精品解析：广东中山市中山纪念中学2026-2027学年高一上学期第一次段考数学试题

中山纪念中学2026—2027学年高一（上）第一次段考试题 数学 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 4. 已知是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是增函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数当时，函数的值域为，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为12 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A. ， B. ，，若，则 C. ， D. 方程的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数为______． 13. 已知函数的定义域为，图象过点，且对，，且，有，则关于x的不等式的解集为_____________________． 14. 表示两者中较小的一个，表示两者中较大的一个，函数在上有最大值，则的取值范围为_____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 17. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，且当时，；当时，． （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）证明：在定义域内单调递增； （3）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 19. 对于函数，我们把满足的实数叫做函数的不动点，满足的实数叫做函数的稳定点，记函数的不动点的集合为，函数的稳定点的集合为． （1）求函数的不动点； （2）若为定义在上的单调递增函数，求证：； （3）设，若恰好有两个稳定点，且对任意，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山纪念中学2026—2027学年高一（上）第一次段考试题 数学 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集与补集的概念，可得答案. 【详解】由，则，由，且，则，所以． 故选：D. 2. 已知函数的定义域为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】函数中，，解得且，， 因此是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，然后可求解出解集. 【详解】，即为，即， 故或，故解集为或． 故选：D． 4. 已知是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义列式即可求解. 【详解】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】探讨函数的性质，借助函数奇偶性、单调性即可判断得解. 【详解】函数的定义域为， ，函数是奇函数，A错误； 当，且时，，C错误； 当时，，函数在上都单调递增， 因此函数在上单调递增，B错误，选项D符合题意. 6. 若函数是增函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时，为增函数，且. 当时，若，在上单调递减，不符合题意， 若，则，开口向下，对称轴，不可能在单调递增，不符合题意， 若，要使二次函数在上递增，其对称轴须满足，解得. 还需保证分段处的大小关系，即，解得. 等号成立时，右段在处的函数值仍严格大于，符合题意. 综上，的取值范围为. 7. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 8. 已知函数当时，函数的值域为，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出时，的范围，进而可知的范围为，因为时，或；时，或，所以当时，；当时，，求出的取值即可. 【详解】函数的图象如图所示，当，，此时 因为时，或；时，或 又因为函数的值域为， 当，即时，需满足，此时满足不等式； 当，即时，需满足，此时满足不等式； 综上所述：实数的取值集合为， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质，通过举反例排除错误选项，利用代数式的正负性判断恒成立的不等式. 【详解】对于A项，取反例，满足，但是不满足，故A错误； 对于B项，作差得到，因为，所以，，所以，所以，故B正确； 对于C项，取反例，满足，但是不满足，故C错误； 对于D项，作差得到， 因为，所以， 所以，所以，故D正确. 10. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为12 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A项，由题可得，所以，又因为，所以， 又因为，所以，又因为，所以，故A正确； 对于B项，因为，即，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C项，，由基本不等式得到， 所以，当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为4，故C正确； 对于D项，将代入得到， 由基本不等式得到，当且仅当，即时等号成立，但是，故取不到等号，所以的最小值不是12，故D错误. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A. ， B. ，，若，则 C. ， D. 方程的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，取，，，A错误，对于B，，则，，故，B正确，对于C ，设，讨论与 求解，对于D：先确定，将代入不等式得到的范围，再求得值. 【详解】对选项A：取，则，，A错误； 对选项B：，则，，故， 所以，B正确； 对选项C：设， 所以， ， 当时，，，，. 所以，， 故当时，成立； 当 时，则，，，. 所以，， 故当时，成立，综上C正确； 对选项D：由知，一定为整数且， 所以，所以，所以， 由得， 由解得， 只能取，由解得或 (舍去)， 故，所以或， 因为，， 所以当时，；当时，， 所以方程的解集为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数为______． 【答案】或0 【解析】 【分析】根据集合的包含关系求的值，要注意集合中元素的互异性. 【详解】因为，所以中元素一定在中， 故或，解得或， 当时，集合内元素不满足互异性，故或． 故答案为：或0 13. 已知函数的定义域为，图象过点，且对，，且，有，则关于x的不等式的解集为_____________________． 【答案】 【解析】 【详解】由可得 ， 可得对单调递增， 因为图象过点，则，即； 则，即，即， 即，故解集为． 14. 表示两者中较小的一个，表示两者中较大的一个，函数在上有最大值，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图像后数形结合即可求解. 【详解】作出三个函数图像. 由题意得. 其图象如下： 函数在上有最大值，而，， 数形结合可得当时，在上有最大值. 当和时，在上不存在最大值， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的运算求解即可； （2）分类讨论集合是否为空集即可. 【小问1详解】 当时，， 因此， 所以或. 【小问2详解】 由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为或；；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）通过讨论一次不等式和二次不等式两种不同情况下的恒成立问题，求参数的取值范围； （2）通过对参数进行讨论，求解一次以及二次不等式． 【小问1详解】 当时，，此时恒成立，故满足条件； 当时，恒成立，即 则，即，解得； 综上的取值范围为； 【小问2详解】 当时，，解得， 当时，，即，解得或； 当时，，即， 的两根为； 当时，即时，解得； 当时，即时，解集为； 当时，即时，解得； 综上，当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 17. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】（1）100 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，且当时，；当时，． （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）证明：在定义域内单调递增； （3）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；奇函数. （2）在上单调递增，证明如下： 当时，，则，所以. 又因是定义在上的奇函数，则. 任取，则，从而 因为 ，在上单调递增， 又因是上的奇函数，则在上单调递增，且， 故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即可. （2）先证明时，，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的成立问题，结合一次函数的性质即可求得. 【小问1详解】 因对任意的，都有. 当时，令，则. 因，则； 再令，则，即. 因，则. 令，则，所以是奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中，令，可得，因，则， 由可得， 即 因是上的增函数， 则可得，即对恒成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 19. 对于函数，我们把满足的实数叫做函数的不动点，满足的实数叫做函数的稳定点，记函数的不动点的集合为，函数的稳定点的集合为． （1）求函数的不动点； （2）若为定义在上的单调递增函数，求证：； （3）设，若恰好有两个稳定点，且对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）和2； （2） 若，则，因此，即，所以； 若，则，而函数是上的单调递增函数， 当时，，与矛盾， 当时，，与矛盾， 当时，，符合题意，即，，所以， 综上所述，. （3）. 【解析】 【分析】（1）由定义列出方程求解即得. （2）由，利用定义证得，即；，利用单调性分类证得，即，从而得证. （3）求出函数有两个稳定点的的范围，再由任意成立取可得，，然后借助二次函数探讨与在上的值域关系即可得解. 【小问1详解】 由，得，解得或， 所以函数的不动点为和2. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由恰好有两个稳定点，得方程有且仅有两个不等实根， 即方程有且仅有两个不等实根， 整理得，此方程有且仅有两个不等实根， 当，方程化为，此方程仅有一个实根，不符合题意， 当时，则和一定是该方程的两个不同的实根， 因此方程要么无实根，要么有实根且实根只能为1或， 当方程无实根时，，解得， 当方程有根为1时，，此时方程为，其根为1，符合题意， 当方程有根为时，，此时方程为，其根为，符合题意， 因此或； 又，都有，令，得， 又，则，解得，显然，因此，即， 当时，函数的图象对称轴满足，且， 即，则在上，函数的值域为，即， 又，，即， 因此函数的值域为，即， 而，则，即成立， 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： ①可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； ②可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； ③发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； ④如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $