专题03 平面向量四心问题、奔驰定理（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平面向量四心问题、奔驰定理 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 基础梳理·自主夯基 考点02三角形的外心 考点03三角形的内心 考点01三角形的重心 考点04三角形的垂心 考点05奔驰定理 @3素养进阶•答题技法突破一一提炼解题范式，提升答题素养 。考点聚焦·解法深研 题型05四心问题综合 题型06奔驰定理的应用 题型01重心问题 )重难攻坚·考法深研 题型02外心问题 题型03内心问题 重难点01奔驰定理与四心综合应用 题型04垂心问题 @4优题精练•专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用 1/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识脑图核心脉络搭建 定义：三条中线的交点 重心 核心性质：重心到顶点距离等于到对边中点距离的两倍 向量表达：指向顶点的向量之和为零 定义：三条中垂线的交点，即外接圆圆心 外心 核心性质：到三个顶点距离相等 向量表达：相关数量积常借助中点及投影转化 一、三角形四心 定义：三条角平分线的交点，即内切圆圆心 内心 核心性质：到三条边距离相等 向量表达：按对应边长比例分配，常结合单位向量 平面向量： 定义：三条高线的交点 四心与奔驰 垂心 核心性质：交点与顶点的连线垂直于对边 定理 向量表达：数量积为零，常按对应角的正切值比例分配 核心结论：三角形内一点与顶点连线的向量组合 为零，其系数之比等于对侧小三角形的面积比 一、 奔驰定理 重心：面积相等，系数均为1 内心：系数分别等于对应边的边长 四心对应系数 外心：系数对应角的正弦值两倍 垂心：系数对应角的正切值 h 考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基 三一核心必记 。考点01三角形的重心 若O点为△ABC的重心，a,b,c为A、B、C角所对的边 1、重心：三角形各边中线的交点，重心在中线的三等分点处。 2、重心的性质： @心的坐标为 3 (其钟AxA,yA,B(xB,yB,C(xc,yc) 2/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 @AO-AB+AC) ®OA+OB+0C=0 @若P为AABC所在T面内一点，则有P0号PA+PB+PC) ⑤若AP=λAB+AC咸OP=OA+λAB+AC,1∈[0，+o),则P-定经过三角形的重心 ⑥若AP=入 AB AC 或0P=0A+入 AB AC ABsinB|ACsinc AsinBAsinc 1∈[0，+o),则P一定经 过三角形的重心 【新题对点练】(25-26高三·全国·一轮复习)已知0是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足 AB AC OP=OA+入 4B+ AC sinC sin B 则P点的轨迹一定通过三角形ABC的. 心 λ∈R 。考点02三角形的外心 若O点为△ABC的外心，a,b,c为A、B、C角所对的边 1、外心：三角形各边的中垂线的交点，即三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。 2、外心的性质： ①OA-O8-Od-OA'-Og=0C(根据外心到三个顶点距离相等) ②(OA+OBAB=(OB+OC)BC=(OA+0C)AC=0(根据中垂线可推导出) ③gin2A·0A+sin2B-OB+sin2C-0C=0(根据奔驰定理推导出) ④动点P满足O元-Oi+O元 +入 AB AC 2 AB cos B AC cosC 入∈(0，+∞，则动点P的轨迹一定通过 △ABC的外心.（指OB+ 2 仁移到式子左边，两边同时·BC化简两边都为0) @i0AB-A6,AC=号Ad (根据投影向量可推导出) 3/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【新题对点练】(26-27高三上湖北开学考试)在64BC中，AB=7:AC=8,cosA 7,O是AABC 的外心，若 P=xOB+yOC(x,y∈[0，] ,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(）· 27N5 27√5 95 9√5 A.10 B.5 C.10 D.5 禽考点03三角形的内心 若O点为△ABC的内心，a,b,c为A、B、C角所对的边 1、内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 2、内心的性质： ①A0=1 AB AC AB AC 入∈R则直线AO经过△ABC的内心（从 ·几何意义理解) AB AC ABAC ②A0.1 AB AC)=)=CO.( CB CA )=0(可以从AO到AB的投影数量与其到 AB AC BA BC CBCA 的投影数量相等去推导) AC ®g·0A+b·OB+c:OC=0(根据奔驰定理推导出) ④若P为△ABC所在平面内一点，则有P0=,QPA+,bPB+,CPC(可以由③推导出) a+b+c a+b+c a+b+c ⑤AO=b a+b+c AB+C,一AC(可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出) a+b+c 【新题对点练】(2026高一·全国专题练习)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,p是AMC所在平百上的一点，PA,丽-PM元+片-P丽.C:。m,则点p是 a △ABC的() A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 4/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 。考点04三角形的垂心 若O点为△ABC的垂心，a,b,c为A、B、C角所对的边 1、垂心：三角形各边高线的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上： 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、垂心的性质： ①A0=λ0 AB AC一)，入∈R则直线AO经过AABC的垂心（两边同时·BC化简两边都 AB cos B ACcosC 为0) ②OA·BC=0一OA.OC-OB=0一OA·OB=OA·OC=OBOC(根据A0垂直BC可得) ③ anA·OA+tanB·OB+tanC.OC=0 (根据奔驰定理推导出) ④AO= 1 AB+1 AC(可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出) tan A tan C tan A tan B 【新题对点练】已知在同一个平面上有△ABC和一点O,且满足关系式： 0+BC2=0B2+C=0C+AB ,则O为△MBC 的(). A.外心 B.内心 C,重心 D.垂心 《。考点05奔驰定理 1、奔驰定理：当SABOC:Sa4oc:S4oB=:B:Y时，有&-OA+B·OB+yOC=0 -A0=BAB+yAC=A0=SA@c·AB+SO腿.AC a+B+y a+B+y SAABC 0 D 证明：延长A0与BC交于D点，根据共线定理有A心=|BDAC+DC店 BCI IBCI 5/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD_S△ABD BD 根据BCS△ABc 有而-四花+2丽 BC SAABC S△ABC S△ABC 由共线定理有AO= AOLAD= ADl AOlS四花+AO四店，根据 ADS△AC ADS△ABC laol S△ABO= S△ACO代 入 AD SAABD SAACD A0= SAADO S△ADA花+SAACO SAACD AR-=S△AmA花+SAAc0A店 S△ABD SAABC SAACD S△ABC SAABC SABC =△Am(OC.OA)+AA四(Oi-OA移顶合并有 S△ABC SAABC (1-S)=CBSA+SOB+SOOC-0 S△ABC SABC S△ABC SAABC 2、奔驰定理的四心应用： ①O为重心：各边中线的交点，则S4Boc:S44oc:S44oB=1:1:1,代入有 OA+OB+OC=0 ②O为内心：内角平分线的交点，则SABOC:S44oc:S4A0B=a:b:C,代入有 aOA+b·OB+c·OC=0=sinA·OA+sinB·OB+sinC·OC=d ③O为外心：各边中垂线的交点，则SABOC:S4Aoc:S44oB=sin2A:sin2B:sin2C,代入有 sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C·OC=0 ④O为垂心：各边高线的交点，则SABOC:S44oc:SAAOB=tanA:tanB:tanC,代入有 tanA·OA+tanB.OB+tanC·OC=0 【新题对点练】(25-26高一下·宁夏银川阶段检测)三角形中的奔驰定理是指：O是△ABC内一点， △B0C,△10C,△40B的面积分别为5，S,,则5,01+S,06+8,0C=0.若 30A+40B+50C=0 则以下命题正确的有() 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A9:8=3:4:5 B.O有可能是△ABC的重心 C.若O为△ABC的外心，则sin2A:sin2B:sin2C=3:4:5 D.若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形 考点聚焦·解法深研 一一核心归纳 。题型01重心问题③ 悟解题关健 利用重心的定义以及其性质。常用的A0=号AB+AC与OA+OB+OC=0,从几何意义去理解。 【典例1】(2026高三·全国专题练习)己知0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P 满足O亚=01+A4B+4C), 则点P的轨迹一定通过△ABC的(). A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【典例2】(2026浙江·模拟预测)己知点O是△ABC的重心，点P是△ABC所在平面内一点若 o丽=x0i+OB,且0=x+CB(,4eR),则() A.=3 B.=3x,y=3y, c.x+片=3(6+2) D.+2=3(G+5) 【变式1】(26-27高三全国一轮复习)已知△ABC,0为平面内任意一点，动点P满足 50P=[2+a)0A+(2+2)oi+-2a)0C], 则点P的轨迹一定经过() 7/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.△ABC的外心 【变式2】(26-27高三·全国·一轮复习)0为△4BC平面内一定点，该平面内一动点P满足 M={P|OP=0A+(AB]sin B.AB+|ACIsin C.AC),>0 ,则△1BC的()一定属于朱合M A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 。题型02外心问题◇ 悟 解题关键 利用外心的定义以及其性质。常用的OA-OB-OC-0A2=0B=0C2(根据外心到三个顶点距离 相等)跟(OA+OB·AB=(OB+OC)·BC=(OA+OC)·AC=0(根据中垂线可推导出) 【典例1】(25-26高三下·安徽六安·阶段检测)如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,且A=, 3:若C4B+4C=mA0,则m3 tan B 2 5 A.2 B.2 C.2 D.1 【典例2】(2026商三下全国专题练习)已知三角形48C的外心0满是201+30B+40C=0,则4 ,则 【变式1】(25-26高二上·上海期中)已知△ABC,点P是平面ABC外一点，点O是点P在平 面ABC上的射影，直线PA,PB,PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的() A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 【变式2】(25-26高三·全国·一轮复习)已知0是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足 8/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OB+OC AB AC + cosB∈[0，+)' 则动点P的轨迹一定通过 的 心 ABC 。题型3内心问题◇ 悟 解题关健 利用内心的定义以及其性质。AO=( AB.AC 入∈R则直线AO经过△ABC的内心（从 AB AC AB,AC 几何意义理解) AB AC 【典例1】(2026高三·全国专题练习)己知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足 PA-PB=2'PA-PB=2\5'PA ，产以} BI.BA 则BA的值为()· A V B.2 c.5-1 D.0 【典例2】(25-26高三·全国一轮复习)已知0是△ABC所在平面内的一点，∠A,∠B,∠C所对的边分别为 a,b,c 若01+b0B+c0c=0,则°是△1BC 的() A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【变式1】(25-26高三·全国·一轮复习)A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 (2∈[0，+oo ,则点P的轨迹一定经过A4BC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【变式2】(25-26高三·全国一轮复习)己知O是锐角△ABC所在平面内的一定点，动点P满足： 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Op=OA+入 AB AC ABsin.∠ABC AC sin/ACB ∈(0，+oo), 则动点P的轨迹一定通过 ABC的 心. 《。题型04垂心问题⊙ 悟 解题关健 从垂心的定义出发。三角形各边高线的交点，A0=入( AB AC—）,入∈R则直线AO经 AB cos B ACcos C 过△ABC的垂心（两边同时·BC化简两边都为0） 【典例1】(25-26高三·全国一轮复习)己知O是斜三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足 0p=0A+入 AB AC 4B cos B ACcosC 2e(0,+oo)' 则动点P的轨迹一定通过 的 心 ABC 【典例2】(25-26高三上·四川成都开学考试)设O是平面上一定点，动点P满足 AB OP=OA+入 AC 4B cos B 4CcosC. 1∈(0，+∞)'且A,B,C是平面上不共线的三点，则动点P的轨迹 一定通过△ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【变式1】(26-27高三全国·一轮复习)已知O为△ABC所在平面内一点，若 am4x0A++taBx+Cx=0,则点O是△1C 的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【变式2】(2026高一全国专题练习)已知点H在△MBC 内，且是△AB 的垂心，若+2孤+3C=0 则A=一 《◇题型05四心问题综合◇ 10/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 悟解题关键 解题关键是将题目给出的复杂向量关系翻译成几何特征。利用向量的线性运算、加减法法则，或者对等 式两边进行点乘运算，推导出垂直、等距或共线关系，从而识别出对应的四心。 【典例1】(2026湖北黄冈·二模)（多选）如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,，P为△ABC内的 AP=xAB+yAC 点， ,则下列说法正确的是() A,若P为△ABC的重心，则2x+y=1 B.若P为AABC的内心，则x+y= 6 C.若P为AABC的外心，则PAB= 2 D.若P为ABC的垂心，则s(D,B列=} 【典例2】(25-26高一下·广西南宁·阶段检测)已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且 OA=oE=OC,N☑+NB+NC=0,PA.PB=PB.PC=PCPA,则点O、N、P依次是△ABC的 () A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 【变式1】(25-26高一下·重庆·期中)设点P为△ABC所在平面内一点，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, 则下列说法正确的有() AB AC BA BC A.若p与A丽AC共线，且pB与BABC共线，则p是△ABC的内心 11/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.若p是AABC的外心，则PA.Pm= c.若(A.P)阳B+PB-P)Bc+(PC.PA)C=0,则P是△ABC的垂心 D.若pPa+Pi+PC-0,则lP+P+PC-(a+B2+c) 【变式2】(25-26高一下·浙江温州期中)已知△ABC,则下列正确的是() 0A+0B+0C=0 O△ABC A.若满足条件 则为 的重心 OP=OA+元 AB AC B.若满足条件 ABAC,则动点p经过AABC的内心 OP=OA+ AB AC C.若满足条件 |AB|sin B ACIsin C, 则动点P经过AABC的外心 OP=OA+元 AB AC D.若满足条件 |AB|cos B AC|cosC 则动点p经过。ABC的垂心 《。题型06奔驰定理的应用◇ 悟解题关健 首先识别向量等式是否为指向同一点且系数和相关的形式，直接得出面积比。若题目条件复杂，需先通 过三点共线或几何作图，将向量转化为满足奔驰定理的形式，再由面积比推导各线段比例关系。 【典例1】(2026：北京三模)在平行四边形1BCD, CD内存在一点E,满 E+2B+3EC+4BD=0,若 S △EBC和△ABC的面积分别为S,S,则S2的值为() A.1 B.z c.3 D. 【典例2】(2026高三全国专题练习)已知P,0为△MBC 3P4+2PB+PC=0 中不同的两点，且 04+0B+0C=0 ,则 12/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26高三上江西南昌·阶段检测)奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△A0C、 △AOB 的面积分别记为.S,、,则301+5,0B+5.0C=0奔驰定理”是平面向量中一个非常 优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的og0很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图， 已知O是△MB 的内心，AB-8,且满足201+306+40C=0 设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径 为R:则R=() B 3 √15 1 5 A.16 B.16 C.4 D.1 【变式2】(2026江苏盐城模拟预测)在△ABC中，D,E分别为线段AB,BC上的点，直线AE,CD S腿=(） 交于点p,且满足即-号+c,则 2 2 3 4 A.3 B.2 C.4 D.3 重难攻坚·考法深研 一一要点提炼 。重难点01奔驰定理与四心综合应用③ 悟破解袂 从系数提取面积：当遇到指向同一点的向量线性组合为零时，直接利用奔驰定理，提取出各个向量对应 的系数，即可得出三个小三角形的面积比例。 结合“心”转化比例：根据题目所指的“心”，将提取出的面积比转化为几何比例。例如，重心的面积 比恒定，内心的面积比等于对应边长比，外心和垂心则转化为对应角的正余弦或正切值比。 13/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26高三·全国一轮复习)（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为 这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔 驰定理：已知O是△M8C内一点，△B0C,△40C,△10B。 为8.9.，且 ”的面积分别为“， SA·OA+SB·OB+Sc.OC=0 ).设O是锐角△ABC内的一点，∠BMC,∠ABC,∠ACB分别是△MBC的三个 内角，以下命题正确的有() B A.若01+206+30C=0S,:S。S。=1:23 ,则 B.若OA=o8=2,∠40B=Sπ 6,204+30B+40元=0，则m=9 C,若0为aMBC的内心，30A+40i+5OC-0,则2C-号 D.若0为△ABC的垂心，30A+40B+5OC=0,则cos∠A0B=-V6 6 【典例2】（多选)(25-26高一下·江苏苏州阶段检测)如图，P为△ABC内任意一点，角A,B,C的对 边分别为a,b,c总有优美等式SPA+SpPB+S,rPC=0 成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又 称为奔驰定理，则以下正确的命题为() B 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,若P是△ABC 的重心，则有 PA+PB+PC=0 R若P1+bm+e-0皮立，则f足△C 的内心 C.若P是A4BC的外心，A=开， =4,PA=mPB+nPC,则m+n的最小值是-√2 D.老-西+4C,则5m5=2:5 【变式1】（多选）(25-26高三上安徽阶段检测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,点P为 △ABC内部一动点，则下列命题正确的是() A.若点M为BC的中点，则MB4C=MM BC 2 B.若点P为HBC的内心，则aA+bPB+eP-0 C.若P=2b4正+cAC2>0,则点P过△ABC的外心 D.若△1BC为锐角三角形，点P为△M C的垂心，则an4-PA+tanB.PB+tanC-PC=0 【变式2】（多选）(25-26高-下河南郑州期中)B+BC=AC(或+BC+C1=0)是△MBC； 的一 种向量表达，同样，三角形还有其他向量表达：已知M是△ABC内的一点，内角A,B,C的对边分别为 a6c,则S,+S,M+S。·MC=0,其中SS,分别是△BMC,△MMC,△M的面积.下列结论 正确的是() A.若Mi+M匠+Mc=0,则M为△MBC的重心 B.若M为△1BC角 bC的内心，则cMi+bME+aMC=0 C.若M为ABC的外心，M+远-MC-0:则4=君 15/18 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.若点M是锐角△ABC的垂心，且MA+2MB+3MC=O.cosC=10 10 优题精练•专题实战通关 1.(25-26高三·全国一轮复习)已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，若动点 P满足OP=01+2(B+4G2e0,w ,则点P的轨迹一定通过AMBC的（) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 2.已知O是△ABC内部的一点，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a=3,b=2,c=4,若 sinM-OA+sinB-OB+sinC-OC=0,则AMOB与△MBC 的面积之比为 3(2026安徽合肥模拟预测)点G,0分别是△ABC的重心和外心，且AG.A0=6,AG=2,则边BC的 长为() A.6 B.5 C.7 D.3 4.(25-26高三上上海阶段检设M是AMBC所在平面上的一点，且M6+2M+MC-6,D是AC的 DM 中点，则 BM 5.(2026山东济宁·二模)G是△ABC的重心，过点G且不过△ABC项点的直线I分别交边AB,AC于点 M'N,记AAMG和△CNG的面积分别为S,S,则3，的最小值是 6.(25-26高三全国·一轮复习)已知G是△ABC的重心， aGa+bGB 3CGC=0 ，其中内角A,B,C的 对边分别为a,b,C,则∠A=一. 7.(25-26高一下·内蒙古赤峰阶段检测)设O为△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是() A,若满足01+0B+0C=0 则O是△ABC 的垂心 16/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.若满足O-O-oC,则0是a4BC的外心 C.若满足OP=OA+2 AB,AC (20),则P的轨迹过 的内心 ABC PA-PB=PB-PC=PC-PA D.若满足 则P是△ABC 的重心 8.(25-26高一下·重庆阶段检测)如图，P为△ABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为a,b,c.总有优 美等式ScPA+S.pcPB+S.PPC=0 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理、则以下命 题是真命题的有() A.若P是△MBC的重心，则有P1+B+P元=6 B若+b防+e-0限立.则P是△C 的内心 C.若P-号B+兮4C,则5w5c=2:5 5 D.若p是AABC的外心，A-年PA=mPi+n心，则m+ne-,-) 9.(25-26高一下·贵州黔南阶段检测)已知O为△ABC内一点，且其中内角A,B,C的对边分别为4，b,C, 则下列结论正确的有() A.若a0i+b0B+c0c=0 则0为4ABC 垂心 B.若O-OE=OC,则O为△1BC外心 a.老01.0B=0丽.0c=0c.0M,则0为1BC内心 17/18 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.若O1+0B+0C=0 则O为4ABC 重心 10.(25-26高三上山东青岛阶段检测)在△ABC中，AB=4,AC=5,BC=6,下列说法中正确的有（ ) A.若点0为△ABC的重心，则40=O丽+OC B.若点0为△ABC的外心，则40.B=6 Q.若点0为△4c的垂心，则40--月 3 D.若点O为△ABC的内心，且AO=xAB+yAC,则x+y=5 18/18专题03 平面向量四心问题、奔驰定理 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 三角形的重心 考点02 三角形的外心 考点03 三角形的内心 考点04 三角形的垂心 考点05 奔驰定理 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 重心问题 题型02 外心问题 题型03 内心问题 题型04 垂心问题 题型05 四心问题综合 题型06 奔驰定理的应用 ▶重难攻坚・考法深研 重难点01 奔驰定理与四心综合应用 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角形的重心 若点为的重心，为角所对的边 1、重心：三角形各边中线的交点，重心在中线的三等分点处。 2、重心的性质： ①重心的坐标为（其中） ② ③ ④若为所在平面内一点，则有 ⑤若或，，则一定经过三角形的重心 ⑥若或，，则一定经过三角形的重心. 【新题对点练】（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的________心． 【答案】重 【分析】利用正弦定理化简已知条件得到，由此判断出点的轨迹经过重心. 【详解】由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径， 所以动点P满足． 则， 因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线以A为起点的向量，方向与边上的中线方向相同， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 故答案为：重 考点02 三角形的外心 若点为的外心，为角所对的边 1、外心：三角形各边的中垂线的交点，即三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。 2、外心的性质： ①（根据外心到三个顶点距离相等） ② （根据中垂线可推导出） ③（根据奔驰定理推导出） ④动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心.（将移到式子左边，两边同时 化简两边都为0） ⑤；（根据投影向量可推导出） 【新题对点练】（26-27高三上·湖北·开学考试）在中，，，，O是的外心，若，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理，得， 所以，，， 所以， ， 由题意知动点P的轨迹所覆盖的图形是以OB，OC为邻边的平行四边形， 其面积． 考点03 三角形的内心 若点为的内心，为角所对的边 1、内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 2、内心的性质： ①，则直线经过的内心（从几何意义理解） ②（可以从到的投影数量与其到的投影数量相等去推导） ③（根据奔驰定理推导出） ④若为所在平面内一点，则有（可以由③推导出） ⑤（可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出） 【新题对点练】（2026高一·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， ，由此确定的位置. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 也在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 考点04 三角形的垂心 若点为的垂心，为角所对的边 1、垂心：三角形各边高线的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、垂心的性质： ①，则直线经过的垂心（两边同时 化简两边都为0） ②（根据垂直可得） ③（根据奔驰定理推导出） ④（可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出） 【新题对点练】已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据可得，同理根据可得：，所以为的垂心. 【详解】由， ，所以. 同理由可得：. 所以为的垂心. 故选：D 考点05 奔驰定理 1、奔驰定理：当时，有 证明：延长与交于点，根据共线定理有 根据有 由共线定理有 ,根据代入 ) 移项合并有 2、奔驰定理的四心应用： ①为重心：各边中线的交点，则，代入有 ②为内心：内角平分线的交点，则代入有 ③为外心：各边中垂线的交点，则，代入有 ④为垂心：各边高线的交点，则，代入有 【新题对点练】（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【详解】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 题型01 重心问题 利用重心的定义以及其性质。常用的，从几何意义去理解。 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 【典例2】（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 【变式2】（26-27高三·全国·一轮复习）为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，根据正弦定理得出，代入关系式由向量的加减法化简，得出与共线，由此得出点P的轨迹，得出答案. 【详解】   中，根据正弦定理， ，即. 设，， 所以， ， ， 设D为中点，则，故， 所以共线， 点的轨迹为射线（不含端点）. 的重心一定属于集合. 故选：A. 题型02 外心问题 利用外心的定义以及其性质。常用的（根据外心到三个顶点距离相等）跟 （根据中垂线可推导出） 【典例1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值. 【详解】对于式子变为 两边同乘，可得，即 ，化简为， 由正弦定理得，，即 移项得到：，因为，故，故. 【典例2】（2026高三下·全国·专题练习）已知三角形的外心满足，则_____． 【答案】/ 【分析】依题意可得，平方后求出，再由二倍角公式得到，最后应用同角三角函数关系求出答案. 【详解】不妨设的外接圆半径 因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】D 【分析】点 是点 在平面 上的射影，知平面，所以，由直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，证得，从而证得，由此可知 是 的外心. 【详解】由题可知，平面，所以. 所以. 连接，则分别是直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角， 所以. 在中，，是公共边， 所以. 所以. 所以 是 的外心. 故选：D. 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心． 【答案】外 【分析】设BC的中点为D，利用向量的线性运算及数量积的运算律、数量积的定义计算得到，即可求解. 【详解】设BC的中点为D，因为， 所以， 即，两端同时点乘， 因为 ， 所以，所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过的外心， 故答案为：外 题型03 内心问题 利用内心的定义以及其性质。，则直线经过的内心（从几何意义理解） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知为线段上一点，为直线外一点，满足，，，为上一点，且，则的值为（    ）． A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】根据题意分析得出平分，为的内心，以及在双曲线上，利用数量关系，由切线长定理求出在上的投影. 【详解】设因为， 则，，平分； 而，， 又因为分别表示方向上的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形为菱形，故在的角平分线上； 由为上一点，则为的内心；作各边的垂线，如图所示， 由内心的性质可知，设，，， 由，，则， 解得，则. 故选：C． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合向量加法的几何意义判断即可. 【详解】依题意，， ，由，得， 即， 记，其中分别表示方向上的单位向量，因此， 可视为以点为起点的某个菱形的对角线向量，与共线，该对角线平分， 因此平分，所以为内心. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的________心． 【答案】内 【详解】因为，设它们等于，所以，则，而是两个单位向量的和，表示角平分线共线的向量，即P的轨迹一定通过三角形的内心． 题型04 垂心问题 从垂心的定义出发，三角形各边高线的交点，，则直线经过的垂心（两边同时 化简两边都为0） 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心． 【答案】垂 【分析】将已知等式移项，通过向量的减法运算变形，再利用数量积为0说明垂直关系进而判断. 【详解】由 ， 又因为， ， ， 所以，所以， 所以点P在的高线上，即P的轨迹过的垂心. 故答案为：垂. 【典例2】（25-26高三上·四川成都·开学考试）设O是平面上一定点，动点P满足，，且A，B，C是平面上不共线的三点，则动点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：D 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则____． 【答案】 【分析】利用五心的向量表达式可求，利用两角和的正切公式得，进而得，即可求解. 【详解】依题意，取的中点，取的中点，连接， 则， 因为，所以，所以. 所以三点共线，且，连接，则，且， 所以， 如图，延长分别交于点， 在线段上取，使得.连接， 取的中点，取的中点，连接，    则， 因为，所以， 所以三点共线，且， 因为为的中点，所以，且，所以， 所以， 综上可得， 设， 因为， 整理得，可得，因为， 所以．又，所以，所以． 故答案为：. 题型05 四心问题综合 解题关键是将题目给出的复杂向量关系翻译成几何特征。利用向量的线性运算、加减法法则，或者对等式两边进行点乘运算，推导出垂直、等距或共线关系，从而识别出对应的四心。 【典例1】（2026·湖北黄冈·二模）（多选）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 【答案】ACD 【详解】设的中点为.由知，过点，且. 若P为的重心，则， 所以，所以，所以A正确. 若P为的内心，则， 化简得，， 所以， 所以，所以B错误. 若P为的外心， 易知，所以的外接圆的半径为， 即. 则，所以C正确. 若P为的垂心，则，所以，所以 . 所以D正确. 【典例2】（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 【答案】C 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 【变式1】（25-26高一下·重庆·期中）设点为所在平面内一点，内角的对边分别为，则下列说法正确的有（    ） A．若与共线，且与共线，则是的内心 B．若是的外心，则 C．若，则是的垂心 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算及向量数量积的运算律求解判断即可. 【详解】选项A：是两边单位向量的和，且与角平分线共线， 而与共线，即平分， 同理平分，则是的内心，故A正确； 选项B：， 因为是的外心，，且， 所以， 故， 而，故，故B错误； 选项C：由于， 则 ， 整理得， 即； 由于与不共线，故， 即，，则是的垂心，故C正确； 选项D：由，可知是的重心， 对等式两边平方得到， 由边长与向量的关系， 同理可得，， 三式子相加得， 则，即，故D正确. 【变式2】（25-26高一下·浙江温州·期中）已知，则下列正确的是（   ） A．若满足条件，则为的重心 B．若满足条件，则动点经过的内心 C．若满足条件，则动点经过的外心 D．若满足条件，则动点经过的垂心 【答案】ABD 【分析】利用三角形的重心、内心、外心、垂心的性质逐一分析每个选项. 【详解】在A选项中，设中点为，根据平面向量加法的平行四边形法则： ，又因为， 所以，即， 这表明、、三点共线，且， 根据重心的定义和性质可得为的重心，A正确， 在B选项中，和分别是和方向上的单位向量， 设，以和为邻边作平行四边形， 则该平行四边形为菱形，根据菱形的性质，其对角线平分一组对角， 所以在的平分线上，又因为内心是三角形三条角平分线的交点， 所以动点经过的内心，B正确， 在C选项中，由正弦定理可得： ， 则， 由A选项可知，中点为，所以， 所以， 即表示与共线， 所以动点在边上的中线上， 因为外心是三角形三边垂直平分线的交点，而一条中线不能确定外心， 所以动点不经过的外心，C选项错误， 在D选项中，，因为， 所以，则， ， 根据向量数量积公式可得：， ，所以 ，所以 所以， ， 即，所以，即， 因为垂心是三角形三条高的交点， 所以动点经过的垂心，D正确.    题型06 奔驰定理的应用 首先识别向量等式是否为指向同一点且系数和相关的形式，直接得出面积比。若题目条件复杂，需先通过三点共线或几何作图，将向量转化为满足奔驰定理的形式，再由面积比推导各线段比例关系。 【典例1】（2026·北京·三模）在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法性质分析可得，可知点在平行四边形的中位线上，即可得结果. 【详解】因为，即， 设线段的中点分别为， 可得，即， 设线段的中点为，可得，即， 可知点在线段上，且， 可知点在平行四边形的中位线上，所以. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知，为中不同的两点，且，，则为________． 【答案】 【详解】因为 , 如图所示,设 的中点分别为 , 因为 所以点 在 上,且 , 所以在与平行的中位线上，且是该中位线上靠近的一个三等分点. 所以有，，可得是的重心. 因此，． 【变式1】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 【变式2】（2026·江苏盐城·模拟预测）在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解． 【详解】 已知，由共线，设， ，故， ，则， ， ，故，故； 设，则，即，则， ，解得， 由得出，故， 由知，设到的距离为，则， 由知，设到的距离为，则，即， ． 重难点01 奔驰定理与四心综合应用 从系数提取面积：当遇到指向同一点的向量线性组合为零时，直接利用奔驰定理，提取出各个向量对应的系数，即可得出三个小三角形的面积比例。 结合“心”转化比例：根据题目所指的“心”，将提取出的面积比转化为几何比例。例如，重心的面积比恒定，内心的面积比等于对应边长比，外心和垂心则转化为对应角的正余弦或正切值比。 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ACD 【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；对D，结合“奔驰定理”可得，如图所示分别为垂足，设，由得到，设，则，结合在直角三角形中求解即可. 【详解】对于A，由奔驰定理可知，若，则，故A正确； 对于B，在中，由，可知， 又，所以，所以，， 所以，故B错误； 对于C，由奔驰定理可知，为的内心，，则. 设内切圆半径为，故，，，所以， 由勾股定理得为直角三角形，，故C正确； 对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点， 因为为三角形的垂心，所以，.    由奔驰定理可知，. 又，所以，设，则，， 同理，设，则，， ，可得， 所以，，故D正确． 【典例2】（多选）（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A利用重心的性质，代入奔驰定理公式即可；对于B利用三角形的面积公式结合奔驰定理，可知点到三边的距离相等；对于C根据外心性质结合三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合一般不等式求解范围即可；对于D由，整理得，再根据奔驰定理求解面积比值即可. 【详解】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：， 代入奔驰定理得：，即，A正确； 选项B：若，结合奔驰定理， 得面积比. 又，，，可得， 即到三边距离相等，故是的内心，B正确； 选项C：是外心，故（为外接圆半径）， 由，得圆心角. 由，得， 代入，，化简得. 因为在内，结合奔驰定理系数为正，得， 故， 所以，即，当且仅当时取等号， 最小值为，C正确； 选项D：由，整理得：， 即，根据奔驰定理， 所以，D错误. 【变式1】（多选）（25-26高三上·安徽·阶段检测）在中，角的对边分别为，点为内部一动点，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的中点，则 B．若点为的内心，则 C．若，则点过的外心 D．若为锐角三角形，点为的垂心，则 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的加减运算判断A，利用内心的性质判断B，结合角平分线的性质判断C，利用锐角三角形结合垂心的性质判断D即可. 【详解】对于A，点为的中点，，，， ，， ，故A正确； 对于B，若点为内部一动点，且， 设，，， ∴点为的重心，可得， 分析可得，，， ，可得， ，又∵点为的内心， 的高相等，都为内切圆的半径， ，可得， 可得，故B正确； 对于C，由题意得， 其中表示角的平分线所在直线上的向量，过的内心，故C错误； 对于D，由B可得，，， 而点为的垂心，如图，连接与相交于点，    则，而，， ， 又，， ，， 同理可得，， ， ，故D正确． 故选：ABD 【变式2】（多选）（25-26高一下·河南郑州·期中）（或）是的一种向量表达．同样，三角形还有其他向量表达：已知是内的一点，内角的对边分别为，则，其中分别是的面积．下列结论正确的是（   ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，，则 D．若点是锐角的垂心，且，则 【答案】ACD 【分析】本题利用题目给出的三角形内点的向量面积公式，结合重心、内心、外心、垂心的几何性质，分别对四个选项进行验证：通过向量线性运算与中点性质判断A，利用内心的面积比例关系判断B，结合外心的向量恒等式与三角恒等变换判断C，借助垂心的垂直关系与向量点乘、余弦定理判断D，最终得出正确选项为ACD． 【详解】 对于A， 取的中点，因为， 所以，所以为的重心，A正确； 对于B， 设内切圆的半径为，因为， 所以由，可得，B错误； 对于C，为的外心，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，从而，C正确； 对于D， 延长，交于． 因为，所以， 又，所以， 即， 化简得，则， 所以，整理得①， 同理，因为，所以②， 由①②解得，所以，D正确． 优题精练·专题实战通关 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】由已知，得，即，根据平行四边形法则，知（D为的中点），所以点P的轨迹必过的重心． 2．已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 【答案】/ 【分析】利用正弦定理角化边可得，设，，，可得，则是的重心，可得，分别用表示与的面积即可求解. 【详解】由正弦定理,可得， 因，，，， 代入得，因为，所以， 设，，，则得， 则是的重心，从而， 因为，， 所以，所以， 同理可得，， 所以与的面积之比为. 3（2026·安徽合肥·模拟预测）点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A．6 B．5 C．7 D．3 【答案】A 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用，表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点分别是的重心和外心，则 ，，， 则 于是 即得. 又由和，可得 整理得解得 因，则 即边的长为6. 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理即可求解. 【详解】因为是中点， 所以， 所以． 故答案为：. 5．（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 【答案】 【分析】设，利用三角形重心的性质，结合等高的三角形面积关系建立函数，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】设，由是的重心，得， 则，又点共线，因此，即， 而，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则______． 【答案】/ 【分析】三角形重心的性质以及向量的线性运算，将已知向量等式转化为边的关系，再利用余弦定理求出角. 【详解】解法1：因为为的重心，所以， 从而，将其代入已知条件中， 可得． 又因为与不共线， 所以， 即，所以，即． 解法2：（以，为基底） 因为， ， ， 所以可化为， 即． 因为与不共线， 所以解得 所以，即． 故答案为：或 7．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）设 O为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A．若满足，则 O 是 的垂心 B．若满足，则 O 是 的外心 C．若满足，则 P的轨迹过的内心 D．若满足，则 P 是 的重心 【答案】BC 【详解】记边的中点为，则， 由，得，所以点在中线上，且， 所以是的重心，所以A错误； 若满足，则 O到 各顶点距离相等，所以O 是 的外心，所以B正确； 若满足，则， 即，所以点的轨迹为角的平分线，所以经过的内心，所以C正确； 由，得，所以， 同理可得，， 即 ，所以 P 是 的垂心，所以D错误. 8．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 【答案】ABD 【分析】根据重心性质可得，再由奔驰定理可判断A正确，结合内心性质以及奔驰定理可知，因此是的内心，即B正确；利用平面向量共线定理可知，计算可得C错误，再由外心性质以及三角换元结合辅助角公式，由三角函数值域计算可得D正确. 【详解】对于A，不妨取分别为的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以， 又因为，所以，即A正确； 对于B，记点到的距离分别为， ， 因为，所以， 即，又因为，所以， 因此是的内心，即B正确； 对于C，若，所以， 因此，， 可得 化简可得， 又因为不共线，所以，解得； 因此， 则，所以C错误； 对于D，若是的外心，，所以， 又易知，所以， 因为，则， 化简可得，由题意可得同时为负， 记,其中，则， 因为，所以， 可得，即，因此D正确. 9．（25-26高一下·贵州黔南·阶段检测）已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（   ） A．若，则O为垂心 B．若，则O为外心 C．若，则O为内心 D．若，则O为重心 【答案】BD 【详解】对于A，因为，故， 整理得， 又， 所以，则， 因为方向的单位向量， 故AO与的角平分线共线，同理BO与的角平分线共线，CO与的角平分线共线， 所以O为的内心，故A错误； 对于B，因为，所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心，故B正确； 对于C，因为，所以， 则，即，则，同理可得， 所以点O为的垂心，故C错误； 对于D，因为，所以， 设D为BC的中点，则，所以点O为的重心，故D正确． 10．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（   ） A．若点O为△ABC的重心，则 B．若点O为△ABC的外心，则 C．若点O为△ABC的垂心，则 D．若点O为△ABC的内心，且，则 【答案】ACD 【分析】A选项，根据重心性质和向量的平行四边形法则来判断；B选项，根据外心性质和向量的数量积运算法则求解即可；C选项，根据垂心性质和向量的数量积运算法则求解即可；D选项，根据三角形内心的性质及向量三点共线求系数和即可. 【详解】A选项，如图1，设BC中点为D，则，由于点O为△ABC的重心，则，所以，A选项正确； B选项，如图2，设AB中点为E，由于点O为△ABC的外心,则垂直，，B选项错误； C选项，如图3，作，垂足为，则在上，在△ABC中由余弦定理可得，在直角△ACF中，， 所以，C选项正确； D选项，如图4，设△ABC的内切圆半径为，由可得， 则，， 由，且为三角形内角，可得，， 则， 延长交于点， 则即， 则，则， 由于B、C、G三点共线，则，，D选项正确； 故选：ACD. $