第二十五章 一元二次方程 能力提优测试卷-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（人教版·新教材）

全程时习测试卷·九年级数学·上册 第二十五章能力提优测试卷答题卡 姓 名 准考证号 贴条形码区 缺考 缺考考生由监考员粘贴条形码， 标记 并用2B铅笔涂黑缺考标记。 一、 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指 定的位置上，并核准条形码上的信息是否与本人相符，完全 正确后，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 教 二、选择题必须在答题卡上用2B铅笔涂黑，非选择题必须用 注 0.5mm黑色水签字笔答题，字迹要工整、清楚。 涂样 正确填涂 意 三、考生必须在答题卡上每题指定的答题区域内答题。在其他 项 题号的答题空间答题无效。答案不能超出黑色边框，超出 黑色边框的答案无效。写在试题卷上的答案无效。 四、要保持答题卡整洁，不准折叠，不准弄破。 色 五、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交给监考员。考生不准 将试题卷或答题卡带出考场，否则，将按有关规定处理。 一、选择题（用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] IIIIIIIIIIII III II I I IIII I II II 二、填空题 11 15 12 16. 13 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、解答题 19. 20. =2x2-4x-5 20题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 21. 22. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. 24. 24题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25. 每天的销售量/件 每件衬衫的利润/元 降价前 20 40 降价后 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26. 26题图 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效第二十五章一元二次方程 能力提优测试卷 ·时间：120分钟 ·满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） ※ 1.(四川眉山期末)关于x的方程(m-1)xm+mx-1= 装 0是一元二次方程，则 () 答题卡 A.m=1 B.m≠1 C.m=-3 D.m=1或m=-3 2.若关于x的方程ax2+2x-2=0中a在数轴上的位置如图所示，则 订 此方程的根的情况是 () 2题图 线 A.无法确定 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 3.若x1+2=3,x2=2,则下列方程中，以x,为根的是（） I A.x2-3x-2=0 B.x2+3x-2=0 内 C.x2+3x+2=0 D.x2-3x+2=0 4.新情境某市2023年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山 就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，截至 2025年底森林覆盖率已达到69%.若这两年森林覆盖率的年平均 不 夺 增长率为x,则符合题意的方程是 () A.0.64(1+x)=0.69 B.0.64(1+x)2=0.69 C.0.64(1+2x)=0.69 D.0.64(1+2x)2=0.69 要 5.若x=a为方程x2-4x+4=0的一个解，则代数式2015-3a2+ 12a的值为 A.2016 B.2017 C.2026 D.2027 6.若方程x2-6x-5=0用配方法可配成(x+p)2=q的形式，则直线 答 y=Px+q不经过 ( ) ! A.第一象限B.第二象限 。C.第三象限 D.第四象限 7.(四川乐山期末)定义一种新运算a⑧b=a·W石，其中a>0,b>0, 当x⑧(x-3)=2时，x的值为 () 题 A.-1 B.4 C.4或-1 D.3 8.小唯与小夏在解方程x2+bx+c=0时，小唯写错了常数项，得到方 程的两个根是2和-4，小夏写错了一次项系数，得到方程的两个 根是-1和3，则b与c的值分别是 () A.2,-8 B.2,-3 C.-2,8 D.2,3 9.下图是某同学在沙滩上用石子摆成的图形，第1个图形用了6个 石子；第2个图形用了10个石子；第3个图形用了16个石子；第4 个图形用了24个石子；…照此规律，第几个图形用了114个 石子？ ●●●● ●●●● ●●● 。。。。。 ●● 。。。 。。。● 。●●。 p。。●p ●●●●● ● 第1个图形 第2个图形第3个图形 第4个图形 9题图 A.8 B.9 C.10 D.11 10.新考法定义[x]为不大于实数x的最大整数，如[1.4]=1， [-2.1刂=-3，[-3]=-3，则方程[]=2+(0≤x<2)的 根为 A.x1=0,x2=-2 B.x=0 C.x=-1+W3 D.无实数根 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.若一元二次方程x2+6x-1=0经过配方，变形为(x+3)2=n的 形式，则n的值为 12.若一元二次方程的根为x=二(-8）±8)'=4×5×2，则该 2×5 一元二次方程为 13.(重庆渝中区期末)如图是一枚汉朝时期的五铢 钱，其“外圆内方”的造型表达了“天圆地方”的人 文观念.已知方孔的边长是7mm,面积是整个圆面 积的名若设五铢钱的半径是xmm,则可列方程 13题图 为 14.直角三角形的两直角边长是方程x2-8x+14=0的两根，则它的 斜边长为 15.跨学科根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速 度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m)为10x- 4.9x2.根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为 s.（结果取整数) 16.若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足x1 x2=4,则符合条件的一元二次方程为.（写出一个即可) 17.毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送 祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是 名 九年级数学上册第3页 见此图标目民即刻扫码分层训练助力学习进阶月 8.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC= 8cm,点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s 的速度匀速移动，点Q从点B开始沿BC向点 ǒCm C以2cm/s的速度匀速移动.如果P,Q分别 AP 从A,B同时出发，那么」 s后，线段PQ 6 cm 将△ABC分成面积比为1：2的两部分. 18题图 三、解答题（共66分） 9.(6分)用合适的方法解下列方程： (1)x2+√2x-1=0; (2)x(x-1)=3x+5. 20.(6分)（湖北襄阳期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过 程，随后用手掌捂住了一部分，如图. (1)当x=-7时，所捂部分的值为 (2)若所捂部分为x2+2x-6,用配方法求出x的值. =2x2-4x-5 20题图 21.(6分)已知关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0. (1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根； (2)若m为整数，且方程的一个根小于2，求m的取值范围. 见此图标园即刻扫码 分层训练助力学习进阶 22.(8分)实数m,n满足m-n=mn+1. (1)验证m=-2,n=3是否满足上述等式； (2)若m=2,n=a2+2a,佳佳认为一定存在两个不同的a的值使 得m-n=mn+1成立，佳佳的说法正确吗？请说明理由. 23.(8分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个 实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的 方程是“倍根方程”.例如一元二次方程x2-6x+8=0的两个根 是x1=2,x2=4,则方程x2-6x+8=0是“倍根方程”. (1)通过计算，判断x2-3x+2=0是不是“倍根方程”； (2)若关于x的方程(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”，求代数 式m2+2m+2的值. 24.(10分)（陕西榆林期中）人工智能(AI)是近年来科技发展的热 点，它的发展和应用正在改变着我们的生活方式，随着A技术的 快速发展和广泛应用，掌握AI技能的人才需求也越来越大.为了 培养更多的AI技术人才，某校开设了AI兴趣班，并修建了一个 周长为90米，面积为500平方米的矩形AI兴趣教育基地ABCD, 如图. (1)请你求出该矩形基地的长和宽； (2)为了便于使用，校方在该基地中间修建了两条互相垂直且等 宽的作品展示长廊（图中阴影部分），剩余部分的面积恰好为 300平方米，求每条作品展示长廊的宽为多少米. D 24题图 25.(10分)某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利 40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一 定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设 衬衫的单价降了x元. (1)完成下列表格（用含x的代数式填空）： 每天的销售量/件 每件衬衫的利润/元 降价前 20 40 降价后 (2)当衬衫的单价降多少元时，商场销售这批衬衫每天可盈利 1050元，且对消费者更有利？ (3)能否通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利1500元？ 11111111111111111111111 九年级 数学上册 第4页 6.(12分)[核心素养]如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC= 9cm,点P从点A出发，沿AB边向终点B以1cm/s的速度移 动，同时点Q从点B出发，沿BC边向终点C以2cm/s的速度移 动.若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动， 设运动时间为ts. (1)填空：AP= cm,BO= cm;(用含t的代数 式表示) (2)当(t≠0)为何值时，PQ=4cm? (3)在动点P,Q运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形 APQCD E的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时：的 值；若不存在，请说明理由、 B 26题图参考答案及解析 勤径学升·全程时习测试卷·九年级数学·上册 参考答案及解析 第二十五章一元二次方程 答：m的值为25. 基础过关检测卷 25.解：(1)△ABC为等腰三角形.理由如下： 1.B2.C3.D4.C5.C6.D7.D8.B9.C 把x=1代入方程，得a+c-2b+a-c=0,则a=b, 10.B[解析]设正方形ABCD的边长为y,则AB=CD=BC=y ∴.△ABC为等腰三角形 BF=BC+CF=BC+DE=y+m,.BF×CD=(y+m)×y (2)△ABC为直角三角形.理由如下： =n,即y2+my=n,则方程x2+mx=n的其中一个正根为AB 根据题意，得4=(-2b)2-4(a+c)(a-c)=0, 的长.故选B. 即b+c2=a2,.△ABC为直角三角形. 11.-112.-113.1(答案不唯一) (3),△ABC为等边三角形，∴.a=b=c, 14.三15.-416.517.1018.3 .方程化为x2-x=0,解得x1=0,x2=1. 19.解：(1)2(x+1)2=18,(x+1)2=9, 26.解：(1)设最小数为x,则最大数为(x+8) .x+1=±3，x1=2,x2=-4. 由题意，得(x+8)x=240,整理，得x2+8x-240=0, (2).x2+2x-15=0,∴.(x-3)(x+5)=0, 解得x1=-20(不符合题意，舍去)，x2=12, x-3=0或x+5=0,.x1=3,x2=-5. ·最小数为12. 20.解：选择条件②，得方程为3x2+2x-1=0 (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能 为61.理由如下： a=3,b=2,c=-1, .b2-4ac=22-4×3×(-1)=16>0, 设最小数为y,则另外三个数分别是(y+1),(y+7),(y+8. “x=-2±16=-2±4 由题意，得y(y+8)+y+(y+1)+(y+7)+(y+8)=61,整 6,=-1,南=写 理，得y2+12y-45=0, 6 或选择条件③，得方程为-2x2+2x+4=0. 解得y1=-15(不符合题意，舍去)，y2=3. ,3在最后一列，.虚线方框中最大数与最小数的乘积与这 a=-2,b=2,c=4, .b2-4ac=22-4×(-2)×4=36>0, 四个数的和不能为61. x=-2±36=-2±6 第二十五章一元二次方程 能力提优测试卷 -4 -4 ∴.x1=-1,x2=2.（任选其一作答即可) 1.C2.C3.D4.B5.D6.C7.B8.B9.C 21.解：隔水的宽度为xcm, 10.B[解析]当1≤<2时，+=1，解得x=-1+(会 ∴.画心的长为(1000-4x-200)cm,宽为(40-2x)cm 根据题意，得(1000-4x-200)(40-2x)=15200, 去)或x=-1-5(合去)；当0≤x<1时，2+x=0,解得 解得x1=210(不符合题意，舍去)，x2=10. 答：x的值为10. 名=0，=-2（合去）方程[1=分+(0≤<2)的报 22.解：(1)(-2)⑧3=(-2)3+(-2)×3-3=-8+(-6)-3 为x=0.故选B. =-14-3=-17. (2)由题意，得(-y)⑧2=4，.(-y)2+2(-y)-3=4, 11012.5×-8x+2=013.日m2=7×714.615.2 整理，得y2-2y-7=0,解得y1=1+22,y2=1-22. 16.x2-8x+12=0(答案不唯-)17.30 23.(1)证明：4=[-(5m+1)]2-4×1×(4m2+m)=(3m+1)2. 18.2或4[解析]设点P运动时间为ts.根据题意知BP=AB- (3m+1)2≥0，.4≥0， AP=(6-t)cm,BQ=2tcm.:线段PQ将△ABC分成面积比 ∴.无论m取何实数，原方程总有两个实数根， 为12的两事分Sm=宁5x成号5，则宁(6- (2)解：解关于x的一元二次方程x2-(5m+1)x+4m2+m =0,得x1=4m+1,x2=m. ×21=写×7×6×8或分(6-)x21=号×2x6x8,# 根据题意，分两种情况： 理，得2-6t+8=0或2-6t+16=0(无实数解)，解得t1= ①当n1>3时，解该不等式组，得}<m<8: 2,t2=4. Im<8 19.解：(1)a=1,b=2,c=-1, ②当4m+1<8时，该不等式组无解 1m>3 .4=b2-4ac=(2)2-4×1×(-1)=6>0, “.方程有两个不相等的实数根， 综上所述，m的取值范围是}<m<8 x=-b±y6-4ac=-2±6 24.解：任务1：设有x名老师报名，则有3x名学生报名 2a 2 由题意，得x+3x=500,解得x=125,则3x=375. 答：有375名学生报名. 即名=2+6 2 686 任务2：根据题意，得60×(1-号m%）×50(1+m%) (2)方程整理，得x2-4x=5. 配方，得x2-4x+4=9,即(x-2)2=9. 25000, 由此可得x-2=±3，.x1=5,x2=-1. 令m%=a,化简，得8a2+2a-1=0, 20.解：(1)121 解得a=4或a=-(舍去)，m%=,解得m=25, (2)根据题意，得2x2-4x-5=x2+2x-6, 整理，得x2-6x+1=0,.x2-6x+9=8, 1… 全程时习测试卷·九年级数学·上册 即(x-3)2=8,.x-3=±22， 解得x1=22+3,x2=-22+3. 为矩形面积的7，则Sw=立×4x9=3(cm), 2L.(1)证明：b2-4ac=(m-2)2+4×2m=m2+4m+4=(m+2)2. 又：Sam=2PB.B0=2(4-)2=(4-0, ,不论m取何值，都有(m+2)2≥0，∴.此方程总有实数根， .t(4-t)=3,即2-4t+3=0,解得t=1或3， (2)解：：原方程可化为(x+m)(x-2)=0, .当t=1s或t=3s时，五边形APOCD的面积为矩形面 解得x1=-m,x3=2. 方程的一个根小于2，.-m<2,∴.m>-2且m为整数 积的号 22.解：(1)当m=-2,n=3时，.m-n=-2-3=-5,mn+1= 专项巩固训练卷（一） -2×3+1=-5,.m-n=mn+1, 一元二次方程的解法 即m=-2,n=3满足上述等式. 1.解：二 (2)佳佳的说法正确. 理由：当m=2,n=a2+2a时，2-(a2+2a)=2(a2+2a)+1, 正确的解答过程如下： 整理，得3a2+6a-1=0. (x+3)2-4=0.(x+3)2=4, :4=62-4×3×(-1)=48>0,.关于a的方程3a2+6a- ∴.x+3=±2，.x+3=2或x+3=-2, 1=0有两个不相等的实数根，即一定存在两个不同的a的值 .x1=-1,x2=-5. 使得m-n=mn+1成立，∴.佳佳的说法正确. 2.解：(1)移项，得3x2=27. 23.解：(1)将方程x2-3x+2=0分解因式，得(x-2)(x-1) 二次项系数化为1，得x2=9. =0, 由此可得x=±3. 即x-2=0或x-1=0,解得x1=2,x2=1, (2)由方程(2x-1)2=9,得2x-1=±3， 则方程x2-3x+2=0是“倍根方程”. 即2x-1=3或2x-1=-3, (2)解(x-2)(x-m)=0,得x1=2,x2=m 解得x1=2,x2=-1. (x-2)(-m)=0是“倍根方程”，m=4或m=1. 3.解：小明的解题过程不正确。正确的解题过程如下： 当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26: 原方程可化为+2+号=-0， 1 当m=1时，m2+2m+2=1+2+2=5. 综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5 移项，得父+=分 24.解：(1)设宽为x米，则长为0,2米 2 配方，得2+2+(-3+(， 由题意，得x.90,24=500,整理，得2-45x+500=0, 2 解得x1=20,x2=25. +石 当x=20时，90,24=25； 由此可得x+ 3二4 2 当x=25时，90,24=20（不符合题意，舍去）， .31 .龙 2 +子=或x+子=子， ∴.该矩形基地的长为25米，宽为20米 1 (2)设每条作品展示长廊的宽为y米， 六名=2名=-1. 由题意，得(25-y)(20-y)=300, 4.解：(1)移项，得x2-4x=5, 整理，得y2-45y+200=0,解得y1=40,2=5. 配方得x2-4x+4=5+4, ,该矩形基地的长为25米，宽为20米， 即(x-2)2=9. ∴.y=5,∴.每条作品展示长廊的宽为5米 由此可得x-2=±3， 25.解：(1)20+2x40-x 解得x1=5,x2=-1. (2)由题意，得(20+2x)(40-x)=1050, (2)移项，得x2-42x=2. 整理，得x2-30x+125=0, 配方，得x2-4√2x+8=2+8,即(x-22)2=10. 解得x1=5,x2=25. 由此可得x-2√2=±√10， ∵要对消费者更有利，∴.x=25 答：当衬衫的单价降25元时，商场销售这批衬衫每天可盈利 解得x1=22+√10,2=22-√10. 1050元，且对消费者更有利. (3)原方程移项，得x2-2x=1. (3)由题意，得(20+2x)(40-x)=1500, 配方，得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2. 整理，得x2-30x+350=0. 由此可得x-1=±√2， 4=b2-4ac=(-30)2-4×1×350=-500<0, 解得x1=1+5,x2=1-2. .此方程没有实数根。 (4)2x2-4x=3-8x, 故不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利1500元. 26.解：(1)t2t 移项、二次项系数化为1，得2+2：=是 (2).'AB=4cm,.PB=(4-t)cm(0<t≤4) 由勾股定理，得PQ=√(2)2+(4-t)=√5t-8+16(cm). 配方，得(x+1)2-多 当PQ=4cm时，√5-8t+16=4, 由此可得x+1=±√2， 5当t=8 解得i=0(舍去)或t=8,」 s时，PQ=4cm 解得，=-2+0 (3)存在. 2 0名=2-10 2 令五边形APQCD的面积为矩形面积的，则△PB0的面积 5.解：(1)a=6,b=-13,c=-5, .b2-4ac=169+120=289>0, 2·