026·高一·广东汕尾·期末）已知方程和的根分别是，则的值是（   ） A．2 B．4 C．12 D．6 【答案】D 【解析】设和的根分别为， 即和分别与的交点的横坐标； 又因为与互为反函数，即两个函数图像关于对称； 又图像也关于对称， 则和与的交点也关于对称， 即两交点与关于对称（两交点横纵坐标交叉相等）， 故，，所以. 故选：D. 题型01 反函数存在的条件 【典例1-1】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若函数在上存在反函数， 则函数在上单调即可， 又因为函数在上递减，在上递增， 所以，所以. 故选：B. 【典例1-2】函数存在反函数是函数为单调函数的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】函数存在反函数等价于x,y一一对应 所以函数存在反函数,但不一定是单调函数 而函数为单调函数,则一定存在反函数 所以函数存在反函数是函数为单调函数的必要不充分条件 故选:B 【变式1-1】下列函数中，存在反函数的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当y=1时，x，不存在反函数； 对于B，当y=1时，x，不存在反函数； 对于C，当y=0时，x=0或2，不存在反函数； 对于D，是单调函数，显然存在反函数， 故选D 【变式1-2】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y至多对应一个x. 对于A，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，A错； 对于B，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，B错； 对于C，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，C错； 对于D，满足反函数的定义，D对. 故选：D 【变式1-3】（2026·高三·山东东营·阶段检测）已知函数，存在反函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】函数，存在反函数，即函数在上是一一映射，只需函数在上单调即可，因为函数的对称轴为，故当或时，函数在上单调，即函数，存在反函数. 故选：A. 题型02 求反函数的解析式 【典例2-1】函数的反函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由，可得，故原函数的反函数为，． 【典例2-2】（2026届广西桂林中学高三第二次月考理科数学试卷）已知函数，则的反函数是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查反函数概念，能根据原函数求出反函数. 由得： 则的反函数为.故选A 【变式2-1】（2026·高一·江西新余·期末）函数的反函数为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，，所以，故选C 考点：反函数概念、指对数概念 【典例3-1】函数的反函数是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵由可得 ∴ 故选：C 【典例3-2】若函数的反函数为，则等于（    ） A．2 B．-2 C．3 D．-1 【答案】B 【解析】由得， 又，∴，∴（），∴. 故选：B 题型03 过定点问题 【典例4-1】（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 【典例4-2】（2026·上海浦东新·一模）已知函数存在反函数，若函数过点，则函数恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数过点， 函数过点， 函数恒过点； 故选：B. 【变式4-1】（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的反函数的图象过点， 所以函数的图象过点， 所以有. 故选：B 【变式4-2】设函数的图象过点（2，1），其反函数的图象过点（2，8），则等于 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为的反函数的图象过点， 因此函数的图象过点. 又过点， 则所以 解得或 又，所以 所以. 故选B 【变式4-3】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的反函数图象过点， 函数的图象必过点. 故选：C. 题型04 反函数含参问题 【典例5-1】（2026·高一·河南洛阳·阶段检测）若函数的图像过点，其反函数的图像过点，则（    ） A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】B 【解析】由函数的图像过点，又由其反函数的图像过点，则函数过点， 可得，即，解得，所以. 故选：B. 【典例5-2】（2026·高一·全国·阶段检测）已知方程与的实数根分别为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为函数与的图象关于直线对称， 且直线也关于直线对称，且两条直线的交点坐标为， 所以直线与曲线的两交点关于点对称， 所以，可得． 故选：A． 【变式5-1】关于的方程，的根分别为，，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】，． 作出，和的图象如图所示． ，两点的横坐标分别是，，点，关于直线对称， ∴，两点的中点是．联立和， 求得点的横坐标为，∴． 故选：A 【变式5-2】（2026·高一·安徽亳州·期末）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将题中式子变形得，， 令，则， 故，分别为和与的交点， 由函数的对称性可知，，关于对称， 故，即， 故选：B． 【变式5-3】（2026·高二·重庆·期中）已知正实数满足，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由可得 由得， 设，则， 因此分别是与直线的交点的横坐标， 由于互为反函数，图象关于直线对称， 联立与可得，因此， 故，结合，因此，故， 故选：B 题型05 反函数的定义域问题 【典例6-1】函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数函数的性质可得：函数的值域为， 则反函数的定义域为. 故选：D. 【典例6-2】（2026·高一·辽宁营口·期末）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， 则的值域为， 反函数的定义域为原函数的值域， 反函数的定义域为， 故选：D. 【变式6-1】函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 【变式6-2】函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴函数的值域为， ∵的定义域即函数的值域， ∴的定义域为． 故选：C 【变式6-3】（2026·高三·上海黄浦·阶段检测）已知的反函数为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的反函数为, 所以的定义域为的值域, 因为, 所以, 即的值域为, 所以的定义域为. 故选. 题型06 反函数的值域问题 【典例7-1】（2026·高二·辽宁·学业考试）已知函数与的图象关于对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为与的图象关于对称，所以与互为反函数， 即可得． 因为，所以， 因为，所以在上单调递减， 即可得，即的值域为． 故选：D． 【典例7-2】（2026·广东·模拟预测）设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以可得或， 所以的定义域为或， 因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得， 所以的定义域为， 因为函数图象与函数图象关于直线对称， 所以与互为反函数， 故的值域即为的定义域. 故选：. 【变式7-1】（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数过点，则，解得， ∴，的反函数为，得， 由，∴的定义域为，当，有，则的值域为. 故选：D 【变式7-2】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】因为， 且函数的定义域为，则为奇函数， 因为均为上的单调增函数，则也为上的增函数， 根据函数与反函数关于直线对称， 则函数的反函数也为定义域上的奇函数、增函数， 故在上单调递增，且的关于点对称， 因为，则， 即其最大值与最小值之和为. 故选：A. 【变式7-3】（2026·高一·辽宁大连·期末）已知函数在定义域上满足，，函数的反函数为，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【解析】由题意，令，满足上且， 此时且定义域为， 所以定义域为，且单调递增， 所以. 故选：C 题型07 反函数的图象 【典例8-1】（2026·高一·浙江丽水·期末）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】D 【解析】因为与互为反函数， 所以函数与的图象关于直线对称， 故选：D 【典例8-2】（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）已知函数是的反函数，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是的反函数， 所以， 则， 则，解得， 所以函数的定义域为，故排除AB； 令，在上是减函数， 而函数是减函数， 所以函数在上是增函数，故排除C. 故选：D. 【变式8-1】（2026·高三·上海闵行·开学考试）设定义域为的函数存在反函数，现有下述两个相关命题： ①若的图象是连续不断的曲线，且的图象有交点，则图象与直线相交； ②若对任意，，则图象与直线相交. 则对于命题①与命题②的真假性判断，正确的为（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】B 【解析】①真：由互为反函数的两个函数图象关于对称可得图象的交点关于的对称点依旧是图象的交点， 又的图象是连续不断的曲线，则根据零点存在定理得图象与直线相交； ②假：反例如下图： 故选：B 【变式8-2】（2026·高一·福建泉州·期末）若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【解析】由题意函数 与函数 互为反函数， 所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点， 对比选项可知A符合题意. 故选：A. 【变式8-3】（2026·高一·陕西商洛·期中）已知函数的图象如下图所示，函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可得，，故，又函数的图象与的图象关于直线对称，故与互为反函数，故 故选：C 题型08 反函数与单调区间 【典例9-1】（2026·高一·云南昆明·期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数与的图象关于直线对称，则， ∴，由，解得，令，， 在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减， ∴的单调减区间为. 故选：D. 【典例9-2】（2026·高一·安徽合肥·期中）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调减区间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，函数是函数的反函数， 所以，即， 令，解得， 又是减函数，在上增，在上减， 由复合函数的单调性知，单调减区间为． 故选：C． 【变式9-1】（2026·高一·辽宁·阶段检测）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵函数与的图象关于直线对称， ∴函数是的反函数，则， ∴， 由，解得， 令，， 在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递减， ∴的单调增区间为． 故选：A． 【变式9-2】（2026·高一·江西新余·期末）若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是______． 【答案】 【解析】因为与函数互为反函数，所以，在定义域上为减函数， 令，解得：， 可知的定义域为， 则在上递增，在上递减， 利用复合函数的单调性可知： 在上递减，在上递增. 故答案为：. 【变式9-3】（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）若函数是函数的反函数，其图象过点，且函数在区间上是增函数，则正数的取值范围是____________ 【答案】 【解析】由题意可得函数，再根据其图象过点， 可得，即，． 函数在区间上是增函数，且， 函数在区间上是减函数， 故在区间上是增函数． 再根据在区间上大于零，且在，是增函数， 可得，解得， 故答案为：，． 题型09 指数函数与对数函数的综合应用 【典例10-1】（2026·高三·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 【典例10-2】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为（，且）的图象过点， 所以，解得，所以． 又因为函数是函数的反函数， 所以． （2）因为函数的定义域为，且在上单调递减，， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【变式10-1】（2026·高一·甘肃庆阳·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)若关于x的方程有解，求a的取值范围； (3)若，，，求n的取值范围. 【解析】（1）令，因为，所以，解得. 故的定义域为. （2）由题意得：， 由（1）得，，， 所以，，， 即的值域为. 若关于的方程有解，则a的取值范围为. （3）因为函数在上单调递减，函数在定义域内单调递增， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 因为，所以不等式可变形为：， 因为，所以由基本不等式可得：， 当且仅当时，等号成立， 即根据题意对，都使得不等式恒成立， 故， 即可得，变形可得：， 又因为，使得不等式成立，即， 此时对，都，使得，， 即满足. 故的取值范围为. 【变式10-2】（2026·高一·西藏拉萨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若成立，求x的取值范围． 【解析】（1）因为（，且）的图像过点， 所以，解得，所以． 又函数是函数的反函数，所以． （2）由（1）可知， 因为是减函数， 所以，所以函数的值域为． （3）因为在上单调递减，， 即，所以， 解得，所以x的取值范围为. 【变式10-3】（2026·高一·湖北恩施·期中）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且． (1)求函数，的解析式； (2)设m，n是方程的根，求的值． 【解析】（1）对于函数（且），，所以， 所以，即，所以，所以，所以； 又函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以； （2）由题意m，n是方程即的根， 令，则是二次方程的两根， 所以，所以， 又， 所以. 1．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】函数的反函数是. 已知反函数的图象过点，则有，解得， 因此原函数为，所以. 故选：D 2．（2026·高一·广西·阶段检测）已知函数与互为反函数，则（   ） A．-1 B．-2 C．3 D．1 【答案】A 【解析】因为函数与互为反函数，所以，则. 故选：A 3．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）把函数的图象关于y轴对称后得到的图象，则的图象与函数的图象关于（    ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称 【答案】D 【解析】由题意知，.因为指数函数与对数函数（且）互为反函数，图象关于直线对称，所以的图像与函数的图像关于直线对称. 故选：D. 4．（2026·高一·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】是的反函数，，． 故选：D 5．（2026·高一·广东广州·期末）已知函数，与互为反函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为与互为反函数， 所以， 所以 故选：B. 6．（2026·高一·广东潮州·期中）函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，于是，即反函数表达式为：， 由，解得， 于是. 故选：B 7．（2026·高二·广东广州·期中）函数的反函数是（    ） A． B． C． D．（） 【答案】A 【解析】因为，所以，所以，即 x，y互换，得：，. 故选：A 8．（2026·高三·广东梅州·开学考试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的图象与的图象关于直线对称， 故与互为反函数，故， 所以. 故选：C 9．（多选题）（2026·高一·广东·阶段检测）与函数的图象关于直线对称的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为函数与的图象关于直线对称， 故只需判断哪个函数与表示同一个函数， 因为函数的定义域为， 选项A的定义域为，故排除A； 选项BCD的定义域均为， 根据对数的运算法则，， 且. 故选：BCD 10．（多选题）（2026·高一·广东广州·阶段检测）设且，函数，下列说法正确的是（    ） A．与在各自的定义域内有相同的单调性 B．与两者的图象关于直线对称 C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数 D．与有相同的定义域和值域 【答案】ABC 【解析】由指对数关系知：互为反函数，即关于直线对称，B对； 由于相同，则在各自定义域上单调性相同，且都是非奇非偶函数，A、C对； 由定义域为R，值域为，定义域为，值域为R， 所以与的定义域和值域都不同，D错. 故选：ABC 11．（2026·高一·上海徐汇·期末）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 【答案】 【解析】因为函数的反函数的图像经过， 所以函数的图像经过， 又的图像经过， 所以. 故答案为： 12．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知函数，则_____. 【答案】4 【解析】令，则,因为,所以, 由反函数的定义可知,所以. 故答案为：4. 13．（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 【答案】 【解析】因为对数函数且的图象经过点， 所以，所以，所以对数函数的解析式为， 所以其反函数为. 故答案为： 14．已知函数. (1)求的反函数的值域； (2)若是的图像上一点，求的值. 【解析】（1）的值域即为的定义域， 原函数的定义域为， 所以反函数的值域为. （2）由题知点在函数的图象上， 则，解得，即a的值为2. 15．若方程的解分别为，求的值． 【解析】由题意可得， 在同一直角坐标系中作出的图象如下： 由图象可知与的图象分别交于点． 由于函数互为反函数，其图象关于对称， 联立与可得， 因此两点关于点对称，故． 16．（2026·高一·江西抚州·阶段检测）已知函数，函数与函数的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)求函数在区间内的值域. 【解析】（1）因为函数与函数的图象关于直线对称， 所以函数与函数互为反函数， 又函数，所以. （2）由（1）， 令，若，则， 所以 又在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以当时， 所以函数在区间内的值域为. 1．（2026·高一·四川泸州·阶段检测）若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由反函数定义可知，其在上单调递增， 由得， 其中在上单调递增，在上单调递减， 由同增异减可知的单调递减区间是. 2．（2026·高一·辽宁沈阳·期末）已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可知定义域为， 又， 即， 则， 所以， ， 因为在定义域内单调递增， 所以在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增， 因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知，在定义域内单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，正实数，满足，， 若，则，不满足， 所以，故，即，所以， 则， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为， 故选：D 3．（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，的定义域为， 分别令，如图，两函数均在内单调递增， 因为当时，，当时，， 当时，，所以要使恒成立， 则与的符号相同， 所以，即， 所以(当且仅当时，等号成立)， 所以的最小值为. 故选：D 4．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（   ） A． B．10 C．12 D． 【答案】C 【解析】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以函数与互为反函数， 所以， 所以. 故选：. 5．下列命题中，不正确命题的个数为（    ）． ①函数与它的反函数的图像没有公共点； ②若函数有反函数，则它一定是单调函数； ③若函数存在反函数，则必有成立； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】当时，，， 此时函数与它的反函数的图像有两个公共点，故①错误； ②若函数有反函数， 则函数一定是一一映射，但它不一定是单调函数；故②错误 ③若函数存在反函数，若x不属于函数的定义域时， 无意义； 当x不属于函数的定义域时，无意义；故③错误； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性，故④正确； 故不正确的命题的个数为3个， 故选：D． 6．已知是定义在上的函数，则给定上的函数（    ） A．存在上的函数，使得 B．存在上的函数，使得 C．存在上的函数，使得 D．存在上的函数，使得 【答案】D 【解析】对A，，两边同取反函数，则， 即是的反函数，不是所有的函数都有反函数，如，，故A错误； 对B，，得，即是的反函数，故B错误． 对C，令，则，即与有交点，这个不一定，故C错误． 对D，只需要就可以满足，故D正确. 故选：D． 7．已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，当时，则函数在区间上的反函数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以是以4为周期的周期函数， 又为定义在上的偶函数，所以. 当时，，， 所以：， 又时，. 所以，即，. 由. 即. 故选：B 8．设，函数，则的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 由得：，的定义域为； 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，且值域为， 在上单调递减， ，，则由得：，. 故选：C. 9．（多选题）（2026·高一·山东临沂·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图象关于轴对称 C．函数和的图象关于直线对称 D．函数（且）的图象必过定点 【答案】BC 【解析】对于A，由对数函数的定义知函数不是对数函数. 对于B, 函数和的图象关于轴对称,故B正确； 对于C，函数和互为反函数，故它们的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，将代入函数得，故函数（且）的图象必过定点，故D错误. 故选：BC 10．（多选题）（2026·高一·辽宁大连·期末）若方程与的解分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由方程和可化为和， 即直线与两函数和的交点横坐标分别为、， 由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称， 如图所示，点、关于点对称，，且， 所以，故A正确； 因为，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，由，则，即，与矛盾，故C错误； 由和它们的图像关于直线对称，所以，， 所以，故D正确； 故选：ABD． 11．设分别是关于的方程和的根，则________． 【答案】4 【解析】分别作出函数的图象，相交于点，可知， 而与互为反函数，直线与直线互相垂直， 所以点与关于直线对称， 因此．所以． 12．设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】因为，所以是上的奇函数， 又因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 所以也是在上单调递减的奇函数， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得或， 故原不等式的解集为． 13．（2026·高一·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 【答案】 【解析】当时，，故过定点， 根据反函数的性质可得，过定点对应反函数必过定点. 故答案为：. 14．设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值． 【解析】设，则点在函数的图象上，从而点在函数的图象上，即． 由反函数定义有， 所以有，从而． 15．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)当时，，求函数的反函数． 【解析】（1）根据题意，， 设，则，则， 所以； （2）当时，单调递增，则， 且由， 因为，所以解得， 所以. 16．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，． (1)求函数与的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，① 可得，又是奇函数，是偶函数， 得，②， ①+②得，，则，； （2）， 由（1）得：， 令，又 在单调递增，所以， 则， 得：在恒成立， 分参可得：，当时，， 当时， ， 因为，当且仅当时取等号， 的最小值为， 综上当时，的最小值为， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 指数函数与对数函数的关系 教学目标 1．理解反函数概念及指数、对数函数的反函数关系 2．掌握反函数的核心性质与求法步骤 3．能运用性质解决图像对称、定义域值域互化问题 教学重难点 1.重点 反函数的定义、指数与对数函数的反函数关系 2.难点 反函数的求解（含定义域值域转化） 知识点01 反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到． 【即学即练】 1．（2026·高一·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 2．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 反函数的性质 若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 【即学即练】 1．（2026·高一·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 2．（5.4反函数）下列各图中，存在反函数的函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 知识点03 求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 【即学即练】 1．（2026·辽宁鞍山·一模）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 2．函数的反函数是 （ ） A． B． C． D． 知识点04 指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 【即学即练】 1．（2026·吉林·二模）已知 是方程的根， 是方程的根，则的值为（  ） A．2016 B．2017 C．2018 D．1009 2．（2026·高一·广东汕尾·期末）已知方程和的根分别是，则的值是（   ） A．2 B．4 C．12 D．6 题型01 反函数存在的条件 【典例1-1】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】函数存在反函数是函数为单调函数的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式1-1】下列函数中，存在反函数的是 A． B． C． D． 【变式1-2】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-3】（2026·高三·山东东营·阶段检测）已知函数，存在反函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D．或 题型02 求反函数的解析式 【典例2-1】函数的反函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2-2】（2026届广西桂林中学高三第二次月考理科数学试卷）已知函数，则的反函数是 A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·江西新余·期末）函数的反函数为 A． B． C． D． 【典例3-1】函数的反函数是 A． B． C． D． 【典例3-2】若函数的反函数为，则等于（    ） A．2 B．-2 C．3 D．-1 题型03 过定点问题 【典例4-1】（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·上海浦东新·一模）已知函数存在反函数，若函数过点，则函数恒过点（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式4-2】设函数的图象过点（2，1），其反函数的图象过点（2，8），则等于 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-3】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（    ） A． B． C． D． 题型04 反函数含参问题 【典例5-1】（2026·高一·河南洛阳·阶段检测）若函数的图像过点，其反函数的图像过点，则（    ） A．4 B．3 C．6 D．5 【典例5-2】（2026·高一·全国·阶段检测）已知方程与的实数根分别为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式5-1】关于的方程，的根分别为，，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】（2026·高一·安徽亳州·期末）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高二·重庆·期中）已知正实数满足，则（   ） A． B． C． D．2 题型05 反函数的定义域问题 【典例6-1】函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高一·辽宁营口·期末）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高三·上海黄浦·阶段检测）已知的反函数为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型06 反函数的值域问题 【典例7-1】（2026·高二·辽宁·学业考试）已知函数与的图象关于对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·广东·模拟预测）设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【变式7-3】（2026·高一·辽宁大连·期末）已知函数在定义域上满足，，函数的反函数为，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 题型07 反函数的图象 【典例8-1】（2026·高一·浙江丽水·期末）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【典例8-2】（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）已知函数是的反函数，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·高三·上海闵行·开学考试）设定义域为的函数存在反函数，现有下述两个相关命题： ①若的图象是连续不断的曲线，且的图象有交点，则图象与直线相交； ②若对任意，，则图象与直线相交. 则对于命题①与命题②的真假性判断，正确的为（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【变式8-2】（2026·高一·福建泉州·期末）若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【变式8-3】（2026·高一·陕西商洛·期中）已知函数的图象如下图所示，函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型08 反函数与单调区间 【典例9-1】（2026·高一·云南昆明·期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【典例9-2】（2026·高一·安徽合肥·期中）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调减区间为（    ）． A． B． C． D． 【变式9-1】（2026·高一·辽宁·阶段检测）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·高一·江西新余·期末）若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是______． 【变式9-3】（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）若函数是函数的反函数，其图象过点，且函数在区间上是增函数，则正数的取值范围是____________ 题型09 指数函数与对数函数的综合应用 【典例10-1】（2026·高三·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【典例10-2】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求的取值范围． 【变式10-1】（2026·高一·甘肃庆阳·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)若关于x的方程有解，求a的取值范围； (3)若，，，求n的取值范围. 【变式10-2】（2026·高一·西藏拉萨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若成立，求x的取值范围． 【变式10-3】（2026·高一·湖北恩施·期中）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且． (1)求函数，的解析式； (2)设m，n是方程的根，求的值． 1．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2026·高一·广西·阶段检测）已知函数与互为反函数，则（   ） A．-1 B．-2 C．3 D．1 3．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）把函数的图象关于y轴对称后得到的图象，则的图象与函数的图象关于（    ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称 4．（2026·高一·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·高一·广东广州·期末）已知函数，与互为反函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 6．（2026·高一·广东潮州·期中）函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·广东广州·期中）函数的反函数是（    ） A． B． C． D．（） 8．（2026·高三·广东梅州·开学考试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·广东·阶段检测）与函数的图象关于直线对称的函数为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·广东广州·阶段检测）设且，函数，下列说法正确的是（    ） A．与在各自的定义域内有相同的单调性 B．与两者的图象关于直线对称 C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数 D．与有相同的定义域和值域 11．（2026·高一·上海徐汇·期末）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 12．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知函数，则_____. 13．（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 14．已知函数. (1)求的反函数的值域； (2)若是的图像上一点，求的值. 15．若方程的解分别为，求的值． 16．（2026·高一·江西抚州·阶段检测）已知函数，函数与函数的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)求函数在区间内的值域. 1．（2026·高一·四川泸州·阶段检测）若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·辽宁沈阳·期末）已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（   ） A． B．10 C．12 D． 5．下列命题中，不正确命题的个数为（    ）． ①函数与它的反函数的图像没有公共点； ②若函数有反函数，则它一定是单调函数； ③若函数存在反函数，则必有成立； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．已知是定义在上的函数，则给定上的函数（    ） A．存在上的函数，使得 B．存在上的函数，使得 C．存在上的函数，使得 D．存在上的函数，使得 7．已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，当时，则函数在区间上的反函数的值为（    ） A． B． C． D． 8．设，函数，则的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·山东临沂·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图象关于轴对称 C．函数和的图象关于直线对称 D．函数（且）的图象必过定点 10．（多选题）（2026·高一·辽宁大连·期末）若方程与的解分别为，，则（    ） A． B． C． D． 11．设分别是关于的方程和的根，则________． 12．设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 13．（2026·高一·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 14．设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值． 15．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)当时，，求函数的反函数． 16．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，． (1)求函数与的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $