精品解析：江苏省泰州中学附属初级中学2026-2027学年第一学期九年级第一次学情自测数学试卷

九年级数学单元独立作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（18分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 过圆心的直线是圆的直径 C. 正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 半圆是弧，弧是半圆 3. 数据60，70，40，30这四个数的平均数是（　　） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 4. 如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转90°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 6. 如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是4，则剩余部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（30分） 7. 方程的解为______． 8. 圆内接四边形中，，则______． 9. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______． 10. 已知圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为__． 11. 某公司对应聘者进行创新、综合知识、语言三项测试，其三项成绩分别为分、分、分，若这三项测试的权重分别为，，，则应聘者的加权平均分数为______分． 12. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 13. 若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为_________________． 14. 平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径作，直线与交于B，C两点，则的最小值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是_____． 16. 如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 三、解答题（102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 化简求值：，其中． 19. 某校为了对甲，乙两名同学进行学生会主席的竞选考核，召开了一次竞选答辩及民主测评会，由A，B，C，D，E五位教师评委对竞选答辩进行评分，并选出20名学生代表参加民主投票．竞选答辩的结果如下表所示： 评委得分选手 A B C D E 甲 92 88 90 94 96 乙 84 86 90 93 91 根据以上信息解答下列问题： （1）甲，乙两人的竞选答辩得分分别是多少？ （2）如果综合得分竞选答辩得分民主投票得分，谁得分多谁胜出，那么甲、乙两人谁当选学生会主席？ 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意的实数k，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个根满足，求k的值． 21. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，圆心为P点的圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）外接圆的圆心坐标为______； （2）内切圆的圆心M坐标为______； （3）点在______；（填“上”、“内”或“外”） （4）扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 22. 交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）当售价为50元/个时，月销售量为______个． （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： （1）若，求的度数． （2）若线段与交于点C，，，求的半径． 24. 在中，，，，将绕点逆时针旋转得． （1）如图1，将绕点逆时针旋转得，求的大小； （2）如图2，线段交线段于点，在绕点旋转一周的过程中： ①求证：点是的中点； ②点移动的路程为______． ③线段运动过程中扫过的面积是______． 25. 阅读理解：九年级数学书综合实践中有关于玉璧的介绍，据《尔雅释器》记载；“肉倍好，谓之璧；肉好若一，谓之环”，肉指玉质部分，好指中间的圆孔，如图，“肉”的宽度为，“好”的宽度为．图1中，肉的宽度为8，好的宽度为4，满足肉倍好，所以是玉璧，如图2，，满足肉好若一，所以是玉环． 解决问题 （1）如图3所示，这是一件______．（玉璧或玉环） （2）①图1，图2中两个大圆的直径相同，则它们的璧与环的“肉”的面积比是______． ②任意两件直径相同的玉璧和玉环，它们的璧与环的“肉”的面积比都是上述值吗，如果是请写出理由，不是请写出相应的值． （3）请运用尺规作图，找出下面玉的圆心，至少用两种不同的方法． 26. 如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点．直线l过点C，，垂足为点P． （1）如图1，当平分时，试说明：直线l与相切； （2）如图2，当直线l与相交时，且另一个交点E在弧上时，连接、与． ①求证：； ②连接，证明：． （3）如图3，当直线l与相交，且另一个交点E在弧上时，连接、与．（2）中的两个结论是否仍成立？若成立，请直接回答成立；若不成立，请直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学单元独立作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（18分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】注意一元二次方程的二次项系数不能为0，结合未知数个数与最高次数判断各选项． 【详解】解：A选项：未说明，当时不含二次项，不是一元二次方程； B选项：中未知数最高次数为1，不是一元二次方程； C选项：含有两个未知数，不是一元二次方程； D选项：满足一元二次方程的所有条件． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 过圆心的直线是圆的直径 C. 正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 半圆是弧，弧是半圆 【答案】C 【解析】 【分析】结合各几何概念的定义及限制条件，逐一判断选项正误． 【详解】解：等弧是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定是等弧，A错误； 直径是过圆心且两端点在圆上的线段，过圆心的直线不是线段，不是圆的直径，B错误； 正八边形有8条对称轴，绕中心旋转后能与自身重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，C正确； 半圆是弧的一种，弧包括优弧、半圆、劣弧，弧不一定是半圆，D错误． 3. 数据60，70，40，30这四个数的平均数是（　　） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】用四个数的和除以4即可. 【详解】（60+70+40+30）÷4=200÷4=50. 故选B. 【点睛】本题重点考查了算术平均数的计算，希望同学们要牢记公式，并能够灵活运用. 数据x1、x2、……、xn的算术平均数：=(x1+x2+……+xn). 4. 如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：是的直径，， ，，， ， 由于的位置不确定，与的长度没有必然的相等关系， 所以不成立， 则下列结论中错误的是B． 5. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转90°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用弧长公式算出重物上升的高度即可． 【详解】解：由题意得，， 即重物上升了． 6. 如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是4，则剩余部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设小圆半径为，大圆半径为，通过切线条件利用勾股定理建立方程求出半径的平方，进而求得剩余部分的面积． 【详解】解：设小圆半径为，大圆半径为， 切线平行于大圆直径且与小圆相切， 大圆圆心到切线的距离等于小圆半径， 设的中点为，连接，， 则，，， ∵点是的中点，点为圆心， 由垂径定理的推论可得：， 在中，由勾股定理得：， ， 剩余部分的面积为 ． 二、填空题（30分） 7. 方程的解为______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：移项得：， 因式分解得：， 两个因式的乘积为时，至少其中一个因式的值为， 或 ， 解得：，． 8. 圆内接四边形中，，则______． 【答案】 ##108度 【解析】 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的三个内角的比例关系，设未知数求出每份对应的角度，即可推导得到的度数． 【详解】解：∵圆内接四边形的对角互补， ∴，， ∵， ∴设，则，， 将上述角度代入，得， 解得， ∴， 将代入，得． 9. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据直角尺的性质得出，利用的圆周角所对的弦是直径判断为圆的直径，再根据勾股定理求出的长，进而求得半径； 【详解】解：连接， ∵工人师傅用直角尺作测量， ∴， ∵是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴圆形镜面的半径为． 10. 已知圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为__． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．先算出母线长，根据圆锥的侧面积公式：，直接代入数据求出即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为 ，高为 ， 根据勾股定理得到母线长， 根据圆锥的侧面积公式：， 故答案为：． 11. 某公司对应聘者进行创新、综合知识、语言三项测试，其三项成绩分别为分、分、分，若这三项测试的权重分别为，，，则应聘者的加权平均分数为______分． 【答案】 【解析】 【分析】已知三项测试成绩与对应权重，按照加权平均数的计算规则，将各项成绩与对应权重的乘积求和后除以权重总和，即可得到所求的加权平均分数. 【详解】解：， 即A应聘者的加权平均分数为65.5分． 12. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】19 【解析】 【分析】由一元二次方程的解、根与系数的关系得，，再代入即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 13. 若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为_________________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可．本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或 14. 平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径作，直线与交于B，C两点，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】将直线方程变形为，可知无论取何值，直线恒过定点；由点到圆心的距离（半径），知点在内；过圆内一定点的弦中，与该定点和圆心连线垂直的弦最短，此时结合垂径定理和勾股定理即可求出最短弦长． 【详解】解：， 当时，， 无论取何值，直线恒过定点． 圆心的坐标为， ． 的半径为5，且， 点在内． 连接，过点作于点，由垂径定理，得． 点在直线上，而是点到直线的垂线段， （垂线段最短），当时，最大，此时半弦长最小，弦最短． 在直角三角形中，， 当时，， ， ， 即的最小值为6． 【点睛】①含参直线过定点：把方程整理成的形式，令，含的项消失，即得定点；②过圆内一定点的所有弦中，与定点和圆心连线垂直的弦最短，此时弦心距最大（等于定点到圆心的距离）；③最短弦长用勾股定理求：，再由垂径定理得弦长． 15. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是_____． 【答案】（2，0） 【解析】 【详解】【分析】作辅助线，构建三角形全等，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠APB=90°，再证明△BPE≌△PAF，根据PE=AF=3，列式可得结论． 【详解】连接PB、PA，过B作BE⊥x轴于E，过A作AF⊥x轴于F， ∵A（m，﹣3）和点B（﹣1，n）， ∴OE=1，AF=3， ∵∠ACB=45°， ∴∠APB=90°， ∴∠BPE+∠APF=90°， ∵∠BPE+∠EBP=90°， ∴∠APF=∠EBP， ∵∠BEP=∠AFP=90°，PA=PB， ∴△BPE≌△PAF， ∴PE=AF=3， 设P（a，0）， ∴a+1=3， a=2， ∴P（2，0）， 故答案为（2，0）． 【点睛】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，三角形全等的性质和判定，作辅助线构建三角形全等是关键． 16. 如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轨迹圆问题、中位线性质、三角形三边关系，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由且绕点旋转，知点的轨迹为以为圆心、为半径的圆；取的中点，连接，利用三角形中位线定理得，再由勾股定理得，根据三角形三边关系，即可求出的最大值． 【详解】解：取的中点，连接， ，线段绕点旋转， 点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边关系：， 当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值， ． 三、解答题（102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将原方程左边展开后化简为，然后用因式分解法解方程即可； （2）原方程左边是完全平方的形式，写成完全平方后直接开方即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ∴． 18. 化简求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 某校为了对甲，乙两名同学进行学生会主席的竞选考核，召开了一次竞选答辩及民主测评会，由A，B，C，D，E五位教师评委对竞选答辩进行评分，并选出20名学生代表参加民主投票．竞选答辩的结果如下表所示： 评委得分选手 A B C D E 甲 92 88 90 94 96 乙 84 86 90 93 91 根据以上信息解答下列问题： （1）甲，乙两人的竞选答辩得分分别是多少？ （2）如果综合得分竞选答辩得分民主投票得分，谁得分多谁胜出，那么甲、乙两人谁当选学生会主席？ 【答案】（1）甲的竞选答辩得分是92分，乙的竞选答辩得分是89分 （2）乙当选学生会主席 【解析】 【分析】（1）根据算术平均数的公式计算即可； （2）先分别求出两人的综合得分，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，甲的竞选答辩得分是（分）， 乙的竞选答辩得分是（分）， 答：甲的竞选答辩得分是92分，乙的竞选答辩得分是89分． 【小问2详解】 解：由题意可知，甲的综合得分是（分）， 乙的综合得分是（分）， 因为， 所以乙当选学生会主席． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意的实数k，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个根满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：将原方程整理为一般形式得， ∵， 又∵对任意实数，， ∴，即， ∴对于任意的实数，该方程总有两个不相等的实数根. （2） 的值为 【解析】 【分析】（1）将方程化为一元二次方程一般形式，计算判别式，结合平方的非负性证明判别式恒正； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，联立已知等式求出方程的根，进而求解.  【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系，得，， 联立， 解得， 代入，得，解得. 21. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，圆心为P点的圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）外接圆的圆心坐标为______； （2）内切圆的圆心M坐标为______； （3）点在______；（填“上”、“内”或“外”） （4）扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【答案】（1） （2） （3）外 （4） 【解析】 【分析】（1）如图：作弦和的垂直平分线的交点即为圆心，然后直接写出圆心坐标即可； （2）如图：连接，是直角三角形，假设圆的内角圆的圆心为M，过M作，则；利用勾股定理可求得；如图：连接，设，利用等面积列方程可求得x，进而确定M的坐标； （3）先利用勾股定理求得的半径为，再求得点N到圆心的距离，然后与的半径比较即可解答； （4）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，圆锥的侧面展开图的扇形圆心角，再根据圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长即可求出圆锥底面半径． 【小问1详解】 解：如图：作弦和的垂直平分线的交点即为圆心P，即． 【小问2详解】 解：如图：连接，是直角三角形，设的内角圆的圆心为M，过M作，则， ∵在直角中，， ∴， 如图：连接，设， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴点M的横坐标为1，纵坐标为，即． 【小问3详解】 解：由题意得，，， ∴，即的半径为， ∵， ∴点N到圆心的距离为， ∵， ∴点在外． 【小问4详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 设圆锥底面的半径为r，由题意可得：，解得：， ∴该圆锥底面半径为． 22. 交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）当售价为50元/个时，月销售量为______个． （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）500 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解题的关键； （1）根据题意列式计算即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为x元，则此时销量为个，根据总利润=单个利润数量列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，月销量为个， 故答案为：500； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价为x元/个， 依题意得：， 解得， 尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 23. 如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： （1）若，求的度数． （2）若线段与交于点C，，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，标记点，由切线的性质可得，由题意可得，从而得出，再由圆周角定理计算即可得出结果； （2）设的半径为，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，连接，标记点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由圆周角定理可得， ∴； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 24. 在中，，，，将绕点逆时针旋转得． （1）如图1，将绕点逆时针旋转得，求的大小； （2）如图2，线段交线段于点，在绕点旋转一周的过程中： ①求证：点是的中点； ②点移动的路程为______． ③线段运动过程中扫过的面积是______． 【答案】（1） （2）①证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 由旋转可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是的中点． ② ③ 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而根据等边对等角，即可求解； （2）①过点作交的延长线于点，证明，可得，即可求证； ②取的中点，连接，，可得，由三角形的中位线定理得到，故点在以为圆心，1为半径的圆上，且，，三点都在圆上，，根据线段交线段于点，得到点的运动路程为线段交线段于点开始，一直到线段交线段于点结束的一段圆弧，即可求解； ③由旋转可得，点的运动路径为以点为圆心，为半径的圆，点的运动路径为以点为圆心，为半径的圆，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①略； ②如图，取的中点，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， 由①可知，点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点F在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，，三点都在圆上， ∵线段交线段于点F， ∴当线段交线段于点开始出现点，当线段交线段于点时，点开始消失， ∴点的运动路程为线段交线段于点开始，一直到线段交线段于点结束的一段圆弧， 当交于点时，由旋转可得，， ∵， ∴垂直平分，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点的运动路径为，对应的圆心角为， ∴点的运动路程为． ③由旋转可得，点的运动路径为以点为圆心，为半径的圆，点的运动路径为以点为圆心，为半径的圆，如图， ∵，，， ∴∴， ∴， ∴， ∴线段运动过程中扫过的面积是． 25. 阅读理解：九年级数学书综合实践中有关于玉璧的介绍，据《尔雅释器》记载；“肉倍好，谓之璧；肉好若一，谓之环”，肉指玉质部分，好指中间的圆孔，如图，“肉”的宽度为，“好”的宽度为．图1中，肉的宽度为8，好的宽度为4，满足肉倍好，所以是玉璧，如图2，，满足肉好若一，所以是玉环． 解决问题 （1）如图3所示，这是一件______．（玉璧或玉环） （2）①图1，图2中两个大圆的直径相同，则它们的璧与环的“肉”的面积比是______． ②任意两件直径相同的玉璧和玉环，它们的璧与环的“肉”的面积比都是上述值吗，如果是请写出理由，不是请写出相应的值． （3）请运用尺规作图，找出下面玉的圆心，至少用两种不同的方法． 【答案】（1）玉环 （2）①； ②是，理由如下： 设璧与环的两个大圆的直径为， 对于璧，∵， ∴， ∴璧的圆环面积为， 对于环，∵， ∴， ∴环的圆环面积为， ∴璧与环的“肉”的面积比是． （3）如图所示，点即为所求． 作法一：，作法二： 【解析】 【分析】（1）由图可得，，可得为玉环； （2）①由题意，设两个大圆的直径为，分别计算图1，图2的圆环面积，即可求解； ②设璧与环的两个大圆的直径为，计算出璧与环的“肉”的面积，即可求解； （3）作法一：在大圆上取，，，分别作，的垂直平分线，交点即为圆心； 作法二：作直线交大圆于点，，过点作交大圆于点，连接，则为直径，过点作交大圆于点，连接，则为直径，可得与的交点即为圆心． 【小问1详解】 解：∵， ∴是一件玉环． 【小问2详解】 解：①由图可知，两个大圆的直径为， 则图1中，圆环的面积为， 图2中，圆环的面积为， ∴璧与环的“肉”的面积比是． ②略 【小问3详解】 略 26. 如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点．直线l过点C，，垂足为点P． （1）如图1，当平分时，试说明：直线l与相切； （2）如图2，当直线l与相交时，且另一个交点E在弧上时，连接、与． ①求证：； ②连接，证明：． （3）如图3，当直线l与相交，且另一个交点E在弧上时，连接、与．（2）中的两个结论是否仍成立？若成立，请直接回答成立；若不成立，请直接写出结果． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． （2）证明：①连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理推论得：， ∴． ②如图，过点作于点，连接， ∴， 由圆周角定理推论得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （3）①仍成立；② 【解析】 【分析】（1）先得出，，则可得，再得出，进而可得，然后得出，由此即可得； （2）①连接，先得出，再得出，由此即可得证； ②过点作于点，连接，分别证出，，根据全等三角形的性质、线段和差即可得证； （3）①仍成立；②；证明过程：过点作于点，连接，得出即可得；分别证出，，根据全等三角形的性质、线段和差即可得证． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：①仍成立；②． 如图，过点作于点，连接， ∵是的直径，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $