专题08 期中复习高频与压轴11类题型归纳-2026-2027学年北师大版七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题08 期中复习高频与压轴11类题型归纳 （考试范围：第1章-第3章 ） 【新教材北师大版】 题型归纳 【选填高频】 1 【题型·1.·立体图形相关压轴】 1 【题型·2·有理数概念与数轴综合】 3 【题型·3·有理数运算压轴】 3 【题型·4·代数式与整式求值】 4 【题型·5·规律探究选填】 5 【解答压轴】 6 【题型·6·数轴动点探究大题】 6 【题型·7·绝对值几何意义探究】 9 【题型·8·有理数阅读新定义压轴】 11 【题型·9·整式整体代换与说理题】 12 【题型·10·图形规律探究大题】 15 【题型·11·数形结合:图形面积与代数式】 17 【选填高频】 【题型·1.·立体图形相关压轴】 1．如图，这是由一些相同的小正方体构成的立体图形分别从正面、上面看到的形状，那么构成这个立体图形的小正方体的个数最少为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（   ） A．B． C． D． 3．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 4．有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的表面展开图如图①所示．若把这三个纸盒按图②所示摆放在不透明的桌面上，则所有能看到的纸盒面上的数字之和的最大值和最小值分别是（     ） A．52，27 B．51，26 C．50，26 D．49，27 5．下列四个图形都是由相同的小正方形组成的，其中沿小正方形的边能折叠成正方体的是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【题型·2·有理数概念与数轴综合】 6．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 7．数轴上的点A到原点的距离是3，则点A表示的数为（  　） A．3 B． C．3或 D．2或 8．若x为任意有理数，│x│表示在数轴上x到原点的距离，│x－a│表示在数轴上x到a的距离，│x－3│+│x+1│的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．数轴上与点距离个单位长度的点表示的数是，则点表示的数是______． 【题型·3·有理数运算压轴】 10．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 11．在数轴上，点表示的数是，点与点的距离为4，点到点、点的距离相等，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或1 12．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 13．设表示不超过x的最大整数，如，；则和所表示的点在数轴上的距离是（    ） A．4 B． C． D．9 14．已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 15．点P从原点向距离原点左侧2个单位的A点处跳动，第一次跳动到OA的中点A处，第二次从A1点跳动到AA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到AA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，P点表示的数为___． 16．观察下列算式：，，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律判断的个位数字是（     ） A．3 B．1 C．7 D．9 17．定义运算：，例如：，，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型·4·代数式与整式求值】 18．已知，且，则的值为（　　） A．2 B．4 C．或2 D．或4 19．下列结论： ①若，则；②立方等于本身的数是0和1；③若，则或； ④若，则；⑤已知均为非零有理数，若则的值为2或；⑥使成立的整数解是1．错误的结论是______（填写序号） 20．当时，代数式的值为22，则当时，代数式的值为（     ） A． B．10 C．20 D． 21．已知，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．30 22．若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 23．已知，且的倒数为，则的值为________． 24．如果单项式与的差仍然是一个单项式，则________． 【题型·5·规律探究选填】 25．在电子工程中，数字电路中使用的是二进制系统，而采用六进制编码的数字也慢慢用于电子设备的编程中．现用二进制记数法表示正整数，例如：，记作，，记作，六进制记数法表示正整数，例如：，记作，则等于六进制中的数为（    ） A．121 B．203 C．113 D．135 26．根据下列“田”字格中的数字规律：则的值为（   ） A． B． C． D． 27．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的规律填写图2，则的值是（   ） A． B．8 C． D．6 28．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 29．如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 30．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第①个图案用了11根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了21根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律下去，第⑨个图案用的木棍根数是（   ） A．51根 B．50根 C．47根 D．49根 31．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【解答压轴】 【题型·6·数轴动点探究大题】 32．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求两点间的距离； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． ①当时，求点表示的数； ②求点相遇的时间及相遇点表示的数； ③当点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值． 33．已知M、N在数轴上，M对应的数是，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)直接写出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？ 34．【阅读理解】 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合，例如：点表示的数是，点表示的数是，则、两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合． 【问题解决】 请你解决以下问题： 数轴上点、、分别表示数、、，在数轴上的位置如图所示，其中． （1）若，，则，两点之间的距离为_____________； （2）在（1）的条件下，沿数轴上某点折叠，使点、点重合，则折痕处对应的点表示的数为_____________； 【拓展探究】 （3）若，，，在数轴上点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，运动秒后，点表示的数为_____________（用含有的代数式表示），若运动过程中，的值不变，求的值． （4）在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是_____________． 35．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【题型·7·绝对值几何意义探究】 36．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是______． (2)当取最小值时，x可以取整数______． (3)的最大值为______． (4)当x取何值时，的值最小？最小值为？ (5)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是多少？ 37．数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 38．认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【题型·8·有理数阅读新定义压轴】 39．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：其中是正整数．现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式：①；②；③； (1)把①、②、③三个等式相加，则_______ (2)__________ (3)根据以上观察，聪明的你发现__________ (4)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 40．观察下面三行数，请你发现规律，并据此回答问题： ，，，，， ；① ，，，，， ；② ，，，，，；③ (1)第①行中的第7个数是________，第个数是________； (2)设第②行中某个位置对应的数为，取第①③行中相应的数，计算这三个数的和； (3)第②行中存在连续三个数的和等于吗？若存在，请求出它们；否则，请说明理由． 41．根据乘方的定义，我们可以写出以下等式： ， ， ， … 利用上述规律，回答下列问题： (1)填空：______； (2)计算：； (3)类比上述规律，我们也可以探索底数为3的幂的类似运算： …， …， …， … 通过探索，我们发现______；（用含n的代数式表示） (4)计算：． 【题型·9·整式整体代换与说理题】 42．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 43．学习代数式求值时，遇到这样一类题：“”代数式的值与x的取值无关，求a的值通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）已知关于x的多项式 ①填空：当时，M的值是________________； ②若多项式M的值与x的取值无关，求m的值； 【拓展提升】 （2）8张如图1的小长方形，长为m，宽为n，按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，若当的长x变化时，的值始终保持不变，求的值． 44．已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值． 45．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．            【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍． 例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ， ； 【深入思考】 （2）在图4所示的三阶幻方中，， ①若，求F所表示的代数式； ②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 46．阅读：我们知道，，类似的，我们也可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【题型·10·图形规律探究大题】 47．探索规律． (1)观察上面的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是____________； (2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______， 你会发现这些算式存在一个规律： 请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）； (3)运用这个规律计算：． 48．综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； (4)【拓展延伸】参考上述方法，当n=6时，求出值． （参考：，） 49．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3 个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第4个等式：________． (2)用含有n的代数式表示第n个等式：______________（n为正整数）； (3)求的值． 【题型·11·数形结合:图形面积与代数式】 50．规律探索渗透了从特殊到一般的数学思想方法．例如将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图， 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． 我们结合图形，从1开始两个连续奇数相加到3个，4个连续奇数相加，再到更多个连续奇数相加，从而探索出了从1开始的多个连续奇数相加求和的规律与方法．根据你的探索完成以下问题： (1)类比上例，写出第五个等式___________ ； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)拓展应用：请探究并直接写出的计算公式．(用含n的代数式表示) 51．如下图，是2025年10月的月历： (1)小天用一个“工”形框在上面的月历中框出7个数，移动“工”形，若框出的7个数如下图所示，直接写出________，________； (2)小津用一个“H”形框在上面的月历中也框出7个数，移动“H”形，若框出的7个数如下图所示，请用含的代数式表示________，________； (3)小天框出的7个数中间的一个记为，7个数之和记为；小津框出的7个数中间一个记为，7个数之和记为．当时，________（填“>”“<”或“=”）； (4)小天说自己算出的7个数的和可能为：①50，②56，③112，④147，其中正确的有________（填序号）； (5)将上面“工”形，“H”形两个框的中心重合后，形成一个框住9个数的方框．移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．如下图所示，若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如下图所示，则用含的代数式表示________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期中复习高频与压轴11类题型归纳 （考试范围：第1章-第3章 ） 【新教材北师大版】 题型归纳 【选填高频】 1 【题型·1.·立体图形相关压轴】 1 【题型·2·有理数概念与数轴综合】 4 【题型·3·有理数运算压轴】 6 【题型·4·代数式与整式求值】 9 【题型·5·规律探究选填】 14 【解答压轴】 18 【题型·6·数轴动点探究大题】 18 【题型·7·绝对值几何意义探究】 25 【题型·8·有理数阅读新定义压轴】 30 【题型·9·整式整体代换与说理题】 35 【题型·10·图形规律探究大题】 41 【题型·11·数形结合:图形面积与代数式】 45 【选填高频】 【题型·1.·立体图形相关压轴】 1．如图，这是由一些相同的小正方体构成的立体图形分别从正面、上面看到的形状，那么构成这个立体图形的小正方体的个数最少为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由俯视图确定底层小正方体个数，由主视图确定第二层最少小正方体个数． 【详解】解：由俯视图可知，该立体图形最底层有4个小正方体， ∵主视图显示左边一列最高为2层，右边一列最高为1层，第二层最少有1个小正方体， ∴构成这个立体图形的小正方体的个数最少为（个）． 2．小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体对面图案全部相同，利用正方体展开图“相间是对面，字两端是对面”的规律，逐一判断每个选项中相对两个面的图案，筛选出三组对面图案均相同的选项． 【详解】解：正方体平面展开图中，相对的面不相邻，满足“相间、端是对面”． 选项A：第一与第三面相对，图案相同；第二与第四面相对，图案相同；上下两面相对，图案相同，符合题意； 选项B：第一与第三面相对，图案不相同，不符合题意； 选项C：第一与第三面相对，图案不相同，不符合题意； 选项D：第二与第四面相对，图案不相同，不符合题意． 3．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，带阴影的三面两两相邻，A，C，D选项中都有两个阴影面在相对面上，不符合题意， 只有选项B的图形，折叠后满足题意. 4．有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的表面展开图如图①所示．若把这三个纸盒按图②所示摆放在不透明的桌面上，则所有能看到的纸盒面上的数字之和的最大值和最小值分别是（     ） A．52，27 B．51，26 C．50，26 D．49，27 【答案】B 【分析】先由正方体展开图确定对面数字，算出单个正方体6个面总和；三个正方体总数字和减去被遮挡面（贴桌面正方体相贴接触面）的数字和，就是可见面数字和；要最大值就使遮挡面数字和最小，要最小值就使遮挡面数字和最大． 【详解】解：由展开图得：和相对，和相对，和相对． 单个正方体数字和：， 三个正方体总和：， 共遮挡7个面：3个贴桌面，2处2个正方体相贴， 个遮挡面． 求最大值：遮挡面数字尽量小，最小7个数字：，，3，，，，， 遮挡和的最小值：， 可见最大值：， 求最小值：遮挡面数字尽量大，最大7个数字：，，6，，，，， 遮挡和的最大值：， 可见最小值：， 故最大值和最小值分别是51，26． 5．下列四个图形都是由相同的小正方形组成的，其中沿小正方形的边能折叠成正方体的是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】利用正方体表面展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：图②：中间四个小正方形组成了田字形结构，折叠后会有面重叠，不能折成正方体，因此排除含有②的A、C选项． 图①：属于正方体展开图的3-3型（两行各3个正方形，错开排列符合规则），可以折叠成正方体． 图③：折叠后会出现面重叠，不符合正方体展开图的结构，不能折成正方体． 图④：属于正方体展开图的2-2-2型（每层2个正方形，阶梯错开排列，符合规则），可以折叠成正方体． 因此能沿小正方形边折叠成正方体的是①④． 【题型·2·有理数概念与数轴综合】 6．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】线段的端点位置不确定，需分在整点、不在整点两类情况讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当线段的起点在整点时，覆盖的整点个数为； ②当线段的起点不在整点，即在两个整点之间时，覆盖的整点个数为． 7．数轴上的点A到原点的距离是3，则点A表示的数为（  　） A．3 B． C．3或 D．2或 【答案】C 【分析】根据绝对值的含义可得，点A到原点的距离是3，即求一个数的绝对值为3，解答即可． 【详解】解：因为点A到原点的距离为3，所以点A的表示的数是， 故选：C． 【点睛】此题考查了绝对值的定义，解题的关键是注意正、负两种情况． 8．若x为任意有理数，│x│表示在数轴上x到原点的距离，│x－a│表示在数轴上x到a的距离，│x－3│+│x+1│的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据表示数轴上与两数对应的点之间的距离，可知当处于3和中间时，取得最小值，即为数轴上3和之间的距离． 【详解】解：表示数轴上与两数对应的点之间的距离， 表示数轴上数与3和数与对应的点之间的距离之和， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确表示数轴上与两数对应的点之间的距离是解题的关键． 9．数轴上与点距离个单位长度的点表示的数是，则点表示的数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数与数轴，分点在的左边和右边两种情况及时即可，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在的左边时，点表示的数是； 当点在的右边时，点表示的数是； ∴点表示的数是或， 故答案为：或． 【题型·3·有理数运算压轴】 10．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 11．在数轴上，点表示的数是，点与点的距离为4，点到点、点的距离相等，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【详解】解：点表示的数是，点与点的距离为． 当点在点右侧时，点表示的数为． ∵点到点、点的距离相等， ∴点是线段的中点， 此时点表示的数为． 当点在点左侧时，点表示的数为． 同理，点表示的数为． 12．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，根据数轴上两点间的距离公式求出点A对应点所表示的数，再利用中点公式求出C点表示的数． 【详解】解：当点A落在点B右侧，距离为6时，点A表示的数为， 此时C点表示的数是； 当点A落在点B左侧，距离为6时，点A表示的数为， 此时C点表示的数是； 综上可知，C点表示的数是1或 13．设表示不超过x的最大整数，如，；则和所表示的点在数轴上的距离是（    ） A．4 B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据表示不超过x的最大整数得到，，再求出在数轴上的距离即可． 【详解】解：∵表示不超过x的最大整数， ∴，， ∵， ∴和所表示的点在数轴上的距离是， 故选：C 【点睛】此题考查了新定义、数轴上两点间的距离等知识，根据新定义求出，是解题的关键． 14．已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 15．点P从原点向距离原点左侧2个单位的A点处跳动，第一次跳动到OA的中点A处，第二次从A1点跳动到AA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到AA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，P点表示的数为___． 【答案】− 【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的1处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的2×()2处，则跳动6次后，即跳到了离原点的2×()6处，依此即可求解． 【详解】解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的1处， 第二次从A1点跳动到A2处，即在离A点的2×()2处， … 则第6次跳动后，该质点离点A的距离为2×()6＝． 2−＝， ∴P点表示的数为：−． 故答案为：−． 【点睛】本题考查了数轴，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律． 16．观察下列算式：，，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律判断的个位数字是（     ） A．3 B．1 C．7 D．9 【答案】D 【分析】观察给定的算式可知：个位数字每个数字为一个循环组依次循环，然后用除以，根据商和余数的情况解答即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，… ∴个位数字以这个数为一个循环组依次循环． ∵， ∴的个位数字是． 17．定义运算：，例如：，，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查新运算，解方程，根据新运算的定义，分和两种情况讨论，分别解方程求x的值即可． 【详解】解：∵， ∴①当时，， ∴， ∵，， ∴； ②当时，，解得； 故选：D． 【题型·4·代数式与整式求值】 18．已知，且，则的值为（　　） A．2 B．4 C．或2 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，乘方，代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由可知，即，结合和，求出和的可能取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∵， ∴或， 当时，由得, 故， 当时，由得, 故， ∴， 或 ，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为或， 故选：D． 19．下列结论： ①若，则；②立方等于本身的数是0和1；③若，则或； ④若，则；⑤已知均为非零有理数，若则的值为2或；⑥使成立的整数解是1．错误的结论是______（填写序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题考查的是化简绝对值，有理数的乘方运算，绝对值方程，据此相关性质内容进行逐项分析，熟练运用分类讨论思想，逐个情况化简计算，即可作答． 【详解】解：若， ∴， 则； 故①正确； 依题意，立方等于本身的数是0，和1， 故②错误； 若， 则或， ∴； 故③正确； ∵， ∴当时，则， 故④错误； ∵均为非零有理数，且 ∴当时，； ∴当时，； ∴当时，； ∴当时，； 则的值为2或； ∴故⑤正确； 依题意，当时， ， 令 ， 解得（舍去）； 当时， ， 令， 解得； 当时， ， 此时为整数，故， 当时， ， 令 ， 解得（不符合，故舍去 ）； 当时， ， 令， 解得（舍去）， 故使成立的整数解是． 故⑥错误； 故答案为：②④⑥． 20．当时，代数式的值为22，则当时，代数式的值为（     ） A． B．10 C．20 D． 【答案】D 【分析】根据，求出，再把代入代数式，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：∵时，， ∴， ∴时， ． 21．已知，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．30 【答案】C 【详解】解： ， 将，代入， 得 ． 22．若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵多项式不含项和项， ∴，． 解得，． 23．已知，且的倒数为，则的值为________． 【答案】3 【分析】根据得出，再根据的倒数为，可得，最后整体代入所求的代数式即可得出答案． 【详解】解：因为，的倒数为， 所以，， 所以． 24．如果单项式与的差仍然是一个单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的差仍为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：由题意可知，单项式与是同类项. 故， 解得，. 将，代入得： . 【题型·5·规律探究选填】 25．在电子工程中，数字电路中使用的是二进制系统，而采用六进制编码的数字也慢慢用于电子设备的编程中．现用二进制记数法表示正整数，例如：，记作，，记作，六进制记数法表示正整数，例如：，记作，则等于六进制中的数为（    ） A．121 B．203 C．113 D．135 【答案】C 【分析】本题考查不同记数制之间的转换，解答本题的关键是明确二进制数转化为十进制数和十进制数转化为六进制数的方法． 先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为六进制数． 【详解】解： ， 故选：C． 26．根据下列“田”字格中的数字规律：则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字规律，有理数的运算，观察图中，可得规律，即可求出的值，读懂题意，找出图中规律是解题的关键． 【详解】解：由上图得到规律：“田”字格中左上角第一个数规律为：； “田”字格中左下角第一个数规律为：； “田”字格中右上角第一个数规律为：右下角的数减去； “田”字格中右下角的规律为：左上角的数加上左下角的数， ∴当“田”字格中左上角的数为时，， ∴， ∴，， 故选：． 27．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的规律填写图2，则的值是（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减、代数式求值，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴． 故答案为：A． 28．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 29．如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 30．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第①个图案用了11根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了21根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律下去，第⑨个图案用的木棍根数是（   ） A．51根 B．50根 C．47根 D．49根 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律的探究．根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案． 【详解】解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第5个图案用了根木棍， 第6个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了根木棍， 第个图案用了根木棍， 当时，解得， ∴第9个图案用的木棍根数是根， 故选：A． 31．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到数的排列规律，求出第行结束的时候一共出现的数的个数，再求第行从左向右的第个数，即可解答． 【详解】解：由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数， 第行从左向右的第个数为， 第行从左向右的第个数为． 【解答压轴】 【题型·6·数轴动点探究大题】 32．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求两点间的距离； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． ①当时，求点表示的数； ②求点相遇的时间及相遇点表示的数； ③当点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】(1) (2)①；②秒，相遇点为；③或 【分析】（1）由数轴上两点之间距离的表示方法求解即可； （2）①由题意表示出点表示的数，代入计算即可；②由相向而行的行程问题公式列式求解即可得到点相遇的时间，再由相遇时间计算点（或点）运动距离即可得出相遇点表示的数；③根据题意，分两种情况，由行程问题的公式列式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， ； （2）解：①设运动时间为秒， 由题意可得，点表示的数为；点表示的数为， 当时，；， 则点表示的数分别为； ②由题意可知，点相向而行，则相遇时所花时间为（秒）； 方法一：若以点来计算，相遇点在点右侧，相遇时点运动了个单位长度，则相遇点表示的数为； 方法二：若以点来计算，相遇点在点左侧，相遇时点运动了个单位长度，则相遇点表示的数为； ③根据题意，两点相距个单位长度有两种情况： 相遇前，两点合走个单位长度，用时（秒）； 相遇后，两点合走个单位长度，用时（秒）； 综上所述，运动时间的值为或． 33．已知M、N在数轴上，M对应的数是，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)直接写出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？ 【答案】(1)1 (2)或 (3)点P对应，点Q对应或点P对应，点Q对应 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）分两种情况：①点P在点M的左边；②点P在点N的右边；进行讨论即可求解； （3）分两种情况：①点P在点Q的左边；②点P在点Q的右边；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵点M对应的数是，点N在M右边4个单位， ∴， （2）， ①点P在点M的左边：， ②点P在点N的右边：． 故点P所对应的数是或． （3）解：①点P在点Q的左边： =12÷1 （秒）， 点P对应的数是，点Q对应的数是； ②点P在点Q的右边： =16÷1 （秒）； 点P对应的数是，点Q对应的数是． 34．【阅读理解】 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合，例如：点表示的数是，点表示的数是，则、两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合． 【问题解决】 请你解决以下问题： 数轴上点、、分别表示数、、，在数轴上的位置如图所示，其中． （1）若，，则，两点之间的距离为_____________； （2）在（1）的条件下，沿数轴上某点折叠，使点、点重合，则折痕处对应的点表示的数为_____________； 【拓展探究】 （3）若，，，在数轴上点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，运动秒后，点表示的数为_____________（用含有的代数式表示），若运动过程中，的值不变，求的值． （4）在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是_____________． 【答案】【问题解决】（1）6；（2）2； 【拓展探究】（3）；；（4）1或3或5 【分析】本题考查了数轴求解两点间距离，数轴表示有理数，解决本题的关键是会应用公式求解数轴上两点间距离． 【问题解决】 （1）根据两点之间的距离公式求解即可； （2）根据将数轴沿表示的点折叠，求解即可； 【拓展探究】 （3）求解出点的运动路程，再根据求解即可；再根据两点之间的距离公式求解与，根据定值不变求解即可． （4）先根据整个线段长为10，再由长度之比为，可得对应的线段长为，再分类讨论；；三种情况求解即可． 【详解】解：【问题解决】 （1）若，，则，两点之间的距离为； 故答案为：6； （2）沿数轴上某点折叠，使点、点重合， 则折痕处对应的点表示的数为； 故答案为：2； 【拓展探究】 （3）∵点表示的点为6， 且点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动， ∴运动秒后，点表示的数为； ∵点表示的点为，点表示的点为1， 又∵点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴运动秒后，点表示的数为， ∴，， ∴， ∵运动过程中，的值不变， ∴，解得， ∴在运动过程中，当时，的值不变． 故答案为：． （4）∵在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段， ∴， 当， 则可知，如图1， ∴点B对应的点为0，点C对应的点为2， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 当， 则可知，如图2， ∴点B对应的点为0，点C对应的点为6， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 当， 则可知，如图3， ∴点B对应的点为4，点C对应的点为6， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 综上，折痕处对应的点所表示的数是1或3或5． 故答案为：1或3或5． 35．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1； ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②略 【题型·7·绝对值几何意义探究】 36．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是______． (2)当取最小值时，x可以取整数______． (3)的最大值为______． (4)当x取何值时，的值最小？最小值为？ (5)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离 (2)，，，， (3) (4)时取最小值为 (5)便民服务点P建在点B或点C之间包括点B和点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关绝对值的几何意义是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小为数轴上到的距离，即可得出结果； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最大为数轴上到的距离，进行求解即可； （4）根据绝对值的意义，得到当时，的值最小为数轴上到的距离，进行求解即可； （5）设点距离市民广场的距离为，得到，根据绝对值的意义，得到当时，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短，进行求解即可． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； （2）表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离， ∴x可以取整数，，，，； （3）表示数轴上数到数的距离之差， ∴当时，的值最大为数轴上到的距离，即：； （4）表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离，即：； （5）设点距离市民广场的距离为， 由题意，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程为， 即数轴上数到的距离之和， ∴当，最小为数轴上到的距离之和加上到的距离之和，即； 故当便民服务点P建在点B和点C之间包括点B和点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 37．数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7； （2）7； （3）时，式子有最小值为6，理由： 根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）略 （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 38．认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【分析】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 【题型·8·有理数阅读新定义压轴】 39．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：其中是正整数．现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式：①；②；③； (1)把①、②、③三个等式相加，则_______ (2)__________ (3)根据以上观察，聪明的你发现__________ (4)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）根据有理数的加减进行计算，即可求解； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）仿照题中的例子进行求解即可； （4）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 40．观察下面三行数，请你发现规律，并据此回答问题： ，，，，， ；① ，，，，， ；② ，，，，，；③ (1)第①行中的第7个数是________，第个数是________； (2)设第②行中某个位置对应的数为，取第①③行中相应的数，计算这三个数的和； (3)第②行中存在连续三个数的和等于吗？若存在，请求出它们；否则，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不存在，理由： 设第一个数为，则第二个数为，第三个数为， 依题意，， ∴ 即 ∴ ∵，， ∴不存在整数满足题意，故不存在连续三个数的和等于． 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，整式的化简求值，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）从前面几个数中发现变化规律，可得第个数和第个数． （2）将第①行各项的数即得第②行的数，第③行数等于第①行数相应的数除以，设第②行中某个位置对应的数为，则第①③行中相应的数分别为，； （3）设第一个数为，则第二个数为，第三个数为，依题意，，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，，…… ∴第个数是，第个数是． （2）依题意， 第②行数等于第①行数相应的数减去， 第③行数等于第①行数相应的数除以， 设第②行中某个位置对应的数为，则第①③行中相应的数分别为， ∴ （3）解：略． 41．根据乘方的定义，我们可以写出以下等式： ， ， ， … 利用上述规律，回答下列问题： (1)填空：______； (2)计算：； (3)类比上述规律，我们也可以探索底数为3的幂的类似运算： …， …， …， … 通过探索，我们发现______；（用含n的代数式表示） (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查数字规律，找到数字变化规律是解答本题的关键． （1）观察前3个式子发现规律：，据此即可得到结果； （2）利用（1）的规律将每一项（到100）表示为，然后裂项相消即可得到结果； （3）类比（1）的思路可解答． （4）类比（2）的思路可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… ∴， ， 故答案为：； （2）∵，，…， ∴ ； （3）∵， ， 同理，， 故答案为； （4）∴ ． 【题型·9·整式整体代换与说理题】 42．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． 43．学习代数式求值时，遇到这样一类题：“”代数式的值与x的取值无关，求a的值通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）已知关于x的多项式 ①填空：当时，M的值是________________； ②若多项式M的值与x的取值无关，求m的值； 【拓展提升】 （2）8张如图1的小长方形，长为m，宽为n，按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，若当的长x变化时，的值始终保持不变，求的值． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）①将代入，进行整式的加减运算即可得； ②将化简为，根据含项的系数等于0解答即可得； （2）先根据图形面积可得，，再计算，根据其含项的系数等于0解答即可得． 【详解】解：（1）①当时， ， 故答案为：． ② ， ∵多项式的值与的取值无关， ∴， ∴． （2）由图可知，， ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴，即， ∴． 44．已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及运算后与某系数无关的问题，解题的关键是将代数式进行化简，通过最终的化简结果进行判断． （1）根据题意将、代入，再去括号合并同类项即可得到答案； （2）先将代数式进行化简，然后根据代数式的值与字母的取值无关，所以含的项的系数是0，据此求出、的值，再代入的代数式求值即可． 【详解】（1）解： （去括号） （合并同类项） 故的表达式为． （2）解： （去括号） （合并同类项） 若其最终值与的取值无关，则、， 解得，， 代入， 故代数式的值为． 45．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．            【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍． 例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ， ； 【深入思考】 （2）在图4所示的三阶幻方中，， ①若，求F所表示的代数式； ②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 【答案】（1）；．（2）①；②，幻方和为． 【分析】本题考查了三阶幻方的性质（幻方和是中心数的3倍），解题的关键是利用幻方和与中心数的关系，结合行列和相等列算式求解． （1） 根据幻方和是中心数的3倍求幻方和，再利用列和相等求； （2） ①利用幻方和的性质，结合列与对角线和相等推导的代数式；②根据幻方和与无关，令的系数为0求及幻方和． 【详解】（1） 解：中心数为，故幻方和为； 由中间列和为，得， ． 故答案为：；． （2） ①解：幻方和为，由第1列：，代入，，，得， ，即． 由一列之和等于一对角线之和得：， ∴． ②解：设幻方和为，由题意得， 前二式相加再减去第三式得，， 上式代入，，得，， 整理得，， 因幻方和与t的取值无关，令的系数为0，得，则， 则． 即幻方和为. 46．阅读：我们知道，，类似的，我们也可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式； （3）解：原式 当，，时， 原式． 【题型·10·图形规律探究大题】 47．探索规律． (1)观察上面的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是____________； (2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______， 你会发现这些算式存在一个规律： 请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）； (3)运用这个规律计算：． 【答案】(1) (2)（答案不唯一）； (3) 【分析】本题考查了图形规律，观察图形的变化规律将图形的变化规律转化为数字规律是解题关键，再由数字规律求解即可．空白部分小正方形的个数等于大正方形的边长个数加阴影部分正方形的边长个数． 【详解】（1）解：； （2）（答案不唯一）； 规律为：，为正整数； （3） ． 48．综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； (4)【拓展延伸】参考上述方法，当n=6时，求出值． （参考：，） 【答案】(1)①② (2) (3) (4) 【分析】（1）根据新的拆分的一个正方形面积是上一个正方形面积的即可求出①和②的面积． （2）按照裂项法，将看成，看成，看成，，依次进行相加即可求出答案． （3）观察图形，将其正方形拆分成的长方形形状换成三角形的形状即可． （4）按照（2）问的方法计算即可． 【详解】（1）解：①的面积是， ②的面积是． （2）解： ． （3）略 （4）解： 时， ， ， 原式 ． 49．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3 个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第4个等式：________． (2)用含有n的代数式表示第n个等式：______________（n为正整数）； (3)求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目中的式子的特点，可以写出第4个等式； （2）根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式； （3）根据（2）中的结果，计算求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式： ； 第2个等式：； 第3 个等式：； ∴第4个等式：， 故答案为：； （2）解：第1个等式： ； 第2个等式：； 第3 个等式：； 第4个等式：； ∴第个等式：， 故答案为： ； （3）解：． ． 【题型·11·数形结合:图形面积与代数式】 50．规律探索渗透了从特殊到一般的数学思想方法．例如将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图， 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． 我们结合图形，从1开始两个连续奇数相加到3个，4个连续奇数相加，再到更多个连续奇数相加，从而探索出了从1开始的多个连续奇数相加求和的规律与方法．根据你的探索完成以下问题： (1)类比上例，写出第五个等式___________ ； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)拓展应用：请探究并直接写出的计算公式．(用含n的代数式表示) 【答案】(1) (2) (3) (4) ，理由如下： ∵， ∴ ， ， …… 左右两边分别相加得： ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【分析】本题考查数字类规律探究，整式的加减等知识，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据规律写出第5个式子即可， （2）总结规律得：，令得，从而得到； （3）运用 根据（2）所得公式计算即可； （4）由分别取，再左右两边分别相加得：，从而得到，再结合即可得解． 【详解】（1）∵； ； ； 可知第五个式子是连续奇数从1加到11，即， 故答案是：； （2）总结规律得：， 令，得：， ∴； （3） ； （4）略 51．如下图，是2025年10月的月历： (1)小天用一个“工”形框在上面的月历中框出7个数，移动“工”形，若框出的7个数如下图所示，直接写出________，________； (2)小津用一个“H”形框在上面的月历中也框出7个数，移动“H”形，若框出的7个数如下图所示，请用含的代数式表示________，________； (3)小天框出的7个数中间的一个记为，7个数之和记为；小津框出的7个数中间一个记为，7个数之和记为．当时，________（填“>”“<”或“=”）； (4)小天说自己算出的7个数的和可能为：①50，②56，③112，④147，其中正确的有________（填序号）； (5)将上面“工”形，“H”形两个框的中心重合后，形成一个框住9个数的方框．移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．如下图所示，若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如下图所示，则用含的代数式表示________． 【答案】(1)16，23 (2)， (3) (4)③④ (5) 【分析】（1）根据日历规律列式计算即可； （2）根据日历规律列式计算即可； （3）先分别求出M、N，然后再比较即可； （4）由（3）可知7个数的和为，即能被7整除，据此判断即可； （5）设幻方中心数为f，则，根据幻方的特点可得，再将代入整理即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，即：； ． 故答案为：16，23． （2）解：由题意可得：，． 故答案为：，． （3）解：小天框出的7个数中间的一个记为，则其余六个数为：， ∴； ∵小津框出的7个数中间一个记为，则其余六个数为：， ∴， ∵， ∴，即：； （4）解：设小天框出的7个数中间的一个记为，则其余六个数为：， ∴7个数的和，即能被7整除， 在①50，②56，③112，④147中②③④能被7整除． 当即时，在此日历中不能找到相应的7个数， 故答案为：③④； （5）解：设幻方中心数为f，则， 在三阶幻方中，对角线上的数满足“两端数之和等于中心数的2倍”观察图形可得：15与e在同一条对角线上，因此， 将代入可得：，整理得：． 2 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