山东临沂市第一中学北校区2026-2027学年高一上学期10月阶段性检测数学试卷

山东省临沂市第一中学北校区2026~2027学年高一上学期阶段性检测 数学参考答案 2026.10.5 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1．已知集合 ，，则集合 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由 求出集合 ，再与 求交集． 【解答】 ∵ ，∴ 依次为 ，即 ． ∴ ，故选 C． 2．已知命题 ，则 是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】存在量词命题的否定：把“”改为“”，条件不变，同时否定结论． 【解答】 命题 ：． 其否定为 ，故选 B． 3．设 ，则“”是“”成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】研究函数 的单调性，说明它是 上的增函数． 【解答】 在 上单调递增：当 时 递增，当 时 递增，且函数在 上连续． ∴ ，即 ． 故“”是“”的充要条件，选 C． 4．小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买 3 千克葡萄，小港每次购买 50 元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（　　） A．一样高 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【分析】把两人的平均价格分别表示成两次单价的算术平均数与调和平均数，再用基本不等式比较． 【解答】 设两次单价分别为 （，且 ）． 小齐每次买 3 千克，平均价格 ． 小港每次花 50 元，平均价格 ． ∵ ，且 时取不到等号，∴ ，即小港的平均价格低，故选 C． 5．若关于 的不等式 的解集为 ，且 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【分析】用韦达定理把 化为 的方程，再用判别式与 取舍． 【解答】 由题意 ，且 ，． ∵ ，∴ ，即 ，． 又 ，即 ，∴ ． （此时 ，符合题意．）故选 B． 6．已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】把条件化为 ，再换元用基本不等式． 【解答】 由 得 ，即 ． ∵ ，∴ ，且 ． ∴ ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，∴ 最小值为 5，故选 B． 7．已知集合 ，，若命题“”为假命题，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】命题为假即“”，分 与 讨论． 【解答】 命题“”为假，等价于对任意 ，都有 ． 当 时，，此时恒有 ，符合题意． 当 时，．∵ ，∴ 的区间左端点不小于 3． 要使 恒成立，只需 （否则取 ，，与 有公共元素）． 综上，，即 ，故选 A． 8．已知 表示不超过 的最大整数，例如 ，，，集合 ，，且 ，则集合 的真子集个数为（　　） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】B 【分析】 即 ；先化简 ，再由 确定 ，最后数元素个数． 【解答】 ∵ 且 ，∴ 或 ，即 ，∴ ． 由 得 ，即 ，． ∵ 方程 的两根之和为 ，∴ 该方程不可能同时以 为根． ∴ 中必有一个是 的根，另一个是 的根． 若 为 的根，则 ，该方程的根为 ；此时 为 的根，得 ，，共 4 个元素． 若 为 的根，则 ，该方程的根为 ；此时 为 的根，得 ，，同样 4 个元素． ∴ 集合 有 4 个元素，其真子集个数为 ，故选 B． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 9．下列命题为真命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】AC 【分析】用不等式的基本性质逐项判断，注意两边乘以（除以）负数时不等号方向要改变． 【解答】 A 正确：∵ ，∴ ，在 两边同乘 得 ． B 错误：∵ ，∴ ，∴ ． C 正确：∵ 且 ，∴ ；∵ 且 ，∴ ．故 ． D 错误：∵ ，∴ ． 故选 AC． 10．设集合 ，，则（　　） A．当 时， B．当 时， 有 4 个元素 C．当 时， D． 【答案】ABD 【分析】逐项代入检验；注意集合中元素的互异性， 时才有 ． 【解答】 A 正确： 时 ，，∴ ． B 正确： 时， 且 （或 时 ）．由 得 或 ：当 时 ；当 时 ，，，均有 4 个元素． C 错误：取 ，则 ，，，但 ． D 正确：若 ，则 ，即 且 ．逐一检验 等情形，均有 ，∴ ． 故选 ABD． 11．已知 ，，并且满足 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 的最大值为 B．若 ，则 的最小值为 C．若 ，则 的最小值为 9 D．若 ，则 的最小值为 【答案】BCD 【分析】 为定值时用 、； 时先化为 ，再“乘 1”用基本不等式． 【解答】 A 错误： 时 ，最大值为 ，不是 ． B 正确：，当且仅当 时取等号． C 正确：由 且 得 ，∴ ，当且仅当 ，即 ， 时取等号． D 正确：设 ，，则 ，，当 （即 ，）时取最小值 ． 故选 BCD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 ，，设 ，则 的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】把 用 与 线性表示（待定系数法），再用同向不等式的性质． 【解答】 设 ，则 ，，解得 ，． ∴ ． ∵ ，∴ ；∵ ，∴ ． 两式相加得 ，即 的取值范围是 ． 13．报华学校举办秋季运动会时，某高一年级共有 18 名同学参加比赛，有 7 人参加 100m 比赛，有 6 人参加 200m 比赛，有 10 人参加 400m 比赛，同时参加 100m 和 200m 比赛的有 3 人，同时参加 100m 和 400m 比赛的有 1 人，没有同时参加三项比赛的，则同时参加 200m 和 400m 比赛的有 ______ 人． 【答案】 【分析】用容斥原理：三个集合的并集元素个数等于各集合元素个数之和减去两两交集之和，再加上三者交集． 【解答】 设同时参加 200m 和 400m 比赛的有 人，参加三项比赛的有 0 人． 由容斥原理：， ∴ ，即同时参加 200m 和 400m 比赛的有 1 人． 14．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】由 把 分离出来，转化为 有解，再求 在 上的最小值． 【解答】 ∵ ，∴ ．原不等式即 ， ∴ ． ∵ ，当且仅当 ，即 时取等号， ∴ 的最小值为 4． 不等式在 上有解等价于 ，∴ 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。 15．（13分）已知全集 ，若集合 ，． （1）若 ，求集合 及 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）解一元二次不等式，代入 写出 ，借助数轴求交集；（2）分 与 讨论，注意端点能否取到． 【解答】 （1）由 得 ，∴ 或 ，即 ． 当 时，． ∴ ． （2）当 ，即 时，，此时 ，符合题意． 当 时，，由 得 ， ∴ 且 ，解得 且 ，即 ． 综上，，即实数 的取值范围是 ． 16．（15分）设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立；命题 ：存在 ，使得不等式 成立． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 有且只有一个真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）“恒成立”转化为左边的最小值不小于右边；（2）“有解”转化为 不大于右边的最大值，再按“一真一假”分类． 【解答】 （1）∵ ，∴ 的最小值为 （ 时取得）． 若 为真，则 ，即 ，解得 ． （2）命题 为真 ⟺ 在 上有解． ∵ 在 上的最大值为 ，∴ 为真 ⟺ ． 若 真 假，则 且 ，∴ ；若 假 真，则 或 且 ，∴ ． 综上， 或 ，即 ． 17．（15分）已知 ，关于 的不等式 的解集为 或 ． （1）求函数 的零点； （2）解关于 的不等式 ． 【答案】（1） 和 ；（2）答案见解析 【分析】（1）由解集形式判断 且 是方程的两根，用韦达定理求 ；（2）因式分解后按 的符号与两根大小分类讨论． 【解答】 （1）∵ 不等式 的解集为 或 ，∴ ，且 是 的两根，． 由韦达定理 ，，∴ ，则 ，解得 ，． ∴ ，令 得 或 ，即函数的零点为 和 ． （2）原不等式即 ，即 ． 当 时，不等式化为 ，解集为 ； 当 时，不等式化为 ，解集为 ； 当 时，，比较 与 的大小： 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ． 18．（17分）为发展空间互联网，抢占 6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入．据了解，该企业研发部原有 100 人，年人均投入 （）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有 名（，且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入为 万元． （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的 100 人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ （2）是否存在实数 ，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）75 人；（2）存在， 【分析】（1）列不等式 ；（2）“始终”即对任意 恒成立，分别转化后取交集． 【解答】 调整后技术人员 名，研发人员 名；研发人员的年人均投入为 万元． （1）由题意 ，即 ， 化简得 ，∴ ，又 ，∴ 调整后的技术人员最多有 75 人． （2）条件①：对任意 ，，即 恒成立， 而 的最大值为 ，∴ ． 条件②：对任意 ，， 即 ，整理得 ． ∵ ，当且仅当 时取等号，∴ 的最小值为 7， ∴ ． 综上， 且 ，∴ ，即存在实数 同时满足两个条件． 19．（17分）19 世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩． 例如：已知 为正实数，且 ，求 的最大值．可作如下处理：，当且仅当 且 ，即 ， 时，等号成立． 根据以上信息解决以下问题：已知 ，． （1）若 ，证明：． （2）若 恒成立，求参数 的取值范围； （3）若 ，，求 的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）把 换成 ，凑成 ；（2）分离出 并求最大值；（3）用配凑法（柯西不等式的思想）把约束条件凑成完全平方． 【解答】 （1）证明：∵ ，（由 得 ），∴ ． ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，∴ ． （2）∵ ，∴ ，等号当且仅当 时成立． ∴ 要使 对任意 恒成立，必须且只需 ， 即 ，解得 或 ，即 ． （3）∵ ∴ ， ∴ ， 当且仅当 且 （由约束条件可解出唯一的 ）时取等号， ∴ 的最小值为 ． 高一数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市第一中学北校区2026~2027学年高一上学期阶段性检测 数学试卷 2026.10.5 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核对条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 3．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，，则集合 （　　） A． B． C． D． 2．已知命题 ，则 是（　　） A． B． C． D． 3．设 ，则“”是“”成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买 3 千克葡萄，小港每次购买 50 元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（　　） A．一样高 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 5．若关于 的不等式 的解集为 ，且 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 6．已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为（　　） A．4 B．5 C． D． 7．已知集合 ，，若命题“”为假命题，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知 表示不超过 的最大整数，例如 ，，，集合 ，，且 ，则集合 的真子集个数为（　　） A．16 B．15 C．8 D．7 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列命题为真命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 10．设集合 ，，则（　　） A．当 时， B．当 时， 有 4 个元素 C．当 时， D． 11．已知 ，，并且满足 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 的最大值为 B．若 ，则 的最小值为 C．若 ，则 的最小值为 9 D．若 ，则 的最小值为 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 ，，设 ，则 的取值范围是 ______． 13．报华学校举办秋季运动会时，某高一年级共有 18 名同学参加比赛，有 7 人参加 100m 比赛，有 6 人参加 200m 比赛，有 10 人参加 400m 比赛，同时参加 100m 和 200m 比赛的有 3 人，同时参加 100m 和 400m 比赛的有 1 人，没有同时参加三项比赛的，则同时参加 200m 和 400m 比赛的有 ______ 人． 14．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是 ______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知全集 ，若集合 ，． （1）若 ，求集合 及 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 16．（15分）设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立；命题 ：存在 ，使得不等式 成立． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 有且只有一个真命题，求实数 的取值范围． 17．（15分）已知 ，关于 的不等式 的解集为 或 ． （1）求函数 的零点； （2）解关于 的不等式 ． 18．（17分）为发展空间互联网，抢占 6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入．据了解，该企业研发部原有 100 人，年人均投入 （）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有 名（，且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入为 万元． （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的 100 人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ （2）是否存在实数 ，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 19．（17分）19 世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩． 例如：已知 为正实数，且 ，求 的最大值．可作如下处理：，当且仅当 且 ，即 ， 时，等号成立． 根据以上信息解决以下问题：已知 ，． （1）若 ，证明：． （2）若 恒成立，求参数 的取值范围； （3）若 ，，求 的最小值． 高一数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $