第四章 指数函数、对数函数与幂函数（高效培优单元自测·提升卷）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 4．若，，，则（　　） A． B． C． D． 5．已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（     ） A． B． C． D． 8．函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为__________． 13．已知，且，则t＝______ 14．若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知，求以及的值； （2）求值：． 16．（15分） 已知函数 (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数是上的增函数． 17．（15分） 分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声级来描述声音的大小：把一个小的声压(帕)作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是(分贝)．分贝值在60以下为无害区，为过渡区，110以上为有害区． (1)试列出分贝值与声压的函数关系式； (2)某地声压，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ (3)2008年奥运会开幕式上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了，试求此时鸟巢内的声压是多少． 18．（17分） 已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 19．（17分） 已知函数． (1)当，时，求满足的的值； (2)当时，若函数是定义在R上的奇函数，函数满足 ①求及的表达式； ②若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（高效培优单元自测·提升卷） 参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B B C C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（或） 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）由,两边平方得,所以. 由,两边平方得,所以.（6分） （2）由对数的性质得. 由对数运算性质得. 因为,所以. 所以原式.（13分） 16．【解析】（1）是奇函数．理由如下： 因函数的定义域是. 由， 可得函数是奇函数．（7分） （2）任取，且， 则 因为，所以，又， 则， 即 故函数是上的增函数．（15分） 17．【解析】（1）由已知得 (其中)．（4分） （2）当时， 由已知条件知小于，环境优良．（10分） （3）由题意，得，则， 所以.（15分） 18．【解析】（1）由， 解得. 故函数的定义域为.（4分） （2）由（1）可得：的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 即，因此是奇函数.（9分） （3）已知一元二次不等式的解集为， 由韦达定理可得：，解得，， 此时不等式即 则可得，又因为，即， 则得，解得， 因此所求不等式的解集为.（17分） 19．【解析】（1）当，时，由题意，令，， 则，整理得，解得或（舍）， 则，解得.（4分） （2）①当时，，因为是定义在R上的奇函数， 所以， 则，解得，此时， 则.（9分） ②因为，所以，令，则， 因为恒成立， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，即， 所以求实数的最大值.（17分） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，将点代入得， 所以，解得， 所以. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】不等式，解得， 因为“”可以推出“”,“”不可以推出“”, 所以“”是“”的充分不必要条件 3．已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 因为，所以，， 故. 4．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，， 所以． 5．已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 6．已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由为上的增函数，可得：，即， 解得，即实数的取值范围是. 7．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 所以更接近. 8．函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 是开口向上的二次函数，，恒有两个零点， 因为，所以两个零点一正一负，不妨设，又的零点为， 因为时，，所以时，与同号，可得， 所以，得，因为，所以，解得，即且， 所以， 当时，，得，所以； 当时，，得，所以， 所以. 因为，，所以A正确，B、C、D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A项，由分数指数幂的意义，（），正确； B项，，，两者相等，正确； C项，且时，正确； D项，，不等于，错误. 10．已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【解析】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：函数定义域为R，，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为减函数， 则为增函数，则在上单调递减，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为__________． 【答案】（或） 【解析】偶数次根式内部大于等于，分母不为，所以， 要使有意义，必有，所以的定义域为. 13．已知，且，则t＝______ 【答案】 【解析】由、，可得，，且， 则，， 故 即，即，因， 则. 14．若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】设，则，所以问题转化为，恒成立． 因为 在上单调递减，所以 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知，求以及的值； （2）求值：． 【解析】（1）由,两边平方得,所以. 由,两边平方得,所以.（6分） （2）由对数的性质得. 由对数运算性质得. 因为,所以. 所以原式.（13分） 16．（15分） 已知函数 (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数是上的增函数． 【解析】（1）是奇函数．理由如下： 因函数的定义域是. 由， 可得函数是奇函数．（7分） （2）任取，且， 则 因为，所以，又， 则， 即 故函数是上的增函数．（15分） 17．（15分） 分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声级来描述声音的大小：把一个小的声压(帕)作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是(分贝)．分贝值在60以下为无害区，为过渡区，110以上为有害区． (1)试列出分贝值与声压的函数关系式； (2)某地声压，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ (3)2008年奥运会开幕式上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了，试求此时鸟巢内的声压是多少． 【解析】（1）由已知得 (其中)．（4分） （2）当时， 由已知条件知小于，环境优良．（10分） （3）由题意，得，则， 所以.（15分） 18．（17分） 已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【解析】（1）由， 解得. 故函数的定义域为.（4分） （2）由（1）可得：的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 即，因此是奇函数.（9分） （3）已知一元二次不等式的解集为， 由韦达定理可得：，解得，， 此时不等式即 则可得，又因为，即， 则得，解得， 因此所求不等式的解集为.（17分） 19．（17分） 已知函数． (1)当，时，求满足的的值； (2)当时，若函数是定义在R上的奇函数，函数满足 ①求及的表达式； ②若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值． 【解析】（1）当，时，由题意，令，， 则，整理得，解得或（舍）， 则，解得.（4分） （2）①当时，，因为是定义在R上的奇函数， 所以， 则，解得，此时， 则.（9分） ②因为，所以，令，则， 因为恒成立， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，即， 所以求实数的最大值.（17分） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $