专题02 不等式与不等式组中含参数问题的七种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题02 不等式与不等式组中含参数问题的七种模型 题型一 根据一元一次不等式的定义求参数 题型二 根据不等式的解集求参数 题型三 根据不等式的整数解求参数的取值范围 题型四 根据不等式组的整数解求参数的取值范围 题型五 根据不等式组的解集情况求参数的取值范围 题型六 整式方程（组）与不等式结合求参数问题 题型七 不等式与不等式组中含参数的新定义型问题 题型一：根据一元一次不等式的定义求参数 1．A 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的系数不能为0，据此得到的取值要求，即可选出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴的系数不能为，即， 解得：， 因此的值不可以为． 2．B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：B． 3． 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：不等式是关于的一元一次不等式， 解得： ． 4．1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，据此列出条件求解． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴或， 即或. ∵， ∴，不符合系数不为的条件，舍去； 当时，，符合条件． 5． 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 题型二：根据不等式的解集求参数 6．D 【分析】根据不等式的解的定义，代入得到关于的不等式，求解后对比选项即可得到解． 【详解】解：将代入得， 移项、合并得， 系数化为1得， 选项中只有满足． 7．A 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 8． 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的计算法则是解题的关键； 根据不等式的计算法则即可求解； 【详解】解：关于的不等式无解， 当时， 无解， 即，无解，满足题意； 当时， 无解， 即恒成立， ， 解得：， 综上，实数的取值范围； 故答案为： 9． 【分析】本题主要考查了不等式的解．熟练掌握不等式的一个解的意义是解决问题的关键． 将代入不等式，解不等式即得． 【详解】∵是关于x的不等式的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（1）；（2）． 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式． （1）先去分母，再去括号，再进行移项和合并同类项，最后将系数化为即可得解； （2）先移项和合并同类项，将系数化为得出不等式的解，再由该不等式的解集为，可推得，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 不等式的解集为， ， ． 题型三：根据不等式的整数解求参数的取值范围 11．D 【分析】由关于的不等式解集中有且只有个正整数解得正整数解为1，2，3，故可得出字母的取值范围是． 【详解】解：∵关于的不等式，解集中有且只有个正整数解， ∴正整数解为1，2，3， ∴字母的取值范围是． 12．C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，结合题意得出的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由得，， ∵该不等式的最小整数解为2， ∴， 解得， 选项中只有C符合题意． 13． 【分析】先求解不等式得到的解集，再根据正整数解的个数确定的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：， ， ， ∵不等式的正整数解共有个， ∴正整数解为，，， ∴， ∴． 14． 【分析】先求出不等式的解集，再根据正整数解的个数确定对应的三个正整数，进而得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 化简得 ∵不等式有且只有3个正整数解 ∴这3个正整数解分别是1，2，3 ， ∴． 15． 【分析】先解关于的不等式，得到含的解集；再结合“正整数解仅有”的条件，确定的边界范围；最后解不等式得到的取值范围，筛选出符合要求的整数． 【详解】解：， 解得 ∵不等式正整数解只有 不等式两边同乘： ∵为整数， ． 题型四：根据不等式组的整数解求参数的取值范围 16．D 【分析】先分别解两个不等式求出不等式组的解集，再根据不等式组只有1个整数解，确定整数解后得到关于a的不等式，即可求出a的取值范围； 【详解】解： 解不等式①，移项得 ， 解不等式②，两边同乘得， 移项整理得， 系数化为得， 不等式组的解集为， 不等式组只有个整数解， 唯一的整数解为， 可得， 三边同时加，解得； 17．C 【分析】先解不等式组得到的解集，再根据不等式组只有个整数解确定整数解范围，进而列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解不等式组 解①：两边同乘3得，移项得． 解②：两边同乘2得，移项得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组只有5个整数解， ∴这5个整数解为19，18，17，16，15． 可得不等式， ∴， ∴． 18．3 【分析】先解不等式组得到的取值范围，再根据不等式组有且只有2个偶数解确定的取值范围，最后找出范围内偶数的个数即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为 不等式组有且只有个偶数解， ∴中的两个偶数为 不等式两边同乘得 其中满足的偶数为，共个． 19． 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围． 【详解】解： ， 解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 因此不等式组的解集为． 不等式组只有个整数解， 不等式组的整数解为， 可得， 不等式两边同时减，得 ． 20．或 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据所有整数解的和为12，分情况讨论可能的整数解，推导得到的取值范围. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为． 分两种情况讨论： 当时，要使所有整数解的和为，符合条件的整数解为，和为，因此可得； 当时，要使所有整数解的和为，符合条件的整数解为，和为，因此可得； 综上，的取值范围是或. 题型五：根据不等式组的解集情况求参数的取值范围 21．A 【详解】解：， 解①得：． 解②得：． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得． 22．A 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，根据原不等式组无解列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵原不等式组无解， ∴， 解得． 23．C 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含的解集，再对照已知解集求出的值，最后计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴． 24． 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组有解得到关于的不等式，即可求解． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∵不等式组有解， ∴． 25．(1) (2) 【分析】（1）首先求出不等式的解为，然后根据数轴上不等式的解集求解； （2）根据解集为得到，进而求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式得， 由数轴可得，关于x的不等式组的解集为， ∴； （2）解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴m的取值范围为． 题型六：整式方程（组）与不等式结合求参数问题 26．B 【分析】利用整体法求出的表达式，再代入求解的取值范围即可． 【详解】解：， 得， ∴两边同除以5得， ∵已知， ∴， 解得：． 27．D 【详解】解：解方程组得， ∵方程组的解都是正数， ∴， 解得， ∵，即， ∴ ， 则， ∴， ∴． 28．或或 【分析】先解二元一次方程组，得到用表示的和，再根据和列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，找出范围内的整数即可． 【详解】解：解方程组 两式相加，得，解得. 两式相减，得，解得. 由，得， 根据绝对值的意义，得， 不等式三边同乘，得， 解得 由，得， 不等式两边同乘，得， 解得. 取两个解集的公共部分，得， 则中的整数为． 29． 【分析】观察方程组两个方程的系数，将第二个方程减去第一个方程，可直接得到目标式关于k的表达式，再代入已知不等式即可求出k的取值范围． 【详解】解：， ②−①得， 整理得， ∵， ∴， 解得:． 30．(1) (2)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）先求出二元一次方程组的解集，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出临界点，再分情况作答即可． 【详解】（1）解：， ：， ：，得， 把代入②：， 可得：， 即， 由题意得：， 即， 解得：， ∴； （2）解：当时，；当时，； 当时，原式； 当时，原式． 题型七：不等式与不等式组中含参数的新定义型问题 31．A 【分析】先根据新运算定义将不等式组转化为常规一元一次不等式组，求出两个不等式的解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集法则列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵ ∴原不等式组可转化为 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴ 解得． 32．B 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围． 【详解】解：由，根据新运算，可化简为：， 解这个不等式组，解得：， ∵关于的不等式组有且只有一个整数解， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 33． 2 3 【分析】（1）根据题目给出的定义求解即可； （2）分两种情况，根据题中所给的条件得出关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】解：，， ； ， ①当，即时，，解得； ②当，即时，，解得（舍去）． 故m的值为3． 34．(1)或 (2)2 【分析】（1）先根据题中定义求得对应方程的“交换系数方程”，再解对应的二元一次方程组即可解答； （2）先得到对应方程的“交换系数方程”，再根据已知分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得； （2）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， ①当与的对应系数相等时， 可得方程组， 解方程组，可得，与m为整数不符，不合题意； ②当与的对应系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 35．(1)② (2)k值为 (3)a的取值范围为 【分析】（1）先分别求出两个方程的解，再算出不等式组的解集，判断方程的解是否在不等式组解集内，选出符合“共鸣值”定义的序号； （2）先求解不等式组得到解集范围，再解含参数方程，结合题意方程的解在此解集里并且是整数，确定取值，最后代回方程算出； （3）先求出两个方程的解，再化简不等式组得到用表示的解集，依据两个解都在不等式解集之内列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：①，解得， ②，解得， 不等式组，解得， ， ②的解是不等式组的“共鸣值”； （2）解：不等式组， ①两边同时乘以得，解得， ②两边同时乘以得，解得， 故原不等式组的解集为， 关于x的方程的解在范围内且是整数， ， 把代入得，解得； （3）解：方程，解得， 方程，解得， 不等式组，解得， 和都在范围内， ，解得． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与不等式组中含参数问题的七种模型 题型一 根据一元一次不等式的定义求参数 题型二 根据不等式的解集求参数 题型三 根据不等式的整数解求参数的取值范围 题型四 根据不等式组的整数解求参数的取值范围 题型五 根据不等式组的解集情况求参数的取值范围 题型六 整式方程（组）与不等式结合求参数问题 题型七 不等式与不等式组中含参数的新定义型问题 题型一：根据一元一次不等式的定义求参数 1．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的系数不能为0，据此得到的取值要求，即可选出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴的系数不能为，即， 解得：， 因此的值不可以为． 2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：B． 3．（25-26八年级下·四川巴中·期末）若不等式是关于x的一元一次不等式，则__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：不等式是关于的一元一次不等式， 解得： ． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，据此列出条件求解． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴或， 即或. ∵， ∴，不符合系数不为的条件，舍去； 当时，，符合条件． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 题型二：根据不等式的解集求参数 6．（25-26七年级下·河北张家口·期末）已知是不等式的一个解，则的值可以是（     ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据不等式的解的定义，代入得到关于的不等式，求解后对比选项即可得到解． 【详解】解：将代入得， 移项、合并得， 系数化为1得， 选项中只有满足． 7．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 8．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的计算法则是解题的关键； 根据不等式的计算法则即可求解； 【详解】解：关于的不等式无解， 当时， 无解， 即，无解，满足题意； 当时， 无解， 即恒成立， ， 解得：， 综上，实数的取值范围； 故答案为： 9．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．熟练掌握不等式的一个解的意义是解决问题的关键． 将代入不等式，解不等式即得． 【详解】∵是关于x的不等式的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）（1）解不等式：； （2）不等式的解集为，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式． （1）先去分母，再去括号，再进行移项和合并同类项，最后将系数化为即可得解； （2）先移项和合并同类项，将系数化为得出不等式的解，再由该不等式的解集为，可推得，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 不等式的解集为， ， ． 题型三：根据不等式的整数解求参数的取值范围 11．（25-26八年级下·福建三明·期末）若如图所示关于的不等式解集中有且只有个正整数解，则字母的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由关于的不等式解集中有且只有个正整数解得正整数解为1，2，3，故可得出字母的取值范围是． 【详解】解：∵关于的不等式，解集中有且只有个正整数解， ∴正整数解为1，2，3， ∴字母的取值范围是． 12．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，结合题意得出的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由得，， ∵该不等式的最小整数解为2， ∴， 解得， 选项中只有C符合题意． 13．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若关于的不等式的正整数解共有个，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求解不等式得到的解集，再根据正整数解的个数确定的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：， ， ， ∵不等式的正整数解共有个， ∴正整数解为，，， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·广东广州·期末）若关于x的不等式有且只有3个正整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，再根据正整数解的个数确定对应的三个正整数，进而得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 化简得 ∵不等式有且只有3个正整数解 ∴这3个正整数解分别是1，2，3 ， ∴． 15．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的不等式： 的正整数解仅有三个，求整数的值． 【答案】 【分析】先解关于的不等式，得到含的解集；再结合“正整数解仅有”的条件，确定的边界范围；最后解不等式得到的取值范围，筛选出符合要求的整数． 【详解】解：， 解得 ∵不等式正整数解只有 不等式两边同乘： ∵为整数， ． 题型四：根据不等式组的整数解求参数的取值范围 16．（25-26七年级下·四川泸州·期末）若关于的不等式组只有1个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解两个不等式求出不等式组的解集，再根据不等式组只有1个整数解，确定整数解后得到关于a的不等式，即可求出a的取值范围； 【详解】解： 解不等式①，移项得 ， 解不等式②，两边同乘得， 移项整理得， 系数化为得， 不等式组的解集为， 不等式组只有个整数解， 唯一的整数解为， 可得， 三边同时加，解得； 17．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）关于的不等式组只有5个整数解，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组得到的解集，再根据不等式组只有个整数解确定整数解范围，进而列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解不等式组 解①：两边同乘3得，移项得． 解②：两边同乘2得，移项得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组只有5个整数解， ∴这5个整数解为19，18，17，16，15． 可得不等式， ∴， ∴． 18．（25-26七年级下·山东滨州·期末）若关于的不等式组有且只有2个偶数解，则满足条件的偶数的个数为________． 【答案】3 【分析】先解不等式组得到的取值范围，再根据不等式组有且只有2个偶数解确定的取值范围，最后找出范围内偶数的个数即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为 不等式组有且只有个偶数解， ∴中的两个偶数为 不等式两边同乘得 其中满足的偶数为，共个． 19．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知关于的不等式组只有2个整数解，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围． 【详解】解： ， 解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 因此不等式组的解集为． 不等式组只有个整数解， 不等式组的整数解为， 可得， 不等式两边同时减，得 ． 20．（26-27九年级上·上海·自主招生）不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据所有整数解的和为12，分情况讨论可能的整数解，推导得到的取值范围. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为． 分两种情况讨论： 当时，要使所有整数解的和为，符合条件的整数解为，和为，因此可得； 当时，要使所有整数解的和为，符合条件的整数解为，和为，因此可得； 综上，的取值范围是或. 题型五：根据不等式组的解集情况求参数的取值范围 21．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 解①得：． 解②得：． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得． 22．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，根据原不等式组无解列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵原不等式组无解， ∴， 解得． 23．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若关于的不等式组的解集为，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含的解集，再对照已知解集求出的值，最后计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴． 24．（25-26七年级下·吉林·期末）已知不等式组有解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组有解得到关于的不等式，即可求解． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∵不等式组有解， ∴． 25．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知关于x的不等式组的解集如图所示． (1)求m的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集为，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出不等式的解为，然后根据数轴上不等式的解集求解； （2）根据解集为得到，进而求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式得， 由数轴可得，关于x的不等式组的解集为， ∴； （2）解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴m的取值范围为． 题型六：整式方程（组）与不等式结合求参数问题 26．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）若方程组的解x，y满足，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体法求出的表达式，再代入求解的取值范围即可． 【详解】解：， 得， ∴两边同除以5得， ∵已知， ∴， 解得：． 27．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解方程组得， ∵方程组的解都是正数， ∴， 解得， ∵，即， ∴ ， 则， ∴， ∴． 28．（25-26七年级下·江西南昌·期末）关于，的二元一次方程组的解满足且，则整数的值为______________________． 【答案】或或 【分析】先解二元一次方程组，得到用表示的和，再根据和列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，找出范围内的整数即可． 【详解】解：解方程组 两式相加，得，解得. 两式相减，得，解得. 由，得， 根据绝对值的意义，得， 不等式三边同乘，得， 解得 由，得， 不等式两边同乘，得， 解得. 取两个解集的公共部分，得， 则中的整数为． 29．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】观察方程组两个方程的系数，将第二个方程减去第一个方程，可直接得到目标式关于k的表达式，再代入已知不等式即可求出k的取值范围． 【详解】解：， ②−①得， 整理得， ∵， ∴， 解得:． 30．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，，求实数k的取值范围； (2)在（1）所求k的取值范围内，化简代数式． 【答案】(1) (2)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）先求出二元一次方程组的解集，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出临界点，再分情况作答即可． 【详解】（1）解：， ：， ：，得， 把代入②：， 可得：， 即， 由题意得：， 即， 解得：， ∴； （2）解：当时，；当时，； 当时，原式； 当时，原式． 题型七：不等式与不等式组中含参数的新定义型问题 31．（25-26七年级下·河南南阳·期中）定义一种新运算“◎”，规定：．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算定义将不等式组转化为常规一元一次不等式组，求出两个不等式的解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集法则列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵ ∴原不等式组可转化为 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴ 解得． 32．（24-25八年级上·重庆·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围． 【详解】解：由，根据新运算，可化简为：， 解这个不等式组，解得：， ∵关于的不等式组有且只有一个整数解， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 33．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）定义一种法则“”如下：，则________，若，则的值为________． 【答案】 2 3 【分析】（1）根据题目给出的定义求解即可； （2）分两种情况，根据题中所给的条件得出关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】解：，， ； ， ①当，即时，，解得； ②当，即时，，解得（舍去）． 故m的值为3． 34．（25-26七年级下·北京海淀·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中、、互不相等）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2)2 【分析】（1）先根据题中定义求得对应方程的“交换系数方程”，再解对应的二元一次方程组即可解答； （2）先得到对应方程的“交换系数方程”，再根据已知分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得； （2）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， ①当与的对应系数相等时， 可得方程组， 解方程组，可得，与m为整数不符，不合题意； ②当与的对应系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 35．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）定义：若一元一次方程的整数解恰好在一元一次不等式组解集的范围内，则称该未知数的值为该方程与不等式组的“共鸣值”，并称该一元一次方程为该不等式组的“共振方程”．例如：一元一次方程的解为；一元一次不等式组的解集为，可以发现方程的解在的范围内，且2是一个整数，所以称是该方程与不等式组的“共鸣值”，方程是不等式组的“共振方程”． 问题解决： (1)一元一次方程①，②中，其中 （填序号）的解是不等式组的“共鸣值”； (2)若关于x的方程的解是该方程与不等式组的“共鸣值”，求k的值； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“共振方程”，试求a的取值范围． 【答案】(1)② (2)k值为 (3)a的取值范围为 【分析】（1）先分别求出两个方程的解，再算出不等式组的解集，判断方程的解是否在不等式组解集内，选出符合“共鸣值”定义的序号； （2）先求解不等式组得到解集范围，再解含参数方程，结合题意方程的解在此解集里并且是整数，确定取值，最后代回方程算出； （3）先求出两个方程的解，再化简不等式组得到用表示的解集，依据两个解都在不等式解集之内列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：①，解得， ②，解得， 不等式组，解得， ， ②的解是不等式组的“共鸣值”； （2）解：不等式组， ①两边同时乘以得，解得， ②两边同时乘以得，解得， 故原不等式组的解集为， 关于x的方程的解在范围内且是整数， ， 把代入得，解得； （3）解：方程，解得， 方程，解得， 不等式组，解得， 和都在范围内， ，解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与不等式组中含参数问题的七种模型 题型一 根据一元一次不等式的定义求参数 题型二 根据不等式的解集求参数 题型三 根据不等式的整数解求参数的取值范围 题型四 根据不等式组的整数解求参数的取值范围 题型五 根据不等式组的解集情况求参数的取值范围 题型六 整式方程（组）与不等式结合求参数问题 题型七 不等式与不等式组中含参数的新定义型问题 题型一：根据一元一次不等式的定义求参数 1．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 3．（25-26八年级下·四川巴中·期末）若不等式是关于x的一元一次不等式，则__________． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为________． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 题型二：根据不等式的解集求参数 6．（25-26七年级下·河北张家口·期末）已知是不等式的一个解，则的值可以是（     ） A． B． C． D．0 7．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是______． 9．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是______． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）（1）解不等式：； （2）不等式的解集为，求的值． 题型三：根据不等式的整数解求参数的取值范围 11．（25-26八年级下·福建三明·期末）若如图所示关于的不等式解集中有且只有个正整数解，则字母的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 13．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若关于的不等式的正整数解共有个，则的取值范围是_____． 14．（25-26七年级下·广东广州·期末）若关于x的不等式有且只有3个正整数解，则a的取值范围是______． 15．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的不等式： 的正整数解仅有三个，求整数的值． 题型四：根据不等式组的整数解求参数的取值范围 16．（25-26七年级下·四川泸州·期末）若关于的不等式组只有1个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）关于的不等式组只有5个整数解，则的取值范围是（） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·山东滨州·期末）若关于的不等式组有且只有2个偶数解，则满足条件的偶数的个数为________． 19．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知关于的不等式组只有2个整数解，则的取值范围是_______． 20．（26-27九年级上·上海·自主招生）不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是_____． 题型五：根据不等式组的解集情况求参数的取值范围 21．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若关于的不等式组的解集为，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 24．（25-26七年级下·吉林·期末）已知不等式组有解，则的取值范围为______． 25．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知关于x的不等式组的解集如图所示． (1)求m的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集为，求m的取值范围． 题型六：整式方程（组）与不等式结合求参数问题 26．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）若方程组的解x，y满足，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26七年级下·江西南昌·期末）关于，的二元一次方程组的解满足且，则整数的值为______________________． 29．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是________． 30．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，，求实数k的取值范围； (2)在（1）所求k的取值范围内，化简代数式． 题型七：不等式与不等式组中含参数的新定义型问题 31．（25-26七年级下·河南南阳·期中）定义一种新运算“◎”，规定：．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·重庆·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 33．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）定义一种法则“”如下：，则________，若，则的值为________． 34．（25-26七年级下·北京海淀·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中、、互不相等）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 35．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）定义：若一元一次方程的整数解恰好在一元一次不等式组解集的范围内，则称该未知数的值为该方程与不等式组的“共鸣值”，并称该一元一次方程为该不等式组的“共振方程”．例如：一元一次方程的解为；一元一次不等式组的解集为，可以发现方程的解在的范围内，且2是一个整数，所以称是该方程与不等式组的“共鸣值”，方程是不等式组的“共振方程”． 问题解决： (1)一元一次方程①，②中，其中 （填序号）的解是不等式组的“共鸣值”； (2)若关于x的方程的解是该方程与不等式组的“共鸣值”，求k的值； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“共振方程”，试求a的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $