专题03 三角函数的图像变换（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题03 三角函数的图像变换 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01三角函数的图像及性质 考点02 三角函数图像的变换 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 三角函数图像求解析式 题型02 三角函数图像的变换 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 五点画图法的应用 题型02 函数图像与解析式 题型03 根据函数图像求解析式与性质 题型04 三角函数图像与几何图形 题型05 三角函数图像四种变换 题型06 三角函数图像变换后求解析式 题型07 三角函数图像变换后求参 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的图像及性质 函数 图象 定义域 对称性 对称轴：直线 对称中心： 对称轴：直线 对称中心： 无对称轴； 对称中心： 最小正周期 单调性 在 上单调递增； 在 上单调递减 在 上单调递增； 在 上单调递减 在 上单调递增 最值 当 时， 取最小值 ； 当 时， 取最大值 当 时， 取最小值 ； 当 时， 取最大值 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 【新题对点练】（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 考点02 三角函数图像的变换 1、函数 中，参数 的变化引起图象的变换：的变化引起图象振幅的变换，即纵向伸缩变换；的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；的变化引起图象左右平移变换；的变化引起图象上下平移变换，图象平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”。 2、由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 方法一：（先平移后伸缩） 的图象的图象的图象的图象 方法二：（先伸缩后平移） 的图象的图象的图象的图象 注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看“角”的变化． 【新题对点练】（26-27高三上·山东日照·开学考试）为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角函数图像求解析式 【典例1】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．    【典例2】（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 题型02 三角函数图像的变换 【典例1】（2026·北京·高考真题）设函数，若将的图象沿轴的正方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2021·全国乙卷·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 题型01 五点画图法的应用 令相位整体代换为五个关键角度，求出对应的x与y值。列表描点连线即可得到简图。关键在于整体代换思想的运用，准确求出五个关键点。 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）用“五点法”作函数的图象时，需描的点有（　　） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，______，，． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，______，，． 【变式1】（25-26高三上·福建·阶段检测）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)将函数化为形式，填写下表，并画出函数在区间上的图象；（如图） x 0 π 2π (2)求函数的单调减区间． 题型02 函数图像与解析式 通过观察函数的奇偶性、特殊点取值及单调趋势，逐项排除选项或匹配解析式。重点关注原点附近的函数值以及图像的变化趋势。 【典例1】（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）下图对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ）    A． B． C． D． 题型03 根据函数图像求解析式与性质 先由最值求A，由周期求ω，由特殊点求φ，得到解析式。然后利用整体代换思想，结合基本三角函数的性质求解单调性、对称性、值域等问题。 【典例1】（2026·全国·模拟预测）（多选）已知如图是函数，的部分图象，则（   ） A．在上单调递增 B．的图象关于中心对称 C．在点处的切线方程为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 【典例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．当时，的值域为 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 【变式1】（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，其部分图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的单调递增区间为 C．是函数图象的一个对称点 D．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称 【变式2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．函数的一个对称中心是 B．是偶函数 C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D．方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为 题型04 三角函数图像与几何图形 利用图像的对称性和周期性等几何特征，结合线段长度、角度或向量等条件建立等量关系。核心是数形结合，将几何条件转化为代数方程求解。 【典例1】（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数，其部分图像如图所示，其中为最高点，，则的解析式为______，______. 【典例2】（26-27高三上·重庆·阶段检测）若，则以曲线与曲线相邻四个交点为顶点的菱形的周长为_________． 【变式1】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）小斌老师在上课时在黑板上画出了函数图像的一部分，然后他画了一条长度为12的线段，如图所示：端点，落在曲线上，与轴交于点，与曲线交于点．若，，则满足条件的，可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 题型05 三角函数图像四种变换 遵循“左加右减，上加下减”的平移规则，以及“横坐标缩短为倒数倍，纵坐标伸缩改变振幅”的伸缩规则。注意区分“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的顺序差异。 【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知函数，，要得到的图象，可由的图象（    ） A．先将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 【典例2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）为了得到的图象，可以将函数 的图象上（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【变式1】（26-27高二上·河南·阶段检测）函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式2】（26-27高三上·贵州·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 题型06 三角函数图像变换后求解析式 根据变换规则直接代入原解析式求新解析式。横向变换总是针对自变量x进行，若x前有系数，需先提取系数再加减平移量，谨防平移量出错。 【典例1】（26-27高三上·山西·阶段检测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·广东广州·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A．是奇函数，最小正周期为 B．是偶函数，最小正周期为 C．是奇函数，最小正周期为 D．是偶函数，最小正周期为 【变式1】（26-27高三上·北京·开学考试）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型07 三角函数图像变换后求参 根据变换后的解析式满足特定性质（如奇偶性、对称性、零点等）列出方程。结合参数的给定范围求解，注意周期性带来的多解情况，通过赋值法确定最终参数。 【典例1】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）设函数，将的图象沿x轴的正方向平移个单位长度，所得图象与图象关于y轴对称，则满足条件的t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为________. 【变式1】（26-27高三上·山西·阶段检测）将函数f(x)x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是__________． 【变式2】（26-27高三上·天津武清·阶段检测）若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则的最小值为_______． 优题精练·专题实战通关 1．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则以下说法正确个数为（   ） ① ②函数图象的对称中心为 ③ ④不等式的解集为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（2026·重庆江津·三模）已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．f(x)的图象关于中心对称 C．f(x)在上有4个零点，则实数a的取值范围是 D．将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象 3．（多选）（2026·福建龙岩·三模）已知函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，分别为图象与轴，轴的交点，则（   ） A． B．为的一条对称轴 C．函数在上有且只有4个零点 D．若在区间上的最大值为，则 4．（2026·河北邢台·三模）如图为函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)设为坐标原点，轴于点为线段上一点，且，求 5．（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）若将函数的图象向左平移个单位后的函数图象关于y轴对称，则可取值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 7．（26-27高三上·天津静海·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B．的图象向右平移个单位后得到的图象 C．在区间的最小值为 D．在上有两个零点，两个极值点，则 8．（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 9．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）对函数的图象进行以下五种变换各一次： ①向左平移1个单位长度； ②向下平移1个单位长度； ③关于x轴对称； ④曲线上各点的横坐标变为原来的倍； ⑤曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍； 要使得变换后的解析式为，则不同的变换顺序有________________________种（用数字作答）． 10．（多选）（26-27高三上·辽宁·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，且点和最低点在曲线上，则（   ） A． B．点为曲线的一个对称中心 C．将曲线向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称 D．函数在上的值域为 $专题03 三角函数的图像变换 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01三角函数的图像及性质 考点02 三角函数图像的变换 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 三角函数图像求解析式 题型02 三角函数图像的变换 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 五点画图法的应用 题型02 函数图像与解析式 题型03 根据函数图像求解析式与性质 题型04 三角函数图像与几何图形 题型05 三角函数图像四种变换 题型06 三角函数图像变换后求解析式 题型07 三角函数图像变换后求参 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的图像及性质 函数 图象 定义域 对称性 对称轴：直线 对称中心： 对称轴：直线 对称中心： 无对称轴； 对称中心： 最小正周期 单调性 在 上单调递增； 在 上单调递减 在 上单调递增； 在 上单调递减 在 上单调递增 最值 当 时， 取最小值 ； 当 时， 取最大值 当 时， 取最小值 ； 当 时， 取最大值 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 【新题对点练】（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】AD 【分析】根据函数的图象，结合正弦型函数的性质，求得的解析式，可判定A正确；列出方程，求得，举反例可判定B错误；利用三角函数的图象变换，可判定C错误；画出函数与的图象，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数的图象，可得，最小正周期， 则，所以， 又由， 根据五点对应法，可得，所以， 因为，所以，所以，所以A正确； 对于B，若，即且， 可得且， 因为，所以不妨设或， 即或， 所以，其中， 当时，，所以B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数，所以C错误； 对于D，画出函数和在上的图象， 如图所示，结合图象，可得两个函数的图象共有4个交点，所以D正确. 考点02 三角函数图像的变换 1、函数 中，参数 的变化引起图象的变换：的变化引起图象振幅的变换，即纵向伸缩变换；的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；的变化引起图象左右平移变换；的变化引起图象上下平移变换，图象平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”。 2、由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 方法一：（先平移后伸缩） 的图象的图象的图象的图象 方法二：（先伸缩后平移） 的图象的图象的图象的图象 注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看“角”的变化． 【新题对点练】（26-27高三上·山东日照·开学考试）为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据函数变化判断图像平移的方向和长度. 【详解】已知原函数， 为了得到函数的图像，即需要将原函数中的替换为， 所以需要将原函数图像上所有的点向右平移个单位长度. 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角函数图像求解析式 【典例1】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．    【答案】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 【典例2】（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 题型02 三角函数图像的变换 【典例1】（2026·北京·高考真题）设函数，若将的图象沿轴的正方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数. 【详解】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图象关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 【典例2】（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 【典例3】（2021·全国乙卷·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 题型01 五点画图法的应用 令相位整体代换为五个关键角度，求出对应的x与y值。列表描点连线即可得到简图。关键在于整体代换思想的运用，准确求出五个关键点。 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）用“五点法”作函数的图象时，需描的点有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】分别令，得， 所以所描的“五点”分别为，ABD正确，C错误. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，______，，． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，______，，． 【答案】 【详解】略 【变式1】（25-26高三上·福建·阶段检测）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)将函数化为形式，填写下表，并画出函数在区间上的图象；（如图） x 0 π 2π (2)求函数的单调减区间． 【答案】(1), 图象如图． (2)单调减区间为 【分析】（1）先化简函数表达式为，填写上图即可； （2）由，得，即可求得函数的单调减区间. 【详解】（1）, 图象如图． （2）由得， 故单调减区间为， 注：也可以． 题型02 函数图像与解析式 通过观察函数的奇偶性、特殊点取值及单调趋势，逐项排除选项或匹配解析式。重点关注原点附近的函数值以及图像的变化趋势。 【典例1】（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 【典例2】（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案. 【详解】A选项：，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A不可能. C选项：同A选项判断方法也可判断C选项为偶函数，C错误. D选项：因为，当足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当时，，与图像矛盾. B选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为. 【变式1】（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）下图对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象可知，图象关于原点对称，函数为奇函数， 对于A，，为奇函数， ，接近，符合题意； 对于B，，为偶函数，不符合题意； 对于C，，为奇函数， ，远小于，不符合题意； 对于D，，为偶函数，不符合题意. 【变式2】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象可知，为偶函数，并且当时，，还可看出，即可选出选项. 【详解】由图象得函数的定义域为，且图象关于轴对称，即为偶函数， 当时，. 在选项BC中，当时，，故排除BC， 在选项D中，，排除D，故只有选项A满足图象. 题型03 根据函数图像求解析式与性质 先由最值求A，由周期求ω，由特殊点求φ，得到解析式。然后利用整体代换思想，结合基本三角函数的性质求解单调性、对称性、值域等问题。 【典例1】（2026·全国·模拟预测）（多选）已知如图是函数，的部分图象，则（   ） A．在上单调递增 B．的图象关于中心对称 C．在点处的切线方程为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 【答案】ACD 【分析】首先根据函数图像得出，根据余弦函数的图像即可判断AB；由导数的几何意义即可判断C；根据函数平移及余弦函数的奇偶性即可判断D． 【详解】由题图可得，即， 而，可得， 又，即， 可得，可得， 又，且，即， 即，可得，， 对于A，，可得， ∴函数在上单调递增，故A正确； 对于B，， 不是函数的对称中心，故B不正确； 对于C，，， 则在点处的切线方程为，故C正确； 对于D，将向左平移个单位长度后， 可得，则为偶函数，故D正确． 【典例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．当时，的值域为 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 【答案】AD 【分析】借助余弦函数图象的对称性，先求出对称轴，从而得到周期与相位，求出解析式，然后依次求函数值、区间值域及图象平移与偶函数即可. 【详解】对于A：因为轴，所以的一条对称轴为， 所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以， 是的零点，且在单调递减区间内，所以，所以， 因为，所以取，得，所以， 则，故B错误； 对于C：因为，当时，， 所以，所以，故C错误； 对于D：将的图象向左平移个单位长度后得到， 因为，所以是偶函数，故D正确. 【变式1】（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，其部分图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的单调递增区间为 C．是函数图象的一个对称点 D．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称 【答案】ABC 【分析】根据函数图象得到函数的最小正周期，即可判断A，可求出，结合正弦函数的性质即可判断BC，根据函数的平移变换得到函数解析式为，可判断D. 【详解】由图可知的最小值为，故， ，所以最小正周期，故A正确； 所以， 因为，所以， 解得，又，所以， 所以， 令，解得， 所以的单调递增区间为，故B正确； 又，所以是函数图象的一个对称点，故C正确； 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象对应的解析式为，而的图象不关于原点对称，故D错误. 【变式2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．函数的一个对称中心是 B．是偶函数 C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D．方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】先由图中最值、周期和顶点条件依次求出参数得到函数的解析式，再由对称中心方程求出函数的对称中心即可判断A；求出的解析式即可判断其奇偶性判断B；由平移变换公式和诱导公式求出变换后图象解析式即可判断C；将题设等价转换成在区间上恰有2个不同的解得到不等式即可分析计算求解的取值范围判断D. 【详解】由题可得，所以， 又，所以， 所以，即， 又，所以，所以， 令，所以函数的对称中心为， 令，所以函数的一个对称中心是，A正确； 图象不关于y轴对称，不是偶函数，B错误； 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的可得到函数的图象， 再向右平移个单位长度，可得到函数即的图象，C正确； 因为方程即在区间上恰有2个不同的解， 所以即在区间上恰有2个不同的解， 令且， 所以方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为且，D错误. 题型04 三角函数图像与几何图形 利用图像的对称性和周期性等几何特征，结合线段长度、角度或向量等条件建立等量关系。核心是数形结合，将几何条件转化为代数方程求解。 【典例1】（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数，其部分图像如图所示，其中为最高点，，则的解析式为______，______. 【答案】 【分析】（1）由得，结合，得到和，然后即可求出，由函数经过的点求得，即可得到函数的解析式； （2）利用三角函数的周期性和诱导公式即可求出结果. 【详解】，则，∵，∴且，即， ∴， 由图像可知函数经过点，即，且， ∴， ∴， ，∵函数的最小正周期为， ∴， ∵， ∴. 故答案为： , 【典例2】（26-27高三上·重庆·阶段检测）若，则以曲线与曲线相邻四个交点为顶点的菱形的周长为_________． 【答案】8 【分析】用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再作出两个函数的草图，数形结合确定菱形顶点坐标，借助菱形的性质列式求解. 【详解】函数， 在同一坐标系内作出函数与的图象， 取两函数图象相邻的四个交点、、、，则四边形为菱形， 不妨设：，，，则. 由得： ，即， 由得，或， 即，，， 不妨取，，. 则，，， 即，，. ， ， 又因为，即，解得：， 所以， 即菱形的周长为8. 【变式1】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）小斌老师在上课时在黑板上画出了函数图像的一部分，然后他画了一条长度为12的线段，如图所示：端点，落在曲线上，与轴交于点，与曲线交于点．若，，则满足条件的，可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先利用辅助角公式化简函数，再根据线段比例关系分析点的位置，利用线段长度推导水平距离，计算线段AB的竖直总落差, 推导出的取值，验证 的合理性即可. 【详解】利用辅助角公式，可得， 其中该函数的最大值为 ，最小值为 ，值域为； 设 ，由题设 ，可得 ， 因此总线段长度， 已知 ，解得 ，即 ，说明点 是线段的中点， 设点 ，点 ，因为 在 轴上且是中点， 所以 的纵坐标为 0 ，由中点坐标公式得， 也就是 ，说明两点关于点 中心对称， 设在竖直方向的分量为 ，则竖直分量为, 竖直分量为， 因此点纵坐标为点纵坐标为点纵坐标为. 得到两点的竖直总落差为 ， 结合线段总长 12 ，水平分量设为 ，由勾股定理 ， 同时 三点都在 上，且 ， 结合三角函数的对称性可得，解得 ， 因此竖直总落差为 6 ，代入得水平分量 . 得到到的水平距离为 ，结合三角函数的相位差关系， 可得到对应的相位差为 ，即， 解得， 将 代入选项，结合 的取值条件验证， 当时，满足三点的函数值匹配所有向量条件. 【变式2】（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知，而且共线，因此可以把这条直线的方向向量设出来，再把三个点都写成同一个参数形式.随后利用它们都在函数的图象上，把几何条件转化为三组正弦值关系，最后联立求出. 【详解】设，并设直线 的单位方向向量为 由可得 因为都在函数的图象上，所以 令 则上面三式化为①②③ 由 ①+②得 若，设，则由②③可推出 即 由于，故，从而，这与图象位置关系矛盾，因此不成立. 所以只能有取最小正值， 此时由①③得 即所以 于是故 再由得 而，所以 因此 题型05 三角函数图像四种变换 遵循“左加右减，上加下减”的平移规则，以及“横坐标缩短为倒数倍，纵坐标伸缩改变振幅”的伸缩规则。注意区分“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的顺序差异。 【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知函数，，要得到的图象，可由的图象（    ） A．先将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 【答案】BC 【分析】先将化简为余弦型辅助角形式，再根据三角函数图像的伸缩、平移变换规则，逐一对各选项的变换过程验证，判断是否得到的图像. 【详解】由题意可得：， 对A选项，横坐标伸长为原来的倍可得， 右移可得：，振幅为，与解析式不符，A错误， 对B选项，横坐标缩短为原来的倍可得， 纵坐标扩大为原来的倍可得， 右移可得，B正确， 对C选项，向右平移可得，横坐标缩短为原来的倍可得， 纵坐标扩大为原来的倍可得，C正确， 对D选项，向右平移得，横坐标缩短为原来的倍可得， 纵坐标扩大为原来的倍可得，与解析式不符，D错误. 【典例2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）为了得到的图象，可以将函数 的图象上（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】C 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得函数的图象， 再向右平移个单位，可得函数的图象. 【变式1】（26-27高二上·河南·阶段检测）函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】  因为， 根据图象平移规则，函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 【变式2】（26-27高三上·贵州·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【详解】由题， 所以的图象可由的图象向左平移个单位得到. 题型06 三角函数图像变换后求解析式 根据变换规则直接代入原解析式求新解析式。横向变换总是针对自变量x进行，若x前有系数，需先提取系数再加减平移量，谨防平移量出错。 【典例1】（26-27高三上·山西·阶段检测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为． 【典例2】（2026·广东广州·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A．是奇函数，最小正周期为 B．是偶函数，最小正周期为 C．是奇函数，最小正周期为 D．是偶函数，最小正周期为 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简的解析式，再根据图象的平移变换得到的表达式，再逐一判断选项即可； 【详解】函数， ， 所以，是偶函数，最小正周期为. 【变式1】（26-27高三上·北京·开学考试）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到 函数图象的解析式为， 再将所得函数图象向右平移个单位得到函数图象的解析式为， 即． 【变式2】（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象向右平移个单位，得的图象， 再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到的图象. 题型07 三角函数图像变换后求参 根据变换后的解析式满足特定性质（如奇偶性、对称性、零点等）列出方程。结合参数的给定范围求解，注意周期性带来的多解情况，通过赋值法确定最终参数。 【典例1】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）设函数，将的图象沿x轴的正方向平移个单位长度，所得图象与图象关于y轴对称，则满足条件的t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，将的图象沿x轴的正方向平移个单位长度， 得到， 因为所得图象与图象关于y轴对称，所以， 即对任意恒成立， 则或对任意恒成立， 则， 因为，所以t的最小值为. 【典例2】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为________. 【答案】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得. 因为为偶函数，所以，可得. 因为，所以当时，即得最小值. 【变式1】（26-27高三上·山西·阶段检测）将函数f(x)x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据三角函数图像平移与伸缩变换求出解析式，换元得到相位的取值区间；无零点等价于在对应开区间无解，的解为，对分类讨论，保证区间内不包含，求解得到的取值范围. 【详解】向右平移个单位：， 横坐标变为原来倍，纵坐标不变： ， 令，当， ， 在无零点，即开区间内不含任何， 区间长度：， 若即，区间长度大于，余弦区间一定存在零点，舍去，只需讨论， 当时，，此范围内的点只有， 要开区间不含和，分两种情况： ①整个区间在左侧，即区间右端点， ，， 结合，得， ②整个区间夹在与之间，左端点且右端点， ， 得， 综合两种情况，的取值范围：. 【变式2】（26-27高三上·天津武清·阶段检测）若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】 根据三角函数图像平移规则，将向右平移个单位长度后， 所得函数解析式为： ， 因为的图像关于原点对称，故为奇函数，所以 ， 解得 ， 由得，解得， 因为，故可取的最大整数为，代入得： ， 即的最小值为. 优题精练·专题实战通关 1．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则以下说法正确个数为（   ） ① ②函数图象的对称中心为 ③ ④不等式的解集为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象先求出周期，即可求出，利用定义域问题可求出，由特殊点可求出，即；令可求出对称中心，可讨论出，即可解出范围. 【详解】由图象知相邻渐近线为和，间距为，故周期． 时，有，又，解得， 由，得，因此． A选项：由可知，A选项错误； B选项：正切函数的对称中心为，令，得， 即函数图象的对称中心为选项正确. C选项：， 故，C选项正确. D选项：当时，；当时，. 不等式等价于，即， 解得，即，D选项正确． 2．（多选）（2026·重庆江津·三模）已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．f(x)的图象关于中心对称 C．f(x)在上有4个零点，则实数a的取值范围是 D．将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象 【答案】AD 【分析】根据函数图象确定函数表达式，再结合正弦函数的图象与性质，涉及函数的对称性，单调性，零点以及函数图象的平移变换. 【详解】由图象可知，，根据，则，故，得，A正确； 此时，将代入可得，得， 则，因为，所以， 则， 因为，所以B错误； 因为，所以，因为在上有4个零点， 所以，解得，C错误； ，向右平移个单位长度后，得到，D正确. 3．（多选）（2026·福建龙岩·三模）已知函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，分别为图象与轴，轴的交点，则（   ） A． B．为的一条对称轴 C．函数在上有且只有4个零点 D．若在区间上的最大值为，则 【答案】AC 【分析】根据函数所过的点，求出函数的两个参数，得到具体函数解析式，再根据正弦函数的对称轴，单调区间，零点、最值，逐项计算判断即可. 【详解】已知，过，得， 结合，得； 过，且是最高点之后的零点，满足，解得. 因此，最高点坐标为. 选项A.，，则，A选项正确； 选项B.不是最值，故不是的对称轴，B选项错误； 选项C.， 因此，该函数是偶函数. 当时，，不是零点. 令，即. 当时，作出函数和在区间上的图象如下： . 所以当时有2个零点，由偶函数对称性，当时有2个零点，总共4个零点，C选项正确； 选项D.中，对应，即长度为的区间上的最大值. 取，区间对应，最大值，不满足，D选项错误. 4．（2026·河北邢台·三模）如图为函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)设为坐标原点，轴于点为线段上一点，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定的图象，结合五点法作图求出即可. （2）由的三角函数表示，再列式并利用辅助角公式求解. 【详解】（1）观察函数图象，得函数的最小正周期，而， 解得，由，得， 又，则， 所以函数的解析式是. （2）设， 由函数的图象知，， 则， 则， 由，得， 整理得，即，则， 又，因此，解得， 所以. 5．（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）若将函数的图象向左平移个单位后的函数图象关于y轴对称，则可取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简可得，结合三角函数图象变换可得平移后的解析式为，再结合偶函数性质可得结论. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到 图象关于轴对称，即， 解得，又，当时，的最小值为. 6．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值． 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 7．（26-27高三上·天津静海·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B．的图象向右平移个单位后得到的图象 C．在区间的最小值为 D．在上有两个零点，两个极值点，则 【答案】D 【分析】根据求三角函数解析式的方法可得，利用代入检验法可判断A；根据图象平移可判断B；利用换元法，结合正弦函数的图象可判断C，利用卡根法，结合正弦函数的图象列式求解可判断D. 【详解】因为，且，所以， 又因为， 则，解得， 且函数的最小正周期，且，则，可得， 则，，所以. 对于A：，故A错误； 对于B：的图象向右平移个单位后得，故B错误； 对于C：因为，则， 所以，最小值不为，故C错误； 对于D：因为，则， 若在上有两个零点，两个极值点，则， 所以，所以，故D正确. 8．（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】BD 【分析】先根据图像的伸缩变换和平移变换求出可判断A，然后根据正弦型函数的性质可判断BCD. 【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的、纵坐标不变，即把原函数中的替换为， 得到中间函数，将的图象向右平移个单位，将替换为， 最终得到： ，A错误； 最小正周期，B正确； ，因此不是对称轴，C错误； 当时，内层相位的取值范围是， 正弦函数在该区间内单调递增，D正确. 9．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）对函数的图象进行以下五种变换各一次： ①向左平移1个单位长度； ②向下平移1个单位长度； ③关于x轴对称； ④曲线上各点的横坐标变为原来的倍； ⑤曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍； 要使得变换后的解析式为，则不同的变换顺序有________________________种（用数字作答）． 【答案】20 【分析】先由目标函数确定横向变换①必须在④之前，②必须在纵向变换③和⑤之后，五个变换全排列共种，其中①在④前占一半，②在③⑤后占三分之一，相乘即得. 【详解】设初始函数为，目标函数为 分析各变换的先后顺序： （1）横向变换①与④的顺序：若先①（左移1）后④（横坐标缩短为 ）： 若先④后①：故必须先①后④； （2）纵向变换③与⑤的顺序：③（关于 轴对称）与⑤（纵坐标变为原来的3倍）可任意交换，结果相同； （3）②（向下平移1）的位置： ②必须在③和⑤之后，否则平移量会被纵向伸缩放大或被对称改变方向； 所以五个变换中，①在④之前，②在③和⑤之后， 五个变换的全排列共有种，①在④之前的占一半种； 在这60种中，②在③和⑤之后的占三分之一：种. 所以不同的变换顺序共有20种. 10．（多选）（26-27高三上·辽宁·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，且点和最低点在曲线上，则（   ） A． B．点为曲线的一个对称中心 C．将曲线向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称 D．函数在上的值域为 【答案】AB 【分析】求出的值，根据以及可得出的值，可判断A选项；结合图象求出的值，可得出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断B选项；求出平移后的函数解析式，利用正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求其值域，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由最低点，则， 而，得，由，则，故A选项正确； 对于B选项，由图可知，点为函数的图象的最低点， 根据五点作图法可知，则， 设函数的最小正周期为，则，即，所以， 故，所以，所以， 因为，所以点为曲线的一个对称中心，故B选项正确； 对于C选项，曲线向右平移个单位长度得到， 为奇函数，关于原点对称，故C选项错误； 对于D选项，， 由，得，则， 则，故D选项错误. $