第四章 指数函数与对数函数（单元分层自测·能力提升卷）高一数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第四章 指数函数与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B B C B D D 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．1 13． 14. / 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1） （2分） （6分） （2）由， 等式两边同时平方可得：， 即，（9分） 等式两边同时平方可得：， 即，（11分） 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】解：（1）． ，即，（2分） ， ，， ．（4分） （2）由（1）知， ． 等价为，（7分） 即，（9分） ， 即不等式的解集为，．（10分） （3）， 函数在区间，上为减函数，（11分） 当时，有最小值为， 即，（13分） ， 解得．（15分） 17．（15分） 【详解】解：（1）是一次函数，增长速度恒定，与图象的递增趋势越来越缓不符； 是指数函数，增长速度会越来越快，与图象的增长趋势不符； 是对数函数，增长速度越来越缓，与图象的增长趋势一致，故选择模型③，（3分） 由题可知，图象经过点和，代入解析式得，解得，（7分） 函数解析式为；（9分） （2），即，（11分） 是增函数，，（13分） ，解得， 即小张每天课外锻炼时间不少于30.4分钟．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）函数为奇函数， 证明如下：函数， 则， 所以为奇函数；（4分） （2）①任取，（5分） 则（6分） ，（7分） 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以， 即， 所以在上单调递减，（8分） 又为R上的奇函数， 所以在上单调递减，（9分） 为奇函数，所以，（10分） 又在R上单调递减，所以，则；（11分） ②（12分） ，（13分） 由基本不等式（当且仅当，即时取等号），（14分） 故，（15分） 若对任意使得恒成立，则，（16分） 即的取值范围为.（17分） 19．（17分） 【详解】解：（1）函数且的定义域为，故恒成立， ，且△，求得（5分） （2）若函数在，上恒有意义，故函数在，上恒正． 显然，满足条件．（6分） 当时，应有①，②，③． 解①可得，解②可得，解③可得， 故的取值范围为．（9分） 当时，应有，求得．（10分） 综上可得，的取值范围为，．（11分） （3）①当时，要使函数在区间，上为增函数， 则函数在，上恒正，且为增函数， 故且，求得，此时，最小值（2）．（12分） 此时，的最大值为（3），．（13分） ②当 时，要使函数在区间，上为增函数， 则函数在，上恒正，且为减函数． 故，求得，最小值（3），（14分） 此时，的最大值为（3），求得． ③当时，，在，上单调递减， 最小值（3），不满足题意．（16分） 综合①②③，当时，存在，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2； 当 时，存在使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2．（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第四章 指数函数与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 2.（2026·天津北辰·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为是R上的单调增函数，因此不等式等价于， 若（即），不能推出，因此充分性不成立； 若，则一定满足，即一定满足，因此必要性成立， 综上，是的必要不充分条件. 3．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式可化为，根据对数函数的定义域及单调性，可得，解得原不等式的解集． 【详解】 ， ， 不等式的解集为． 故选：B 4.（25-26高二下·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即， ，则，即， ，则，得，即， 所以，，的大小关系为. 5.（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据指数函数的图象恒过点可求出点A的坐标，代入直线方程可得到的关系式，根据基本不等式中“1”的妙用可得解. 【详解】因为函数的图象恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2. 6.（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 7.（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 8.（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，对任意的，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】分别求出的值域，问题转化为值域的包含关系，列出不等式求解即可. 【详解】由幂函数，知，解得或， 又幂函数在上单调递增， 所以，代入检验，不符合，代入检验，满足条件. 则，即， 当时，， 又当时，， 对任意的，总存在使得， 等价于， ∴，解得， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】作出的函数图象，如图所示： 观察易知a，b的关系为或或． 10．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BD 【分析】先将函数表达式改写为一次函数形式，再根据的符号分两类讨论单调性，最后结合区间端点的函数值求解a的值即可. 【详解】根据已知条件，函数， 当时，， 在上单调递减， 则，解得，满足条件； 当时，，在上单调递增， 则，解得，满足条件. 故选：BD. 11．（25-26•沙坪坝区校级期末）下列命题中，正确的有（　　） A．若函数的定义域为，，则函数的定义域为 B．若函数的定义域为，，则函数的值域为， C．关于的不等式的解集为，则 D．已知函数恒过定点，则函数图象经过第三象限 【答案】 【分析】结合函数定义域的求法检验选项，结合对数函数及二次函数性质检验选项，结合二次不等式与二次方程的转化关系检验选项，结合指数及对数函数性质检验选项． 【详解】解：若函数的定义域为，，则， 函数中， 有，解得，错误； 若函数的定义域为，，则函数 ， 由可得，则， 根据二次函数性质可得，当时，函数取得最小值0，当时，函数取得最大值3，错误； 若不等式的解集为，则的根为，5，， 则，， 即，， 所以，正确； 令，则（1），即，，的图象经过第三象限． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26•蕉城区校级期中）的值是　　． 【答案】1 【分析】通过对数的运算性质，直接化简表达式，求出值即可． 【解答】解：． 13．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用函数单调性分别求出函数在上的最小值，在上的最小值，再由已知列式求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则， 函数在上单调递增，则， 由任意的，都存在，使得，得，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14.（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】先根据指数函数性质求得函数图象所过定点，代入直线方程得到，的线性关系，再通过基本不等式的“1的代换”求解最小值. 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由， 等式两边同时平方可得：， 即， 等式两边同时平方可得：， 即， 所以. 16．（25-26•新化县期末）已知且满足不等式． （1）求实数的取值范围． （2）求不等式． （3）若函数在区间，有最小值为，求实数值． 【答案】(1) (2)不等式的解集为，． (3) 【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式即可求实数的取值范围． （2）根据对数函数的单调性求不等式． （3）根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出的值． 【详解】解：（1）． ，即， ， ，， ． （2）由（1）知， ． 等价为， 即， ， 即不等式的解集为，． （3）， 函数在区间，上为减函数， 当时，有最小值为， 即， ， 解得． 17．（25-26•安庆校级期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间，上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分． 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③． （1）请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； （2）若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟．（注，结果保留一位小数）． 【答案】（1）选择模型③；； （2）30.4分钟． 【分析】（1）根据图象增长趋势排除一次函数和指数函数，选择对数函数模型，再代入已知点求解参数并验证边界条件，得到函数解析式； （2）根据得分不少于4分的要求列出不等式，利用对数函数的单调性求解不等式，得到锻炼时间的最小值． 【详解】解：（1）是一次函数，增长速度恒定，与图象的递增趋势越来越缓不符； 是指数函数，增长速度会越来越快，与图象的增长趋势不符； 是对数函数，增长速度越来越缓，与图象的增长趋势一致，故选择模型③， 由题可知，图象经过点和，代入解析式得，解得， 函数解析式为； （2），即， 是增函数，， ，解得， 即小张每天课外锻炼时间不少于30.4分钟． 18．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)已知正实数满足， ①求的值； ②若对任意满足上述条件的正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 函数为奇函数， 证明如下：函数， 则， 所以为奇函数； (2)①3；② 【分析】（1）定义域为R，且，得到为奇函数； （2）①定义法得到在上单调递减，又为R上的奇函数，得到，则； ②由基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案. 【详解】（1）略 （2）①任取， 则 ， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以， 即， 所以在上单调递减， 又为R上的奇函数， 所以在上单调递减， 为奇函数，所以， 又在R上单调递减，所以，则； ② ， 由基本不等式（当且仅当，即时取等号）， 故， 若对任意使得恒成立，则， 即的取值范围为. 19．（2026•江津区校级同步）已知函数且． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在，上恒有意义，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）． （2），． （3）当时，存在；当 时，存在． 【分析】（1）由题意可得恒成立，再根据，且△，求得的范围． （2）由题意可得函数在，上恒正，再利用二次函数的性质，分类讨论的范围，求得的值． （3）分类讨论的范围，利用二次函数的性质，求得的范围． 【详解】解：（1）函数且的定义域为，故恒成立， ，且△，求得． （2）若函数在，上恒有意义，故函数在，上恒正． 显然，满足条件． 当时，应有①，②，③． 解①可得，解②可得，解③可得， 故的取值范围为． 当时，应有，求得． 综上可得，的取值范围为，． （3）①当时，要使函数在区间，上为增函数， 则函数在，上恒正，且为增函数， 故且，求得，此时，最小值（2）． 此时，的最大值为（3），． ②当 时，要使函数在区间，上为增函数， 则函数在，上恒正，且为减函数． 故，求得，最小值（3）， 此时，的最大值为（3），求得． ③当时，，在，上单调递减， 最小值（3），不满足题意． 综合①②③，当时，存在，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2； 当 时，存在使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第四章 指数函数与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2.（2026·天津北辰·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 6.（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，对任意的，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 11．（25-26•沙坪坝区校级期末）下列命题中，正确的有（　　） A．若函数的定义域为，，则函数的定义域为 B．若函数的定义域为，，则函数的值域为， C．关于的不等式的解集为，则 D．已知函数恒过定点，则函数图象经过第三象限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26•蕉城区校级期中）的值是　　． 13．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________． 14.（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 16．（25-26•新化县期末）已知且满足不等式． （1）求实数的取值范围． （2）求不等式． （3）若函数在区间，有最小值为，求实数值． 17．（25-26•安庆校级期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间，上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分． 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③． （1）请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； （2）若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟．（注，结果保留一位小数）． 18．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)已知正实数满足， ①求的值； ②若对任意满足上述条件的正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（2026•江津区校级同步）已知函数且． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在，上恒有意义，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第四章 指数函数与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2.（2026·天津北辰·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 6.（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，对任意的，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 11．（25-26•沙坪坝区校级期末）下列命题中，正确的有（　　） A．若函数的定义域为，，则函数的定义域为 B．若函数的定义域为，，则函数的值域为， C．关于的不等式的解集为，则 D．已知函数恒过定点，则函数图象经过第三象限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26•蕉城区校级期中）的值是　　． 13．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________． 14.（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 16．（25-26•新化县期末）已知且满足不等式． （1）求实数的取值范围． （2）求不等式． （3）若函数在区间，有最小值为，求实数值． 17.（25-26•安庆校级期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间，上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分． 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③． （1）请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； （2）若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟．（注，结果保留一位小数）． 18．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)已知正实数满足， ①求的值； ②若对任意满足上述条件的正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（2026•江津区校级同步）已知函数且． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在，上恒有意义，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $