高中数学单元测试——第四章指数函数、对数函数与幂函数（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数单元复习较难卷，通过基础运算、性质探究及实际应用的梯度设计，融合数学思维与模型意识，适配单元综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|指数对数运算（题1）、函数定点（题4）、单调性（题7）|基础概念与性质辨析，突出数学抽象能力| |多选题|3/18|幂函数性质（题10）、运算正误判断（题9）|多角度考查知识准确性，培养批判性思维| |填空题|3/15|实际应用（题14橡胶降解）、值域（题13）|结合现实情境，体现数据观念与模型意识| |解答题|5/77|分段函数建模（题18注意力指数）、增长率问题（题16）、函数拼接（题19）|综合应用知识解决复杂问题，发展逻辑推理与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 【答案】A 【分析】先计算出，代入求解即可. 【详解】因为，故， 所以. 故选：A 2．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数的运算性质可得答案. 【详解】． 故选：C. 4．（本题5分）已知函数的图象恒过点，若点也在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过对数函数的性质求出定点的坐标，再将点坐标代入函数求出的值即可. 【详解】对于函数，由恒成立. 故令，解得，把代入函数，解得. 所以函数过定点. 将代入得，解得. 故选：C 5．（本题5分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，由奇函数的性质得出，即可得解. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，所以，， 此时，. 故选：D. 6．（本题5分）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 7．（本题5分）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性和二次函数的单调性计算即可. 【详解】由题得，解得．因为在定义域内单调递减， 所以当函数在定义域内单调递减时，函数单调递增， 在定义域内，函数的单调递减区间为， 故函数的单调递增区间是． 故选：D． 8．（本题5分）已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，分别根据没有零点，结合指数函数与对数函数的性质求出的范围，再求交集可得答案． 【详解】因为， 时，， 若无解，则或； 时，， 若无解，则， 因为函数在上没有零点， 所以． 故选：D． 二、多选题 9．（本题6分）以下运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数的运算法则来进行判断，根据可以判断ABC，通过可以判断D选项 【详解】根据对数的运算，从而判断A，C都错误，，从而判断B错误，，从而判断D正确. 故选：ABC 10．（本题6分）已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A．或 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义和性质，逐项分析即可. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得 或，故A正确； 对于B，当或时， 或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，是增函数， 当时，不是减函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有， 所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据互为反函数的性质可得，，从而可判断A；利用基本不等式可判断B； 依题意可得，，则，即可判断C；根据，由A知，，和整理替换可判断D. 【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称， 因为与垂直，由直线分别与函数和的图象交于点，也与对称，所以，， 又因为在直线 上，所以，即，故A正确； 对于B，， 因为，即等号不成立，所以，故B正确； 对于C：因为，， 所以， 所以，故C错误； 对于D，，因为，所以， 由A可知，所以， 两边同时减，得， 又因为，所以， 由题可知，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）_______． 【答案】5 【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式进行运算即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：5 13．（本题5分）已知函数的值域为，的值域为，则_______ 【答案】0 【分析】由的值域为，得到的值域为，则有，从而求得；由的值域为，得到的最小值为9，则有，从而求得，计算的值得解. 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为，所以，解得； 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以. 故答案为：. 14．（本题5分）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【分析】根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可； (2)由(1)求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或． 又的图像关于y轴对称，所以， 故． （2）由（1）可知，． 因为，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故在上的值域为． 16．（本题15分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程，求解即可； （2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可. 【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：， 即，则，故. 故森林面积的年增长率为. （2）设该地已经植树造林年，根据题意可得：， 即，则，解得. 故该地已经植树造林年. 17．（本题15分）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由过定点求出，再由真数大于零求出定义域，根据复合函数的单调性可得答案； （2）由题意可知可以取到的任何数，令，然后分、、讨论可得答案. 【详解】（1）由过定点，则， 即，解得，所以， 由得函数的定义域是：， 因为在上单调递增，在上单调递减， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是； （2）若值域为，则可以取到的任何数， 令， 当时，，显然可以取到的任何数，故成立； 当时，开口向上，只需要其， 即，即，解得，又，故； 当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合； 综上可知，的取值范围是. 18．（本题17分）某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求的函数关系式； (2)当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为多少？ (3)一道数学难题，讲解需要20分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 【答案】(1)； (2)80； (3)能，理由： 当时， ，解得，则； 当时，，解得，则， 因此当时学生听课效果最佳，此时， 所以老师能经过合理安排时间在学生听课效果最佳时段讲完. 【分析】（1）根据所给的函数图象，由分别求出当时的二次函数解析式，当时函数解析式，再用分段函数表达即可. （2）分段判断代入求出注意力指数p. （3）由分段函数，分段解不等式求出的取值范围，求出时间的长度并比较大小判断. 【详解】（1）当时，设，而， 则，解得，当时，； 又，解得，当时，， 所以. （2）当时，， 所以当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为80. （3）略 19．（本题17分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象过点，求出即可求得的解析式； （2）根据幂函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据函数的零点与方程解的关系将问题转化为图象的交点问题即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2）因为在上单调递减，且， ，解得. （3）存在实数解，即有解， 即函数的图象与函数的图象有交点， 所以，解得或. 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 2．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 4．（本题5分）已知函数的图象恒过点，若点也在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）以下运算错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A．或 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 11．（本题6分）已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）_______． 13．（本题5分）已知函数的值域为，的值域为，则_______ 14．（本题5分）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 16．（本题15分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 17．（本题15分）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 18．（本题17分）某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求的函数关系式； (2)当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为多少？ (3)一道数学难题，讲解需要20分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 19．（本题17分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $