山东省临沂市兰陵县文峰高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

山东省临沂市文峰高级中学2026~2027学年高一上学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集 ，集合 ，，则 A． B． C． D． 2．已知命题 ，则命题 的否定为 A． B． C． D． 3．已知 ，则下列不等式错误的是 A． B． C． D． 4．已知 均为正实数，则 的最小值为 A．3 B．7 C．8 D．9 5．已知 ，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知集合 满足 ，则符合条件的集合 的个数为 A．5 B．7 C．8 D．9 8．已知 都是正数，则 ，， 这三个数 A．都大于 2 B．都小于 2 C．至多有一个大于 2 D．至少有一个不小于 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列说法正确的是 A． 与 是同一个集合 B．若 ，则 C．已知全集为 ，若 ，则 D．若“”是真命题，则实数 的取值范围是 10．下列结论正确的是 A．若 ，则 的最小值为 4 B．若 ，则函数 的最大值为 C．若 ，则 的最大值为 1 D．若 ，则 11．已知集合 ，，则下列结论正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则实数 的取值范围是 C．若 ，则实数 的取值范围是 D．记 ，且集合 中有且仅有一个整数，则实数 的取值范围是 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 ，，则 的取值范围为 ______． 13．已知 是实数，集合 ，．若 ，则 ______． 14．若 ，，且 ，则 的最小值为 ______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设全集 ，集合 ，． （1）若 ，求 ，，； （2）若 不是空集，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 16．（15分）2026 年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站．经市场调研，该站每日的配送单量 （单位：单）与每单的配送费 （单位：元）满足关系式 （其中 ）．已知配送站每日的固定成本为 19200 元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单的可变成本为 4 元． （1）若要保证配送站每日利润 （单位：元）不为负数，求每单配送费 的取值范围；（每日利润＝每日配送总收入－每日可变总成本－每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为 32 万元，投入使用后，这批无人机使用 （）年的累计维保总费用为 万元．问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用．（年平均总费用＝（购机费用＋维保总费用）÷使用年数） 17．（15分）已知集合 ，集合 ，集合 ，命题 ，命题 ． （1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 和命题 至少有一个为假命题，求实数 的取值范围． 18．（17分）已知 满足 ，且 ． （1）求 的最小值； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值． 19．（17分）如果正整数集的子集 （）满足：① ；② 任意 （），存在 （），使得 ，则称 为 集． （1）分别判断 与 是否为 集，并说明理由； （2）当 时，对于 集 ，设 ，求证：； （3）当 时，若 ，求 集 中所有元素的和的最小值． 高一数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市文峰高级中学2026~2027学年高一上学期第一次月考 数学试卷参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1．设全集 ，集合 ，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由 且 确定全集 ，再求 及其在 中的补集． 【解答】 ∵ 且 ，∴ ，即 ． 又 ，，∴ ． ∴ ，故选 B． 2．已知命题 ，则命题 的否定为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：“”改为“”，同时否定结论，“”改为“”． 【解答】 命题 ：． 其否定为 ，故选 C． 3．已知 ，则下列不等式错误的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项作差或利用不等式的性质判断，注意 ，． 【解答】 对于 A：．∵ ，，∴ ，即 ，A 正确． 对于 B：∵ ，∴ ，又 ，∴ ，B 正确． 对于 C：∵ ，∴ ；又 ，∴ ．两式相加得 ，C 正确． 对于 D：．∵ ，，，∴ 该式小于 ，即 ，故 D 错误． 故选 D． 4．已知 均为正实数，则 的最小值为 A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】展开后化为 与 的和，再用基本不等式． 【解答】 ． ∵ ，，∴ ，当且仅当 时取等号． ∴ 原式 ，即最小值为 9，故选 D． 5．已知 ，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别验证充分性与必要性，不成立时举反例说明． 【解答】 若 ，则 ，且 ，∴ ，即必要性成立． 若 ，取 ，，则 成立，但 即 不成立，∴ 充分性不成立． 故“”是“”的必要不充分条件，选 B． 6．若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按二次项系数是否为 分类讨论，注意 时不是二次不等式． 【解答】 当 时，原不等式化为 ，恒成立，解集为 ，符合题意． 当 时，需 且 ，∴ ． 综上，，即 的取值范围是 ，故选 A． 7．已知集合 满足 ，则符合条件的集合 的个数为 A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】 必含 ，其余元素只能从 中选取． 【解答】 由 知 ，其中 ． 这样的 共有 个，∴ 符合条件的集合 有 8 个，故选 C． 8．已知 都是正数，则 ，， 这三个数 A．都大于 2 B．都小于 2 C．至多有一个大于 2 D．至少有一个不小于 2 【答案】D 【分析】先用基本不等式估计三个数的积，再用反证法判断；对错误选项举反例． 【解答】 ∵ ，∴ ，，． 三式相乘得 ． 若这三个数都小于 ，则它们的积小于 ，与上式矛盾，∴ 至少有一个不小于 2，D 正确． 当 时三个数都等于 ，故 A、B 错误；当 时三个数都等于 ，故 C 错误． 故选 D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 9．下列说法正确的是 A． 与 是同一个集合 B．若 ，则 C．已知全集为 ，若 ，则 D．若“”是真命题，则实数 的取值范围是 【答案】BC 【分析】逐项判断，注意空集与含空集的集合的区别，以及存在量词命题为真的条件． 【解答】 A 错误： 中不含任何元素，而 中含有一个元素 ，二者不是同一集合． B 正确：由 得 且 ，故 ． C 正确：∵ ，∴ 中的元素都不属于 ，故 ． D 错误：命题为真即 在 上有解，∴ ，故 的取值范围是 ，不是 ． 故选 BC． 10．下列结论正确的是 A．若 ，则 的最小值为 4 B．若 ，则函数 的最大值为 C．若 ，则 的最大值为 1 D．若 ，则 【答案】BCD 【分析】四个选项都用基本不等式或函数的单调性求最值，要验证等号成立的条件． 【解答】 A 错误：令 ，则 ，原式 ．∵ 在 上单调递增，∴ 原式的最小值为 ，不是 4． B 正确：，当且仅当 ，即 时取等号． C 正确：令 ，则 ，原式 ，当且仅当 ，即 时取等号． D 正确：∵ ，，∴ ，∴ ，当且仅当 时取等号． 故选 BCD． 11．已知集合 ，，则下列结论正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则实数 的取值范围是 C．若 ，则实数 的取值范围是 D．记 ，且集合 中有且仅有一个整数，则实数 的取值范围是 【答案】ACD 【分析】先把 中的二次不等式因式分解：，两根为 与 ，再按 的取值讨论． 【解答】 ∵ ，∴ ． A 正确：当 时，，，∴ ． B 错误：当 时 ，由 得 ，即 ；当 时 或 ，同样与 无公共元素．∴ 时 ，B 中所给范围漏掉了 的部分． C 正确： 即 ．∵ 是以 、 为端点的开区间，要包含 ，必须 ，即 ． D 正确：．当 时， 且 ，此时 ，其中只有整数 ；当 时，， 或 ，其中也只有整数 ；当 时 ，， 中只有整数 ；其余情形 中没有整数或至少有两个整数．故 ． 故选 ACD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 ，，则 的取值范围为 ______． 【答案】 【分析】用待定系数法把 写成 与 的组合，再用同向不等式相加． 【解答】 设 ， 则 ，，解得 ，． ∴ ． ∵ ，，∴ ， ∴ ． 又当 ， 时 ；当 ， 时 ，端点值均可取到， 故 的取值范围为 ． 13．已知 是实数，集合 ，．若 ，则 ______． 【答案】 【分析】先由 定出 ，再由集合相等与元素的互异性确定 ． 【解答】 ∵ ，∴ ．由 知 ，故 ． 此时 ，． 由 得 ，解得 或 ． 若 ，则 ，集合 中元素重复，与集合元素的互异性矛盾，舍去． ∴ ，，∴ ． 14．若 ，，且 ，则 的最小值为 ______． 【答案】 【分析】换元：令 ，，把已知条件化为 ，再把目标式用 表示． 【解答】 令 ，，则 ，即 ． ∵ ，∴ ． 令 ，则 ，∴ ． ∵ ，当且仅当 ，即 时取等号， ∴ ，即最小值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。 15．（13分）设全集 ，集合 ，． （1）若 ，求 ，，； （2）若 不是空集，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1），，； （2） 【分析】（1）代入 写出 ，借助数轴求交、并、补；（2）“充分不必要”即 且 ，先由 列不等式，再检验 ． 【解答】 （1）当 时，，又 ． ∴ ，． ∵ ，∴ ． （2）∵ ，∴ ，即 ． “ 是 成立的充分不必要条件”即 且 ． 由 得 且 ，解得 ． ∵ 的右端点为开， 的右端点为闭，且 ，∴ 恒成立． 综上，，即实数 的取值范围是 ． 16．（15分）2026 年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站．经市场调研，该站每日的配送单量 （单位：单）与每单的配送费 （单位：元）满足关系式 （其中 ）．已知配送站每日的固定成本为 19200 元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单的可变成本为 4 元． （1）若要保证配送站每日利润 （单位：元）不为负数，求每单配送费 的取值范围；（每日利润＝每日配送总收入－每日可变总成本－每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为 32 万元，投入使用后，这批无人机使用 （）年的累计维保总费用为 万元．问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用．（年平均总费用＝（购机费用＋维保总费用）÷使用年数） 【答案】（1）；（2）使用 4 年后更新，最低年平均总费用为 24 万元 【分析】（1）把 代入利润表达式，解一元二次不等式；（2）写出年平均总费用的表达式，用基本不等式求最小值． 【解答】 （1）每日利润 ． 由 得 ，整理得 ，即 ， ∴ ，解得 ． 又 ，∴ 每单配送费 的取值范围是 ． （2）设年平均总费用为 ，则 （）． ∵ ，当且仅当 ，即 时取等号， ∴ ． 即这批无人机使用 4 年后更新，年平均总费用最低，最低年平均总费用为 24 万元． 17．（15分）已知集合 ，集合 ，集合 ，命题 ，命题 ． （1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 和命题 至少有一个为假命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先按 、、 写出 ，再由 求范围；（2）分别求出 假、 假时 的范围，再取并集． 【解答】 （1） 的两根为 与 ． 当 时，，由 得 ，即 ； 当 时，， 恒成立； 当 时，， 成立． 综上，命题 为真时，，即 ． （2）命题 为假时 ． ∵ 等价于 ，∴ ． 命题 为真 ⟺ ． 当 ，即 时，， 为假； 当 时，，此时 恒成立，由 得 ，即 ． ∴ 为假 ⟺ ． “命题 和命题 至少有一个为假命题”即 假或 假，∴ 或 ， 即 的取值范围是 ． 18．（17分）已知 满足 ，且 ． （1）求 的最小值； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值． 【答案】（1）18；（2）；（3） 【分析】由 与 知 ，．三问都用基本不等式，关键是把式子凑成“和定”或“积定”的形式． 【解答】 ∵ ，，∴ ，． （1），当且仅当 ，即 ， 时取等号，∴ 最小值为 18． （2）由 得 ， ∴ ， 当且仅当 ，即 ，结合 得 ， 时取等号，∴ 最小值为 ． （3）令 ，，则 ，，且 ． ∵ ，， ∴ 原式 ． ∵ ，∴ ，原式 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号， ∴ 最小值为 ． 19．（17分）如果正整数集的子集 （）满足：① ；② 任意 （），存在 （），使得 ，则称 为 集． （1）分别判断 与 是否为 集，并说明理由； （2）当 时，对于 集 ，设 ，求证：； （3）当 时，若 ，求 集 中所有元素的和的最小值． 【答案】（1） 不是 集， 是 集；（2）证明见解析；（3）17 【分析】紧扣条件②： 可由不超过 的两个元素相加得到，故 ；（3）先由 、 缩小范围，再逐一枚举． 【解答】 （1）对于 ：，而 不能表示为 中两个元素之和（，， 均不等于 3），不满足条件②，∴ 不是 集． 对于 ：，，，均满足条件②，∴ 是 集． （2）证明：由条件②，对 ，（）． ∴ ，又 ，∴ ． ∴ ，． ∵ ，∴ ． ∴ ， 即 ． （3）∵ ，，由（2）知 ，，且 只能为 或 ，即 ． 若 ，则 ： 时， 中两数之和最大为 ，不能得到 7； 时， 中两数之和只能为 ，也不能得到 7．∴ 不可能． 若 ，． 当 时，，且 、、 分别可行，对应元素和为 ； 当 时，，、 可行，对应元素和为 ． 若 ，则元素和至少为 ． 综上， 集 中所有元素的和的最小值为 17，此时 ． 高一数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $