专题4.3 对数函数（高效培优讲义，4知识6重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

专题4.3 对数函数 教学目标 1.理解对数函数的概念，能准确判断一个函数是否为对数函数，明确底数 且 的限制条件。 2.掌握对数函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、定点、渐近线），能根据底数 与 分类讨论。 3.理解对数函数与指数函数互为反函数的关系，掌握图象关于直线 对称这一特征。 4.能运用对数函数的单调性比较大小、解简单对数不等式、求复合函数的定义域与值域。 教学重难点 教学重点 对数函数的概念及其定义域要求： 。 对数函数的图象与性质，特别是单调性与底数 的对应关系。 教学难点 底数 与 两类图象的区分与性质的系统归纳。 对数函数与指数函数互为反函数的理解，以及图象对称性的说明。 含对数函数的复合函数定义域、值域与单调性讨论（尤其是“同增异减”的判断）。 对数不等式的求解中，利用单调性转化时对底数的分类讨论。 知识点01 对数函数的概念 一般地，函数 叫做对数函数，其中 是自变量，定义域为 。 注意：真数必须大于零；底数必须大于零且不等于1；系数必须为1，形如 、 均不是对数函数。 【即学即练】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有________． ①；②；③；④． 【答案】② 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 知识点02 对数函数的图象与性质 项目 定义域 值域 定点 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 函数值符号 时 ； 时 时 ； 时 渐近线 轴（ ） 轴（ ） 图象趋势 增长速度逐渐变慢 递减速度逐渐变慢 补充：图象恒过定点 ，且恒在 轴右侧；底数越大， 时图象越“平缓”（靠近 轴）， 时图象越“陡”。 【即学即练】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）函数的图象经过一个定点，这个定点的坐标是_____________. 【答案】 【详解】当时，， 所以函数过定点. 故答案为：. 知识点03 对数函数与指数函数的关系 指数函数 与对数函数 互为反函数，图象关于直线 对称，定义域与值域互换： 【即学即练】（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 知识点04 对数型复合函数 定义域：需同时满足 与 自身定义域。 值域：先求 的取值范围，再求 的值域。 单调性：遵循“同增异减”—— 时与 单调性一致； 时与 单调性相反。 【即学即练】（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的定义域是_______. 【答案】 【详解】由题可得：，解得：，所以函数的定义域是 故答案为： 题型01 对数函数的概念辨析 【例1】对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为________． 【答案】 【详解】设，由题意可得，解得. 所以此对数函数的表达式为. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 【变式1-2】若函数是以为自变量的对数函数，则实数________． 【答案】3 【详解】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期末）若，则__________. 【答案】8 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 题型02 对数函数定义域与值域 【例2-1】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为_____________. 【答案】 【详解】因为，所以，即函数的定义域为. 故答案为：. 【例2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，则函数的值域为__________. 【答案】R 【详解】当时，函数的定义域为， 函数的真数的取值集合为， 所以函数的值域为R. 故答案为：R 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为____________ 【答案】 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【答案】 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 【变式2-3】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数定义域为，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意得对所有成立： 若，成立； 若，则且判别式， 解得： 综上，. 故答案为：. 题型03 对数函数比较大小 【例3】（25-26高一上·上海·期末）已知实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，因为，根据不等式的传递性，所以，故选项A一定成立； 对于选项B，对数函数的定义域为，当不都为正数时，该不等式无意义，例如当时，无意义，故选项B不一定成立； 对于选项C，函数在上单调递增，因为，所以，故选项C一定成立； 对于选项D，函数在上单调递增，因为，所以，故选项D一定成立. 故选：B 【变式3-1】（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）已知，则下列不等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：因为，所以，故A错误； 选项B：因为，所以，故B错误； 选项C：因为在R上单调递减，且， 所以，故C错误； 选项D：因为，所以， 因为在上单调递减， 所以，故D正确. 故选：D 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期末）若实数，实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A：考虑幂函数在上单调递增， 因，，可以得到，故A正确； B：考虑指数函数，在时单调递增， 因，可以得到，故B不正确； C：考虑对数函数，当，时单调递增， 由，可以得到，故C不正确； D：由， 因为实数，而实数， 所以，则，即，故D不正确. 故选：A 【变式3-3】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知定义域为的函数在上严格增，且其图象关于直线对称．令，，．这三个数的大小关系为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，其中 ，由于函数 关于直线 对称，故有 ， ， ， ， 因为底数，所以在上单调递增， 所以， 又因为函数在上严格增， 所以， 所以. 故选：C 题型04 对数不等式 【例4】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】且，关于x的不等式①， 当，时，不等式①的解集为，排除C； 当，，时，不等式①的解集为，排除B； 当，，时，恒成立，不等式①的解集为，排除D. 故选：A 【变式4-1】（25-26高一上·上海虹口·期末）关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】即为，故即， 故不等式的解集为， 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高一上·上海嘉定·期末）用函数的观点解不等式，则其解集为________． 【答案】 【详解】设函数，定义域为， 根据指数、对数函数单调性可得，和都是上的增函数， 所以函数是上的增函数， 又，即，所以， 则不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·上海虹口·期末）关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】令，因为在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，，所以要使得不等式恒成立， 则，又，所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型05 对数型复合函数 【例5】（25-26高一上·上海·期末）已知函数的定义域是集合，集合. (1)当，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）由得，解得， 故函数的定义域为， 当时，， 所以. （2）若是的必要条件，则， 又，， 故，解得， 故实数的取值范围为. 【变式5-1】（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知函数，其中． (1)求函数的定义域A； (2)若函数的最小值为1，求a的值； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以，即， 由可知， 所以不等式的解为， 故函数的定义域. （2）令， 当时，， 又为减函数， 所以，可得， 即，解得或（舍去）. （3）令，则由指数函数的单调性知为增函数， 当时，， 不等式可化为，即， 即存在，使得不等式成立， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 故. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）（1）当时，解关于的方程； （2）当时，求函数的定义域； （3）若关于的方程有且仅有一个解，求实数的取值范围． 【详解】（1），，； （2）对数有意义，则，所以， 所以，解得：或， 所以实数的取值范围为或, 则函数定义域为； （3）由题意有且仅有一个解， 即有且仅有一个解， 所以（①）有且仅有一个解， 方程两边同乘得，即②， 当时，方程②的解为，此时代入①式得，符合题意； 当时，方程②的解为， 此时代入①式得，符合要求； 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即， 若是方程①的解，则，即， 则要使方程①有且仅有一个解，则； 综上，方程有且仅有一个解， 实数的取值范围是. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）已知函数  . (1)解不等式 (2)若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的值； (3)若对任意 ，函数 在区间 上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求 的取值范围. 【详解】（1）由有：， 所以，即， 所以； （2）由有：， 所以，即， 当时，，满足题意， 当时，由， 所以，满足题意， 当时，方程有两个不等的实根，不妨设为， 由有，因为，所以， 所以，所以都满足，不满足题意， 综上所述，或； （3）因为对任意 ，函数 在区间 上总有意义， 所以对恒成立， 因为在上为减函数，故只需对任意恒成立， 所以只要，故，解得， 对任意，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上最大值为，最小值为， 所以， 所以对任意恒成立， 令， 当时，对任意不恒成立， 当时，在单调递增，不满足题意， 当时，对任意恒成立，有三种情况： 第一种：当，所以， 第二种：，又，所以无解， 第三种：，无解， 所以实数a的取值范围是. 题型06 对数函数的实际应用 【例6】（24-25高一上·上海宝山·期中）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：（分贝）]定义为，其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.当声强级为时，声场中某点的声强度为. (1)求； (2)如果，求相应的声强级； (3)声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？ 【详解】（1）由题意，当声强级为时，声场中某点的声强度为， 即函数，当时，， 代入函数解析式得，解得. 故基准值为. （2）由（1）知，，令， 则dB. 因此，若，则相应的声强级为. （3）由，则，同理， 所以. 故声强级为时的声强度是声强级为50dB时的声强度的倍. 【变式6-1】某商店每次订购商品的手续费W（万元）主要由管理费和运输费组成，其中管理费固定为a（万元），运输费的基础值为b（万元），随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，故可通过函数模型来描述订购手续费W与订购数量x的变化关系.现已知变化过程中部分数据如下表所示： x（万件） 1 2 3 4 W 80 73 66.7 61.03 (1)求出商品订购手续费W（万元）关于订购数量x（万件）的函数解析式； (2)考虑到店铺良性发展和资金情况，若要求本次订购产生的手续费不超过40万元，则至少需要订购多少万件商品?（参考数据：，） 【详解】（1）由题可得，由随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，可得，则，则，则解析式为： （2）由（1）可得 . 则至少需要订购9万件商品. 【变式6-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【详解】(1)对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度由快变慢， 对于模型②，指数型的函数是由慢变快，且增长速度是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③， （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点， 则，解得， 故所求函数为， 因为总奖金不少于9万元，所以，即， 所以，所以， 所以至少应完成销售利润万元． 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 【详解】（1）当时，代入公式，可得（分贝）． （2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 解得． 故噪音的能量范围为． （3）人在100分贝至120分贝的空间内会暂时失聪．令， 解得，令，解得， 所以当能量达到时会暂时失聪． 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，则下列各项中，能推出的一项是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】根据对数函数的性质可知，当，时，，故A、B错误； 当时，时，，故C错误，D正确. 故选：D 2．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为_______． 【答案】 【详解】因为函数在单调递增，且， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知且，则函数的图象经过定点________． 【答案】 【详解】由题意令得， 此时， 则函数的图像经过定点. 故答案为： 4．（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. 5．（25-26高一上·上海·期中）若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为时，， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 6．（25-26高一上·上海松江·期中）已知常数且，假设无论取什么值，函数的图象恒经过一个定点，则的值为__________. 【答案】5 【详解】令，得，此时， 则函数的图象恒过定点，即， 所以. 故答案为：5 7．（25-26高一上·上海·期中）使得有意义的的取值范围是______． 【答案】; 【详解】由题可得，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 9．（25-26高一上·上海·期末）已知，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若时，有，求的取值范围. 【详解】（1）由题意得，得到， 则，解得. （2）因为时，有， 所以该函数是正实数集上的减函数， 则，解得或， 故的取值范围为. 10．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数 (1)无论常数为何值，的图象均过一定点，写出此定点坐标； (2)关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围. 【详解】（1）对于函数， 令，解得，对应函数值， 因此定点坐标为； （2）不等式，即， 由于，函数单调递增， 不等式等价于：. 因此解集. 又 ，即. 所以，解得：，即的取值范围为. 1．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B．中只有一个元素 C．中有两个元素 D．中有无穷多个元素 【答案】B 【详解】根据对数函数的定义域可知：，. 由可得， 则有， 展开整理得：， 则得，即， 故有，解得，. 因此方程仅有一组正实数解，所以集合中仅有一个元素. 故选：B. 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知定义在上的函数和，若存在正数，使得对任意的，，都有，则称在D上相对于满足“-利普希兹”条件，则关于下列两个命题，说法正确的是（    ） 命题：若，，在上相对于满足“4-利普希兹”条件，则a的最大值为； 命题：若，，在非空数集上相对于满足“1-利普希兹”条件，则. A．命题正确，命题正确 B．命题正确，命题不正确 C．命题不正确，命题正确 D．命题不正确，命题不正确 【答案】B 【详解】对于命题，，，均有成立，即，当时，显然成立， 当时，则恒成立，又，，所以，所以，所以的最大值为，所以命题正确； 对于命题，由题意可得在非空数集上有恒成立，当时，显然成立，设，则， 所以成立，令，则函数在非空数集单调递增， 因为，当，所以，单调递增，单调递减， 又单调递增，所以在上单调递减，故命题错误. 故选：B. 3．（25-26高一上·上海松江·期中）函数在上的最大值与最小值的差为1，则________． 【答案】或 【详解】当时在上单调递增， 因此，最大值为，最小值为. 由题知，， 即，得（满足）. 当时在上单调递减， 因此，最大值为，最小值为. 由题知， ， 即，得（满足）. 综上所述，或. 故答案为：或 4．（25-26高一上·上海奉贤·期末）不等式的解为______． 【答案】 【详解】令，显然的定义域为, 因为函数和在上单调递增，因此在上单调递增； 又，所以不等式即为， 因此可得，即该不等式的解集为. 5．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 【答案】 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，当时，，当时，，当时，，要使， 则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上，只需，即，解得， 故的最小值为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海普陀·期末）记表示不超过的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有5对点关于原点对称，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】当时，；当时，；当时，；； 作出的部分图象，作出的图象以及和它关于原点对称的函数的图象， 因为的图象上恰有5对点关于原点对称，所以与恰有5个公共点， 所以，解得. 故答案为：    8．（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）若是正整数，方程有两个不相等的实数根、，且，则正整数的最小值为______． 【答案】3 【详解】因为方程有两个不相等的实数根、， 所以有，，解得，， 所以要有， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以正整数的最小值为3. 9．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由题意可知，方程有解， 等价于在不等式组成立的前提下，方程③有解. 由①可解得或. 方程③有解的条件为，解得或. 设的两根分别为，可知. 若，则方程③两根同正，则由可得， 此时②可化为，若②成立，须满足； 此时由③可得，当且仅当，即时等号成立. 综上可知，当时，存在的解； 若，则方程③两根同负，则由可得， 此时②可化为，由可得，若②成立，须满足； 此时由③可得，由对勾函数的性质可知， 函数在区间上单调递增， 所以，所以 综上可知，当时，存在的解； 综上，的取值范围是. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 【详解】（1）由，得， 当时，； 当时，； 所以的定义域是当时；当时，． （2）当时，任取，且， 则，所以． 因为，所以，即． 故当时，在上是增函数． ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，即不等式的解为. 11．（25-26高一上·上海·期末）某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立每日得分（单位：分）与当日阅读时间（单位：分钟）的函数关系.要求如下： （i）阅读的部分图像接近图示； （ii）每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分； （iii）每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分； （iv）每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①  ②  ③ (1)请你根据以上要求选择合适的函数模型并求出其解析式； (2)若该校要求每日得分不少于5分，每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数） 【详解】（1）模型①为一次函数，函数图像为一条直线，不符合题意； 模型②为单调递增的指数型函数，且增长速度越来越快， 根据题意可得应选择增长速度为先快后慢的增长模型， 所以选对数型模型③，故选③； 由题可知，在上， 所以，即，解得， 所以， 令，可得，解得， 所以函数的解析式为； （2）令，可得， 即，解得， 所以每天得分不少于5分，至少需要阅读分钟. 12．（25-26高一上·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，所以，解得. （2）因为， 所以， 则，化简得，整理得， 当时，恒成立， 当时，可得，故实数的取值范围为. （3）当时，， 令，因为，所以， 则， 设，而，， 而开口向上，则讨论端点值即可， 当时，即，函数有最大值为6， 当时，即，函数有最大值为， 综上可得，当时，最大值为6， 当时，最大值为. 13．（25-26高一上·上海虹口·期末）某大型体育赛事期间，为保障主场馆周边地铁站的安全运营，交通部门建立了智能客流预警系统．系统通过实时监测站内客流密度（单位：人/平方米），计算得到压力指数，并自动触发相应级别的管控措施，即： 三级（蓝色）预警：，加强广播提示： 二级（黄色）预警：，增派工作人员进行安全引导； 一级（红色）预警：，实施站外限流． 基于监测数据及经验，当客流密度达到一定数量后，客流压力指数会随着的增加而加速上升，可分段表示为.其中． (1)当时，求的值，并说明此时预警系统会触发几级预警？ (2)试确定，并作出函数的图像； (3)某站厅面积为，当客流压力指数时，估算此时站内总人数． 【详解】（1）因为，其中． 由于当客流密度达到一定数量后，客流压力指数会随着的增加而加速上升， 而比的增长幅度大，所以. 所以当时，， 由于，所以预警系统会触发二级预警. （2）由（1）分析可知， 所以，图像如下所示： （3）由（2）的图像可知，， 而时，，所以， 解得，此时人 因此站内总人数的估计值为人. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）对于函数，定义，其中是包含在定义域中的非空区间. (1)若，求和 (2)设且，不是单元素集合，求的取值范围. (3)设函数在上是减函数，，且.若对任意，均存在，使. ①请写出函数的解析式并说明理由. ②判断当时，最多有几个交点，并给出此时的值（无需说明理由，只需给出答案） 【详解】（1）. 该函数在上单调递减，在单调递增. 区间包含（最小值点），； 端点值，，， 因此. 时，单调递增，，， 因此. （2）作出函数的图象如下：   在上单调递增，在上单调递减， 因为，故，所以. 又，故交集至少1个元素， 所以若非单元素，必有，此时， 故，即，解得. 综上. （3）①，理由为： 首先证明和是单元素集. 不妨设存在，且 则使，又，与是减函数矛盾. 故是常数），即和是单元素集. 令，故，因为且是最大的， 故，即，又是最小的，故只能， 令，故，但且， 故常数只能是0（即此时，这是因为不管或，均会与减函数矛盾）， 故，. 对，此时， 又，结合时， 对，同理可得出时，且， 故在上解析式为， ②画出上的图象   相当于函数和一条斜率为-1的直线的交点个数， 由图可知交点个数最多5个，此时. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 对数函数 教学目标 1.理解对数函数的概念，能准确判断一个函数是否为对数函数，明确底数 且 的限制条件。 2.掌握对数函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、定点、渐近线），能根据底数 与 分类讨论。 3.理解对数函数与指数函数互为反函数的关系，掌握图象关于直线 对称这一特征。 4.能运用对数函数的单调性比较大小、解简单对数不等式、求复合函数的定义域与值域。 教学重难点 教学重点 对数函数的概念及其定义域要求： 。 对数函数的图象与性质，特别是单调性与底数 的对应关系。 教学难点 底数 与 两类图象的区分与性质的系统归纳。 对数函数与指数函数互为反函数的理解，以及图象对称性的说明。 含对数函数的复合函数定义域、值域与单调性讨论（尤其是“同增异减”的判断）。 对数不等式的求解中，利用单调性转化时对底数的分类讨论。 知识点01 对数函数的概念 一般地，函数 叫做对数函数，其中 是自变量，定义域为 。 注意：真数必须大于零；底数必须大于零且不等于1；系数必须为1，形如 、 均不是对数函数。 【即学即练】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有________． ①；②；③；④． 知识点02 对数函数的图象与性质 项目 定义域 值域 定点 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 函数值符号 时 ； 时 时 ； 时 渐近线 轴（ ） 轴（ ） 图象趋势 增长速度逐渐变慢 递减速度逐渐变慢 补充：图象恒过定点 ，且恒在 轴右侧；底数越大， 时图象越“平缓”（靠近 轴）， 时图象越“陡”。 【即学即练】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）函数的图象经过一个定点，这个定点的坐标是_____________. 知识点03 对数函数与指数函数的关系 指数函数 与对数函数 互为反函数，图象关于直线 对称，定义域与值域互换： 【即学即练】（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 知识点04 对数型复合函数 定义域：需同时满足 与 自身定义域。 值域：先求 的取值范围，再求 的值域。 单调性：遵循“同增异减”—— 时与 单调性一致； 时与 单调性相反。 【即学即练】（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的定义域是_______. 题型01 对数函数的概念辨析 【例1】对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为________． 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【变式1-2】若函数是以为自变量的对数函数，则实数________． 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期末）若，则__________. 题型02 对数函数定义域与值域 【例2-1】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为_____________. 【例2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，则函数的值域为__________. 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为____________ 【变式2-2】（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【变式2-3】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数定义域为，则的取值范围为______. 题型03 对数函数比较大小 【例3】（25-26高一上·上海·期末）已知实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）已知，则下列不等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期末）若实数，实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知定义域为的函数在上严格增，且其图象关于直线对称．令，，．这三个数的大小关系为（   ）． A． B． C． D． 题型04 对数不等式 【例4】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·上海虹口·期末）关于的不等式的解集为___________． 【变式4-2】（25-26高一上·上海嘉定·期末）用函数的观点解不等式，则其解集为________． 【变式4-3】（25-26高一上·上海虹口·期末）关于的不等式的解集为___________． 题型05 对数型复合函数 【例5】（25-26高一上·上海·期末）已知函数的定义域是集合，集合. (1)当，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【变式5-1】（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知函数，其中． (1)求函数的定义域A； (2)若函数的最小值为1，求a的值； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）（1）当时，解关于的方程； （2）当时，求函数的定义域； （3）若关于的方程有且仅有一个解，求实数的取值范围． 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）已知函数  . (1)解不等式 (2)若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的值； (3)若对任意 ，函数 在区间 上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求 的取值范围. 题型06 对数函数的实际应用 【例6】（24-25高一上·上海宝山·期中）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：（分贝）]定义为，其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.当声强级为时，声场中某点的声强度为. (1)求； (2)如果，求相应的声强级； (3)声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？ 【变式6-1】某商店每次订购商品的手续费W（万元）主要由管理费和运输费组成，其中管理费固定为a（万元），运输费的基础值为b（万元），随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，故可通过函数模型来描述订购手续费W与订购数量x的变化关系.现已知变化过程中部分数据如下表所示： x（万件） 1 2 3 4 W 80 73 66.7 61.03 (1)求出商品订购手续费W（万元）关于订购数量x（万件）的函数解析式； (2)考虑到店铺良性发展和资金情况，若要求本次订购产生的手续费不超过40万元，则至少需要订购多少万件商品?（参考数据：，） 【变式6-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，则下列各项中，能推出的一项是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 2．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为_______． 3．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知且，则函数的图象经过定点________． 4．（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． 5．（25-26高一上·上海·期中）若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是________． 6．（25-26高一上·上海松江·期中）已知常数且，假设无论取什么值，函数的图象恒经过一个定点，则的值为__________. 7．（25-26高一上·上海·期中）使得有意义的的取值范围是______． 8．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 9．（25-26高一上·上海·期末）已知，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若时，有，求的取值范围. 10．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数 (1)无论常数为何值，的图象均过一定点，写出此定点坐标； (2)关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围. 1．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B．中只有一个元素 C．中有两个元素 D．中有无穷多个元素 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知定义在上的函数和，若存在正数，使得对任意的，，都有，则称在D上相对于满足“-利普希兹”条件，则关于下列两个命题，说法正确的是（    ） 命题：若，，在上相对于满足“4-利普希兹”条件，则a的最大值为； 命题：若，，在非空数集上相对于满足“1-利普希兹”条件，则. A．命题正确，命题正确 B．命题正确，命题不正确 C．命题不正确，命题正确 D．命题不正确，命题不正确 3．（25-26高一上·上海松江·期中）函数在上的最大值与最小值的差为1，则________． 4．（25-26高一上·上海奉贤·期末）不等式的解为______． 5．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 6．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________. 7．（25-26高一上·上海普陀·期末）记表示不超过的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有5对点关于原点对称，则实数的取值范围是_____． 8．（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）若是正整数，方程有两个不相等的实数根、，且，则正整数的最小值为______． 9．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，若，则的取值范围是___________． 10．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 11．（25-26高一上·上海·期末）某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立每日得分（单位：分）与当日阅读时间（单位：分钟）的函数关系.要求如下： （i）阅读的部分图像接近图示； （ii）每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分； （iii）每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分； （iv）每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①  ②  ③ (1)请你根据以上要求选择合适的函数模型并求出其解析式； (2)若该校要求每日得分不少于5分，每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数） 12．（25-26高一上·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 13．（25-26高一上·上海虹口·期末）某大型体育赛事期间，为保障主场馆周边地铁站的安全运营，交通部门建立了智能客流预警系统．系统通过实时监测站内客流密度（单位：人/平方米），计算得到压力指数，并自动触发相应级别的管控措施，即： 三级（蓝色）预警：，加强广播提示： 二级（黄色）预警：，增派工作人员进行安全引导； 一级（红色）预警：，实施站外限流． 基于监测数据及经验，当客流密度达到一定数量后，客流压力指数会随着的增加而加速上升，可分段表示为.其中． (1)当时，求的值，并说明此时预警系统会触发几级预警？ (2)试确定，并作出函数的图像； (3)某站厅面积为，当客流压力指数时，估算此时站内总人数． 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）对于函数，定义，其中是包含在定义域中的非空区间. (1)若，求和 (2)设且，不是单元素集合，求的取值范围. (3)设函数在上是减函数，，且.若对任意，均存在，使. ①请写出函数的解析式并说明理由. ②判断当时，最多有几个交点，并给出此时的值（无需说明理由，只需给出答案） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $