专题03 数列求和方法全归纳（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题03 数列求和方法全归纳 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 错位相减法求和 考点02 倒序相加法求和 考点03 分组求和 考点04 裂项相消法求和 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 错位相减法 题型02 倒序相加法 题型03 分组求和 题型04 奇偶项分组求和 题型05 并项求和 题型06 绝对值数列求和 题型07 插入或去除项后求和 题型08 裂项求和 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 错位相减法求和 等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列,等比数列，对数列求和也可以用到错位相减法 1、 找出等比数列的公比，对求和中的每项都乘以公比 2、 然后用，注意将两式“错项对齐”，按照相同幂次方来对齐，方便合并。 【新题对点练】（26-27高二上·甘肃·期中）已知数列的首项，且满足． (1)设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)由题可知， 因为，所以，即， . 所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列． ； (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义进行证明，再求数列的通项公式； （2）利用错位相减法进行求和． 【详解】（1）证明略. 因为数列是以1为首项，4为公差的等差数列， 所以，又， 所以. （2）因为，， 所以， ， 所以 ， 故． 考点02 倒序相加法求和 等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【新题对点练】（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 考点03 分组求和 1、若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2、奇偶性求和：通项公式在奇数项和偶数项有不同的表达式（分段数列）。 分情况讨论项数：如果总项数 是偶数，直接算 组的和；如果总项数 是奇数，先算前 项（偶数项）的和，再加上最后多出的第 项。 3、相邻两项合并求和，数列通项中含有 或 等符号交替项，通常将相邻的奇数项和偶数项捆绑在一起（如 ），求出每一组的和，此时结果通常是一个常数或易于求和的简单数列。 4、绝对值分组（分段）求和：数列通项为 ，且原数列 是一个正负项交错的等差数列。 找零点定分界：令 求出正项对应的 的范围，令 求出负项对应的 的范围，找到正负项的临界点 。去绝对值分段求和：前 项： 为正，则 ，直接用等差数列求和公式求 。 第 项到第 项： 为负，则 ，求和结果为 。合并结果：将两段的和相加，即得前 项和 。 【新题对点练】（2026·辽宁·三模）（多选）已知数列，的前项和分别为，，且满足，，，则下列结论正确的是（） A． B． C．是等差数列 D． 【答案】BCD 【分析】先利用与的关系式变形推出为等差数列，求出进而得到通项，判定A错C对，再求出与的值验证等式成立确定B正确，最后把从第二项起两两分组求和，每组和为，化简得到对应式子证得D正确。 【详解】由，且. 得，整理得， 所以.又，故， 因此是首项为，公差为的等差数列，选项C正确. 选项A，由等差数列通项公式，，故. 当时，， 验证时，，符合题意，即，选项A错误. 选项B：. 由，. 得，，，，， 所以.故，选项B正确. 选项D：， . 第项一组，第项一组，…，第项一组，共组. 每组和：（）， 因此，选项D正确. 考点04 裂项相消法求和 对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．下面给出一些常见的裂项模型。 模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） 对等差型的分式，例，先对分母进行因式分解，把目标分解成，再合并比较看看想化成需乘系数。 模型2：根式型 （1） （2） （3） 利用分母有有理化的方法。 模型3：指数型 （1） （2） 方法类似等差型。 【新题对点练】（26-27高三上·广东·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且． (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求． 【答案】(1) ， (2) （等价化简形式均可） 【详解】（1）已知，所以， 两式作差得：，即，， 所以，所以等比数列的公比为， 当时，， 又有，所以，， 综上，； （2）由知，， 所以， 则， 所以. 题型01 错位相减法 错位相减法在等比数列的求和中应用到，对等差等比数列乘积构成的数列也可以，要应用两次，且相减的时候要错项对齐来合并，这里容易算错。 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由等比数列的定义及通项公式求解； （2）结合题意并利用错位相减法求和即可． 【详解】（1）因为，， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故． （2）由（1）得， 所以①， 两边同乘2，得②， ①②得 ， 所以． 【典例2】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知数列和满足．. (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，， 则将两式相加，可得，即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． (2) 【分析】（1）通过对已知递推式分别相加、相减，构造出数列与，结合等比、等差数列定义完成证明；（2）利用平方差公式转化通项，得到等差乘等比型数列，采用错位相减法求前n项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，， 所以． 记① 则② ①②得， 所以， 所以． 【变式1】（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）数列的前项和满足，等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）已知前项和，利用作差，推出是等比数列，代入求出首项，得到；算出，代入条件得到关于等差数列首项、公差的方程组，解出，得. （2）写出，得到等差×等比型数列；写出，两边同乘等比数列公比，两式相减，对中间等比部分求和，化简得到 【详解】（1）由数列满足， 当时，， 两式相减得， ，是等比数列，公比为. 当时，，， 数列的通项公式为. ，， 设公差为，则， ，，数列的通项公式为. （2）由(1)得， 得 ， . 【变式2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可知， 设数列的通项公式为，前项和为， 数列的通项公式为，前项和为， 则， 所以， 则， 所以， 又， 所以． 题型02 倒序相加法 倒序相加常与函数的结合一起考，注意题目条件如果满足首位项（依次往中间的对应项）的和固定，考虑倒序相加法。 【典例1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，则数列的前2026项和______. 【答案】 【详解】由， 得， 因为， 所以， 所以， 所以. 【典例2】（2026·安徽安庆·模拟预测）已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列性质得出，再结合等比中项求出公差即可写出通项； （2）先化简，推导出，26项可凑成13对即可求和. 【详解】（1）由题知，，得， 设等差数列的公差为， 则，解得（舍去）， 所以； （2）由题知，， 所以， 所以． 【变式1】．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 【变式2】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的表达式求出，从而得到函数的图象关于点成中心对称，再利用倒序相加法求出数列的通项公式，最后将不等式有解问题转化为函数最值问题，进而求出的取值范围. 【详解】，； ，即的图象关于点成中心对称. ，， ； ； . ，，整理得； ，； 根据题意，该不等式有解，等价于不小于函数在 上的最小值. 令，则对勾函数在上单调递减，在上单调递增； ，且； 当时，；当时，； ，，即； ，即的取值范围是. 题型03 分组求和 当数列本身是复合型，如等差数列与等比数列的和，这时可以对其进行分组来求和，这时相当于两个n项数列的和。 【典例1】（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 当时，， 当时，， 所以， 所以（）， 所以. （2）由题可知， 所以， 令，则， 时，， 又时，，所以，， 因为， 所以. 【典例2】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）由（1）得到，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）因为， 所以等比数列的公比为， 所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， . 【变式1】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知复数，且对任意正整数，（为虚数单位），记（表示复数的实部）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）分析可知复数数列是以为首项，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式，结合复数的概念可得出数列的通项公式； （2）利用分组求和公式、等比数列、等差数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）对任意正整数，（为虚数单位），则， 所以，复数数列是以为首项，公差为的等差数列， 故，故. （2）由题意可知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以 . 故当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，. 【变式2】（2026·四川广安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系推导递推公式，结合等比数列定义完成证明； （2）先求出的通项，将拆分为等比数列和等差数列分别求和后相加得到. 【详解】（1）已知且． 当时，，， 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即， 又，，∴，满足上述递推关系且，， 因此对于任意都有. 故数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以， 所以. 题型04 奇偶项分组求和 针对奇数项和偶数项表达式不同的分段数列。分项数n为奇数和偶数两种情况，分别将奇数项和偶数项各自求和，再合并。 【典例1】（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ． 【典例2】（2026·湖南常德·模拟预测）已知数列的前项和为，，是公差为的等差数列，则的通项公式__________；令，则数列的前项和__________． 【答案】 【分析】先根据等差数列通项公式得到与的关系，再结合推导通项；再对按奇偶分组后合并，用错位相减法求和. 【详解】根据题意由等差数列通项公式得 ，因此. 当时，，解得. 当时，， 又得 ,整理得， 即，因此为常数列， ，即； 验证时，满足上式，故. 代入得 ， 将前项按奇偶分组求和 合并得 ； 令 ①， 两边同乘得 ； ①②得 ， ， 代入得 ， 整理得， 因此 . 【变式1】（2026·山东威海·模拟预测）已知数列满足，，若为数列的前n项和，则________________________． 【答案】 【分析】根据题意，需要将递推公式分奇数项和偶数项分别找规律，其中奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，再分组求和. 【详解】当时，，得，得奇数项是首项，公差的等差数列， 前项中奇数项共15项，； 当时，，得，得偶数项是首项，公比的等比数列， 前项中偶数项共15项，，则. 【变式2】（2026·河南信阳·一模）已知数列的通项公式为，的前项和为． (1)判断是否存在使为整数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (2)若数列共有项，其奇数项的和记为，记，数列的前项和记为，比较和的大小； (3)求满足的最小整数． 【答案】(1)由题意可得，数列的奇数项构成首项为， 公差为的等差数列；偶数项构成首项为，公比为的等比数列 设，则前项和为. 设，则前项和为. (1)当为偶数时，设. 若为整数，则必为整数. 因为，所以是整数，且，故不为整数，从而不为整数. 当为奇数时，设. 若为整数，则必为整数. 当时，，，不为整数； 当时，，故不为整数，从而不为整数. 综上所述，不存在使为整数. (2) (3)45 【分析】（1）根据数列的特征判断即可得出结果； （2）利用等差数列的通项公式和求和公式计算化简可得答案； （3）利用等差数列和等比数列的求和公式计算化简即可. 【详解】（1）略 （2）由题意知， ， ，即 （3）数列的前项中偶数项的和为， 数列的前项中奇数项的和为，要么为整数，要么小数部分为或， 偶数项的和恒小于，的前项和的整数部分完全由奇数项决定， 在判断首次超过时只需考虑奇数项的和， 当时，，可解得：， 即前项的和首次大于（通过求出及再比对也正确） 即满足的最小整数为45． 题型05 并项求和 针对含有交替符号的数列。将相邻两项捆绑合并（如两项相加或相减），合并后通常可化为常数或易于求和的简单数列，从而简化计算。 【典例1】（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知公比大于的等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）利用等比数列的性质即可求出的通项公式； （2）（i）根据定义：为在区间中的项的个数可直接写出；（ii）根据定义可知，当时，，共有个，则 【详解】（1）由于数列是公比大于1的等比数列， 设首项为，公比为， 依题意有， 解得：或（舍）. 所以. （2）（i）由题意，，即， 当时，， 当时，； （ii）当时，，共有个， 则 . 【典例2】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，且，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差中项的性质，结合的值，求出和，最后写出数列的通项公式. （2）先求数列的首项，再根据项数的奇偶分类讨论求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，，成等差数列，所以， 代入，，即， 所以． 又，所以， 所以． 故． （2）由（1）知，，则，且， 当为偶数时， . 当为奇数时，若， ， 也符合上式； 综上，. 【变式1】（2026·河北保定·三模）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先假设是等差数列，结合条件可得，从而假设错误，即可求解； （2）（i）根据条件可猜想当时，，用数学归纳法，即可求解；（ii）由（i）得，分为偶数和奇数，利用分组求和，即可求解. 【详解】（1）因为且，令，得到，所以， 假设是等差数列，则公差，所以， 则，又，所以， 整理得到，解得，所以，与数列是正项数列相矛盾， 故假设错误，故数列不可能为等差数列. （2）（i）因为，则，， 猜想，当时，，下面用数学归纳法证明， 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即， 则时，则，所以时，猜想仍成立， 所以，则当时，， 又时，，满足，所以. （ii）由（i）知，所以， 设的前项和为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 【变式2】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（   ） A．210或90 B．210 C．或 D． 【答案】B 【分析】首先利用等比中项的性质结合等差数列通项公式可求出，然后求出数列的通项公式，最后根据并项求和就可求解 . 【详解】设等差数列首项为，已知公差，故， 因为，，成等比数列，由等比中项性质： ， 代入表达式得： ，整理得：，解得或， 若，则，等比数列不能含0项，故舍去，仅保留，故, 数列的前20项和分组得： ， 对每组用平方差公式： ， 因此： . 题型06 绝对值数列求和 先求出原数列的通项，令其大于等于零找到正负项的分界点。分段去掉绝对值符号，转化为基本的等差或等比数列进行求和，最后合并结果。 【典例1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和的值. 【答案】(1) (2)440 【分析】（1）求出，由求出，验证即可求得答案； （2）讨论的取值，得到数列通项公式，然后分组求和求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式为 （2）令，则， 所以当时，，当时，， 所以 . 【典例2】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测），则数列的前项和为（    ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先根据求出,根据数列判断出正负情况，进而求得答案 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 【变式1】（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2)106 【分析】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 【变式2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数列的前项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入原等式化简，即可得到数列是等差数列，利用等差数列的通项公式求解； （2）分和两种情况，结合等差数列前项和公式讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，由于，解得， 当时，由于，所以， 化简可得：， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由（1）知，则， 当时，，所以， 此时， 则， 当时，，且， 此时， 综上，. 题型07 插入或去除项后求和 理清原数列与新数列的对应关系。确定新数列前n项中包含多少个原数列的项，利用分组求和法，分别计算原数列部分和插入项部分的和。 【典例1】（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）在等比数列 中，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为 的等差数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)或（） (2) (3)（） 【分析】（1）利用等比数列的性质和通项公式求解； （2）求出，求出，利用并项求和的方法求解； （3）利用等差数列的通项公式求出，从而得到，利用错位相减法求解. 【详解】（1）设等比数列公比为. 因为，所以， 因为，所以， 因为，，所以， 将代入得到， 解得或. ① ，，则通项为， ② ，，则通项为， 综上： 或 . （2）因为，所以， 则， ， . （3）因为，在与之间插入个数，所以共有个数构成等差数列， 公差， 等差数列中，， 则， 解得，   ① ①式子的两边乘以，得到② ①②得到， ， 则. 【典例2】（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，公比为.在与之间插入个1，所有项依原顺序组成新数列，则的前25项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出等比数列的各项，统计在相邻两项之间插入的个数，判断前项里面包含原等比数列多少项，以及插入多少个数字，再求和得出结果. 【详解】等比数列，，，得， 在和之间插入个. 在与之间共插入个，，则， 所以前项和 . 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)对任意，将数列中位于区间内的项的个数记为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据等差数列基本量的计算，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由题意得，解得，则，结合等比数列前项求和公式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 两式相减，得， ，代入， 得，解得， 所以； （2）对任意， ，即， 而，故， 由题意可知， 于是 即. 【变式2】（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【答案】(1) (2)1176 【分析】（1）根据等差中项的性质以及和的关系即可求解； （2）首先求出的通项公式，然后令，可得所有的都在中，最后根据去掉的项利用分组求和即可求解. 【详解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， 当时，有： ②， ①-②得：， 整理得： ， 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足， 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 前35项和：， 去掉的5个的和：， 因此. 题型08 裂项求和 将通项公式变形，裂化为两项之差的形式（如分式裂项、根式裂项）。求和时中间的项相互抵消，仅保留首尾的少数项，化简即得结果。 【典例1】（2026·广东广州·模拟预测）已知数列{an}的前n项和为，. (1)证明:数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)， 当时，，解得： 当时，， ， 所以，即：，，， 所以是首项为，公比为的等比数列. (2) 【分析】（1）利用递推公式即可证明； （2）利用裂项相消的方法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，则， 所以， 则. 【典例2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）记为数列的前项和，是首项与公差均为的等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求出，再利用与间的关系，即可求解； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为是首项与公差均为1的等差数列， ， 则，当时，， 两式相减得，当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）得， 所以数列的前2026项的和为 . 【变式1】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式，并证明为等差数列； (2)若，求． 【答案】(1)， 证明：令，所以， 由的通项公式可得：， 由通项公式可知：，所以为等差数列. (2) 【分析】（1）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列；（2）由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）令可得：，即. 当时，由，可得， 两式相减可得， 不满足，所以的通项公式为. （2）由（1）知，当时， ， 所以. 【变式2】（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）设等差数列满足，. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列，先将化为基本量，的形式，求出和，从而求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出，再根据函数的单调性求出的取值范围. 【详解】（1）由数列为等差数列，设首项为，公差为，则， 解得，所以的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以， 易知，当时，单调递减，所以单调递增，因此，当时，取最小值，即， 当时，，，所以的取值范围为. 优题精练·专题实战通关 1．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正项数列，是的前项和，且满足． (1)求的通项公式； (2)数列满足，是的前项和，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用进行求解，结合等差数列的性质求出通项公式； （2）化简得到，相加可得 【详解】（1）①， 则②， 故②-①得， 因为，所以，所以， 所以当时，为等差数列，公差为1， 中，令得，即， 其中，则，解得或（舍去）， 所以时，， 显然满足， 综上：； （2） ， 故 . 2．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，记． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)由（1）得，. 所以， 所以 因为， 所以， 所以. 又和均随的增大而增大， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最小值，最小值为. 所以． 【分析】（1）由与的关系求得； （2）由题意求得，从而求得，再根据裂项相消法求得的表达式，从而证明． 【详解】（1）因为， 所以，所以. 当时，， 所以，. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. （2）略 3．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）在各项都是正数的数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明：由（1）知，所以． 所以． 因为，所以，． 【分析】（1）利用平方差公式因式分解，两边约去正数，构造新数列求通项； （2）对进行裂项，利用裂项相消法，求出前n项和，再利用放缩证明不等式. 【详解】（1）由， 得， 又，所以． 又，所以数列是首项为6，公差为4的等差数列． 所以，即． （2）略 4．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由，相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件；及是等差数列求解即可； （2）分组后利用等差数列和等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则， 所以； （2）由已知， 所以， 由（1）， 因为， ， 所以， 所以. 5．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知等差数列前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设公差为，由，得，，解得， ∴； （2）由得， ∴； （3）， . 6．（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分和分析计算即可求解； （2）根据的正负情况分析计算. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 7．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【详解】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 8．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知数列满足，数列满足在任意的之间插入数列的项()，从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______(请用数字作答). 【答案】 【分析】整理变形得，则根据常数列得到，再分析得为新数列的第43项，最后利用分组求和法即可得到答案. 【详解】因为，即， 可得，可知为常数列，则， 故，根据题意， 当时，新数列中前共有数列的前项， 故为新数列的第项，当时，， 即为新数列的第43项，且与之间插入了共13项， 则. 9．（25-26高三上·安徽·期末）已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（   ） A．168 B．188 C．212 D．222 【答案】D 【分析】设新数列的前90项包含原数列的前项，得到新数列到为止的总项数为，确定出新数列的前90项包含原数列的前项和78个1，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设新数列的前90项包含原数列的前项， 因为和之间插入k个1，所以在前插入的1的总数为， 则新数列到为止的前的总项数为， 当时，可得； 当时，可得， 所以新数列的前90项包含原数列的前项和78个1， 因为等差数列满足， 所以新数列的前90项和为. 故选：D. 10．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（） (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设出公差，借助等差数列基本量计算可得；由题意可得，则可得，作差计算即可得，再验证时是否符合即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）易得中从到共有项，再由时，有2016项，然后借助等差数列求和公式与并项求和法计算即可得解. 【详解】（1）设数列的公差为，则有，解得， 故； 由，则， 则时，有， 故，即； 当时，，符合上式； 故； （2）， 则； （3）：， 从到共有项， 所以，当时，， ， ， ， . $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03数列求和方法全归纳 ----◆》父)◆-----一 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 考点02倒序相加法求和 )基础梳理·自主夯基 考点03分组求和 考点01错位相减法求和 考点04裂项相消法求和 @3素养进阶~答题技法突破一一提爆解题范式，提升答题素养 考点聚焦·解法深研 题型04奇偶项分组求和 题型05并项求和 题型01错位相减法 题型06绝对值数列求和 题型02倒序相加法 题型07插入或去除项后求和 题型03分组求和 题型08裂项求和 @4优题精练•专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用 ----+》父的---- 1/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 们知识脑图·核心脉络搭建 适用特征：等差数列乘等比数列（差比数列） 错位相减法 操作步骤：乘公比、错位对齐、相减、转化为等比数列求和 适用特征：首尾配对相加为定值（或特定函数对称性） 倒序相加法 操作步骤：正序写一遍，倒序写一遍，两式相加 数列求和 常规分组：通项拆分为等差、等比等基本数列 方法全归 奇偶分组：奇偶项表达式不同或符号交替 纳 三、分组求和法 并项求和：相邻两项结合，寻找规律（如抵消或为常数） 绝对值分组：找正负临界点，分段去绝对值 核心思想：将通项拆分为两项之差，求和时相互抵消 等差型：分式分母因式分解 四、裂项相消法 常见模型 根式型：分母有理化 指数型：结合指数幂拆分 注意点：关注裂项后的系数配凑，以及抵消后首尾剩余项 考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基 一二核@心必记 。考点01错位相减法求和 等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列a,等比数列b,对数列an·bn求和也可以用到错位相 减法 1、找出等比数列bn的公比q(q≠1,0)，对求和中的每项都乘以公比q 2、然后用Sn~qS,注意将两式“错项对齐”，按照相同幂次方来对齐，方便合并。 对点练]2627高三上甘肃期中)已知数列的首顶4且满足”石 2/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b= 1 (1)设”a。,求证：数列，}是等差数列，并求数列{a}的通项公式： (2)设9=b,·2 ,求数列C,的前儿项和 。考点02倒序相加法求和 等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和 相等，那么求这个数列的前”项和即可用倒序相加法求解. 【新题对点练】(2026广西桂林一模)已知函数儿) x2+2,则 2024 2025 + 2 2026 2026 2026 2025 A.2026 B.2025 C.1013 D.2 。考点03分组求和 1、若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求 和后相加减： 2、奇偶性求和：通项公式在奇数项和偶数项有不同的表达式（分段数列）。 分情况讨论项数：如果总项数n是偶数，直接算组的和，如果总项数n是奇数，先算前n-1项（偶数 项)的和，再加上最后多出的第n项。 3、相邻两项合并求和，数列通项中含有-1”或-1”等符号交替项，通常将相邻的奇数项和偶数项捆绑 在一起（如a2k-1+a2k),求出每一组的和，此时结果通常是一个常数或易于求和的简单数列。 4、绝对值分组（分段）求和：数列通项为「an,且原数列a是一个正负项交错的等差数列。 找零点定分界：令an之0求出正项对应的n的范围，令an<0求出负项对应的n的范围，找到正负项的临 界点k。去绝对值分段求和：前k项：an为正，则an=an,直接用等差数列求和公式求Sk。 第k+1项到第n项：an为负，则|an|=-an,求和结果为-Sn-Sk。合并结果：将两段的和相加，即 得前n项和Tn=Sk-Sn-Sk=2Sk-Sn 3/16 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【新题对点练】(2026辽宁·三模)（多选）已知数列a,},b}的前n项和分别为S,T,且满足 a=6,马=丹+(-小，么=少4·则下列特论正的是0 n A.0=-2n-4 B.9+T=-8 C n 是等差数列 D.T2m1=6-2n 。考点04裂项相消法求和 对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项.抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项， 也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同.下面给出一些常见的裂项模型。 模型1：等差型 111 (1)n(n+)nn+1 a西 a 1 1[1 1 (4)mn+1n+2)2n(n+D(0m+10n+2) 1 11 对等差型的分式，例4n-1先对分母进行因式分解(2n-1〔2n+1,把目标分解成2n-2n+1再 1 合并比较看看想化成4n2-需乘系数2° 模型2：根式型 1 F=Vn+1-√n (1)Vn+1+√n 1工=n+k- (2)Vn+k+√nk (3)V2n-1+V2n+2N2m+1-V2n- 1 1 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 利用分母有有理化的方法。 模型3：指数型 2” (21-1)-(2”-1)。11 (1)(21-102”-0(2-10(2”-）-2”-i21- n+2 2n+0)-n=21.1=1-1 (2)nn+)-2nn+1）-2(nn+12n-20n+1)-2 方法类似等差型。 【新题对点练】(26-27高三上广东阶段检测)设公比为9的等比数列{a}的前n项和为S。,且 S,=and-2 ①求9和”， bn=- an (2)记SS,数列{b.}的前n项和为Tn,求T. 考点聚焦·解法深研 核心归纳 题型01错位相减法 悟解题关键 错位相减法在等比数列的求和中应用到，对等差等比数列乘积构成的数列也可以，要应用两次，且相减 的时候要错项对齐来合并，这里容易算错。 【典例1】(2026高=全国专题练习)已知数列a清足4=，且=2a(nN) 1求数列a}的通项公式： ②设=m，求数列 的前n项和刀 【典例2】(2526高二上浙江绍兴期末)已知数列a}和么，}满足 5/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=4,b=2,am =2a+b+2,but=26+an-2 nEN, ①求证：数列，+6}是等比数列，数列a,一b}是等差数列： ②求数列女-}的前”项和5 【变式1(26-27商三上四川绵用开学考试)数列a}的前”项和满足8。=242，等若数列么中， b2+b3=a,b4+b=a4 ①求a,6,的通项公式 2若5=仫-1a,求数列c小的前”项和7 【变式2】(26-27高三上黑龙江哈尔流阶段检测)已知数列a,清足“=4a,+3≥2neN）,且 4=3 求数列a,}的通项公式。 ②若，=na,求，}的前”项和 。题型02倒序相加法◇ 悟解题关健 倒序相加常与函数的结合一起考，注意题目条件如果满足首位项（依次往中间的对应项）的和固定，考 虑倒序相加法。 【典例1】（26-27高二上江苏苏州阶段检测)已知数列a满足+am4=1(k∈N,k≤2026 ,则数列 {a,的前2026项和5s 【典例2)(2026安徽安庆模拟预测)已知公差不为0的等差数列a}前”项和为，S:=-25,且4， 6/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 415 4成等比数列 ①)求数列a的通项公式， ,=9,+27 (2)若 a。,数列}的前n项和为Tn,求T6 【变式1】.(2026河南模拟预测）者函数)-x+l(VF-2x+i-+川，则 12253 12153 A.6322 B. 2 C.6321 D. 2 【变式2】(25-26高二下·黑龙江佳木斯期中)现有函数 2不万，a题别a满起 a=fo+0)+f0 若存在neN使不等式n2+4n-2ka,+13≤0成立，则k的取值范围 是() A.[210,+o B.[2i0+2,+o） 。题型03分组求和◇ 悟解题关键 当数列本身是复合型，如等差数列与等比数列的和，这时可以对其进行分组来求和，这时相当于两个 项数列的和。 【典例)(2627高三上黑龙江阶段检测)已知数列a,}满足：4+号+学++是-3-3，ne心 (1)求数 {a}的通项公式： 7/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②若=0，+3，，求数列6，的前”项和7 .} 【典例2】(2026宁夏银川模拟预测)已知a}是等差数列， 6}是等比数列，且 b2=3b3=9,a1=b4,a5=b2 ①求a,的通项公式： (2)设，=a,+ ,求数列c}的前”项和： 【变式】(2026湖北十据模拟预测)已知复数，且对任痘正整数”，如=，+1+ic为虚数单 位)，记，=Re(a,）Re( 表示复数2的实部)· )求数列{a,的通项公式 2)设么=0，- ，求数列 ,的前”项和 【变式2】(2026四川广安模拟预测)设数列a的前”项和为S,4=2且。=a1-2. )证明a,}为等比数列： b (2) b,=a.+l10g,8,求数列 的前”项和为 《。题型04奇偶项分组求和③ 悟解题关键 针对奇数项和偶数项表达式不同的分段数列。分项数为奇数和偶数两种情况，分别将奇数项和偶数项 各自求和，再合并。 an-8,n=2k-1 【典例1】(2026广东深圳模拟预测)已知数列{an}是等差数列， bn= 2a,+1,n=2k,k∈N 记Sn, 工分别为a,},,的前”项和，若=18，五=10，则2。=（) 8/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.370 B.0 C.450 D.1024 【典例2】(2026湖南常德模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,a=1,an)是公差为2的等差 an2”+1,n为奇数 数列，则{an}的通项公式an= an·2”,n为偶数，则数列{bn}的前2n项和T2n an+2,n=2k-1/ 【变式】(2026山东成海板拟预测》已知数列a}满足a=4=1,:-2张=N）,石 S为数列a的前项和，则S。= 2n+l,n为奇数 【变式2】(2026河南信阳·一模)已知数列 的通项公式为a= ta. 2,n为偶数 的前项和为 {a} ()判断是否存在”使心”为整数，若存在，求出”的值，若不存在，说明理由： (②)若数列{a}共有2m项，其奇数项的和记为M,记" =8!,数列私}的前m项和记为N,比较M 和N的大小： n>365 (3)求满足 的最小整数”. 。题型05并项求和 悟 解题关健 针对含有交替符号的数列。将相邻两项捆绑合并（如两项相加或相减），合并后通常可化为常数或易于 求和的简单数列，从而简化计算。 【典例1)(26-27高三上广东广州阶段检测)已知公比大于1的等比数列a}满足4+a=20,4=8 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0)求a,的通现公式 ②记.为a,在区同0，mmeN）中的项的个数。 b,b2,b3 (i)写出 (ii)求数列 .}的前50项和 【典例2】 (2627高=上江苏南通开学考试)记5为等差数列a的前n项和.已知4+3，凸，“成 10=145 等差数列，且 ①)求数列a 的通项公式： (2)数列' 清：+6=，且4-1=，求数到的前”现和2 【变式1】(2026河北保定三模)已知正项数列a满足”，=a40-1m∈N且”≥2) 1)判断a,}是否可能为等差数列，并说明理由 2若4=2{a 的前”项和为、. (i)求： i若，=（少°，求}的前”项和 【变式2】(25-26高三下·陕西西安阶段检测)已知等差数 a的公差为1，且4,4+1,2a,成等比 数列，则数列《少'}的前20项和为() A.210或90 B.210 C.-210或90 D.-210 。题型06绝对值数列求和 悟解题关健 10/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 先求出原数列的通项，令其大于等于零找到正负项的分界点。分段去掉绝对值符号，转化为基本的等差 或等比数列进行求和，最后合并结果。 【典例1】(2026吉林长春模拟预测)已知数列{a,}的前n项和为S,S.=2(3m+5),nN 求数列a的项公式 (2)若数列 清足，=-a,-12,求数列}的前20项和的值 【典例2】(26：27高三上广东深圳阶段检测)5。=+8”，则数列加，}的前12项和为() A.112 B.48 C.80 D.64 【变式1】(25-26高二下陕西汉中期中)已知等差数列a, 的前n项和为，且4=6,4+4=-8 求a,的通项公式及前u项和S, ②求数列a,的前20项和 1+1=1 【变式2】(26-27高三上黑龙江哈尔滨开学考试)己知数列a的前n项积为T,且满足T。'4。. (1)求数列 T}的通项公式： ②没6=25-2，求数列6，}的前”顶和S 令题型07插入或去除项后求和◇ 悟 解题关健 理清原数列与新数列的对应关系。确定新数列前项中包含多少个原数列的项，利用分组求和法，分别 计算原数列部分和插入项部分的和。 an a1+a2-=6 【典例1】(26-27高二上江苏镇江阶段检测)在等比数列 中，440，且9 a) (1)求的通项公式： 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②若0,0,60g0,求数列(-少-b,3的前20项和0： ③)若，>0，在与之间插入”个数，使得这n+2个数构成一个公差为 d(d,0) 的等差数列，记数 往的前顶和之 【典例2】(26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测)己知等比数列 ,的首项为3，公比为2.在4与0之间 插入k个1EN), 所有项依原顺序组成新数列 ,则 的前25项和为() A.202 B.204 C.206 D.208 【变式1)(25-26高三全国一轮复习)在等差数列0}中，4+a=a+h4+4=4,-2 1)求数列a} 的通项公式： ②对任态mN,将数列a}中位于区间（仔，9）内的项的个数记为，求数列私.}的前m项和S.。 【变式2】(2026山东日照二模)已知数列a的前”项和为，且”，心成等差数列。 ①求数列a}的通项公式 (2已知数列}是公差为2的等差数列，且8=26-3.若将数列，}中去掉数列a,的项后余下的项按 原顺序组成数列 c. ,求9+6+++C0的值. 《。题型08裂项求和 悟 解题关键 将通项公式变形，裂化为两项之差的形式（如分式裂项、根式裂项）。求和时中间的项相互抵消，仅保 留首尾的少数项，化简即得结果。 Sn S=2an-n 【典例1】(2026广东广州：模拟预测)已知数列{a的前n项和为“， 12/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)证明数列a,+ 是等比数列： 2041 ②没，a0,求数列么}的前以项和 【典例2】(26-27高三上·陕西西安·阶段检测) 记S为数列a,}的前n项和，《-可是首项与公差均为 1的等差数列， 求数列a的通项公式： ②设么-严色t+ ,求数列{b.}的前2026项的和T26 【变式1】(2026陕西宝鸡模拟预测)已知数列a}的前”项和为，且 Sn=3n2+2 山求a的逼项公式，并证明0-2为等差数列。 ②若8(2n+10a-2.求+么++bo 【变式2】（26-27高三上山西临汾阶段检测)设等差数列0，满足4=5,8=40 {an}、 1)求a,的通项公式 (2)设”a,a，求数列，}的前n项和T的取值范围， 优题精练·专题实战通关 1.(2627高三上辽宁沈阳阶段检测)已知正项数a,},S是a,的前”项和，4=1且满足 Sn+Sn=a(n≥2) )求a的通项公式： 13/16 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)数列，}满足=(- ant an (ana1,Tn是{bn}的前n项和，求Tn 2.（26-27高三上江苏苏州阶段检测)已知数列a的前”项和为，满足S,=20,-1,记，=0g:4,. ④)求数列a}的通项公式 1 ②)设数列6h,的前n项和为1，证明：3≤7，<4 3。（26-27高三上四川南充阶段检测)在各项都是正数的数列a}中，4=36 am-a=4(vam+va) 1)求数列a,}的通项公式： 11 ②)记数列a,-4的前n项和为，证明：T<16 4.(26-27高三上湖南长沙阶段检测)已知数列a的前”项和为，且，+4=20，等差数列，}满 是%=7么+a=5 Q①求数列a}和，}的通项公式 2求数列.+(-l"a的前n项和乙. 5.(26-27高三上·广东深圳阶段检测)已知等差数列 前”项和为，且8-2”，$。40 0)求数列a的通项公式”； 2设=0+2，记数列么的前”项和为月，求 1 (3)设数列ana1的前n项和为Tn,求T, 14/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(2026海南模拟预测)已知数列 的前”项和又=16n- ①)求数列a}的通项公式： 包令-a,求数列的前”项和 7.(2026四川遂宁模拟预测)已知a}是等差数列，，}是等比数列，且4=么=3,4+a,=2血 ads b )求a,}和，的通项公式 (2)求数列 1an-18} 的前”项和 8.(2526高三下重庆沙坪坝阶段检测)己知数列a}满足“，=2”-1，数列，满足 b=1,n(ba-b)=b+1 +在任意的4,4"之同插入数列)的2北-1项k∈N。从而构成一个新数列 {c}a,4,4,b,6,b,a,…,设 的前2项和为，则2 (请用数字作答). 9.(2526高三上安微期末)已知等差数列a}满足，=2n-1,在4和"之间插入k个1，得到新数 的前90项和为() A.168 B.188 C.212 D.222 10,(25-26高三上福建厦门期中)已知等差数列a,的前n项和为且8=4，S,=16,数列，满 2"h+26++2b.=3”-l（neN) 山求数列a}和}的通项公式 g25--12-2 an·an+l ,求数列{cn}的前n项和Tn: 15/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③在马：和“，kN中插入k个相同的数1k,构成一个新数列a},4,1,4,-2,-2,4, ,3,3,3,4,,求数列d}的前2025项和. 16/16