专题2.2 不等式的求解（高效培优讲义，4知识9重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

本高中数学讲义聚焦不等式求解核心知识点，系统梳理一元一次不等式（组）解法、一元二次不等式（含三个“二次”关联）、分式不等式等价转化及绝对值不等式求解，构建从基础到复杂的知识支架。 资料以分类讨论培养数学思维，规范解集表达强化数学语言，通过即学即练与变式题引导用数学眼光发现问题，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，提升解题能力。

专题2.2 不等式的求解 教学目标 1. 理解不等式的解、解集的核心概念，熟练掌握解集的三种表达形式：集合、区间、数轴，能规范书写解题结果。 2. 掌握一元一次不等式（组）的基本解法，能够对含参数的一元一次不等式进行完整分类讨论，规避解题漏洞。 3. 透彻理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的内在关联，熟练求解常规一元二次不等式，掌握含参数一元二次不等式的解题逻辑。 4. 掌握分式不等式的等价变形规则，明确分母不为零的核心限制条件，可将分式不等式等价转化为整式不等式（组）求解。 5. 理解绝对值的几何意义，熟练求解基础绝对值不等式，掌握零点分段法求解多重绝对值不等式的方法。 教学重难点 教学重点 1. 一元二次不等式的通用解法，二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关系。 2. 分式不等式的等价转化方法，掌握分母不为零的限制条件。 3. 基础绝对值不等式的求解公式与解题步骤。 4. 不等式解集的规范表达（集合、区间、数轴）。 教学难点 1. 含参数不等式的分类讨论，核心讨论点：一次/二次项系数、判别式、方程根的大小。 2. 分式不等式的等价变形，易忽略分母不为零导致解题错误。 3. 零点分段法脱去多重绝对值符号，区间划分与解集合并。 4. 已知不等式解集，反向求解参数值或参数范围的逆向思维问题。 5. 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题求解。 知识点01 一元一次不等式（组） 1. 基本概念：使不等式成立的所有未知数的值组成的集合称为不等式的解集；一元一次不等式组的解集为各不等式解集的交集。 2. 标准型不等式 解集分类： ① 当时，解集为； ② 当时，解集为（不等号方向改变）； ③ 当时，若，解集为；若，解集为。 3. 核心易错：不等式两边同乘、同除负数时，必须反转不等号方向。 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 知识点02 一元二次不等式（核心重点） 1. 解题核心前提：统一将二次项系数化为正数，结合判别式与二次函数图像求解。 2. 三个“二次”对应关系对照表（） 判别式 方程根 两相异实根 两相等实根 无实数根 解集 解集 3. 解题口诀：a正前提下，大于取两边，小于取中间。 4. 标准解题步骤：化正系数→计算判别式→求解方程根→结合图像写解集。 【即学即练】 2．（25-26高一上·上海闵行·期末）已知，则不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】由，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 知识点03 分式不等式（等价变形核心） 核心原则：严禁直接两边同乘分母（分母正负未知），必须移项通分，右侧化为0，等价转化为整式不等式，始终保留分母不为零的限制。 1. 2. 3. 4. 【即学即练】 3．（25-26高一下·上海·期中）不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】因为，所以，即，解得，所以不等式的解集是. 知识点04 绝对值不等式 1. 基础公式（） ① ；② 2. 通用复合型公式 ① ② 3. 多重绝对值解法：零点分段法 步骤：找绝对值内部零点→划分定义域区间→分段去绝对值求解→合并各段解集（取并集）。 【即学即练】 4．（25-26高一上·上海浦东新·期中）关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】当时，原不等式化简为，解得，又因为，则无实数解； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以. 综上原不等式解集为. 故答案为：. 题型01 无参数一元一次不等式（组）求解（基础） 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）一元一次不等式组的解为，则与的大小关系是________． 【答案】 【详解】利用数轴，画出，如下图， 由一元一次不等式组的解为，可知. 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】对于， 当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解， 综上，. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则______________. 【答案】1 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 【变式1-3】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________ 【答案】 【详解】将不等式 移项整理： ， 因为不等式的解集为， 所以， 所以， 代入中可得：， 又因为， 所以. 故答案为： 题型02 含参数一元一次不等式求解（中档） 【典例2】（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）不等式的解集为，则_________． 【答案】 【详解】由不等式的解集为，可得，则， 故， 故答案为：5 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数______． 【答案】0 【详解】由可得，要使不等式组的解集非空， 需使，所以，故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）解关于x的不等式. 【详解】由不等式，得. 当时，，所以； 当时，，所以，恒成立； 当时，，所以. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为R 当时，不等式的解集为. 【变式2-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）设关于的不等式的解集为 . (1)求集合 ； (2)若，，求实数 的取值范围. 【详解】（1）由不等式，可得，即， 当时，即时，不等式即为，此不等式不成立，所以； 当时，即时，解得，所以； 当时，即时，解得，所以， 综上可得：当时， ；当时，；当时，， （2）由，即满足不等式，可得，解得， 又由，即不满足不等式， 则满足不等式，可得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 题型03 无参数一元二次不等式求解（基础必考） 【典例3】（25-26高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为_______. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为______（用区间表示）． 【答案】 【详解】， 解得， 不等式的解集为． 故答案为： 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，若，则实数______． 【答案】 【详解】因为，说明一元二次不等式的解集就是，即和是对应方程的两个实根， 根据韦达定理得，因此， 验证： 因式分解得，解集确实为，符合. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为______. 【答案】 【详解】由不等式的解集为，得且，即. 将代入不等式，得. 因，不等式等价于. 二次不等式的零点为和， 结合二次函数开口向上的性质，解得或. 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型04 含参数一元二次不等式求解（重难点） 【典例4】（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以有， 所以，或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【详解】由的解集为， 可得，且方程的解为， 所以，则， 所以， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为________________． 【答案】 【详解】， 因为，方程的两根为，且， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 题型05 已知一元二次不等式解集反求参数（中档高频） 【典例5】（25-26高一上·上海松江·阶段检测）不等式的解集为，则实数______． 【答案】 【详解】因为不等式的解集为，， 所以的两个根为2，3， 由韦达定理有. 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则___________． 【答案】1 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以，所以， 则. 故答案为：1. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）关于x的不等式的解集是，则实数__________. 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以是方程的两个根，且， 所以， 解得， 所以， 故答案为： 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合． (1)求的值； (2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 【详解】（1）由可得：方程的两根为， 根据韦达定理有：所以有； （2）当时，，该集合满足至多只有一个元素， 当时，若A中至多只有一个元素，则满足， 因为所以， 综上可得取值范围是. 题型06 分式不等式求解（基础+中档） 【典例6-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）不等式的解集是______. 【答案】 【详解】因为等价于，解得， 所以不等式的解集是. 【典例6-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）不等式的解集为________．（用区间表示） 【答案】 【详解】由， 得或， 即不等式的解集为， 故答案为： 【变式6-1】（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期中）关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】当时，， 则需对任意恒成立； 当时，， 则需对任意恒成立； 当时，， 此时，故不在不等式解集中，符合要求； 综上，可得在上恒成立， 且的根仅可在区间上取得； 当时，有，符合题意； 当时，若，即， 令，则，符合要求； 若，则有，解得； 综上可得：实数的取值范围是. 故答案为：. 题型07 绝对值不等式求解（基础+培优） 【典例7-1】（25-26高一上·上海·期末）关于的方程的解集为______． 【答案】 【详解】当时，转化为，解得，不符合题意； 当时，转化为，解得恒成立 当时，转化为，解得，不符合题意 因此方程的解集为 故答案为：. 【典例7-2】（25-26高一上·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【详解】当不等式取等号时，， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意舍去； 当时，即，解得； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为： 【变式7-1】（25-26高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 【答案】 【详解】当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 综上，使得不等式等号成立的x的取值范围是. 故答案为：. 【变式7-2】（25-26高一上·上海虹口·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以不等式在上恒成立，即小于等于的最小值. 令，当时，， 此时为增函数，所以，此时； 当时，， 此时为减函数，所以，此时； 当时，，此时； 综上的最小值为4，所以要满足题意，那么. 故实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高一上·上海·期中）已知代数式和． (1)若，求关于的方程的解集； (2)若，用反证法证明：中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件． 【详解】（1）当时，方程为， 当时，方程化为，解得； 当时，方程化为，即，恒成立，此时方程的解为； 当时，方程化为，解得，时不成立，无解． 方程的解集为． (2)若，假设和两者都小于，即，， 解得且，区间与无交集， 假设错误，故和至少有一个不小于． （3），不等式对任意实数恒成立， 当时，，即，， 时，恒成立； 当时，，即，当，即， 时恒成立， 只需讨论当时，恒成立时，实数需满足的条件． 当时，，即， 若，要使在时恒成立，，且无边界，不满足，舍去； 若，要使在时恒成立，则，； 若，要使在时恒成立，则，即 ， 当时，，即，，得， 要使在上恒成立，且无边界，不满足，舍去； 或，即． 题型08 不等式混合组求解（综合中档） 【典例8-1】（25-26高一上·上海奉贤·期末）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【详解】（1）解：由不等式，可得，所以. （2）解：由（1）知：集合，且， 当时，不等式的解集为空集，满足，符合题意； 当时，不等式，可得，即， 因为，则满足，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 【典例8-2】（2025·上海闵行·一模）已知，集合. (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，得，解得或， 则或； 由； 当时，，解得. （2）由，得，由， ①当时，得，符合题意； ②当时，若，则， 由，或, 可得，此时； 若，则，此时恒成立，故符合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 【变式8-1】（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合． (1)求集合P； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【详解】（1）由， 故. （2）因为， 所以， 因为“”是“”的充分非必要条件， 所以是的真子集， 所以. 因此实数的取值范围为. 【变式8-2】（25-26高一上·上海奉贤·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：， 时，解得， 由，得 ， 即，解得， 所以， （2），， ，， ，解得， 所以实数的取值范围为． 【变式8-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，集合，命题，命题． (1)当实数为何值时，； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）令，即， 有，解得，故， 的解为，， 当时，，， 则，无解； 当或时，，，此时； 当或时，，， 则，解得； 综上，； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以当时，，， 则或，无解； 当或时，，，此时不符合题意； 当或时，， 则，解得；， 或，解得， 综上所述，a的取值范围为． 题型09 一元二次不等式恒成立问题（培优拓展） 【典例9-1】（25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 【典例9-2】已知，. (1)若，解关于的不等式组； (2)若对任意，都有或成立，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围. 【详解】（1）（1），，则或， ，则， 所以不等式组的解集为：； （2）因为当时，，所以当时，恒成立， 当时，，的解为，不能满足时，恒成立， 当时，不满足题意， 当时，由得，化为， 若时，，不等式的解为或，因为，所以满足题意， 若时，，不等式的解为或， 因此，，因此， 综上，的取值范围是． （3）时，，因此存在使得， 又， 因此在上有解，由于， 所以，解得， 综上，． 【变式9-1】（25-26高一上·上海·期中）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】由对任意，恒成立， 当时，恒成立，因此； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式9-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为存在，使得不等式成立， 所以在上有解， 所以小于等于的最大值， 令，， 则， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 【变式9-3】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； （2）因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； （3）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则，令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 1．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】不等式或， 若，则；反之，当时，不等式不一定成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为； 故不等式解集不可能为. 故选：C. 3．（25-26高一上·上海·期末）不等式的解集为___________. 【答案】 【详解】由题意可知， 解之得. 故答案为： 4．（25-26高一上·上海·期末）关于的不等式的解集为______. 【答案】 【详解】因为等价于，由得， 即的解集为， 所以不等式的解集为. 5．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为______. 【答案】 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海·期中）方程的解集为___________． 【答案】 【详解】方程成立的条件是， 所以或， 所以解集为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若关于x的不等式的解集是，则________． 【答案】 【详解】因为不等式的解集是， 所以的两根分别为， 所以，即， 故答案为： 8．（25-26高一上·上海普陀·期末）不等式的解集为___________． 【答案】或 【详解】，或， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或. 9．（25-26高一上·上海·期中）设全集，已知集合，. (1)用区间写出这两个集合； (2)求和. 【详解】（1）对于不等式，可得或， 所以集合； 对于不等式，即， 等价于，解得或， 所以集合. （2）由（1）可知：，，则， 所以，. 10．（25-26高一上·上海·期中）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【详解】（1）因为，得，解得， 所以 ． （2）因为，所以， 所以， 又因为，且，即， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 11．（25-26高一上·上海·期中）解下列不等式与方程组． (1)解含绝对值的不等式：； (2)设，求关于与的二元一次方程组的解集． 【详解】（1）， 当时，不等式显然成立， 当时，则，得， 得，解得，由于，得， 综上知，不等式解集为. （2）因为，两式相减，得到， 当时，，代入方程组中的第一式，得到， 此时，原方程组的解集为， 当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集. 综上知，当时，解集为， 当时，解集为空集. 12．（25-26高一上·上海金山·期末）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【详解】（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 13．（25-26高一上·上海·期末）已知关于x的不等式，． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 【详解】（1）当，不等式， 即 解得：或， 故的解集是． 即不等式的解集是； （2）若，则，解得，此时符合题意； 若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意； 若，二次函数开口向上， 若要不等式的解集非空，则需解得； 综上，的取值范围是． 1．（25-26高一上·上海·期中）若存在，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式， 因为，取等号条件是与异号或有一个为0， 所以要使得不等式成立， 则， 解得， 故选：A. 2．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）设关于 的不等式 的解集为 ，且 ，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】因为不等式的解集为，. 所以当时，①；当时，或②， 解得不等式①得：或；解得不等式②得：. 所以实数的取值范围为. 故选：A. 3．（25-26高一上·上海·期中）关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，得，解得或， 又，所以不成立， 故原不等式组等价于， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组有两个整数解，所以整数解为， 所以，解得. 4．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）设，若关于x的不等式的解集是区间的真子集，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】原不等式等价于， 当时，原不等式为，解集为，满足题意； 当时，原不等式解集为，不满足题意； 当时，原不等式解集为，要满足该解集是区间的真子集，只需，即 综上，的取值范围是 5．（25-26高一上·上海·期中）已知：实数x满足不等式，：实数x满足不等式 (1)设使成立的实数x组成集合A，求集合A（用区间形式表示）； (2)是否存在实数m，使得是的充分条件？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【详解】（1），， 不等式等价于且，解得， 集合 （2）假设存在实数m，使得是的充分条件，设是的解集，则， ，， 当时，解得，，不包含于，故不成立； 当时，不等式变为，解集为，成立； 当时，解集为，则包含于，成立． 综上，存在使得,即是的充分条件． 6．（25-26高一上·上海·期中）定义： 形如（其中均为关于的整式，且）的不等式为“阶梯分式不等式”，其“阶梯运算”的规则如下：当时，表示“”；当时，表示“”；当时，表示“”． (1)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集； (2)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集． 【详解】（1）解： 阶梯分式不等式， 或或， 即或或， 解得或或， 综上，该不等式的解集为； （2）解：阶梯分式不等式 或或， 即或或， 即或或， 解得或或， 综上，该不等式的解集为． 7．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知关于的不等式的解集为. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在两个不相等的负实数、，使得，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【详解】（1）当时，解得或， （Ⅰ）当时，不等式化为，∴时，解集为,符合题意； （Ⅱ）当时，不等式化为，解集为，不符合题意，应舍去； （Ⅲ）当时，要使不等式解集为，需使， 由①得，或；由②得，或， 综上，可得实数的取值范围为； （2）依题意，方程有两个不相等的负实根，且， 故有，解得， 即实数的取值范围为； （3）根据题意，得出解集，， 当时，解得或， 时，不等式的解集为，满足条件， 时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 综上，存在满足条件的值为5. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 不等式的求解 教学目标 1. 理解不等式的解、解集的核心概念，熟练掌握解集的三种表达形式：集合、区间、数轴，能规范书写解题结果。 2. 掌握一元一次不等式（组）的基本解法，能够对含参数的一元一次不等式进行完整分类讨论，规避解题漏洞。 3. 透彻理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的内在关联，熟练求解常规一元二次不等式，掌握含参数一元二次不等式的解题逻辑。 4. 掌握分式不等式的等价变形规则，明确分母不为零的核心限制条件，可将分式不等式等价转化为整式不等式（组）求解。 5. 理解绝对值的几何意义，熟练求解基础绝对值不等式，掌握零点分段法求解多重绝对值不等式的方法。 教学重难点 教学重点 1. 一元二次不等式的通用解法，二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关系。 2. 分式不等式的等价转化方法，掌握分母不为零的限制条件。 3. 基础绝对值不等式的求解公式与解题步骤。 4. 不等式解集的规范表达（集合、区间、数轴）。 教学难点 1. 含参数不等式的分类讨论，核心讨论点：一次/二次项系数、判别式、方程根的大小。 2. 分式不等式的等价变形，易忽略分母不为零导致解题错误。 3. 零点分段法脱去多重绝对值符号，区间划分与解集合并。 4. 已知不等式解集，反向求解参数值或参数范围的逆向思维问题。 5. 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题求解。 知识点01 一元一次不等式（组） 1. 基本概念：使不等式成立的所有未知数的值组成的集合称为不等式的解集；一元一次不等式组的解集为各不等式解集的交集。 2. 标准型不等式 解集分类： ① 当时，解集为； ② 当时，解集为（不等号方向改变）； ③ 当时，若，解集为；若，解集为。 3. 核心易错：不等式两边同乘、同除负数时，必须反转不等号方向。 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为__________． 知识点02 一元二次不等式（核心重点） 1. 解题核心前提：统一将二次项系数化为正数，结合判别式与二次函数图像求解。 2. 三个“二次”对应关系对照表（） 判别式 方程根 两相异实根 两相等实根 无实数根 解集 解集 3. 解题口诀：a正前提下，大于取两边，小于取中间。 4. 标准解题步骤：化正系数→计算判别式→求解方程根→结合图像写解集。 【即学即练】 2．（25-26高一上·上海闵行·期末）已知，则不等式的解集为___________． 知识点03 分式不等式（等价变形核心） 核心原则：严禁直接两边同乘分母（分母正负未知），必须移项通分，右侧化为0，等价转化为整式不等式，始终保留分母不为零的限制。 1. 2. 3. 4. 【即学即练】 3．（25-26高一下·上海·期中）不等式的解集是___________． 知识点04 绝对值不等式 1. 基础公式（） ① ；② 2. 通用复合型公式 ① ② 3. 多重绝对值解法：零点分段法 步骤：找绝对值内部零点→划分定义域区间→分段去绝对值求解→合并各段解集（取并集）。 【即学即练】 4．（25-26高一上·上海浦东新·期中）关于的不等式的解集为__________. 题型01 无参数一元一次不等式（组）求解（基础） 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）一元一次不等式组的解为，则与的大小关系是________． 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是______. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则______________. 【变式1-3】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________ 题型02 含参数一元一次不等式求解（中档） 【典例2】（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）不等式的解集为，则_________． 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数______． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）解关于x的不等式. 【变式2-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）设关于的不等式的解集为 . (1)求集合 ； (2)若，，求实数 的取值范围. 题型03 无参数一元二次不等式求解（基础必考） 【典例3】（25-26高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为_______. 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为______（用区间表示）． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，若，则实数______． 【变式3-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为______. 题型04 含参数一元二次不等式求解（重难点） 【典例4】（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为________________． 【变式4-3】（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 题型05 已知一元二次不等式解集反求参数（中档高频） 【典例5】（25-26高一上·上海松江·阶段检测）不等式的解集为，则实数______． 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则___________． 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）关于x的不等式的解集是，则实数__________. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合． (1)求的值； (2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 题型06 分式不等式求解（基础+中档） 【典例6-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）不等式的解集是______. 【典例6-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）不等式的解集为________．（用区间表示） 【变式6-1】（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期中）关于实数x的不等式的解集是________． 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________． 题型07 绝对值不等式求解（基础+培优） 【典例7-1】（25-26高一上·上海·期末）关于的方程的解集为______． 【典例7-2】（25-26高一上·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 【变式7-1】（25-26高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 【变式7-2】（25-26高一上·上海虹口·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为___________． 【变式7-3】（25-26高一上·上海·期中）已知代数式和． (1)若，求关于的方程的解集； (2)若，用反证法证明：中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件． 题型08 不等式混合组求解（综合中档） 【典例8-1】（25-26高一上·上海奉贤·期末）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【典例8-2】（2025·上海闵行·一模）已知，集合. (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围. 【变式8-1】（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合． (1)求集合P； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【变式8-2】（25-26高一上·上海奉贤·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式8-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，集合，命题，命题． (1)当实数为何值时，； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型09 一元二次不等式恒成立问题（培优拓展） 【典例9-1】（25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【典例9-2】已知，. (1)若，解关于的不等式组； (2)若对任意，都有或成立，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围. 【变式9-1】（25-26高一上·上海·期中）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为______． 【变式9-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是_________. 【变式9-3】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 1．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期末）不等式的解集为___________. 4．（25-26高一上·上海·期末）关于的不等式的解集为______. 5．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为______. 6．（25-26高一上·上海·期中）方程的解集为___________． 7．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若关于x的不等式的解集是，则________． 8．（25-26高一上·上海普陀·期末）不等式的解集为___________． 9．（25-26高一上·上海·期中）设全集，已知集合，. (1)用区间写出这两个集合； (2)求和. 10．（25-26高一上·上海·期中）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 11．（25-26高一上·上海·期中）解下列不等式与方程组． (1)解含绝对值的不等式：； (2)设，求关于与的二元一次方程组的解集． 12．（25-26高一上·上海金山·期末）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 13．（25-26高一上·上海·期末）已知关于x的不等式，． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 1．（25-26高一上·上海·期中）若存在，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）设关于 的不等式 的解集为 ，且 ，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（25-26高一上·上海·期中）关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）设，若关于x的不等式的解集是区间的真子集，则a的取值范围是______． 5．（25-26高一上·上海·期中）已知：实数x满足不等式，：实数x满足不等式 (1)设使成立的实数x组成集合A，求集合A（用区间形式表示）； (2)是否存在实数m，使得是的充分条件？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 6．（25-26高一上·上海·期中）定义： 形如（其中均为关于的整式，且）的不等式为“阶梯分式不等式”，其“阶梯运算”的规则如下：当时，表示“”；当时，表示“”；当时，表示“”． (1)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集； (2)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集． 7．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知关于的不等式的解集为. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在两个不相等的负实数、，使得，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $